1.1.2-弧度制(两课时)解析

1.1.2弧度制2024/8/171王山喜文档-1.1.2弧度制身高：2.26米体重：140千克1米=3.28043英尺1千克=2.2046磅身高：7.41英尺体重：308.6磅2024/8/172王山喜文档-1.1.2弧度制1790年5月由法国科学家组成的特别委员会，建议以通过巴黎的地球子午线全长的四千万分之一作为长度单位——米，1791年获法国国会批准。你知道1米的由来吗？1960年第十一届国际计量大会对米的定义作了如下更改：“米的长度等于氪－86原子的2P10和5d1能级之间跃迁的辐射在真空中波长的1650763．73倍”。2024/8/173王山喜文档-1.1.2弧度制随着科学技术的进步，70年代以来，对时间和光速的测定，都达到了很高的精确度。因此，1983年10月在巴黎召开的第十七届国际计量大会上又通过了米的新定义：“米是1／299792458秒的时间间隔内光在真空中行程的长度”。1米的由来2024/8/174王山喜文档-1.1.2弧度制在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？

我们把圆周分成360等份，那么每一等份所对的圆心角的度数就是1°.这种用度做单位来度量角的单位制叫做角度制.复习引入角度制中，1°＝60′，1′＝60″，1、角度制的定义2024/8/175王山喜文档-1.1.2弧度制n°r2、弧长公式:3、扇形的面积公式：lOSR2024/8/176王山喜文档-1.1.2弧度制在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难；另外，角度制也不利于三角函数的研究，那么我们能否重新选择角的单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢，并且有利于对三角函数的研究呢？

弧度制引入的必要性在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？2024/8/177王山喜文档-1.1.2弧度制在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧长一一对应.当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧长不相等.探讨当n=300时可以计算弧长=12342024/8/178王山喜文档-1.1.2弧度制OrABLr1A1B1L1L2A2B2Or2与半径大小无关2024/8/179王山喜文档-1.1.2弧度制新课讲解一：弧度制

实验结果表明：当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径的比是常数.称这个常数为该角的弧度数.能否用弧长来定义角的大小呢?1弧度的角的大小如何定义呢?2024/8/1710王山喜文档-1.1.2弧度制我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．1弧度与弧度制的定义

我们把用弧度来作为角的单位的制度称为弧度制．2024/8/1711王山喜文档-1.1.2弧度制3radr3rad=3rOABr-3rad2024/8/1712王山喜文档-1.1.2弧度制A2π弧度=2πrO（B）rr=若=2πr，则∠AOB=此角为周角即为360°360°=2π弧度180°=π弧度2π弧度2024/8/1713王山喜文档-1.1.2弧度制由180°=π弧度

还可得1°=——弧度≈0．01745弧度180π1弧度=（——）°≈57．30°=57°18′π180180°=1°×180与角终边相同的角的集合表示2024/8/1714王山喜文档-1.1.2弧度制用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算，公式如下：

1°=0.01745rad1rad==57°18′角度制与弧度制的换算

360°=2

rad180°=

rad2024/8/1715王山喜文档-1.1.2弧度制弧度制与角度制比较：弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1º；

0弧度=0º，但0弧度与0º不同；（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周的所对的圆心角的大小；2024/8/1716王山喜文档-1.1.2弧度制（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。弧度制与角度制比较：2024/8/1717王山喜文档-1.1.2弧度制（1）、把67°30′化成弧度。（2）、把—π

弧度化成度。53解：

解：

角度制与弧度制互换示范

注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。2024/8/1718王山喜文档-1.1.2弧度制（3）、把-35°化成弧度。（4）、把—π

