2025年高考数学复习大题题型归纳：专题20 随机变量与分布列（解析）

专题20随机变量与分布列1．温室是以采光覆盖材料作为全部或部分围护结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季或其他不适宜露地植物生长的季节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具有较好的保温性能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱.温室蔬菜生长和蔬菜产品卫生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所示.环境质量等级土壤各单项或综合质量指数灌溉水各单项或综合质量指数环境空气各单项或综合质量指数等级名称1≤0.7≤0.5≤0.6清洁20.7∼1.00.5∼1.00.6∼1.0尚清洁3>1.0>1.0>1.0超标各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，若确对其所影响的植物（生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标）或周围环境（地下水、地表水、大气等）有危害，方能确定为污染.某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛，共8个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜坏境产地质量监测得到的相关数据如下：

(1)若从这8个村中随机抽取2个进行调查，求抽取的2个村应对土壤做进一步调研的概率；(2)现有一技术人员在这8个村中随机选取3个进行技术指导，记ξ为技术员选中村的环境空气等级为尚清洁的个数，求ξ的分布列和数学期望.【答案】(1)3(2)分布列见解析；数学期望E【分析】（1）根据折线图可得应对土壤做进一步调研的村子个数，结合组合数知识可求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果；（2）根据折线图可得环境空气等级为尚清洁的村子个数，由此可得ξ所有可能的取值，由超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值.【详解】（1）由折线图可知：应对土壤做进一步调研的村共4个，从8个村中随机抽取2个进行调查，基本事件总数有C8其中抽取的2个村应对土壤做进一步调研的基本事件个数有C4∴所求概率p=6（2）由折线图可知：环境空气等级为尚清洁的村共有5个，则ξ所有可能的取值为0,1,2,3，∵Pξ=0=C33C8∴ξ的分布列为：ξ0123P115155∴数学期望Eξ2．2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数；(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70,80)，[80,90)，[90,100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[80,90)的人数，求ξ的分布列和数学期望；【答案】(1)m=0.012；68(2)分布列见解析；9【分析】（1）由频率之和为1，可构建m的方程，求解m即可；令中位数为t，由40,t的频率之和为0.5，可构建t的方程，求解t即可;（2）先按抽样比算出各层样本数，接着我们发现ξ服从超几何分布，写出分布列，算出期望即可.【详解】（1）由频率分布直方图的性质可得，(0.004+m+0.022+0.03+0.028+0.004)×10=1，解得m=0.012，设中位数为t，0.004×10+0.022×10+(t−60)×0.03=0.5，解得t=68．（2）∵[70,80)，[80,90)，[90,100]三组的频率之比为0.28:0.12:0.04=7:3:1，∴从[70,80)，[80,90)，[90,100]中分别抽取7人，3人，1人，则ξ可取0,1,2,3，P(ξ=0)=CP(ξ=1)=CP(ξ=2)=CP(ξ=3)=C故ξ的分布列为：ξ0123P562881故E(ξ)=0×563．2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：班号1234人数30402010该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品，假设每位同学的作答情况相互独立.(1)求各班参加竞赛的人数；(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】(1)3,4,2,1(2)分布列见解析，2.8【分析】（1）根据分层抽样计算可得；（2）根据超几何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解；【详解】（1）各班报名人数总共100人，抽取10人，抽样比为110故1−4班分别抽取30×110=3（人），40×110（2）由题意，X的可能取值为1,2,3,4，P(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=CP(X=4)=C所以X的分布列为：X1234P1311E(X)=1×4．