广东省揭阳市数学初三上学期试卷及答案解析

广东省揭阳市数学初三上学期试卷及答案解析一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、下列运算正确的是()A.a2⋅C.a2+A.根据同底数幂的乘法法则，有am所以a2B.根据同底数幂的除法法则，有am所以a6÷aC.a2和a所以a2+aD.根据幂的乘方法则，有am所以a32=综上，只有A选项是正确的。2、在数轴上，点A，B分别表示−3和15−3，则线段A.152B.15C.15−232D.15−根据线段中点坐标公式，线段AB的中点M所表示的数为：M=A+B2=3、下列计算正确的是()A.a2⋅a4=aA.根据同底数幂的乘法法则，有am所以a2B.根据幂的乘方法则，有am所以a32=C.根据同底数幂的除法法则，有am所以a6÷aD.a2和a所以a2+a综上，只有A选项是正确的。4、已知a=√3-2，b=2-√3，则a与b的关系是()A.a=bB.a>bC.a<bD.无法确定答案：A解析：首先，我们观察给定的两个数a=3−为了判断它们之间的关系，我们可以尝试将其中一个数变形为另一个数的形式。考虑b，我们可以将其写为：b=2−3a=−b但这里需要注意，题目中的b是2−3，而不是−故答案为：A.a=5、下列计算正确的是()A.16=±C.a+b答案：D解析：A.根据算术平方根的定义，16=4，而不是B.根据同底数幂的除法法则，am÷an=C.根据完全平方公式，a+b2D.根据同底数幂的乘法法则，am⋅an=6、下列命题是真命题的是()A.如果a=b，那么C.相等的角是对顶角D.无理数都是无限小数答案：A；D解析：A.如果a=b，那么B.对角线相等的四边形是矩形。这个命题是错误的，因为除了矩形，等腰梯形的对角线也是相等的。所以B是假命题。C.相等的角是对顶角。这个命题也是错误的，因为相等的角不一定是对顶角，它们也可以是其他关系（如同位角、内错角等）。所以C是假命题。D.无理数都是无限小数。这个命题是正确的，因为无理数不能表示为两个整数的比，且其小数部分是无限不循环的。所以D是真命题。综上，真命题是A和D。但题目只要求选出一个，这里我们按照题目原始要求（可能是一个印刷错误或理解错误），只选择第一个真命题A作为答案。不过，从数学逻辑上讲，D也是真命题。7、下列说法中，正确的是()A.射线AB与射线BA是同一条射线B.两条射线组成的图形叫做角C.两点之间的所有连线中，线段最短D.两条直线被第三条直线所截，同位角相等A.射线AB与射线BA的起点和延伸方向都不同，所以它们不是同一条射线。故A选项错误。B.角是由有公共端点的两条射线组成的图形。但题目中只提到了“两条射线”，没有明确它们有公共端点，所以B选项错误。C.根据线段的性质，两点之间的所有连线中，线段是最短的。故C选项正确。D.两条直线被第三条直线所截，只有当两条直线平行时，同位角才相等。但题目中没有明确两条直线平行，所以D选项错误。故答案为：C。8、下列计算正确的是()A.a2⋅C.a32A.根据同底数幂的乘法法则，有am所以a2B.根据同底数幂的除法法则，有am所以a6÷aC.根据幂的乘方法则，有am所以a32=D.根据负整数指数幂的定义，有a−n=所以2a−2故答案为：A。9、下列计算正确的是()A.a2⋅C.a32A.根据同底数幂的乘法法则，有am所以a2B.根据同底数幂的除法法则，有am所以a6÷aC.根据幂的乘方法则，有am所以a32=D.根据负整数指数幂的定义，有a−n=所以2a−2故答案为：A。10、计算：(-2a)^2a^3的结果是_______．A.4a^5B.4a^6C.-4a^5D.-4a^6

首先计算−2−2a2=4a2×a二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）1、下列计算正确的是()A.2a2C.a+bA.对于2a2−2a2−aB.对于a6÷aa6÷a2C.对于a+b2a+b2=D.对于a2⋅aa2⋅a4故答案为：D。2、若扇形的圆心角为45​∘，半径为3，则该扇形的弧长为____．

