数学思考方法

数学思考方法01——分类分类是一种很重要的数学思考方法，特别是在计数（数个数的问题中，分类的方法是很常用的。【例1】数一数，图1-1中共有多少条线段？【例2】数一数，图1-2中共有多少个正方形？【例3】如图，平面上有9个点，任意相邻两点之间的距离都相等，如果把其中任意几个点连起来，可得到各种图形。问：（1）可连成多少正方形？（2）可连成多少长方形？（3）可以组成多少直角三角形？【例4】在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数？分别是哪几个数？【例5】从1，2，3，……，99，100中，选出两个数相加，使它们的和大于100，共有多少种不同的选法？【例6】有一种用六位数表示日期的方法，例如，用表2017年2月8日。用这种方法表示2017年全年的日期，那么，全年中六位数字都不相同的日期共有____天。数学思考方法02——化大为小找规律你会计算自然数中小于10000的所有奇数的和吗？【例2】数一数，右图中共有多少个正方形？【例3】计算【例4】将自然数1，2，3，4，……像左图那样按顺序排列起来。在最上面一行中，从左到右第100个数是____；在最左边一列中，从上到下第100个数是____。【例5】10条直线最多可把一个长方形分成多少块？【思考题】1.求13+23+33+43+……+103的值。2.有一个1000位的数，它的各位数字都是2，这个数除以6的余数是几？3.求图2-9中所有数的和1234……1002345……1013456……1024567……103………100101102103……199数学思考方法03——从一点突破【例1】右图，a、b、c、d、e、f、g、h分别代表1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字。问它们分别代表什么数字？【例2】下面的算式中，不同字母代表不同的数字，解出这个算式谜。【例3】把100个桔子分别装在6只篮子里，每只篮子里所装的桔子数，都要是含有数字“6”的数。该如何装？【例4】油库里有6桶油，分别是汽油、柴油和机油，用秤称得每桶油重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克。但不知道每只桶里各装的是哪种油。已知柴油的总重量是机油的2倍，汽油只有一桶。问6个桶内各装的是什么油？【例5】A、B、C、D是从小到大排列的四个不同的自然数，把它们两两求和，分别得出下面的五个不同的和数：21，23，24，25，27。求原来四个数的平均数。【例6】如图，把1～7七个数字分别填入图中的七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和相等。数学思考方法04——试验【例1】在下面14个8之间添上适当的运算符号（必要时，可使用括号），使得数为2017。88888888888888=2017【例2】有一个四位数3AA1，能被9整除。问A代表几？【例3】一个三位数，百位数字是个位数字的3倍，十位数字等于百位数字与个位数字的积。求这个三位数。【例4】将一根长为374厘米的铝合金管截成若干根长36厘米和24厘米的短管。问剩余部分的管子最少是多少厘米？【例5】写下从1开始的连续自然数，后来擦掉一个，剩下的数的平均数是16又15分之4，擦掉的是多少？【例6】某校排演团体操时，全体学生恰好能由一个正三角形队列变换为一个正方形队列。现只知道全校学生数在1000～2000人之间，那么这个学校有多少名学生？【例8】学校早晨6∶00开校门，晚上6∶40关校门。下午有一同学问老师当时的时间，老师说：“从开校门到现在时间的1/3，加上现在到关门时间的1/4，就是现在的钟点数。那么“现在”的时间是下午____。【思考题】1.解右面的算式谜：2.已知在每个正方体的六个面上分别写着1、2、3、4、5、6这六个数，并且任意两个相对的面上所写两个数的和都等于7。现在把五个这样的正方体一个挨着一个地连接起来（如右图），在紧挨着的两个面上的两个数之和都等于8。那么图中打“？”的这个面上所写的数是几。3.三个连续偶数的乘积等于14□□□□8，求这三个偶数。数学思考方法05——移多补少【例1】新光机器厂装配拖拉机，第一天装配50台，第二天比第一天多装配5台，第三、第四两天装配台数是第一天的2倍多3台，平均每天装配多少台？【例2】小红跳绳3次，平均每次跳156下，要想跳4次后达到“平均每次跳160下”，她第4次要跳多少下？【例3】从11到20十个连续自然数相加的和，再加上2000，等于从（）到（）这十个连续自然数相加的和。【例4】某工厂一周内生产机器的台数统计表如图5-2，请你把星期三、星期四的产量算出来。