数学（必修3）练习7.2.3点到直线的距离活页作业16

活页作业(十六)点到直线的距离一、选择题1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是()A．3eq\r(2) B.eq\f(\r(2),2)C．3 D．eq\f(3\r(2),2)解析：d＝eq\f(|1－－1＋1|,\r(2))＝eq\f(3,\r(2))＝eq\f(3,2)eq\r(2).答案：D2．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是()A．4 B．eq\f(2\r(13),13)C.eq\f(5\r(13),26) D．eq\f(7\r(13),26)解析：∵直线互相平行，∴m＝4.又方程6x＋4y＋1＝0可化简为3x＋2y＋eq\f(1,2)＝0，∴平行线间的距离为eq\f(|\f(1,2)－－3|,\r(22＋32))＝eq\f(7\r(13),26).故选D.答案：D3．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是()A．8 B．2eq\r(2)C.eq\r(2) D．16解析：∵|OP|2＝x2＋y2，∴当|OP|最小时，x2＋y2的值最小．因此所求的最小值就是原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|－4|,\r(12＋12))))2＝8.故选A.答案：A4．若点(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围是()A．[0,10] B．(0,10)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,13)，\f(3,13))) D．(－∞，0]∪[10，＋∞)解析：由题意得eq\f(|4×4－3a－1|,\r(42＋32))≤3，即|15－3a|≤解得0≤a≤10.答案：A二、填空题5．已知两条平行直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c等于________．解析：由题意可知：l1∥l2，则eq\f(3,6)＝eq\f(4,b)≠eq\f(5,c)，即b＝8，c≠10.又由于l1与l2间的距离为3，则eq\f(|c－10|,\r(62＋82))＝3，解得c＝－20或40，则b＋c＝－12或48.答案：－12或486．三角形的顶点是A(8,5)，B(4，－2)，C(－6,3)，则△ABC的面积为________．解析：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，－7)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－14，－2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|－4×(－2)－(－7)×(－14)|＝eq\f(1,2)×90＝45.答案：45三、解答题7．若两平行直线3x－2y－1＝0与6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq\f(2\r(13),13)，求eq\f(c＋2,a)的值．解：由题意知，eq\f(3,6)＝eq\f(－2,a)≠eq\f(－1,c)，所以a＝－4，c≠－2，所以6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq\f(c,2)＝0.由两平行直线间的距离公式，得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)＋1)),\r(32＋－22))＝eq\f(2\r(13),13)，解得c1＝2，c2＝－6，所以eq\f(c＋2,a)＝±1.8．如图，已知三角形的顶点为A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)，求：(1)AB边上的中线CM所在直线的方程；(2)求△ABC的面积．解：(1)AB中点M的坐标是M(1,1)，中线CM所在直线的方程是(x－1)(3－1)－(y－1)(－2－1)＝0，即2x＋3y－5＝0.(2)|AB|＝eq\r(0－22＋－2－42)＝2eq\r(10)，直线AB的方程是3x－y－2＝0，点C到直线AB的距离是d＝eq\f(|3·－2－3－2|,\r(32＋－12))＝eq\f(11,\r(10))，所以△ABC的面积是S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝11.一、选择题1．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程为()A．3x－4y－11＝0B．3x－4y＋11＝0C．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0D．3x－4y＋11＝0或3x－4y＋9＝0解析：设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意知eq\f(|c＋1|,\r(32＋－42))＝2，解得c＝9或c＝－11.答案：C2．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝()A．－10 B．10C．36 D．48解析：直线6x＋ay＋30＝0可化为3x＋eq\f(a,2)y＋15＝0，由两直线平行可知，a＝8，d＝eq\f(|15－5|,5)＝2，∴a＋d＝10.答案：B二、填空题3．若点(2，－k)到直线5x＋12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．解析：d＝eq\f(|5×2＋12·－k＋6|,\r(52＋122))＝eq\f(|16－12k|,13)，由题意知eq\f(|16－12k|,13)＝4，即eq\f(|4－3k|,13)＝1，∴k＝－3或k＝eq\f(17,3).答案：－3或eq\f(17,3)4．已知x＋y－3＝0，则eq\r(x－22＋y＋12)的最小值为________．解析：设P(x，y)，A(2，－1)，且点P在直线x＋y－3＝0上，eq\r(x－22＋y＋12)＝|PA|.|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝eq\f(|2＋－1－3|,\r(12＋12))＝eq\r(2).答案：eq\r(2)三、解答题5．已知△ABC的顶点A(－2,5)，B(－5,6)，C(7，－4)，求：(1)AB边上的中线所在的直线方程；(2)BC边上的垂直平分线所在的直线方程；(3)该三角形的面积．解：(1)AB的中点M坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2－5,2)，\f(5＋6,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，\f(11,2)))，CM是AB边上的中线，则CM的方程为：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7＋\f(7,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(11,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4－\f(11,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(7,2)))＝0，即：19x＋21y－49＝0.(2)BC的中点N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－5＋7,2)，\f(6－4,2)))＝(1,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))是BC的垂直平分线的法向量，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(12，－10)则BC的垂直平分线具有的形式为12x－10y－c＝0.把坐标(1,1)代入，得12×1－10×1＋c＝0，∴c＝－2.∴BC的垂直平分线方程为6x－5y－1＝0.(3)∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(9，－9)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|－3×(－9)－1×9|＝eq\f(1,2)×18＝9.6．已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y－3＝0上．求直线l的方程．解：法一：∵点M在直线x＋y－3＝0上，∴设点M坐标为(t,3－t)，则点M到l1，l2的距离相等，即eq\f(|t－3－t＋1|,\r(2))＝eq\f(|t－3－t－1|,\r(2))，解得t＝eq\f(3,2)，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2))).又l过点A(2,4)，由两点式得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,2)))＝0，即5x－y－6＝0，故直线l的方程为5x－y－6＝0.法二：设与l1、l2平行且距离相等的直线l3：x－y＋C＝0，由两平行直线间的距离公式得eq\f(|C－1|,\r(2))＝eq\f(|C＋1|,\r(2))，解得C＝0，即l3：x－y＝0.由题意得中点M在l3上，点M在x＋y－3