设扇形的弧长为根据弧长公式，弧长l与圆心角n和半径r的关系为：l=nπr180l=45π×3、已知一组数据：1，3，2，5，4，则这组数据的极差是____．

首先，找出这组数据中的最大值和最小值。最大值：5最小值：1根据极差的定义，极差=最大值-最小值。所以，极差=5−故答案为：4。4、在直角坐标系中，点P(2,-3)到原点O的距离是_______．答案：13解析：根据两点间距离公式，点Px1,y1到点Qx2,y25、若关于x的方程x2+2x+答案：k解析：对于一元二次方程ax2+对于方程x2+2要求方程有两个不相等的实数根，则判别式必须大于0，即

Δ=22−4三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）第一题题目：在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B。(1)求证:△ADF∽△DEC；(2)若AB=4，AD=3，AF=2，求AE的长。答案：(1)我们可以按照以下步骤来证明△ADF∽△DEC：第一步，由于ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，我们知道AD∥BC，所以∠ADF=∠DEC（内错角）。第二步，已知∠AFE=∠B，且∠AFE和∠DFC是对顶角，所以∠DFC=∠AFE=∠B。第三步，根据三角形的相似性质，当两个三角形有两个对应的角相等时，这两个三角形相似。所以，△ADF∽△DEC。(2)我们可以按照以下步骤来求AE的长：第一步，由于△ADF∽△DEC，根据相似三角形的性质，我们有AFDE=A第二步，在直角三角形ABE中，我们可以使用勾股定理来求AE。设AE为x，则BE为BC−EC。由于ABCD是平行四边形，且AE⊥BC，所以EC=AD=3（平行四边形的对边相等）。因此，BE=BC−综上，AE的长为15。解析：本题主要考察了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。在证明△ADF∽△DEC时，我们主要利用了平行四边形的对边平行且相等的性质以及相似三角形的判定条件。在求解AE的长时，我们则利用了相似三角形的对应边成比例的性质以及勾股定理。这些知识点都是初中数学中的重要内容，需要同学们熟练掌握并灵活运用。第二题题目：在平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∠B=60°，点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CD方向以2cm/s的速度向点D运动。当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。设运动时间为t秒。（1）当t为何值时，PQ⊥CD？（2）设△CPQ的面积为Scm²，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值。答案：（1）解：由于PQ⊥CD，且ABCD是平行四边形，所以∠B=∠D=60°。又因为PQ⊥CD，所以∠CPQ=30°。在直角三角形CPQ中，利用30°-60°-90°三角形的性质，有CQ=1/2×CP。由题意知，CQ=2t，CP=BC-BP=8-t。代入得：2t=1/2×(8-t)，解得t=8/5秒。（2）解：过点P作PM⊥CD于点M，则PM=AB×sin60°=6×√3/2=3√3cm。由题意知，CQ=2t，所以CM=CQ×cos60°=t。因此，QM=CQ-CM=2t-t=t。所以，△CPQ的面积S=1/2×QM×PM=1/2×t×3√3=3√3/2×t。由于0≤t≤6（因为AB的长度是6cm，P点需要6秒才能到达B点），所以S的最大值出现在t=6时，即S_max=3√3/2×6=9√3cm²。解析：（1）此题主要考察了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及解一元一次方程的能力。通过利用PQ⊥CD这一条件，结合平行四边形的性质，我们可以得到∠CPQ的度数，进而利用30°-60°-90°三角形的性质求出t的值。（2）此题主要考察了三角形的面积公式以及一次函数的性质。通过作高PM，我们可以将△CPQ的面积转化为底QM和高PM的乘积的一半。然后，利用给定的速度和时间关系，我们可以得到QM和PM关于t的表达式，进而得到S关于t的函数关系式。最后，通过分析一次函数的性质，我们可以求出S的最大值。第三题题目：在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠B=60°。点E从点B出发，沿BC方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时点F从点C出发，沿CD方向以每秒1个单位长度的速度运动。设运动时间为t秒（0≤t≤4）。（1）当t为何值时，四边形ABEF是平行四边形？（2）设△CEF的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值。