【例5】有6个木工和一个漆工完成了一套家具生产任务。每个木工各得200元，漆工的工资比7个工人的平均工资多30元。漆工得了多少元钱？数学思考方法06——等量代换曹冲称象就是运用了“等量代换”的思考方法：两个完全相等的量，可以互相代换。【例1】百货商店运来300双球鞋，分别装在2个木箱、6个纸箱里。如果2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多，想一想：每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？【例2】如图：阴影部分是正方形，求出最大的长方形的周长。【例3】甲乙两数之差是16.65，如果将乙数的小数点向右移动一位就与甲数相等，求甲、乙两数。【例4】用两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？【例5】图中，正方形面积是50平方厘米。求阴影部分的面积。【思考题】1.在图6-3中，梯形的下底是6厘米，高3厘米，DF=2厘米，求阴影部分面积。2.在图6-4中，两个圆的半径都是1厘米，S2=S4。求长方形AO1O2B的面积。数学思考方法07——画示意图从1开始的n个连续奇数相加，所得的和一定是n2。这条规律也可用图来表示：再如，(a+b)2=a2+2ab+b2这个公式也可用图表示【例1】A、B、C、D与小青五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A已经赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘。问小青已经赛了几盘？【例2】学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁，当你像我这么大时，我已经39岁。”那么，这位老师今年有多少岁。【例3】甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向而行。第一次相遇时离A地50千米，相遇后继续按原速度行完全程，到B、A后返回，第二次相遇时离B地25千米。求A、B两地的距离。【例4】建国路小学五、六年级同学去参观科技展览，346人排成两路纵队，相邻两排前后各相距0.5米，队伍每分钟走65米。现在要过一座长889米的桥，从排头两人上桥到排尾两人离开桥，共需要多少分钟？【例5】甲乙两数，甲的3/5等于乙的1/3，甲占乙的几分之几？【例6】某班语文、算术、外语三门功课期中考试成绩统计结果：语文、算术、外语得100分的同学分别有14人、12人、10人，语文、算术和算术、外语两门都得100分的同学均各有5人，语文、外语两门都得100分的同学有4人，班上有3名同学三门都得了100分。根据上面统计数据，算一算，至少有一门得100分的有几名同学？【思考题】2.一个班有42名学生，其中有32人订《小学生数学报》，27人订《中国少年报》，每个同学至少订这两种报纸中的一种。问这两种报纸都订的同学有多少人？3.在两条垂直相交的公路上，甲由南向北走，乙由西向东走。甲出发地点在两条公路交叉点南1120米。乙出发地点在交叉点。甲、乙同时出发4分钟后，两人所在位置与交叉点距离相等，再经过52分钟，两人所在位置又与交叉点距离相等。甲、乙两人每分钟各走多少米？数学思考方法08——反过来想【例1】用淘汰制比赛从200名乒乓球选手中产生一名冠军，问应进行多少场比赛？【例2】1至100的自然数中，不能被9整除的自然数的和是多少？【例3】有一个正方体，每个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6。有三个人分别从不同角度观察的结果分别如图8-1（a）、图8-1（b）、图8-1（c）。问这个正方体中，与“1”、“2”、“3”相对的面上分别是什么数字？【例5】设1、3、9、27、81、243是六个给定的数，从这六个数中每次取一个或者几个不同的数求和（每一个数每次只能取一次），可以得到一个新数，这样共得到63个新数。如果把它们从小到大依次排列起来是：1，3，4，9，10，12，……那么，第60个数是多少？【例6】某小学40名同学参加数学竞赛，用15分制记分（分数为0、1、2、……15）。经统计，全班总分为209分，而且相同分数的学生不超过5人，那么，得分超过12分的学生至多只有9人。试说明这是为什么。【思考题】有2017个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到2017各不相同。