2025年高考数学复习大题题型归纳：第07讲 构造法求数列通项的六种方法（原卷）

第07讲构造法求数列通项的六种方法考法一：an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0）例题分析【例1】已知各项均为正数的数列{an}满足a1(1)求证：数列an(2)求数列{an}的前n项和S满分秘籍遇到an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0）的形式第一步构造出：an＋1＋t＝p（an＋t）的形式；第二步利用待定系数求出t的值。则数列{an＋t}为公比为p的等比数列。变式训练【变式1-1】已知数列an满足a(1)求an(2)若bn=2n−1，数列cn满足c4n−3=b2n−1【变式1-2】已知数列an满足a1=1(1)求证：数列an(2)若bn=2n+1an+1−an，【变式1-3】在数列an中，a1=(1)求an(2)求数列an的前n项和S考法二：an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)例题分析【例2】已知：a1=1，n≥2时，an满分秘籍先构造出an+An+B=pa变式训练【变式2-1】已知数列{an}满足：a（1）证明：数列{an+n}是等比数列并求数列{an（2）设bn=(2n−1)⋅(an+n)，求数列{①−②得：−

=2×(2+

=−(2n−3)⋅所以Tn【变式2-2】设数列an满足a1=2(1)求证：an−n为等比数列，并求(2)若bn=an−n⋅n，求数列【变式2-3】已知数列an中，a1=1，满足an+1=2an(1)证明：数列an(2)若不等式λ⋅2n+Sn考法三：an＋1＝pan＋rqn例题分析【例3-1】p=q已知数列an的首项a1=(1)求数列an(2)设bn=2nan，将数列bn分组：b1，b2,b（i）求数列cn（ii）证明1c【例3-2】p≠q已知数列{an}满足an+1=2满分秘籍当p=q时，等式两边同时除以p，即可构造出一个等差数列。当p≠q时，可设an+1变式训练【变式3-1】已知数列an中,a1=2(1)求证:an+2(2)设bn=3×2n4an−【变式3-2】若数列an满足a1=2(1)证明:an+1(2)设an的前n项和为Sn,求满足Sn考法四：an＋2＝pan+1＋qan例题分析【例4】已知数列{an}中，a满分秘籍设出an+2−sa变式训练【变式4-1】已知数列an满足a1=3，a2【变式4-2】已知数列an满足a1=1，a(1)证明：an+1(2)证明：存在两个等比数列bn，cn，使得【变式4-3】已知数列an满足a1=5，a(1)求证：数列an+1−2a(2)若an−2n>λ(3n+1)考法五：an＋1＝an例题分析【例5】已知数列an满足：a1=2满分秘籍等式两边同时取倒数，即可得到一个新的等比数列。变式训练【变式5-1】在数列{an}中，a【变式5-2】已知数列an中，a1=(1)求数列an(2)求证：数列an的前n项和S【变式5-3】已知数列an的首项a1=(1)求证：数列1a(2)若1a1+考法六：an＋1＝pan2例题分析【例6】设正项数列an满足a1=1，a满分秘籍两边同时取对数，可以构造出一个等比数列。变式训练【变式6-1】数列an中，a1=2，a23．已知数列an，a1=100（1）求数列an（2）设bn=n+1lgan，求数列24．已知数列an满足a1=3(1)证明数列lnan−1(2)若bn=1an+1an真题专练1．已知数列an,a(1)求数列an(2)求数列bn的前n项和T2．已知数列an满足a1=1（1）证明：数列1an是等差数列，并求数列（2）设bn=an2n+1，数列bn的前n项和为Sn，求使不等式S3．已知正项数列{an}满足3（1）求证：数列1an−1（2）证明：数列{an}的前n4．已知数列bn是首项为1的等差数列，数列an满足an+1−3a（1）求数列an（2）令cn=an⋅bn5．已知数列an满足a1=1（1）设bn=a（2）求数列an的前n项和S6．设数列an满足(1)求an(2)设bn=1−an+17．已知数列an，bn满足a1=118，2a8．在数列an中，a1=1(1)设bn=a(2)求数列an的通项公式a9．已知数列an和bn满足：a1=12，an+1(1)求数列an和b(2)设数列cn=an⋅bn10．已知数列an满足a1=1(1)求数列an(2)若bn=2n⋅an11．已知数列an中，a（1）求证：数列an（2）令bn=(−1)nan,Sn12．已知数列an满足a1=1,(1)证明数列an+1−2a(2)求数列an的前n项和S13．已知数列an中，a1=5且(1)求证：数列bn(2)从条件①n+bn，②求数列______的前n项和Tn注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．14．已知数列an满足a(1)求数列an(2)当cn=an+1−an15．在数列an中，a1=5(1)证明：an−1为等比数列，并求(2)令bn=(−1)n⋅an16．已知数列an，2an+1(1)求证：数列1a(2)设bn=1−an1−a17．已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；(2)若a1＝12，a2＝32，求{18．已知数列{an}中，a1=3，an+1=3an+2⋅（1）求数列{an}的通项公式；（2