答案：（1）由于四边形ABEF是平行四边形，根据平行四边形的性质，我们有AB=EF。点E从B出发，沿BC方向以每秒2个单位长度的速度运动，所以BE=2t。点F从C出发，沿CD方向以每秒1个单位长度的速度运动，但CD与AB平行且相等（因为ABCD是平行四边形），所以CF=t（但这里CF的长度实际上对判断ABEF是否为平行四边形不直接起作用，因为EF并不是直接由CF决定的，而是由BE和BC、AB的关系决定的）。然而，由于ABCD是平行四边形，EF可以通过平移AB到与BC平行且等长的位置来得到，即EF=AB=6。因此，当BE=AB时，四边形ABEF是平行四边形。即2t=6，解得t=3。（2）对于△CEF，其底为CF=t，高h可以通过∠B=60°和BC的长度来计算。由于BC=8，且∠B=60°，我们可以利用三角函数或30°-60°-90°直角三角形的性质来找到高h。在这个直角三角形中，BC是斜边，BE是较长直角边（但不是我们需要的那个），而我们需要找的是垂直于CF的高，它位于以BC为斜边的另一个30°-60°-90°直角三角形中。这个高h实际上是BC上从C到垂足的距离，可以表示为BC的sin(60°)倍减去BE的sin(60°)倍，但在这里我们只需要知道h与t无关，且h=BC×sin(60°)=8×√3/2=4√3（因为BE与CF平行，所以它们的高是相同的）。因此，△CEF的面积S=1/2×CF×h=1/2×t×4√3=2√3t。由于0≤t≤4，S随t的增大而增大。因此，当t=4时，S取得最大值，即S_max=2√3×4=8√3。解析：（1）此题主要考察了平行四边形的性质以及动点问题的解决方法。通过设定时间t，我们可以表示出点E和点F的运动距离，进而利用平行四边形的性质（对边相等）来求解t的值。（2）此题还考察了三角形面积的计算以及函数关系的建立。通过找出三角形CEF的底和高，我们可以建立面积S与时间t之间的函数关系式，并通过分析函数的单调性来找出S的最大值。注意，在这里我们并没有直接使用CF作为底来计算面积，而是利用了平行四边形ABCD的性质和∠B的度数来找到高h。第四题题目：在菱形ABCD中，AB=4，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=3，P为对角线BD上一点，求|PM-PN|的最大值。答案：|PM-PN|的最大值为2。解析：理解题意：菱形ABCD中，AB=4，AC与BD交于点O，N是AO的中点，BM=3。需要求的是|PM-PN|的最大值，其中P是对角线BD上的一点。利用菱形的性质：菱形对角线互相垂直且平分，即AC⊥BD，且AO=OC，BO=OD。由于AB=4，则菱形ABCD的两条对角线AC和BD的长度可以通过勾股定理求出（但本题不需要具体求出）。构造三角形并应用三角形三边关系：延长NO到点Q，使得NQ=NO，连接PQ和CQ。由于NQ=NO且NO是AO的中点，所以NQ=AO/2=ON，从而四边形APCQ是平行四边形（对角线互相平分）。在平行四边形APCQ中，有PQ=AC，且PQ与BD平行。由于PQ与BD平行，所以∠MPQ=∠MPN，∠NPQ=∠NPM（内错角）。在△PMN和△PQN中，由于∠MPQ=∠MPN，∠NPQ=∠NPM，且PQ=PN（平行四边形对边相等），所以△PMN≌△PQN（SAS）。因此，PM=PQ，PN=NQ=NO。所以，|PM-PN|=|PQ-NO|=|QN-NO|=|OQ|。求|OQ|的最大值：由于O是BD的中点，且Q在BD的延长线上，所以|OQ|的最大值出现在Q与菱形ABCD的一个顶点重合时（不失一般性，假设Q与D重合）。此时，|OQ|=OD=BD/2。由于菱形的对角线互相平分且等长，所以BD的长度可以通过勾股定理由AB和BC的长度求出（但具体值在此题中不重要）。但由于我们只关心|OQ|的相对大小，且知道O是BD的中点，所以|OQ|的最大值实际上是BD的一半减去ON的长度。由于N是AO的中点，且AO是AC的一半（因为AC被BD平分），所以ON=AO/2=AC/4。但由于菱形的对角线长度关系，我们可以直接得出当Q与D重合时，|OQ|达到最大，且此时|OQ|=BD/2-ON=BD/2-AC/4（虽然AC和BD的具体值未给出，但这不影响我们得出|OQ|是最大值的结论）。然而，在本题中，我们可以直接通过几何直观得出，当P移动到使PM与BC平行（即P为BD与BC的交点时），|PM-PN|达到最大值，此时|PM-PN|实际上等于BC的一半（因为PN是固定的NO长度，而PM随P的移动而变化，当PM最大时，即PM为BC的垂足时，|PM-PN|达到最大）。由于BM=3，且BC是菱形的边，所以BC=AB=4，因此BC的一半为2，即|PM-PN|的最大值为2。注意：上述解析中关于|OQ|最大值的直接计算部分有所简化，因为在实际问题中我们并不需要求出BD和AC的具体长度。而是通过几何直观和菱形的性质直接得出|PM-PN|的最大值。这里主要是为了展示一种更一般化的思路，但在具体解题时可以更加直接和简洁。第五题题目：在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若AB=10cm，DE=4cm，求△ABC的面积。答案：（1）证明：由于AB=AC（已知），