问：能不能将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数，等于他这一排其余孩子号码数的和？说明理由。数学思考方法09——分析因果关系【例1】用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进3杯水，连瓶共重440克。如果倒进5杯水，连瓶共重600克。想一想：一杯水和一个空瓶各重多少？【例2】兴旺养猪场，如果每间猪圈养猪8头，就还有4头猪没有猪圈养；如果每间猪圈养猪10头，将空出2间猪圈。问这个养猪场有多少间猪圈？共养了多少头猪？【例3】红星机械厂十一月份计划生产一批机器，实际每天比计划多生产80台，结果25天就完成了全月计划。这个厂十一月份计划生产多少台机器？【例4】一个化肥厂计划在50天内生产一批化肥，从前24天的生产情况看，每天实际生产的化肥没有达到原计划每天产量指标，因此工厂决定停产3天进行整顿。整顿之后，每天比整顿前多生产化肥25吨，结果只用了49天（包括停产整顿所用的3天时间）就完成了原计划50天的生产任务。已知整顿后比整顿前一共多生产化肥400吨，问整顿前后各生产化肥多少吨？。【例5】有一批砖，每块砖的长边比宽边长7厘米。如果把这些砖都横着接连铺下去（如图9-1），可铺540厘米长；如果横竖相间接铺（如图9-2），可铺386厘米长；如果“两横一竖”接铺（如图9-3），可铺多长？【思考题】1.买2支圆珠笔和5支钢笔共花15.08元；买同样的5支圆珠笔和5支钢笔共花19.70元。每支钢笔多少元？2.牧场上有一片青草，长得一样密、一样快，这牧场上的草可供24头牛吃6周，或者20头牛吃10周。问这牧场上的青草可供18头牛吃几周？数学思考方法10——假设鸡和兔共有42只，被关在一个大笼子里，从下面数出鸡兔共108条腿。问鸡、兔各有多少只？”【例1】红星机械厂十一月份计划生产一批机器，实际每天比原计划多生产80台，结果25天就完成了全月计划。这个厂十一月份计划生产多少台机器？【例2】有黑、白棋子一堆，黑子个数是白子个数的2倍。现在从这堆棋子中每次取出黑子4个，白子3个，待到若干次后，白子已经取尽，而黑子还有16个。求黑、白棋子各有多少个？【例3】小华解答数学判断题，答对一题给4分，答错一题扣4分，她答了20道判断题，结果只得56分。小华答对了几题？【例4】晨光机械厂团支部买来两筐苹果共110千克。现取出甲筐苹果的1/5和乙筐苹果的1/4共25千克慰问伤病员。问甲乙两筐原有苹果各多少千克？【例5】甲乙两人原来每天共加工零件500个，经过技术革新，甲每天加工的零件数比原来增加30％，乙每天加工的零件数比原来增加20％，因而现在两人每天共加工零件63O个。问甲乙两人原来每天各加工零件多少个？【思考题】1.箱子里有红白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球、15只红球，如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球、53只红球。那么箱子里原有红球比白球多多少只？2.某校有100名学生参加数学竞赛，平均得63分，其中男生平均得60分，女生平均得70分，那么，男生比女生多多少名？数学思考方法11——转化【例1】一个两位小数，去掉小数点后比原来的数大53.46。这个两位小数是多少？【例2】4本日记本和8本练习本的价钱相等。小明买3本日记本和5本练习本，共用去2.2元。问日记本和练习本的单价各是多少元？【例3】两个数相除的商是21，余数是3。如果把被除数、除数、商和余数相加，它们的和是225。被除数、除数各是多少？【例4】两堆煤，第一堆16吨，第二堆10吨，5天内两堆煤烧掉同样多吨数，这样第一堆剩下的煤正好是第二堆所剩煤的4倍。问5天中两堆煤被烧掉了多少吨？【例5】如图11－2，正方形ABCD中，AB=4厘米，三角形BCF的面积比三角形DEF的面积多2平方厘米。求DE的长。【例6】有两种糖果放成一堆，其中软糖占9/20，再放入16块硬糖以后，软糖只占两种糖总数的1/4。那么这堆糖果中软糖有多少块？【例7】抄一份资料，甲、乙单独抄各要10天完成，丙单独抄要7.5天完成。现在三人合抄，在抄的过程中，甲因事外出一天，丙因病休息0.5天，结果用了多少天的时间抄完？【例8】一个邮递员骑车送信去山上某气象预报小组驻地，上午10时半离开邮局，先走了段平路，然后上山。在山上休息40分钟后，顺原路返回邮局，下午2点10分回到邮局。已知他在平地每小时行12千米，上山每小时行10千米，下山每小时行15千米。这个邮递员往返共走了多少千米？【思考题】1.如果把数字7写在一个数的个位数字后面，得到的新数比原数增加70000。原来的数是多少？2.1×2×3×4……×100的积的末尾有多少个连续的“0”？