2证明三角形全等的基本思路

6.如图M12-5，点B，E，C，F在同一直线上，且AB=DE，AC=DF，BE=CF，请将下面证明△ABC≌△DEF的过程和理由补充完整.证明：∵BE=CF（＿＿＿），∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.在△ABC和△DEF中,AB=＿＿＿（＿＿＿），＿＿＿=DF（＿＿＿），BC=＿＿＿（＿＿＿），∴△ABC≌△DEF（＿＿＿）.已知DE已知AC已知EF已证SSS7.如图M12-6，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，B点的坐标为(2，1)，则D点的坐标为_________.8.如图M12-7，AC⊥BC，AD⊥DB，下列条件中，能使△ABC≌△BAD的有_________.（填序号）①∠ABD=∠BAC；②∠DAB=∠CBA；③AD=BC；④∠DAC=∠CBD．(－1，2)①②③9.(2017武汉)如图M12-8，点C,F,E,B在一条直线上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论.解：CD∥AB，CD=AB.证明：∵CE=BF，∴CE-EF=BF-EF.∴CF=BE.在△DFC和△AEB中，CF=BE,∠CFD=∠BEA,DF=AE,∴△DFC≌△AEB(SAS).∴CD=AB，∠C=∠B.∴CD∥AB.10.(2017广州)如图M12-9，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF.求证：△ADF≌△BCE.证明：∵AE=BF，∴AE+EF=BF+EF.∴AF=BE.在△ADF和△BCE中，AD=BC,∠A=∠B,AF=BE,∴△ADF≌△BCE(SAS).11.已知，如图M12-10，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．求证：△ACE≌△BCD.证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE.∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD.∴∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中，AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD,∴△ACE≌△BCD（SAS）.12.(1)如图M12-11①，△DCE和△ACB均为等腰直角三角形，求证：AE=BD；(2)如图M12-11②，△DCE和△ACB均为等腰直角三角形，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请写出图M12-11②中四对全等的直角三角形.(1)证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC.∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD.∴∠BCD=∠ACE.在△ACE与△BCD中，AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD,∴△ACE≌△BCD(SAS).∴AE=BD.(2)解:∵AC=DC，∴AC=DC=EC=BC.又∵∠ACB=∠DCE=90°,∴△ACB≌△DCE(SAS).∴AB=DE.由(1)可知,∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC,∴∠DOM=∠AON=90°.∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BNC(ASA).∴CM=CN,DM=AN.∴△AON≌△DOM(AAS).∴AO=DO.∵AB=DE，AO=DO，∴Rt△AOB≌Rt△DOE(HL).∴四对全等的直角三角形为Rt△ACB≌Rt△DCE,Rt△EMC≌Rt△BNC,Rt△AON≌Rt△DOM,Rt△AOB≌Rt△DOE.考点2角的平分线的性质1.如图M12-12，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是点C，D，则下列结论错误的是()A.PC=PDB.∠CPO=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=OD2.(2017台州)如图M12-13，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为点D，若PD=2，则点P到边OA的距离是()A.2B.3C.D.4BＡ3.如图M12-14所示，在∠AOB的两边上截取AO＝BO，OC＝OD，连接AD,BC交于点P，连接OP，则下列结论正确的是()①△APC≌△BPD；②△ADO≌△BCO；③△AOP≌△BOP；④△OCP≌△ODP.A.①②③④B.①②③C.②③④D.①③④A4.如图M12-15，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是()A.15B.30C.45D.60B5.如图M12-16，AC平分∠BAD，CM⊥AB于点M，CN⊥AN，且BM＝DN，则∠ADC与∠ABC的关系是()A.相等B.互补C.和为150°D.和为165°6.已知△ABC中，∠A=60°，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为_______.B120°7.如图M12-17，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为20，30，40，其三条角平分线的交点为O，则=______________.8.如图M12-18，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD=8，则点P到BC的距离是________.2∶3∶449.如图M12-19，已知AD=CD，BD平分∠ADC，∠A=∠C吗？试证明.解：∠A=∠C.证明:∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.在△ABD和△CBD中,AD=CD,∠ADB=∠CDB,BD=BD,∴△ABD≌△CBD(SAS).∴∠A=∠C.10.如图M12-20，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB＝∠DFB＝90°，∠D＝28°，求∠GBF的度数.解：∵Rt△ABC≌Rt△DBF，∴∠A＝∠D，AB＝DB，BC＝BF.∴AF＝DC.又∵∠AFG＝∠DCG＝90°，∴△AFG≌△DCG.∴FG＝CG.又∵GF⊥FB，GC⊥CB，∴BG平分∠ABD.∵∠D＝28°，∴∠ABD＝90°－∠D＝62°.∴∠GBF＝∠ABD＝31°.11.如图M12-21，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠EAC的平分线．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD.∴△BDE与△CDE是直角三角形.在Rt△BDE和Rt△CDF中,EB＝CF,BD＝CD,∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴DE=DF.∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴AD是∠BAC的平分线．12.如图M12-22，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，求△EDF的面积.解：如答图M12-1，作DM=DE交AC于点M，作DN⊥AC交AC于点N.∵DE=DG，∴DM=DG.∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DN⊥AC，∴DF=DN.在Rt△DEF和Rt△DMN中，DF=DN,DE=DM,∴Rt△DEF≌Rt△DMN(HL).∴∠EDF=∠MDN.∵∠FAD+∠ADF=∠NAD+∠ADN=90°,∠FAD=∠NAD,∴∠ADF=∠ADN.又∵∠ADF=∠ADE+∠EDF,∠ADN=∠ADM+∠MDN,∴∠ADE=∠ADM.在△ADE和△ADM中，∠EAD=∠MAD,AD=AD,∠ADE=∠ADM,∴△ADE≌△ADM(ASA).∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，考点3全等三角形的应用1.有长为3cm，4cm，6cm，8cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm和4cm的木条各一根，再取第三根木条时要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为()A.一个人取长为6cm的木条，一个人取长为8cm的木条B.两人都取长为6cm的木条C.两人都取长为8cm的木条D.B，C两种取法都可以B2.如图M12-23，两棵大树间相距13m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA=ED.已知大树AB的高为5m，小华行走的速度为1m/s，则小华走的时间是()A.13sB.8sC.6sD.5sB3.如图M12-24，两根长度为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD间的关系是()A.BD>CDB.BD<CDC.BD＝CDD.不能确定C4.如图M12-25，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是()A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去5.如图M12-26，把两根钢条AA′，BB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，若测得AB＝5cm，则内槽宽为＿＿＿＿cm.Ｃ５6.如图M12-27，要测量河岸相对的两点A,B之间的距离，先从点B处出发，沿与AB成90°角方向，向前走50m到点C处立一根标杆，然后继续朝前走50m到点D处，在点D处右转90°，沿DE方向再走17m，到达点E处，使点A，C，E在一条直线上，那么测得点A，B间的距离为_______m.177.有一座锥形小山，如图M12-28，要测量锥形小山两端A,B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE，量出DE的长为50m，你能求出锥形小山两端A,B间的距离吗？解：在△DEC和△ABC中，CD=CA，∠DCE=∠ACB，CE=CB，∴△DEC≌△ABC(SAS).∴AB=DE=50(m).8.小强为了测量一幢高楼AB的高，在旗杆CD与楼之间选定一点P.在P点仰望旗杆顶点C和高楼顶点A（身高忽略不计），测得视线PC与地面夹角∠DPC=36°，视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得点P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10m，量得旗杆与楼之间距离为DB=36m.利用这些数据小强计算出了楼高，请问楼高AB是多少米？解：在△PCD和△APB中，∠PCD=90°-36°=54°=∠APB,PB＝CD，∠CDP=90°=∠PBA，∴△PCD≌△APB(ASA).∴AB=PD.∴AB＝36-10=26.答：楼高AB是26m.