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自该中学的人数，求ξ的分布列和数学期望；(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p1，p2，且【答案】(1)分布列见解析，E(ξ)=(2)11轮【分析】（1）根据超几何分布列分布列计算数学期望即可；（2）先求每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.【详解】（1）由题意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，P(ξ=0)=C73P(ξ=2)=C7所以，随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ0123P72171所以E(ξ)=0×7（2）他们在每轮答题中取得胜利的概率为Q==2p由0≤p1≤1，0≤p2则p1p2令t=p1p2∈13要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值1627设他们小组在n轮答题中取得胜利的次数为X，则X∼Bn,1627由E(X)≥6，即1627n≥6，解得而n∈N∗，则5．在一个不透明袋子中放入除颜色外完全相同的2个白色球和2个黑色球，从中任意取出一个球，若是黑色球，则用2个同样的白色球替换黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，则把该白色球放回袋子中．(1)求第4次恰好取完两个黑色球的概率；(2)若取到两个黑色球或者取球数达到5次就停止取球，设停止取球时取球次数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)129(2)分布列见解析，4311【分析】（1）前三次取球中有一次取到黑色球，则第4次取球恰好是第二次取到黑色球，求其概率即可；（2）X的所有可能取值为2，3，4，5，分别求出对应的概率，然后利用期望的公式求解取球次数的数学期望.【详解】（1）由题意知，前三次取球中有一次取到黑色球，故第4次取球恰好是第二次取到黑色球的概率P=1（2）由题意可知，X的所有可能取值为2，3，4，5，PX=2=12×PX=5故X的分布列为X2345P113129641EX6．某地乒乓球协会在年55岁∼65岁的乒乓球运动爱好者中，进行一次“快乐兵兵”比赛，3人一组先进行预赛，选出1名参赛人员进入正式比赛.已知甲、乙、丙在同一组，抽签确定第一轮比赛次序为：甲对乙、甲对丙、乙对丙，先累计获胜2场的选手，进入正式比赛.若前三场比赛甲、乙、丙各胜负一场，则根据抽签确定由甲、乙加赛一场、胜者参加正式比赛.已知甲胜乙、甲胜丙、乙胜丙的概率分别为35(1)求甲进入正式比赛的概率；(2)若比赛进行了四场结束，记甲获胜的场数为X，求X的分布列与数学期望.【答案】(1)99(2)分布列见解析，8【分析】（1）分类讨论由乘法公式计算即可；（2）根据离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可.【详解】（1）由题意，可分为两种情况，即分甲连胜两场和前三场甲、乙、丙各胜负一场，第4场甲胜乙：①甲连胜两场的概率为35②前三场甲、乙、丙各胜负一场，第4场甲胜乙的概率为35则甲进入正式比赛的概率为625（2）由题意得若要比四场，则前3场甲、乙、丙必然各胜一场，此时第四场甲对乙，故X的可能取值为1，2，第四场甲输，则PX=1=2故X的分布列为X12P23则EX7．为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒防毒拒毒意识”，我市组织开展青少年禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2､3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2､3､4名的得1分；后18局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分､2分､1分的概率分别为14，12，14，在第2局四人赛中获得2分､1分的概率分别为1(1)设小明每天获得的得分为X，求X的分布列和数学期望；(2)若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为14【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：13(2)在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大【分析】（1）记事件Aii=1,2,3表示第一局获得i分，事件Bii=1,2表示第二局获得i分，（2）设小A每天赢得的局数为Y，则Y~B20,14【详解】（1）记事件Aii=1,2,3表示第一局获得i分，事件Bi这些事件相互独立，由条件知X的可能值为5，4，3，2.P(X=5)=P(AP(X=4)=P(AP(X=3)=P(AP(X=2)=P(A则其分布列为X5432P1573所以E(X)=5×1（2）设小明每天赢得的局数为Y，则易知Y~B20,于是P(Y=k)=C假设赢得k局的概率最大，则据条件得C20即20！