利用二次函数解决实际问题

1.(2013湖北省孝感市)在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲。经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数。（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？答案：解：（1）设与满足的函数关系式为：．由题意可得：解得∴与的函数关系式为：．（2）每天获得的利润为：．∴当销售价定为元时，每天获得的利润最大．201309221027559370294.6利用二次函数解决实际问题计算题双基简单应用2013-09-222.(2013湖北省咸宁市)为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：.（1）李明在开始创业的第1个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？答案：解：（1）当时，y=－10x＋500=－10×20+500=300，300×（12－10）=300×2=600，即政府这个月为他承担的总差价为600元．（2）依题意得，∵＜0，∴当时，有最大值4000．即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．（3）由题意得：，(第22题)O(第22题)O3000x直线x=30w2040∵＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3000.又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000.设政府每个月为他承担的总差价为p元,∴.∵＜0，∴p随x的增大而减小，∴当时，有最小值500．201309221002148595454.6利用二次函数解决实际问题应用题解决问题2013-09-223.(2013湖北省武汉市)科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度/℃……－4－20244.5……植物每天高度增长量/mm……414949412519.75……由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．答案：（1）选择二次函数，设，得，解得∴关于的函数关系式是．不选另外两个函数的理由：注意到点（0，49）不可能在任何反比例函数图象上，所以不是的反比例函数；点（－4，41），（－2，49），（2，41）不在同一直线上，所以不是的一次函数．（2）由（1），得，∴，∵，∴当时，有最大值为50．即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大．（3）．201309220952137817864.6利用二次函数解决实际问题应用题解决问题2013-09-224.(2013湖北省黄冈市)某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润（元）与国内销售数量（千件）的关系为：若在国外销售，平均每件产品的利润（元）与国外的销售数量（千件）的关系为：（1）用的代数式表示为：_________；当时，与的函数关系为：_______；当时，（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润（千元）与国内的销售数量（千件）的函数关系式，并指出的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？答案：解：（1）；当时，当时，．（2）当时，当时，当时，（3）当时，，时，当时，，时，当时，，时，∴时，国内4千件，国外2千件，最大利润为64万元（或640千万）．201309220905297816864.6利用二次函数解决实际问题应用题解决问题2013-09-225.(2013黑龙江省哈尔滨市)某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为（单位：米），现以所在直线为轴，以抛物线的对称轴为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为．已知米，设抛物线解析式为．（1）求的值；（2）点是抛物线上一点，点关于原点的对称点为，连接、、，求的面积．答案：1）解：，由抛物线的对称性可知．．．．（2）解：过点作于，过点作于．．令，．点关于原点的对称点为，．．··．的面积为15平方米．201309220753104845484.6利用二次函数解决实际问题复合题基本技能2013-09-226.(2013河北省)某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q=W+100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．（1）用含x和n的式子表示Q；（2）当x=70，Q=450时，求n的值；（3）若n=3，要使Q最大，确定x的值；（4）设n=2，x=40，能否在n增加m%（m＞0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．参考公式：抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是（－eq\f(b,2a)，eq\f(4ac－b2,4a)）答案：解：（1）设，．由表中数据，得解得．（2）由题意，得，．（3）当时，．由可知，要使最大，．（4）由题意，得，即．解得，或(舍去)．．201309170817229682954.6利用二次函数解决实际问题应用题解决问题2013-09-177.(2013山西省)如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于两点，桥拱最高点到的距离为9m，，为桥拱底部的两点，且，点到直线的距离为7m，则的长为m．第第18题图答案：48201309161618128429694.6利用二次函数解决实际问题填空题基础知识2013-09-168.(2013浙江省衢州市)某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种棵橘子树，果园橘子总个数为个，则果园里增种▲棵橘子树，橘子总个数最多.答案：10201309160933013629274.6利用二次函数解决实际问题填空题基础知识2013-09-169.