三角形全等证明的解题思路⑴全等三角形在位置上通常有着特殊的关系，可以用旋转、翻折、平移等图形变换方式来描述，运用图形变换有利于找对应边和对应角，从而有助于证明三角形全等.ABCEFDACBDDCBADEDE类型一：全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型)如图，点B、E、C、F在同一直线上，如果AB=DE，BE=CF，AB∥DE，求证：AC＝DF.证明：∵AB∥DE∴∠ABC＝∠DEF∵BE＝CF∴BE＋EC＝CF＋EC∴BC=EF在△ABC和△DEF中AB=DE∠ABC=∠DEFBC=EF∴△ABC≌△DEF(SAS)∴AC=DF类型一：全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型)如图A、B分别为OM、ON上的点,点P在∠AOB的平分线上,且∠PAM＝∠PBN,求证:AO＝BO证明：∵∠PAM＝∠PBN∴∠PAO＝∠PBO∵点P在∠AOB的平分线上∴∠MOP＝∠NOP在△AOP和△BOP中∠PAO＝∠PBO∠MOP＝∠NOPOP＝OP∴△AOP≌△BOP(AAS)∴AO＝BO类型一：全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型)如图,已知四边形ABCD中,AB＝CD且AB∥CD,连接BD,在BD上截取BE＝DF,连接AE,CF.求证:AE＝CF证明：∵AB∥CD∴∠ABE＝∠CDF在△ABE和△CDF中AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF∴△ABE≌△CDF(SAS)∴AE＝CF两个待证的全等三角形如果位置较为特殊，我们可以从平移、翻折、旋转等角度找用于证明全等的等边或等角，同时要根据有利条件选择合适的证明方法.方法总结三角形全等证明的解题思路⑵与全等三角形相关的问题中，有一类问题表现为三条线段间的和差关系，这类问题通常需要运用“截长补短”法添加辅助线，将其转化为证明线段相等的问题.类型二：线段和差问题的证明如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点(BP＜CP)，分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F.