所以∠B=∠C（等边对等角）。又因为D是BC的中点（已知），

所以BD=CD（中点的性质）。由于DE⊥AB，DF⊥AC（已知），

所以∠BED=∠CFD=90°（垂直的定义）。根据HL全等条件（直角三角形的斜边和一条直角边对应相等），

在△BED和△CFD中，

因为∠BED=∠CFD，∠B=∠C，BD=CD，

所以△BED≌△CFD（AAS）。（2）解：由于△BED≌△CFD（已证），

所以DE=DF（全等三角形的对应边相等）。已知AB=10cm，DE=4cm，

所以S△ABC=S△ABD+S△ACD

=1/2×AB×DE+1/2×AC×DF

=1/2×10×4+1/2×10×4

=40cm²。解析：（1）此题主要考查了全等三角形的判定与性质。在证明△BED≌△CFD时，我们利用了等边对等角、中点的性质以及HL全等条件。首先，由AB=AC得出∠B=∠C，再由D是BC的中点得出BD=CD，最后由DE⊥AB，DF⊥AC得出∠BED=∠CFD=90°，从而根据HL全等条件证明了△BED≌△CFD。（2）此题还考查了三角形面积的计算。在求△ABC的面积时，我们利用了全等三角形的对应边相等得出DE=DF，然后利用三角形面积的计算公式S=1/2×底×高，分别求出S△ABD和S△ACD的面积，再相加得到S△ABC的面积。第六题题目：已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象经过点A(1,0)，B(3,0)和C(0,-3)。（1）求该二次函数的解析式；（2）求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标。答案及解析：（1）设抛物线的解析式为交点式：y=a(x-1)(x-3)。由于抛物线还经过点C(0,-3)，代入得：-3=a(0-1)(0-3)-3=3a

a=-1因此，抛物线的解析式为：y=-(x-1)(x-3)=-x^2+4x-3。（2）对于二次函数y=ax^2+bx+c，其对称轴为x=-。将a=-1，b=4代入得：x=-=2因此，对称轴为直线x=2。再将x=2代入抛物线的解析式y=-x^2+4x-3得：y=-(2)^2+4(2)-3=-4+8-3=1因此，抛物线的顶点坐标为(2,1)。第七题题目：在四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BAD，点E在BC边上，且AE=EC。求证：△ABE≌△ADC；若∠B=70°，求∠EDC的度数。答案：证明：由于AC平分∠BAD，所以∠BAC=∠DAC。又因为AB=AD，且AE为公共边，

在△ABE和△ADC中，我们有：AB=AD,

∠BAC=∠DAC,

AE=AE（公共边），

根据SAS全等条件，△ABE≌△ADC。求解：由于△ABE≌△ADC，所以∠B=∠ADC。已知∠B=70°，所以∠ADC=70°。又因为AE=EC，所以∠EAC=∠ECA。在△AEC中，由三角形内角和为180°得：∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，

由于∠AEC是△ADC的外角，所以∠AEC=∠ADC+∠EDC=70°+∠EDC。又因为∠EAC=∠BAC（AC平分∠BAD），且∠BAC+∠DAC=∠BAD（平角为180°），

所以∠EAC=∠BAC=∠DAC=0.5∠BAD。但此处∠BAD的具体度数未知，不过由于AB=AD，我们可以推断∠BAD是锐角或直角（不可能是钝角，否则AD会超出四边形ABCD的范围）。但由于∠B和∠ADC已知，我们可以利用三角形内角和为180°来求解∠EDC。在△DEC中，有：∠EDC+∠DEC+∠DCE=180°，

由于∠DEC=∠AEC（对顶角相等），且∠AEC=70°+∠EDC，

∠DCE=∠ECA（AE=EC，所以∠EAC=∠ECA），

我们可以