重庆市2019年中考数学（A卷）试题（解析版）

重庆市2019年初中学业水平暨高中招生考试

一、选择题：

1.下列四个实数中，比-1小的数是（）

A.-2B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：A.-2<-1,故正确；

B.0>-1,故本选项错误；

C.1>-1,故本选项错误；

D.2>-1,故本选项错误；

故选A.

考点：有理数大小比较.

2.如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据三视图的概念即可快速作答.

【详解】解：立体图形的主视图，即正前方观察到的平面图，即选项A符合题意；故答案为A.

【点睛】本题考查了三视图的概念及正确识别主视图，解题的关键在于良好的空间想象能力.

3.如图，丛ABO2CDO,若80=6，£>0=3,8=2,则A8的长是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】根据相似三角形的性质，列出对应边的比，再根据已知条件即可快速作答.

【详解】解：,••△ABOsACDO

.OBAB

*,CD

6AB

-------解得：AB=4

32

故答案C.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找对相似三角形的对应边，并列出比例进行求

解.

4.如图，AB是。。的直径，AC是。。的切线，A为切点，BC与。。交于点D,连结OD.若

NC=50°,则NAOD的度数为（）

A.40°B.50°C.80°D.100°

【答案】C

【解析】

【分析】由AC是。。的切线可得ZCAB=90°，又由NC=50°,可得NABC=40。;再由OD=OB,则ZBDO=40

。最后由NAOD=/OBD+/OBD计算即可.

【详解】解：；AC是。。的切线

；.NCAB=90°,

又：ZC=50°

.•.NABC=90°-50°=40。

又：C)D=C)B

.,.ZBDO=ZABC=40°

又：ZAOD=ZOBD+ZOBD

NAOD=400+40°=80°

故答案为C.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形以及三角形外角的概念.

其中解题关键是运用圆的切线垂直于半径的性质.

5.下列命题正确的是（）

A.有一个角是直角的平行四边形是矩形B.四条边相等的四边形是矩形

C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形D.对角线相等的四边形是矩形

【答案】A

【解析】

【分析】运用矩形的判定定理，即可快速确定答案.

【详解】解：A.有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；B四条边都相等的四边形是菱形，故B

错误；C有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C错误;对角线相等且相互平分的四边形是矩形，则D错

误；因此答案为A.

【点睛】本题考查了矩形判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平

分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相等的平行四边形是矩形.

6.估计（26+6亚卜J的值应在（）

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

【答案】C

【解析】

【分析】先将原式化简为2+J丞，由于厄在4和5之间，那么2+庖就在6和7之间.

号=2+6《=2+亚^

【详解】解:

又因为4VJ丞＜5

所以6＜2+岳＜7

故答案为C.

【点睛】本题考查了二次根式的化简，其中明确化简方向和正确的估值是解题的关键.

7.《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五

十.问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，

2

则甲的数为50；而甲把其§的钱给乙.则乙的钱数也为50,问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为X,乙的

钱数为y，则可建立方程组为（）

1srl1

x+-y=50x+—y=50—x+y=50=50

2「2-2

A.<-B.-c.D.<

222“22

—x+y=50x+—y=50=50=50

13.31313

【答案】A

【解析】

【分析】根据“乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50”和“甲把其(的钱给乙.则乙的钱数也为50”两个

等量关系，即可列出方程组.

【详解】解：设甲的钱数为x,乙的钱数为y；

由甲得乙半而钱五十，可得：x+-y=50

2

22

由甲把其Q的钱给乙，则乙的钱数也为50；可得：-x+y=50

33

故答案为:A

【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题，解题的关键在于，找到正确的等量关系.

8.按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是()

A/2=1,n=lB.m=1,n=OC.m=l,n=2D.m=2,n=l

【答案】D

【解析】

【分析】逐项代入，寻找正确答案即可.

【详解】解：A选项满足mWn,则y=2m+l=3；

B选项不满足m<n,则y=2n-l=-l；

C选项满足m<n,则y=2m+l=3；

D选项不满足mWn,则y=2n-l=l；

故答案为D；

【点睛】本题考查了根据条件代数式求值问题，解答关键在于根据条件正确地代入代数式及代入的值.

9.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A点，D点分别在x轴、y轴上，对角线BD"x轴，反

比例函数y=K(k>0,x>0)的图象经过矩形对角线的交点E,若点A(2,0),D(0,4),则k

X

的值为()

A.16B.20C.32D.40

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B(x,4)利用矩形的性质得出E为BD中

点，ZDAB=90°,根据线段中点坐标公式得出E(|x,4).由勾股定理得出AD2+AB2=BD2,列出方程22+42+

(x-2)2+42=X2,求出x,得到E点坐标，代入>=幺，利用待定系数法求出k.

X

【详解】解：：BD〃x轴，D(0,4),

；.B、D两点纵坐标相同，都为4,

可设B(x,4).

•.•矩形ABCD的对角线的交点为E,.

；.E为BD中点，ZDAB=90°.

：.E(；x,4)

VZDAB=90°,

.".AD2+AB2=BD2,

VA(2,0),D(0,4),B(x,4),

...22+42+(x-2)2+42=x2,解得x=10,

：.E(5,4).

k

又•.•反比例函数y=—(k>0,x>0)的图象经过点E,

x

.•.k=5X4=20；故选B.

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知

识，求出E点坐标是解题的关键.