k!⋅(20−k)!整理得1k⋅1又因为k∈Z，所以k=5，因此在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大.8．食品安全问题越来越受到人们的重视．某超市在购进某种水果之前，要求食品安检部门对每箱水果进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，这种水果才能在该超市销售．已知每箱这种水果第一轮检测不合格的概率为14，第二轮检测不合格的概率为15，第三轮检测不合格的概率为(1)求每箱这种水果能在该超市销售的概率；(2)若这种水果能在该超市销售，则每箱可获利300元，若不能在该超市销售，则每箱亏损100元，现有4箱这种水果，求这4箱水果总收益X的分布列和数学期望EX【答案】(1)1(2)分布列见解析，E【分析】(1)根据题意结合对立事件和对立事件概率的乘法公式运算求解即可；(2)先确定水果总收益X的可能取值，然后由独立重复试验的概率公式可得分布列，再由期望公式直接计算即可.【详解】（1）设每箱这种水果能在该超市销售为事件A，则PA即每箱这种水果能在该超市销售的概率为12（2）X的所有可能取值为1200，800，400，0，−400．因为PX=1200PX=800PX=400PX=0PX=−400所以X的分布列为X12008004000−400P11311所以EX9．飞行棋是一种竞技游戏，玩家用棋子在图纸上按线路行棋，通过掷骰子决定行棋步数．为增加游戏乐趣，往往在线路格子中设置一些“前进”“后退”等奖惩环节，当骰子点数大于或等于到达终点的格数时，玩家顺利通关．已知甲、乙两名玩家的棋子已经接近终点，其位置如图所示：

(1)求甲还需抛掷2次骰子才顺利通关的概率；(2)若甲、乙两名玩家每人最多再投掷3次，且第3次无论是否通关，该玩家游戏结束．设甲、乙两玩家再投掷骰子的次数为X, Y，分别求出【答案】(1)13(2)分布列见解析；期望为E(X)=5936【分析】（1）由题意可知，甲抛掷的点数应小于4，所以分甲投1点，2点，或3点，分别求满足条件的概率，即可求解；（2）根据题意可知，随机变量X,Y=1,2,3，根据随机变量表示的意义，分别求概率，即可求解分布列和数学期望.【详解】（1）甲第1次抛掷未到达终点，其点数应小于4若第1次掷出的点数为1，根据游戏规则，棋子前进1步后可再前进1步，到达距离终点差2步的格子，第2次掷出的点数大于1，即可顺利通关，其概率为P若第1次掷出的点数为2，棋子到达距离终点差2步的格子，第2次掷出的点数大于1，即可顺利通关，其概率为P若第1次掷出的点数为3，根据游戏规则，棋子到达距离终点差1步的格子后需后退3步，又回到了原位，第2次掷出的点数大于3，可顺利通关，其概率为P故甲抛掷2次骰子顺利通关的概率为P=（2）依题意得P(X=1)=36=1P(Y=1)=26=1X123Y123P1135P142E(X)=1×1210．如图，经典的推箱子是一个古老的游戏，在一个狭小的仓库中，该游戏要求把木箱放到指定的位置，稍不小心就会出现箱子无法移动或者通道被堵住的情况，所以需要巧妙地利用有限的空间和通道，合理安排移动的次序和位置，才能顺利地完成任务，某学习小组在课外活动中为了培养组员的逻辑思维能力，开展了推箱子的小游戏，已知组员小明在前四关中，每关通过的概率都是34，失败的概率都是14，且每关通过与否互不影响.假定小明只有在失败或四关全部通过时游戏才结束，(1)求小明游戏结束时至少通过三关的概率；(2)求X的分布列和数学期望EX【答案】(1)27(2)分布列见解析，期望为525【分析】（1）分小明游戏结束时通过三关或四关，利用独立事件的乘法公式求解；（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，分别求得其相应概率，列出分布列，再求期望.【详解】（1）解：用A表示“小明游戏结束时至少通过三关”，则PA（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，用Ak表示“小明通过第k则PAk=34，k=1,2,3,4，且A1，故PX=0PX=1PX=2PX=3PX=4X的分布列为X01234P1392781所以EX11．