2025年高考数学复习大题题型归纳：专题15 圆锥曲线中的求值与证明问题（原卷）

专题15圆锥曲线中的求值与证明问题一、求值问题1．已知椭圆E:x2a2+y2(1)求椭圆E的方程；(2)设斜率为k的直线l与椭圆E交于A，B两点，D为线段AB的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得OC+2OD=2．已知A,B是椭圆C上的两点，A2,1,A、B关于原点O对称，M是椭圆C上异于A,B的一点，直线MA和MB的斜率满足(1)求椭圆C的标准方程；(2)若斜率存在且不经过原点的直线l交椭圆C于P,Q两点(P,Q异于椭圆C的上、下顶点），当△OPQ的面积最大时，求kOP3．设抛物线C：y2=2pxp>0，直线x−2y+1=0与C交于A，B(1)求p；(2)若在x轴上存在定点M，使得MA⋅MB=04．已知椭圆C1:x(1)求C的方程；(2)过F的直线交C于P,Q，交直线x=22于点N，记OP,OQ,ON的斜率分别为k1,k25．设抛物线C:y2=2px(p>0)，直线x−2y+1=0与C交于A，B(1)求p；(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，MF⋅NF=06．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=1−cos2φ1+cos2φy=tanφ（φ(1)求直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求OA⋅7．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为(1)求△PF(2)斜率为−2的直线与圆x2+y2=3相切于第一象限，交椭圆于8．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F(1)求E的方程；(2)不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A,B两点（A,B异于椭圆E的顶点），直线AA1,BA2与y轴的交点分别为M,N9．已知圆O1：x+12+y2=14，圆O2(1)求圆心M的轨迹C的方程；(2)若A，B，Q是C上的三点，且直线AB不与x轴垂直，O为坐标原点，OQ=λOA+μOB，则当10．已知点−2,0在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，点Mm,12m≠0在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM(1)求椭圆C的方程；(2)记S△BME，S△AMF分别为△BME，△AMF的面积，若S△AMF11．已知抛物线E：x2=2pyp>0的焦点为F，抛物线E上一点H的纵坐标为5，O(1)求抛物线E的方程；(2)抛物线上有一条长为6的动弦长为6的动弦AB，当AB的中点到抛物线的准线距离最短时，求弦AB所在直线方程．12．椭圆C:x2a2+(1)求椭圆的标准方程；(2)过点12,0且斜率不为0的直线l与椭圆交于M,N两点，椭圆的左顶点为A，求直线AM与直线13．已知O为坐标原点，椭圆x2a2+y(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的左、右顶点分别为E、F，过点D(−2,2)作直线与椭圆交于A、B两点，且A、B位于第一象限，A在线段BD上，直线OD与直线FA相交于点C，连接EB、EC，直线EB、EC的斜率分别记为k1、k2，求14．已知直线l1⊥x轴，垂足为x轴负半轴上的点E，点E关于原点O的对称点为F，且EF=4，直线l1⊥l2，垂足为A，线段AF的垂直平分线与直线l(1)求曲线C的方程；(2)已知点P2,4，不过点P的直线l与曲线C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恒过点P，点P关于x轴的对称点为Q，若ΔQMN的面积是64215．已知椭圆C：x2a2+y(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点P，O为坐标原点.若OA⋅PB+16．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为(1)求双曲线C的离心率；(2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线AD,BD与x轴交点的横坐标分别为x1,x17．圆(x+3)2+y2=16，圆心为A，点B3,0(1)求N的轨迹C的方程；(2)设P为曲线C上任意一点，直线PA,PB分别交曲线C于Q,R两点，PA=λAQ,18．已知A−2,0，B2,0，对于平面内一动点Px,yx≠±(1)求点Р的轨迹C的方程；(2)当x>2时，直线l与曲线C交于不同两点Q，R，与直线y=x交于点S，与直线y=−x交于点T，若TQ=QR=19．已知抛物线M:y2=4x的焦点为F，过点2,0的直线与抛物线M交于A,B两点，点A(1)设P为抛物线M上的动点，求OPFP(2)记△AOB的面积为S1,△BOF的面积为S220．已知双曲线M:x2−y23=1，在双曲线M的右支上存在不同于点A(2,3)的两点P，Q，记直线AP,AQ,PQ的斜率分别为k(1)求k的取值范围；(2)若△OPQ的面积为6（O为坐标原点），求直线PQ的方程．二、证明问题21．设抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，点A的坐标为3,−2.已知点P是抛物线C上的动点，(1)求抛物线C的方程：(2)若直线PA与C交于另一点Q，经过点B3,−6和点Q的直线与C交于另一点T，证明：直线PT22．如图，已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点A为