3.如图11－3，BCEF是平行四边形，三角形ABC是直角三角形，BC长8厘米，AC长7厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大12平方厘米。求HC的长。[提示：由于平行四边形BCEF与直角三角形ABC都包含有梯形DBCH这个公共部分，所以由“差不变”性质，可以把题中“阴影部分面积比三角形ADH的面积大12平方厘米”转化为“平行四边形BCEF的面积比直角三角形ABC的面积大12平方厘米”。]4．工厂有职工若干人，其中女职工比男职工多1/2，新招聘35名男职工后，女职工就占男职工的4/5，现在男职工比女职工多几人？]数学思考方法12——抓不变量今年小明8岁，小强14岁。几年后小明和小强岁数的和是40岁？【例2】有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下相同的长度后，第二条剩下的是第一条的7/15，问剪下的一段有多长？【例3】王进和张明计算甲、乙两个自然数的积（这两个自然数都比1大）。王进把甲数的个位数字看错了，计算结果为441，张明却把甲数的十位数字看错了，计算的结果为385。两个数的积究竟是多少？【例4】育红小学原有科技书、文艺书共630本，其中科技书占20％，后来又买进一些科技书，这时科技书占现在两种书的30％，又买进的科技书有多少本？【例5】分数11/86的分子和分母同时加一个相同的数，分数值变成2/7，求加上的是多少？【例6】有两桶油，每一桶油重是第二桶的5/8，从第一桶内取出26千克放入第二桶，这时第一桶的油重正好是第二桶的3/10，两桶油原来各重多少千克？【思考题】今年（1995年）小花13岁，妈妈39岁。哪一年妈妈的岁数是小花的3倍？某班学生54人，女生占全放人数的4/9，后来又转来若干名女生，这时女生占全班人数的3/5。问后来转来多少名女生？数学思考方法13——找隐蔽条件【例1】右图是用同样大小的长方形纸片摆成的。已知图中的长方形纸片的宽是12厘米。求阴影部分的面积。【例2】某人以年薪12卢布加一件长袍被雇。在工作7个月后他就离去，并公平地得到5个卢布和一件长袍的工钱。请问，长袍的价值是多少？这是一道流传很广的俄罗斯古算题。（卢布是货币单位）【例3】六年级学生参加数学竞赛，1/2的人得分在80分以上，1/3的人得70多分，1/8的人得60多分，其余的人得分在60分以下。只知道参加竞赛的人数不到30人，那么成绩在80分以上的有多少人？【例4】一个最简分数，如果分子加上1，可约简为3/4，如果分子减去1，可约简为2/3。求这个最简分数。【例5】一个家庭由丈夫、妻子、女儿和儿子组成，他们的年龄和是73岁。丈夫比妻子大3岁，女儿比儿子大2岁。4年前这个家庭成员的年龄和是58岁。请问：这个家庭成员现在的年龄各是多少岁？这是前苏联著名教育心理学家克鲁捷茨基编拟的一道测试题。【思考题】1.一个等腰三角形的周长是24厘米，其中有一条边长是6厘米，求另外两条边的长。2.有9个大小、形状都相同的长方形，用这9个长方形可以拼成一个大长方形（如右图）。这个大长方形的面积是45平方厘米。求大长方形的周长。3.如右下图，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长都是整数的正方形，正方形（1）的边长是长方形长的5/12，正方形（2）的边长是长方形宽的1/8，那么，图中阴影部分的面积是多少？数学思考方法14——整体看问题【例1】有甲、乙、丙三种货物。如果买甲3件，乙7件，丙1件，共花去3.15元；如果买甲4件，乙10件，丙1件，共花去4.20元。现在买甲、乙、丙各1件，需要花多少钱？问它们分别代表哪些数字？【例4】“2×3×5×7×11×13×17”的各位数字之和是多少？【例5】如图，正方形的面积是50平方厘米，三角形ACD的两条直角边中，长边是短边的2.5倍，求三角形的面积是多少平方厘米？【例6】如图14-2，长方形的长是12厘米，宽是6厘米。把长三等分，宽二等分，并把长方形内任意一点与所有的等分点及四个顶点全部连接起来。求阴影部分面积占空白部分面积的几分之几？【例7】以三角形的三个顶点为圆心，画半径是1厘米的三个圆（如图14－3）。求阴影部分面积的和。【思考题】一条马路长2000米，老张在马路的一端，老李在马路的另一端。他们分别从这条马路的两端同时出发，相对而行。老张每分钟走60米，老李每分钟走40米。老张带着一条狗，狗每分钟跑100米。这条狗与老张一同出发，碰到老李时就向老张跑，碰到老张又向老李跑，……直到老张与老李相遇。问这条狗从出发到老张与老李相遇时共跑了多少米？