2025年高考数学复习大题题型归纳：专题16 圆锥曲线中的探索性和综合性问题（原卷）

专题16圆锥曲线中的探索性和综合性问题1．在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点的坐标分别为A−77a,0,B77a,0(a>0)(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程；(2)若过点P0,a的直线与（1）的轨迹相交于E､F(3)若G−a,0,H2a,0,θ为C点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数λ(λ>0)，使得2．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为4，按上述方法折纸.以点F、E所在的直线为x轴，线段EF中点为原点建立平面直角坐标系.(1)求折痕围成的椭圆的标准方程；(2)若过点Q1,0且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在定点Tt,0，使得直线TM，3．已知椭圆C：x24+y2b2=10<b<2，设过点A1,0的直线l交椭圆C于M，N两点，交直线(1)若AM≥1，求b(2)若b=1，记直线EM，EN，EP的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在k1，k2，k3的某种排列ki1，ki2，ki34．椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求椭圆C的方程；(2)若点Mx0,y0是椭圆x2m2+y2n2=1m>n>0上任一点，则该椭圆在点M处的切线方程为x0x（i）求证：PF（ii）在椭圆C上是否存在点N，使得△PF1Q5．如图所示，由半椭圆C1:x24+y2b2=1y≤0和两个半圆C2:x+12+y2=1y≥0(1)求C1(2)若过点F1,F2作两条平行线l1,l2分别与C16．已知抛物线H:x2=2py（p(1)若直线l:y=kx−2pk+2p与H只有一个公共点，求k；(2)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：|AD||DE|7．已知直线l与抛物线C1:y2=2x交于两点Ax1,y1，Bx2,y2(1)若直线l过点M1,0，且1BM−(2)①证明：1y②设△AOB，△COD的面积分别为S1，S2，（O为坐标原点），若AC=28．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3，直线(1)求线段AB(2)若a=1，过点D作斜率为2x0y0的直线l' 与直线l1:2x−y=0交于点P，与直线9．如图，过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作直线l交E于A，B两点，点A，B在x轴上的射影分别为D，C．当AB平行于x(1)求p的值；(2)过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的43倍．已知点P在抛物线E上，且E在点P处的切线平行于AB，根据上述理论，从四边形ABCD中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率为12时直线10．某城市决定在夹角为30°的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，AB=2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G．(1)若OE=3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；(2)若椭圆的离心率为32，当线段OG长为何值时，游乐区域△OMN11．法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，则称圆心在原点O，半径是a2(1)若点A为椭圆C的“伴随圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C的两相异点，且BD⊥x轴，求AB⋅(2)在椭圆C的“伴随圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断12．如图，过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作直线l交E于A，B两点，点A，B在x轴上的射影分别为D，C，当AB平行于x(1)求p的值；(2)过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的43倍．已知点P在抛物线E上，且E在点P处的切线平行于AB，根据上述理论，从四边形ABCD13．已知椭圆方程为C1:x2a2+(1)求该椭圆C1(2)若椭圆C1的顶点恰好是双曲线C2焦点，椭圆C1的焦点恰好是双曲线C2顶点，设椭圆C1的焦点F1,F2，双曲线C2的焦点F114．如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，直线l与圆C1:x2(1)求椭圆C的标准方程；(2)当△OAB的面积取最大值时（O为坐标原点），求直线l的方程．15．在平面内动点P与两定点A1(−3(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)已知点F1(−1,0),F2(1,0)，过点P作轨迹E的切线其斜率记为k(k≠0)，当直线P16．已知双曲线Γ:x2−y23=1,F为双曲线Γ的右焦点，过F作直线l1交双曲线Γ于A,B两点，过F点且与直线l1垂直的直线l2(1)若直线OP的斜率为32，求AB(2)设直线AB,AP,AM,AN的斜率分别为k1,k2,k3,k4，且k117．