部分高校开展基础学科招生改革试点工作（强基计划）的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知A,B两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考A大学，每门科目达到优秀的概率均为25，若该考生报考B大学，每门科目达到优秀的概率依次为14，25，n(1)若n=13，分别求出该考生报考(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更有希望进入A大学的面试环节，求n的范围.【答案】(1)报考A大学恰好有一门笔试科目优秀概率为54125；报考B大学恰好有一门笔试科目优秀概率为(2)0,【分析】（1）根据二项分布概率公式和独立事件概率乘法公式依次求解即可；（2）根据二项分布期望公式可求得EX；结合独立事件概率乘法公式可求得离散型随机变量Y的分布列，进而由数学期望公式求得EY；根据EY【详解】（1）设该考生报考A大学恰好有一门笔试科目优秀为事件A，则PA该考生报考B大学恰好有一门笔试科目优秀为事件B，则PB（2）该考生报考A大学达到优秀科目的个数设为X，则X∼B3,25该考生报考B大学达到优秀科目的个数设为Y，则Y所有可能的取值为0,1,2,3，∵PY=0PY=1PY=2PY=3∴随机变量Y的分布列：Y0123P997n+2n∴EY∵该考生更有希望进入A大学的面试环节，∴EY<EX解得：0<n<1120，∴n的范围为12．在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为12，甲胜丙、乙胜丁的概率均为35，甲胜丁的概率为(1)设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X，求X的数学期望；(2)求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率．【答案】(1)151(2)171【分析】（1）根据游戏规则得到甲乙在第一轮对打，且在第二轮不对打，第三轮有可能对打，从而得到X的可能值为1或2，其中第三轮对打为甲乙胜者组对打或甲乙败者组对打，再结合条件即可求解；（2）设在第n轮中，甲乙对打的概率为an，甲丙对打的概率为bn，甲丁对打的概率为cn，根据题目条件求得a1，b1和c1，再分类讨论甲丙在胜者组对打或甲丙在败者组对打，从而求得bn+1【详解】（1）由题可知，甲乙在第一轮对打，且在第二轮不对打，所以X的可取值为1，2，PX=2则PX=1所以X的数学期望EX（2）设在第n轮中，甲乙对打的概率为an，甲丙对打的概率为bn，甲丁对打的概率为易知n≥2，a1=1，且bn+1又an+b整理得bn+1则数列bn−13是以即bn−13=−故在第10轮比赛中，甲丙对打的概率为1313．电视剧《狂飙》显示了以安欣为代表的政法人员与黑恶势力进行斗争的决心和信心，自播出便引起巨大反响.为了了解观众对其的评价，某机构随机抽取了10位观众对其打分（满分为10分），得到如下表格：观众序号12345678910评分7.88.98.67.48.58.59.59.98.39.1(1)求这组数据的第75百分位数；(2)将频率视为概率，现从观众中随机抽取3人对《狂飙》进行评价，记抽取的3人中评分超过9.0的人数为X，求X的分布列､数学期望与方差.【答案】(1)9.1(2)分布列答案见解析，EX=0.9，【分析】（1）先将数据从小到大排列，结合百分位数的计算公式，即可求解;（2）根据题意，求得评分超过9.0的概率，得出X的所有取值，利用独立重复试验的概率公式求出概率，得出分布列，进而求出期望和方差.【详解】（1）将这组数据从小到大进行排列，7.4,7.8,8.3,8.5,8.5,8.6,8.9,9.1,9.5,9.9，因为75%×10=7.5，所以第8个数据为所求，所以这组数据的第75百分位数为9.1.（2）样本中评分超过9.0的有3个，所以评分超过9.0的概率（频率）为0.3，依题意，X的所有可能取值为0,1,2,3，且X∼B3,0.3则PX=0PX=1PX=2PX=3所以X的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.027所以EXDX14．某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过a，b，c三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格率分别为34，12，(1)求加工一件工艺品不是废品的概率；(2)若每个工艺品为特等品可获利300元，一等品可获利100元，二等品将使工厂亏损20元，废品将使工厂亏损100元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利X元，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)1516(2)分布列见解析，数学期望为1752【分析】（1）三道工序都不合格为废品，求事件的概率，利用对立事件，求不是废品的概率；（2）由X的取值，计算相应的概率，列出分布列，由公式求数学期望.