(2013山东省滨州市)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)答案：解：根据题意，得y=20x(－x)，整理，得y=－20x2+1800x．∵y=－20x2+1800x=－20(x2－90x+2025)+40500=－20(x－45)2+40500，∵－20＜0，∴当x=45时，函数有最大值，y最大值=40500，即当底面的宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大为40500cm2．201309131618334842814.6利用二次函数解决实际问题应用题基础知识2013-09-1310.(2013浙江省湖州市)某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务。小张种植每亩蔬菜的工资(元)与种植面积（亩）之间的函数关系如图①所示；小李种植水果所得报酬（元）与种植面积（亩）之间的函数关系如图②所示（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是________元，小张应得的工资总额是_______元；此时，小李种植水果_______亩，小李应得的报酬是_______元；（2）当10<≤30时，求与之间的函数关系式；（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为W（元），当10<≤30时，求W与之间的函数关系式。答案：解：（1）小张种植每亩蔬菜的工资是140元，1分小张应得的工资总额是2800元；1分小李种植水果10亩，1分小李应得的报酬是1500元1分（2）当时，关于的函数图像经过点，，设则2分解得∴1分（3）当时，∵又∵当时，；当时，∴当时，，1分当时，，∴1分∴与之间的函数关系式为：201309121514240195504.6利用二次函数解决实际问题应用题基础知识2013-09-1211.(2013安徽省)某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示.销售量p（件）p=50—x销售单价q（元/件）当1≤x≤20时，q=30+x；当21≤x≤40时，q=20+（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式.（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？答案：解：（1）当时，令，得.当时，令，得.即第10天或者第35天该商品的销售单价为35/件.（4分）（2）当时，，当时，.（8分）（3）当时，当时，有最大值，有最大值，且当时，，随着的增大而减小，时，最大.于是，时，有最大值，且..这40天中第21天时该网店获得利润最大，最大利润为725元.（12分）201309111612404066064.6利用二次函数解决实际问题应用题基础知识2013-09-1112.(2013江苏省盐城市)水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售.经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克.（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系.①求y与x之间的函数关系式；②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润=销售收入进货金额）答案：（1）解：设现在实际购进这种水果每千克a元，根据题意得：80（a+2）=88a，解之得：a=20.答：现在实际购进这种水果每千克20元.（2）∵y是x的一次函数，设函数关系式为y=kx+b，将（25，165），（35，55）分别代入y=kx+b，得：解得：k=11，b=440.∴.（3）设最大利润W元，则W=.∴当x=30时，.答：将这种水果每千克定为30元时，能获得最大利润，最大利润为1100元.201309101715136872914.6利用二次函数解决实际问题应用题基础知识2013-09-1013.(2013新疆乌鲁木齐)某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量（万个）与销售价格（元/个）的变化如下表：价格x（元/个）…30405060…销售量y（万个）…5432…同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．（1）观察并分析表中的与之间的对应关系，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识写出（万个）与（元/个）的函数解析式；（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润（万元）与销售价格（元/个）的函数解析式，销售价格为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？答案：解：（1）（3分）（2）故当销售单价为50元/个时净得利润最大，最大值为50万元；（7分）（3）当净得利润为40万元时，即，解得通过观察函数的图象（如图）．可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：．而与的函数关系式为：∵，∴随的增大而减小．若还需考虑销售量（万个）尽可能大，故销售价格应定为40元/个．（12分）201309101602144009464.6利用二次函数解决实际问题应用题基础知识2013-09-1014.(2013四川省宜宾市)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？答案：解：（1）（且为整数）；（2）．，当时，有最大值2402.5．，且为整数，当时，，（元），当时，，（元）当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．（3）当时，，解得：．当时，，当时，．当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．201309091607485787374.6利用二次函数解决实际问题应用题基础知识2013-09-0915.(2013江苏省连云港市)我市某海域内有一艘渔船发生故障，海事救援接到求救信号后立即从港口出发沿直线匀速前往救