《高数》(上)期中考试复习提纲

《高等数学》期中考试前复习2011.11.1一、函数与极限（一）函数函数的定义（1）映射的定义若是两个非空的集合，如果存在一个法则，使得对中的每一个元素，按法则，在中有唯一确定的元素与之对应，则称为从到的映射，记作简表之其中—映射的定义域，—映射的值域，—映射的对应法则；—元素（在映射下）的一个原像，—元素（在映射下）的像，两者关系：值得提醒的是，10是唯一的；而未必唯一；20（2）函数的定义设数集，则称映射为定义在上的函数，通常简记为式中—自变量，—因变量，—定义域可见，从实数集（或其子集）到实数集的映射通常称为定义在上的函数2、函数的表示（1）公式法；（2）图像法；（3）表格法3、函数的形式（1）显式函数；（2）隐式函数；（3）参数式函数4、函数的特性（1）有界性若，或，则函数具有界性（2）单调性若，则函数为单调增函数；若，则函数为单调减函数。注：单调性与区域有关（3）奇偶性若—偶函数；若—奇函数（4）周期性若，则函数具周期性，周期为一最小的正数注：a)若为周期函数，则；b)若则周期；c)奇函数对坐标原点对称，其曲线通过坐标原点；偶函数对轴对称；d）奇函数或偶函数，当且仅当函数在或内（或上）有定义时才有意义。5、常用函数的类型（1）基本初等函数1）常值函数（常数）2）幂函数（函数的定义域取决于的值）3）指数函数，特殊地4）对数函数，特殊地（自然对数）5）三角函数6）反三角函数（2）反函数直接函数反函数：1）2）注：10当且仅当单射时，它才存在逆映射，即才存在，也因而才存在。当直接函数为一单调函数时，为单射，其反函数必定存在。20与为同一条曲线；与为两条曲线，对直线对称（3）复合函数若，，当时，复合函数存在，且；当时，复合函数也存在，但（4）初等函数基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合而成的函数称为初等函数，在其定义域内，初等函数连续且可导。（5）分段函数在自变量的不同区域内函数有不同的形式。分段函数不是初等函数！（6）双曲函数（初等函数）1）双曲正弦函数与双曲余弦函数，2）双曲正切函数与双曲余切函数，（7）反双曲函数且有这在求算饭双曲函数的导数时，很有用（二）极限1、数列的极限（1）数列—一串无限个数项按其下标，由小到大的有序排列，其中为通项（2）数列的极限若（确定、有限的常数），则数列有极限，或者说数列收敛于；反之数列发散。注：数列极限的严格定义：，若，当时，所有的都满足，则数列有极限，即，或者说数列收敛于。（3）数列收敛的几何意义当数列收敛于时，这意味着，实轴上在的某个邻域内有无穷多个点；而在该邻域外仅有有限的个点（4）数列极限的性质1）唯一性若，则极限唯一；2）有界性若，则有界，但逆定理不成立；3）保序性若，则当时，；4）保号性若（或<0）,则当时，（或<0）5）若数列收敛于，则其子数列也收敛于。（5）数列极限的存在准则1）夹逼准则若数列及满足下列条件：当时，；，则2）单调有界数列必有极限。（6）数列极限的运算法则若，，则1）；2）；；3）。2、函数的极限（1）类型1）（确定、有限）（确定、有限）严格定义：若在当时有定义，如存在一常数，，若，使得时所有的都满足则2）（确定、有限）严格定义：若在的某个去心邻域内有定义，如果存在常数，假如使得当时，所有都满足则几何意义：若，意味着，时，，即局部有界注：10时，是否有极限，与存在与否，若存在其值如何均无关。20的充要条件是，左极限与右极限存在且相等，即（2）性质1）唯一性；2）局部有界性；3)局部保序性；4）局部保号性。（3）运算法则若，则1）；2）；3）（4）函数极限的存在准则1）夹逼准则2）单调有界的函数必有极限（5）常见函数的极限1），；2）；3）4）5）；6）（5）无穷小量与无穷大量1）定义若，则称为时的无穷小量，，则称为时的无穷小量；若，则称为时的无穷大量，，则称为时的无穷大量；2）性质无穷小量的倒数为无穷大量；有限个无穷小量之和仍为无穷小量；有限个无穷小量之积仍为无穷小量；有界量与无穷小量之积仍为无穷小量；常数与无穷小量之积仍为无穷小量；若，则时，，其中为无穷小量。3）无穷小量的阶若均为时的无穷小量，则当时，相对于为高阶无穷小量；当时，相对于为低阶无穷小量；当时，与为同阶无穷小量；当时，与为等价无穷小量；当时，为阶无穷小量。4）常见的等价无穷小量当时，;;;;，特殊地;;.注:在求极限的乘除运算中可用等价无穷小量来替代。3*、求数列极限或函数极限的方法归纳（1）在求的极限时，遇到分子与分母都出现“无穷大因子”的情况下，可用分子分母的最高阶无穷大量分别去除分子与分母，以消去分子的“无穷大因子”；（2）在分子分母都存在“零因子”时，可用因式分解，或有理化，再或在乘除运算中用等价无穷小量替代，以消去分母的“零因子”；（3）将待求极限的分式函数，通过变换变量的方法，变换成常用极限的标准形式，再求极限。最常用的极限是：；；（4）运用数列或函数极限的存在准则求数列或函数的极限。（三）连续1、定义若，则函数在点处连续。即函数必须同时满足三个条件：（1）存在；（2）有定义；（3）。若函数在内处处连续，则称为内的连续函数。又若在区间上有定义，总，使得在上任意两点，当时就有，称函数在上一致连续。2、性质1）若均在处连续，则也在处连续。2）若在处连续，在处连续，则复合函数在处也连续，即；3）若存在，而在处连续，则4）若在其定义域上单调连续，则其反函数在相应的上也单调连续；5）若在闭区间上连续，则有界性定理、最值定理、介值定理与零点定理均成立。3、间断点（1）第一类间断点1）可去间断点若存在，但（包括不存在与但）；此时可重新定义一新函数：显然，在点连续。可去间断点命名的来由也就在于此。2）跳跃间断点若与均存在，但不相等（2）第二类间断点1）无穷间断点若或者；2）振荡间断点若时，振荡不定。二、导数与微分（一）导数1、导数的基本概念1）导数的定义一阶导数的定义存在的充分必要条件是：与存在且相等。2阶导数的定义2）导数的几何意义曲线上切点处切线的斜率等于，因此，过切点的曲线的切线方程为；相应地过切点的曲线的法线方程为。3）导数的意义，代表函数对自变量的变化率4）函数可导性与连续性有极限以及有界性之间的关系对一元函数来说，若在点可导→在点必连续→时，极限必存在→必有界；但反之不然。2、基本求导公式（1）；（2）；（3），；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）3、显函数的求导法则若在处可导，则（1）；（2）；（3）。4、隐函数的求导法则两边对求导；5、参数式函数的求导法则6、反函数的求导法则若直接函数可导，且，则其反函数必也可导，且注：，即将视为中间函数再运用复合函数求导的链式法则处理7、复合函数的求导法则若，则复合函数的导数为——链式求导法则链式求导法则可以推广到多个中间函数的情况。（二）微分1、定义若，其中为高阶无穷小量，则其线性主部定义为在附近的函数的微分2、微分与导数的关系3、微分法则若在处可微，则