【详解】（1）记“加工一件工艺品为废品”为事件A，则PA则加工一件工艺品不是废品的的概率PA（2）由题意可知随机变量X的所有可能取值为-100，-20，100，300，PX=−100PX=−20PX=100PX=300则随机变量X的分布列为：X-100-20100300P1573故EX15．大连市是国内知名足球城市，足球氛围浓厚.在2022年第22届卡塔尔足球世界杯阶段，大连二十四中的同学们对世界杯某一分组内的四支球队进行出线情况分析.已知世界杯小组赛规则如下：小组内四支球队之间进行单循环（每只球队均与另外三只球队进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设组内四支球队战胜或者负于对手的概率均为0.25，出现平局的概率为0.5．(1)求某一只球队在参加两场比赛后积分X的分布列与数学期望；(2)小组赛结束后，求四支球队积分相同的概率．【答案】(1)分布列见解析，5(2)11【分析】（1）球队参加两场比赛后积分X的取值为0，1，2，3，4，6，分别求出随机变量对应的概率，可得分布列，进而可得数学期望；（2）求出6场比赛都出现平局的概率以及每支球队3场比赛结果均为1胜1平1负的概率，再求和即可.【详解】（1）球队参加两场比赛后积分X的取值为0，1，2，3，4，6，则P(X=0)=14×P(X=2)=12×P(X=4)=14×所以随机变量X的分布列为：X012346P111111随机变量X的数学期望：EX（2）由于小组赛共打6场比赛，每场比赛两个球队共积2分或者3分；6场比赛总积分的所有情况为12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分共7种情况，要使四支球队积分相同，则总积分被4整除，所以每只球队总积分为3分或者4分.若每支球队得3分：则6场比赛都出现平局，其概率为：P1若每支球队得4分：则每支球队3场比赛结果均为1胜1平1负，其概率为：P2所以四支球队积分相同的概率为P=P16．在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为12，12，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为(1)求p的值；(2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列．【答案】(1)p=(2)答案见解析【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式结合对立事件的概率，列式计算，可得答案.（2）确定随机变量X的取值，求得每个值对应的概率，即可得分布列.【详解】（1）因为甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为112所以1−12×（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3．PX=0PX=1=1PX=3PX=2所以随机变量X的分布列为X0123P115117．根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为：X1230Paaaa（其中a>0,0<p<1）每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为12，且相互独立，事件Ai表示一个家庭有i个孩子(i=0,1,2,3)，事件(1)若p=12，求a，并根据全概率公式P(B)=i=1(2)是否存在p值，使得EX【答案】(1)a=415(2)不存在，理由见解析【分析】（1）由概率之和为1列出方程，求出a，计算出PB∣（2）假设存在p，使EX=ap+2a+3a1−p=【详解】（1）当p=12时，则a4+2a+a+a由题意，得PB∣由全概率公式，得P(B)==又p=12,a=（2）由ap+a+a1−p假设存在p，使EX将上述两式相乘，得1p化简，得5p设ℎp=5p由ℎ'p<0，得0<p<45则ℎp在0,45上单调递减，在45,1所以不存在p0使得ℎp0=0.即不存在【点睛】关键点点睛：此题考查全概率公式的应用，考查离散型随机变量的分布列，考查导数的应用，第（2）问解题的关键是根据概率和为1，和期望公式列方程，化简后利用导数解决，考查数学计算能力，属于较难题.18．在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手M对乙队每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为1(1)求甲队最终2:1获胜且种子选手M上场的概率；(2)已知甲队2:1获得最终胜利，求种子选手M上场的概率.【答案】(1)7(2)7【分析】（1）设事件Ai=“种子选手M第i局上场”i=1,2,3，事件B=“甲队最终2:1获胜且种子选手M上场”，求出PAi、（2）设事件A0=“种子选手M未上场”，事件C=“甲队2:1获得胜利”，计算出PC、P【详解】（1）解：设事件Ai=“种子选手M第i局上场”事件B=“甲队最终2:1获胜且种子选手M上场”.