等线段代换求证：EF＝CF－BE；

如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点(BP＜CP)，分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F.

求证：EF＝CF－BE；

证明：∵∠BAC＝90°∴∠BAE＋∠CAF＝90°∵BE⊥AE∴∠BAE＋∠ABE＝90°∴∠CAF＝∠ABE∵CF⊥AP，BE⊥AE∴∠AEB＝∠CFA在△ABE和△CAF中∠ABE＝∠CAF∠AEB＝∠CFAAB＝AC∴△ABE≌△CAF∴CF＝AE，AF＝BE∴EF＝AE－AF＝CF－BE类型二：线段和差问题的证明二截长补短法如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A与∠B的平分线交于点E，点E在CD上，求证：AD＋BC＝AB如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A与∠B的平分线交于点E，点E在CD上，求证：AD＋BC＝AB证明：在AB上截取线段AF＝AD，∵∠1＝∠2AE＝AE∴△ADE≌△AFE(SAS)∴∠D=∠5∵AD∥BC∴∠D＋∠C＝180°而∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠C又∵∠3＝∠4BE＝BE∴△BCE≌△BFE(AAS)∴BF＝BC∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB.截长补短法是两种不同的辅助线方法，在具体问题中根据有利条件合理选择.添加辅助线的关键是添加后能否构造全等三角形或其它特殊图形，从而对相等的线段进行转化，得到线段间的和差关系.

动态变化中的全等三角形⑴全等三角形的证明中，有的相关三角形是动态的，那么这样的三角形还会全等吗？我们来探究一下，掌握其中的解题规律.类型一：动点变化已知：AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，点C为BD上一动点且满足BC＝DE，AB＝CD.试猜想线段AC与CE的数量关系，并证明你的结论.已知：AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，点C为BD上一动点且满足BC＝DE，AB＝CD试猜想线段AC与CE的数量关系，并证明你的结论.解：AC＝CE，理由如下：∵AB⊥BD，ED⊥BD∴∠B＝∠D＝90°在△ABC和△CDE中BC＝DE，∠B＝∠DAB＝CD∴△ABC≌△CDE∴AC＝CE.类型一：动点变化已知，如图，EF分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB＝CD，AF＝CE，BD交AC于M点，⑴求证：MB＝MD，ME＝MF；⑵当E、F两点移到如图所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由.已知，如图，EF分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB＝CD，AF＝CE，BD交AC于M点，⑴求证：MB＝MD，ME＝MF；证明：∵DE⊥AC，BF⊥ACAB＝CD，AF＝CE，∴△ABM≌△CDE∴BF＝DE由DE⊥AC，BF⊥AC得∠BFM＝∠DEM又∵∠BMF＝∠DMEBF＝DE∴△BFM≌△DEMMB＝MD，ME＝MF⑵当E、F两点移到如图所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由.解：仍然成立.理由如下：∵DE⊥AC，BF⊥ACAB＝CD，AF＝CE，∴△ABF≌△CDE∴BF＝DE由DE⊥AC，BF⊥AC得∠BFM＝∠DEM＝90°又∵∠BMF＝∠DMEBF＝DE∴△BFM≌△DEMMB＝MD，ME＝MF以上例题中，虽然动点引起了相关线段大小、角度大小、图形位置的变化，但对应边相等、对应角相等的条件并没有改变，因而相应的三角形仍然全等.方法总结动态变化中的全等三角形⑵我们将全等三角形中的某个三角形进行平移、翻折、旋转等变换，所得三角形还会全等吗？类型二：图形变换如图1，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，⑴求证：△AFC≌△DEB．⑵如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，B点在C点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请说明理由.一、平移如图，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，⑴求证：△AFC≌△DEB．如图，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，⑴求证：△AFC≌△DEB．证明：∵DE∥AF∴∠A＝∠D∵AB＝CD∴AB＋BC＝CD＋BC即AC＝BD在△AFC和△DEB中AC=BD∠A=∠DDE＝AF∴△AFC≌△DEBAEDBCF⑵如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，B点在C点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请说明理由.解：成立，理由如下：∵DE∥AF∴∠A＝∠D∵AB＝CD∴AB－BC＝CD－BC即AC＝BD在△AFC和△DEB