在xOy平面上．设椭圆Γ：x2m2+y2=1(m>1)，梯形ABCD的四个顶点均在(1)若AB为Γ的长轴，梯形ABCD的高为12，且C在AB上的射影为Γ的焦点，求m(2)设m=2，直线CD经过点P0,2，求(3)设m=2，AB=2CD，AD与BC的延长线相交于点M，当k18．已知双曲线C的中心在坐标原点，左焦点F1与右焦点F2都在x轴上，离心率为3，过点F2的动直线l与双曲线C交于点A、B(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)若点A、B都在双曲线C的右支上，求λ的最大值以及λ取最大值时∠AF1B的正切值；（关于求λ的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设AF2|AB|为μ，建立相应数量关系并利用它求最值；(3)若点A在双曲线C的左支上（点A不是该双曲线的顶点，且λ=1，求证：△AF1B是等腰三角形．且AB19．某小区有块绿地，绿地的平面图大致如下图所示，并铺设了部分人行通道．为了简单起见，现作如下假设：假设1：绿地是由线段AB，BC，CD，DE和弧EA围成的，其中EA是以O点为圆心，圆心角为2π假设2：线段AB，BC，CD，DE所在的路行人是可通行的，圆弧EA暂时未修路；假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．图1-图3中的相关边、角满足以下条件：直线BA与DE的交点是O，AB//CD，∠ABC=π2小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．(1)假设休息亭建在弧EA的中点，记为Q，沿EA和线段QC修路，如图2所示．求QC的长；(2)假设休息亭建在弧EA上的某个位置，记为P，作PM⊥BC交BC于M，作PN⊥CD交DC于N．沿EP、线段PM和线段PN修路，如图3所示．求修建的总路长EP+PM+PN(3)请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．20．从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线C:x2=2pyp>1，从点4,9发出的平行于y轴的光线照射到抛物线上的D点，经过抛物线两次反射后，反射光线由(1)求抛物线C的方程；(2)已知圆M:x2+y−32=4，在抛物线C上任取一点E，过点E向圆M作两条切线EA和EB，切点分别为21．如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子，让细绳紧贴住三角板的直角边，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上留下轨迹C.已知细绳长度为3cm，经测量，当笔尖运动到点P处时，∠FAP=30∘,∠AFP=90∘.设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于(1)求C的方程；(2)过点D0,−3且斜率为k的直线l与C交于M,N两点，k的取值范围为0,2，探究：是否存在λ，使得DM=λDN22．已知F1，F2分别为双曲线E：x2a2−y(1)求双曲线的离心率；(2)若双曲线E实轴长为2，过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支不同的A，B两点，Q为x轴上一点且满足QA=QB23．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1､F(1)求椭圆C的方程；(2)若过点G1,0的动直线n与椭圆C相交于M,N两点，直线l的方程为x=4.过点M作MP⊥l于点P，过点N作NQ⊥l于点Q.记△GPQ,△GPM,△GQN的面积分别为S，S1，S2.问是否存在实数λ，使得λ24．在数学中常有“数形结合”的思想，即找到代数式的几何意义，比如：y=x−12+4x2−32+x2+4x(1)当a＝1时，证明：x1(2)当a≥1时，证明：a425．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为23(1)以点F、E所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为kk≠0，△DMN的面积为S，当26．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，R'分别是线段OF，CF上的动点，且满足OR4+FR(1)证明：点P始终在某一椭圆上，并求出该椭圆的标准方程；(2)设S，T为该椭圆上两点，T关于直线y=x的对称点为Q，设M23,32，且直线MS27．数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远.在双曲线C:x2a2−y2(1)求双曲线C的标准方程；(2)设点P3,1关于坐标原点的对称点为Q，不过点P且斜率为13的直线与双曲线C相交于M,N两点，直线PM与QN交于点Dx28．如图，F1(−c,0)、F2(c,0)为双曲线C1:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，抛物线(1)求双曲线C1与抛物线C(2)过F2作不垂直于x轴的直线l，依次交C1的右支、C2于A、B、C、D四点，设M为AD中点，N为BC29．①离心率为22；②经过点M−3,已知椭圆x2a2+y2b(1)求椭圆的方程；(2)过P的斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆交于点Q(异于点P)，过F1与直线l垂直的直线交椭圆于点A，B，记PQ中点为Mx1,y1，记AB的中点为Nx30．人造