由全概率公式知，P因为每名队员上场顺序随机，故PAPBA1=3所以PB所以甲队最终2:1获胜且种子选手M上场的概率为740（2）解：设事件A0=“种子选手M未上场”，事件C=“甲队PA0=A4PC因为PA由（1）知PA0C所以，已知甲队2:1获得最终胜利，种子选手M上场的概率为71119．某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据：日销售量/十盒78910天数812164假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.(1)记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列和数学期望；(2)以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？【答案】(1)分布列见解析，数学期望17.44(2)选择每两天进17十盒【分析】（1）首先计算日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率，根据题意写出随机变量X的所有取值并计算概率可得分布列，进一步计算可得期望值；（2）分别计算每两天进16十盒，17十盒两种方案下利润的期望值，比较即可作出决策．【详解】（1）日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次为：15根据题意可得：X的所有可能取值为14，15，16，17，18，19，20，P(X=14)=15×P(X=16)=15×P(X=18)=310×P(X=20)=1所以X的分布列为：X14151617181920P13171121所以E(X)=14×125+15×（2）当每两天进16十盒时，利润为(14×10−2×10)×125+(15×10−1×10)×当每两天进17十盒时，利润为(14×10−3×10)×125+(15×10−2×10)×157>156，所以每两天进17十盒利润较大，故应该选择每两天进17十盒．20．袋中放有形状、大小完全相同的4个黑球和4个白球．(1)从中依次摸3个球，摸后不放回，求在前两次摸球有黑球的条件下，第三次摸到白球的概率；(2)若每次摸一个球后，观察其颜色，再放回袋中．①求某人摸球5次，摸中3个黑球，且三个黑球不是连续摸中的概率；②若摸到黑球加1分，摸到白球减1分，求摸球多少次时，得分为4分的概率最大．【答案】(1)6(2)①732；②【分析】（1）根据题意，记事件A为“前两次摸球有黑球”，记事件B为“第三次摸到白球”，根据古典概型概率公式计算P(A)、P(B)的值，由条件概率公式计算可得答案；（2）①根据题意，分析可得每次摸到黑球的概率为12，分析摸中3个黑球，且三个黑球不是连续摸中，即可得答案；②设摸球n次时，得分为4分，其概率记为P(n)，求P(n)【详解】（1）设事件A：前两次摸球有黑球，事件B：第三次摸到白球，则P(A)=(C41C（2）①设事件C：某人摸球5次，摸中3个黑球，且三个黑球不是连续摸中，则P(C)=(C②设摸球n次时，得分为4分，其概率记为P(n)，由于得分为4分，若摸白球k次，k∈N∗，则摸黑球k+4次，故摸球次数n=k+k+4=2k+4，k∈N∗，则则P(n)=Cnn所以P(n+2)P(n)=C所以6≤n≤14时，P(n+2)≥P(n)，则P(n)单调递增；当n≥16时，P(n+2)<P(n)，则P(n)单调递减，又P(16)P(14)=(14+2)(14+1)(14+6)(14−2)=1，所以当n=1421．设X,Y是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为ai,bj，其中i,j∈N∗，令X,Ybbb⋅⋅⋅appp⋅⋅⋅appp⋅⋅⋅appp⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅现有nn∈N∗个球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为X(1)当n=2时，求X,Y的联合分布列，并写成分布表的形式；(2)设pk=m=0nP（参考公式：若X~Bn,p，则k=0【答案】(1)答案见解析(2)n【分析】（1）X的取值为0，1，2，Y的取值为0，1，2，分别计算概率即可；（2）计算得pk=C【详解】（1）若n=2，X的取值为0，1，2，Y的取值为0，1，2，则PX=0,Y=0PX=0,Y=1PX=0,Y=2=1PX=1,Y=1=CPX=1,Y=2故X,Y的联合分布列为X,Y012012112202100（2）当k+m>n时，PX=k,Y=m故p=所以k=0nkp22．随着人们收入水平的提高，特色化､差异化农产品的消费需求快速增长，精品农产品获得广大消费者的认可.某精品水果种植大户在水果采摘后，一般先分拣出单个重量不达标的水果，再按重量进行分类装箱.现从同批采摘､分拣后堆积的水果堆中随机抽取了30个水果进行称重（为方便称重，按5克为一级进行分级），统计对应的水果重量，得柱状图如下.