(1)求椭圆C1(2)若椭圆C2的长轴端点为F1,F2，且C2与C1的离心率相等，P为AB与C2异于F123．已知椭圆C:x2a2+y2b2(1)求椭圆C的方程；(2)设P为椭圆C上第一象限内任意一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.24．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率是22，上、下顶点分别为(1)求E的方程；(2)直线l与圆O相切且与E相交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆恒过定点.25．已知动圆M恒过定点F0,18，圆心M到直线y=−(1)求M点的轨迹C的方程；(2)过直线y=x−1上的动点Q作C的两条切线l1,l2，切点分别为26．已知双曲线C:x2a2−y2

(1)求双曲线C的方程；(2)过点A的两条直线AP，AQ分别与双曲线C交于P，Q两点（不与A点重合），且两条直线的斜率k1，k2满足k1+k2=1，直线PQ与直线x=2，y27．已知椭圆C1:x2a2+y2(1)求实数a和b的值；(2)若梯形ABCD的顶点都在椭圆C1上，AB//CD，CD=2AB，直线BC与直线AD相交于点P．且点P在椭圆C28．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为(1)求C方程；(2)已知点M、N均在直线x=2上，以MN为直径的圆经过O点，圆心为点T，直线AM、AN分别交椭圆C于另一点P、Q，证明直线PQ与直线OT垂直．29．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，A(1)求C的方程；(2)C的弦DE过F1，直线AE，AD分别交直线x=−4于M，N两点，P是线段MN的中点，证明：以PD30．已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点F与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线

(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；(2)设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：31．在平面直角坐标系xOy中，圆F1：x+22+y2=4，F22,0，P是圆F1上的一个动点，线段PF2(1)求曲线C的方程；(2)过点F2作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点H，求证：AB32．已知椭圆C：x2a2+y(1)求椭圆C的方程；(2)过点P4,1的动直线l与椭圆C相交于不同的A,B两点，在线段AB上取点Q，满足AP⋅QB33．如图，椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点分别为A,B，Q−a,a，N为椭圆上的动点且在第一象限内，线段QN与椭圆E交于点M（异于点N），直线OQ与直线BM交于点P，O

(1)求椭圆E的方程．(2)设直线AN,AP的斜率分别为k1,k34．已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线C于A,B两点，当AB平行于y(1)求抛物线C的方程；(2)若O为坐标原点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E,AE的中点为G，证明：G,B,D三点共线.35．在平面直角坐标系xOy中，已知定点F(1,0)，定直线l:x=4，动点P在l上的射影为Q，且满足|PQ|=2|PF|.(1)记点P的运动轨迹为E，求E的方程；(2)过点F作斜率不为0的直线与E交于M,N两点，l与x轴的交点为H，记直线MH和直线NH的斜率分别为k1,k36．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的离心率是3，实轴长是2，O为坐标原点.设点Px0,y0为双曲线C上任意一点，过点(1)当l的方程为x0xa(2)设MP=λPN，求证：37．已知点P4,3为双曲线E:x2a2−y(1)求双曲线E的标准方程；(2)不过点P的直线y=kx+t与双曲线E交于A,B两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线y=kx+t过定点，并求该定点的坐标.38．已知R是圆M：x+32+y2=8上的动点，点N3,0，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线(1)求曲线C的方程；(2)若过点P−2,0的直线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x轴上是否存在定点Q，使得△QAB39．已知O为坐标原点，定点F1−1,0，F21,0，圆O