弧度化成度。34解：

解：

radradpp36735180－35=×=o－－oo2401803434=×=radp2024/8/1719王山喜文档-1.1.2弧度制1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。2、用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省略。3、用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π”的形式。如无特别要求，不用将π化成小数。注意：度数0º30º45º60º90º120º135º150º180º270º360º弧度数0填一填：2024/8/1720王山喜文档-1.1.2弧度制常用的特殊角的换算角度弧度熟练下列特殊角的度数与弧度数的对应表2024/8/1721王山喜文档-1.1.2弧度制口答练习.填写下表：角度0°30°45°60°90°120°弧度角度135°150°180°210°225°240°弧度角度270°300°315°330°360°弧度0π2π2024/8/1722王山喜文档-1.1.2弧度制xyoxyo例1、用弧度表示终边在轴线上的角的集合

xyoxyo2024/8/1723王山喜文档-1.1.2弧度制注意：（1）关键抓住（2）弧度数与角度数是不可以混合写的××2024/8/1724王山喜文档-1.1.2弧度制锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，直角：{θ|θ=90°}钝角：{θ|90°＜θ＜180°}平角：{θ|θ=180°}周角：{θ|θ=360°}0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}；小于90°角：{θ|θ＜90°}0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°}0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}鉴别：请用弧度制表示下列角度的范围。2024/8/1725王山喜文档-1.1.2弧度制

例2、用弧度制表示常见区间角（1）第一象限角构成的集合（2）第二象限角构成的集合（3）第三象限角构成的集合（4）第四象限角构成的集合（5）第一、四象限角及x正半轴构成的集合（6）第一、二象限角及y正半轴构成的集合2024/8/1726王山喜文档-1.1.2弧度制用弧度来度量角，实现角的集合与实数集R之间建立一一对应的关系：实数集R角的集合正角零角负角正实数零负实数对应角的弧度数

引人弧度制的意义2024/8/1727王山喜文档-1.1.2弧度制（1）；（2）；（3）．1．把下列各角化成的形式：2.下列角的终边相同的是（）．A．与与与与B．C．

D．

练习B2024/8/1728王山喜文档-1.1.2弧度制4.5弧度的角所在的象限为()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.将分针拨快15分钟，则分针转过的弧度数是()A.- B.C.- D.CD5.已知π＜α+β＜，-π＜α-β＜-，求2α-β的范围.

练习2024/8/1729王山喜文档-1.1.2弧度制

练习2024/8/1730王山喜文档-1.1.2弧度制1.什么叫1弧度角?2.任意角的弧度的定义.3.“角化弧”时,将n乘以；

“弧化角”时，将α乘以;课堂小结长度等于半径的弧所对的圆心角等于1弧度长度等于半径的弦所对的圆心角等于1弧度吗？2024/8/1731王山喜文档-1.1.2弧度制课本作业P9练习T1、2、3P10习题A组7、82024/8/1732王山喜文档-1.1.2弧度制思考:如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?

角α的弧度数的绝对值是α的正负由角α的终边旋转方向决定r为半径,l为角α所对弧的长新课讲解二：弧长和面积公式

2024/8/1733王山喜文档-1.1.2弧度制扇形的弧长及面积公式

例题

讲解2024/8/1734王山喜文档-1.1.2弧度制(2)设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则(3)又αR=l，所以证明：(1)由公式

例题

讲解2024/8/1735王山喜文档-1.1.2弧度制变式1、扇形AOB中，弧AB所对的圆心角是60º，半径是50米，求弧AB的长l（精确到0.1米）。

例题

讲解变式2、在半径为R的圆中，240º的中心角所对的弧长为

，面积为2R2的扇形的中心角等于

弧度。2024/8/1736王山喜文档-1.1.2弧度制变式2、在半径为R的圆中，240º的中心角所对的弧长为

，面积为2R2的扇形的中心角等于

弧度。解：（1）240º=，根据l=αR，得（2）根据S=lR=αR2，且S=2R2.所以α=4.2024/8/1737王山喜文档-1.1.2弧度制变式3、已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？

例题

讲解2024/8/1738王山喜文档-1.1.2弧度制

例题

讲解例4、如果一扇形的周长为20cm，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？解：2024/8/1739王山喜文档-1.1.2弧度制例5、

扇形AOB中，所对的圆心角是60º，半径是50米，求的长l（精确到0.1米）。解：因为60º=,所以l