(1)估计该批采摘的水果的单个水果的平均重量（精确到整数位）；(2)在样本内，从重量不低于80克的水果中，随机选取2个，记其中选取到水果重量不低于90克的个数为X，求X的分布列和数学期望；(3)用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率.从采摘的水果堆中随机选取n个水果，若要求其中至少有一个水果的重量不低于80克的概率不低于90%，求n【答案】(1)75克(2)分布列见解析，E(X)=(3)5【分析】（1）根据平均数的定义求解即可；（2）由题意可知X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，从而可求得X的分布列和数学期望；（3）先求出重量低于80克的频率，可得重量低于80克的概率，然后根据独立事件和对立事件的概率公式列不等式可求出n的最小值.【详解】（1）根据柱状图可知该批采摘的水果的单个水果的平均重量为3×60+3×65+4×70+8×75+6×80+3×85+3×9030（2）样本中重量不低于80克的水果有6+3+3=12个，其中重量不低于90克的有3个，所以X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C92C12所以X的分布列为X012P691所以E(X)=0×6（3）由题意得1−3+3+4+830n即35因为354=0.1296，3所以当35n≤所以n的最小值为5.23．某校高三1000名学生的一模考试数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是30,50，50,70，70,90，90,110，110,130，130,150.

(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这1000名学生的一模考试数学成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(3)从一模数学成绩位于90,110，110,130的学生中采用分层抽样抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，该2人中一模数学成绩在区间90,110的人数记为X，求X的分布列及数学期望.【答案】(1)a=0.0050(2)91(3)分布列见解析，3【分析】（1）根据频率分布直方图中的频率和为1求解即可；（2）根据频率分布直方图的平均数计算方法求解即可；（3）由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，再求出对应的频率得到分布列，再求解数学期望即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知，0.0025+2a+0.0075+2×0.015×20=1，所以a=0.0050（2）该1000名学生的数学成绩的平均分约为40×0.05+60×0.15+80×0.3+100×0.3+120×0.1+140×0.1=91.（3）由（1）知，a=0.0050，所以一模数学成绩在区间90,110与110,130的人数之比为3:1，所以抽取的8人中有6人的数学成绩在区间90,110内，所以X的所有可能取值为0，1，2，PX=0=C60所以X的分布列为X012P1315EX24．某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为13，并且规定若第ii=1,2,⋯,n−1题正确选项为两个，则第i+1题正确选项为两个的概率为13；第ii=1,2,⋯,n−1题正确选项为三个，则第(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；(2)求第n题正确选项为两个的概率；(3)若第n题只选择B、C两个选项，设Y表示第n题得分，求证：EY【答案】(1)分布列见解析；11(2)1(3)证明见解析【分析】（1）设事件C2表示正确选项为2个，事件C3表示正确选项为3个，PnC2表示第n题正确选项为2个的概率，PnC3表示第（2）根据（1）中由第一题到第二题正确选项数概率的计算理解，由全概率公式可以得出一般性的结论Pn+1C2=13P（3）根据（2）求出的PnC2可得PnC【详解】（1）设事件C2表示正确选项为2个，事件C3表示正确选项为PnC2表示第n题正确选项为2个的概率，PnC设事件C表示选项“C”为第二题的一个正确选项，用随机变量X表示第二题得分.依题得，X可能取值为0， 2.因为P2C2所以PP所以X的分布列为:X02P711所以EX（2）依题得，Pn+1所以Pn+1又因为P1所以PnC2−1所以PnC2（3）由（2）可知，PnC2依题得，Y可能取值为0，2， 5.PY=0=5PY=5所以EY【点睛】方法点睛：高中阶段的马尔科夫链类型的概率问题解决关键是利用全概率公式找到概率的递推式，然后用数列手段去处理求解.25．某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有nn∈方式一：逐份检验，需要检验n次；方式二：混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为p(0<p<1)．