数学思考方法15——分情况讨论两根同样长的铜管，第一根用去3/10米，第二根用去3/10，哪一根剩下的部分长些？【例2】甲地到乙地的公路长400千米，两辆汽车从两地同时出发对开，甲车每小时行38千米，乙车每小时行42千米。出发几小时后两车相距80千米？【例3】在空地上将一堆方砖垒成长为40块砖，宽为20块砖，高为16块砖的长方体，然后给这个砖堆的表面涂上石灰。如果这个砖堆有一面靠墙，那么没有被涂上石灰的砖共有多少块？【例4】在连续的49年中，最多可以有多少个闰年？最少应该有多少个闰年？【例5】把一根竹竿垂直插入水中，在竹竿上刻上一个记号表示水深；再把这根竹竿掉过头来插入水中，也刻上一个记号表示水深。已知两个记号相距10厘米，是水深的十分之一。求竹竿的长。数学思考方法16——逐步调整【例1】把0～9这十个数字分别填入方框内，使式子成立。□＋□=□＋□=□＋□<□＋□=□＋□【例2】在下面的数字中间填上加号或减号，使计算的结果得100，你能想出几种填法？【例3】有十个人各拿着一只水桶到水龙头前打水，他们打水所花的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟……10分钟。因为只有一个水龙头，所以他们得排队打水。问：怎样适当安排他们的打水顺序，才能使这个人排队等候和打水的时间总和最小？【例4】有十个村，分别位于从县城出发的一条公路上（如图16－2）。现在要安装水管，从县城送自来水到各个村，可以用粗细两种水管。粗管足够供给所有各村用水，细管只能供一个村用水。粗管每千米8000元，细管每千米2000元。把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程总费用，你认为最节省的方案，要多少元费用？【思考题】1.有一个六位数，能被11整除，首位数字是7，其余各位数字各不相同。这个六位数最小是多少？2.在一条公路上每隔100千米有一个仓库（如图16－5），共有五个仓库。一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输一公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？数学思考方法17——合理变形先试试，1999+999×999怎么简算？【例2】77×36+1001×3+7.7×250【例4】已知12+22+32+……+92+102=385求1×2+2×3+3×4+……+10×11。【例5】把自然数1，2，3，4，……依次写下来，一直写到，在这些写下来的数字中一共有多少个零？【例6】一个长方体的表面积是280平方厘米，底面积是60平方厘米，底面周长是32厘米。求长方体的体积。【例7】求图17-1中阴影部分的面积。（单位：厘米）【思考题】1.计算19+199+1999+19999+19999中间？中间？6.求阴影部分的面积（单位：厘米）。数学思考方法18——借来还去试一试19998+1998+198+18得多少？这道计算时，只用20秒钟就报出了得数是22212。她为什么算得这么快呢？【例1】某汽水厂规定：用3个空汽水瓶可换一瓶汽水，某人买了10瓶汽水，问他总共可喝到几瓶汽水？【例2】我国民间流传着这样一个故事，一位老人临终时决定把家里的17头牛全部分给三个儿子。其中大儿子分得二分之一，二儿子分得三分之一，小儿子分得九分之一，但不能把牛杀掉或卖掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不好分。后来一位邻居用“借来还去”法顺利地把17头牛分完了。他的方法是什么呢？【思考题】2.卖冷饮的小店规定：5个空汽水瓶可换1瓶汽水。某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩的空瓶换来的。那么，他们至少要买多少瓶汽水？数学思考方法19——用字母表示数【例1】方方、圆圆、丁丁、宁宁四个小朋友共有45本书，但是不知道每人各有几本书。如果变动一下：方方的减少2本，圆圆的增加2本，丁丁的增加一倍，宁宁的减少一半，那么四个小朋友的书就一样多。问：每个小朋友原来各有几本书？【例2】有鸡和兔共35只，它们的脚共有100只。这35只鸡和兔中，鸡有几只，免有几只？有时，把未知数用字母代替，这些字母只参加列式，不需要求出它的值，起辅助作用。【例3】有一辆汽车沿山路行驶，上山平均每小时行10千米，下山时沿原路返回，每小时行15千米。求这辆汽车上、下山往返一趟的平均速度。【例4】一个直角梯形ABCD的中位线EF长15厘米，G是EF上的一点米？【例5】有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，