(1)现有7份不同的血液样本，其中只有3份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；(2)现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1①若Eξ1=Eξ2，求P②已知p=1−e参考数据：ln2=0.693,【答案】(1)4(2)答案见解析【分析】（1）分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无抗体，再结合概率公式即可求解；（2）①由已知得Eξ1=k，ξ2的所有可能取值为1，k+1，求出相应的概率，再由Eξ1=Eξ2可求得P关于k的函数关系式p=f(k)；②由E【详解】（1）设恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件A，事件A分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无抗体，所以P(A)=C所以恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为435（2）①由已知得Eξ1=k，ξ所以Pξ2=1所以Eξ若Eξ1=E所以k1−pk=1所以1−p=1k1所以P关于k的函数关系式p=f(k)=1−1k1k（②由①知Eξ1=k若Eξ1>Eξ2，则k>k+1−k所以lnk−k8>0（k≥2令f(x)=lnx−x8(x≥2,x∈R)当2≤x<8时，f'(x)>0，当x>8时，所以f(x)在[2,8)上单调递增，在(8,+∞)上单调递减，因为f(2)=ln2−28≈0.693−0.25>0f(27)=ln27−27所以不等式Eξ1>Eξ2所以k∈[2,26]且k∈N∗时，k∈[27,+∞)且k∈N∗时，【点睛】关键点点睛：此题考查概率的综合应用，考查随机变量的数学期望，考查导数的应用，解题的关键是根据题意求出两随机变量的期望，再由Eξ1>E26．某地区由于农产品出现了滞销的情况，从而农民的收入减少，很多人开始在某直播平台销售农产品并取得了不错的销售量.有统计数据显示2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有34

(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，依据小概率值α=0.05的χ2使用直播销售情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户不常使用直播销售用户合计(2)某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一：线下销售、根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不是不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，15，方案二：线上直播销售，根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为12，310，针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由.参考数据：独立性检验临界值表α0.150.100.050.0250.0100.0050.001x2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中χ2=n【答案】(1)列联表见解析，能(2)从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一，理由见解析【分析】（1）由题意填写列联表，计算χ2（2）计算方案一、方案二的期望与方差，比较即可得出结论．【详解】（1）由图2知，样本中经常使用直播销售的用户有(30%+19%+11%)×200=120人，其中年轻人有120×34=90由图1知，样本中的年轻人有(45%+35%)×200=160人，不常使用直播销售的用户有200−120=80人，其中年轻人有160−90=70人，非年轻人10人，补充完整的2×2列联表如下，年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户9030120不常使用直播销售用户701080合计16040200计算χ2依据小概率值α=0.05的χ2（2）方案一：设获利X万元，则X的所有可能取值为300,−150,0，E(X)=300×3D(X)=(300−150)方案二：设获利Y万元，则Y的所有可能取值为500,−300,0，E(Y)=500×1D(Y)=(500−160)所以E(X)<E(Y),D(X)<D(Y)，从获利的期望上看，方案二获得的利润更多些，但方案二的方差比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一更稳定，所以，从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一．27．小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位密码的最后一位数字，他决定从0~9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或者输错三次银行卡被锁定为止．(1)求小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、数学期望及方差．【答案】(1)7(2)分布列见解析，数学期望2710，方差41【分析】（1）设“小王的该银行卡被锁定”为事件A，利用独立事件的概率公式计算即可；（2）由题意，X的所有可能取值为1，2，3，求出随机变量对