10.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动.如图，在一个坡

度(或坡比)i=1：2.4的山坡AB上发现有一棵占树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26

米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角NAED=48°（古树CD与山坡AB的

剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（）（参考数据:

sin48°«0.73,cos8°*0.67,tan48°«l.ll）

A.17.0米B.21.9米C.23.3米D.33.3米

【答案】C

【解析】

CF5___________

［分析］如图，根据已知条件得到一=1：2.4=—,设CF=5k,AF=12k,根据勾股定理得到AC=,/CF2+AF2

AF,12

=13k=26,求得AF=10,CF=24,得到EF=6+24=30,根据三角函数的定义即可得到结论.

【详解】

CF5

解：如图，V—=1：2.4=—

AF12

.,.设CF=5k,AF=12k,

.AC=y/cF2+AF2~3k=26,解得.k=2,

AAF=10,CF=24,

VAE=6,

・・.EF=6+24=30,

・•・ZDEF=48°

DFDF

tan48=-----=------=1.11

EF30

・・・DF=33.3,

ACD=33.3-10=23.3,答：古树CD的高度约为23.3米，故选C.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角

形解决问题，属于中考常考题型.

x--(4a-2)<-

42

11.若关于x的一元一次不等式组,的解集是x4a,且关于y的分式方程

〜

-3-x--l<x+2

I2

至二[一产=1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为()

y-1i-y

A.0B.1C.4D.6

【答案】B

【解析】

【分析】先解关于X的一元一次不等式组，根据其解集求出。的取值范围，再解分式方程，根据其

有非负整数解，求出a的取值范围，进而可得符合要求的。值，最后求和即可.

X-—(4«-2)<—

【详解】解：由不等式组4°42,解得：<x<a

〜

-3-x--l<x+2x<5

[2

•.•不等式组的解集为xWa

a<5

由分式方程^,去分母得2y—a+y-4=y_l

解得

•••分式方程有非负数解

，a2-3且aw3

...a的取值为-3,-2,-1,0,1,2,4

...符合条件的所有整数〃的和为—3+(—2)+(—1)+0+1+2+4=1

故选B.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程.解题的关键在于求出符合条件的所有整数

12.如图，在aABC中，D是AC边上的中点，连结BD,把aBDC沿BD翻折，得到△BOC',DC与

AB交于点E,连结AC,若AD=AC』2,BD=3则点D至ljBC的距离为()

A.述B.域IC.#jD.713

27

【答案】B

【解析】

【分析】连接CC,交BD于点M,过点D作DHLBC于点H,由翻折知I,△BDC^ABDC5,BD垂直平分

CC,证AADC为等边三角形，利用解直角三角形求出DM=1,CM=j3DM=g，BM=2,在RsBMC中，

利用勾股定理求出BC的长，在ABDC中利用面积法求出DH的长.

解：如图，连接CC,交BD于点M,过点D作DHLBC于点H,

VAD=AC'=2,D是AC边上的中点，

；.DC=AD=2,

由翻折知，△BDCgABDC,BD垂直平分CC,

.".DC=DCf=2,BC=BC,CM=CM,

.,.AD=AC'=DC,=2,

...△ADC为等边三角形，

二ZADC=ZAC,D=ZC,AC=60°,

VDC=DC,,

/DCC'=/DC'C=gx60°=30°,

在Rt^CDM中，/DCC=30。，DC=2,

,

.•.DM=1,CM=73DM=X/3，

•.BM=BD-DM=3-1=2,

在RtABMC中，BC'=^BM2+C'M2=百+（后=不

,11

-：S^DC=-BCDH=-BDCM

：,用DH=3X6

.\.BM=BD-DM=3-1=2,

在RtAC'DM中，BC'=>jBM2+C'M2=汇+（拘2=币

•；%Dc=gBCDH=；BDCM

/.#iDH=3又也

...DH=

7

故选B.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的

长度.

二、填空题：

（1\-1

13.计算：（％—6）°+-.

【答案】3

【解析】

【分析】按照0次基和指数为负数的事的运算规律，即可快速得到答案.

【详解】解：原式=1+2=3

【点睛】本题主要考查了0次累和负次幕的运算规律.掌握运算定律是解答该问题的关键.

14.今年五一节期间，重庆市旅游持续火爆，全市共接待境内外游客超过25600000人次，请把数

25600000用科学记数法表示为.

【答案】2.56xlO7

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为aXIOn的形式，其中i<|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点，由于

25600000有8位，所以可以确定n=8-l=7.

【详解】解：由25600000有8位，所以可以确定n=8-l=7.

所以：25600000=2.56x107；因此答案为：2.56xlO7

【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键.

15.一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随

机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为.

【答案」

【解析】

【分析】先画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式

求解.

红红红

【详解】

黄

白白

黄红红红白白

白黄白红红红

解：画树状图如图：

共有36种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为9,所以两次都摸到红球的概率为三9=上1.故

364

答案为%

【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选

出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出概率即可.

16.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,ZABC=60°,AB=2,分别以点A、点C为圆

心，以A0的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为.（结果保留万）

【答案】2JG-----n

3

【解析】

【分析】根据菱形的性质得到AC_LBD,ZAB0=^ZABC=30°,ZBAD=ZBCD=120°,根据直角三角形

的性质求出AC、BD,根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可.

【详解】解：I四边形ABCD是菱形，

AACIBD,ZAB0=yZABC=30°,ZBAD=ZBCD=120°

.\AO=|AB=I,由勾股定理得，OB=NAB'O代=C

又：AC=2,BD=26，

.•.调影部分面积为：，x2x26—强江x2=2百—2万

23603

故答案为2J5—2乃

3

【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键.

17.某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法

联系，于是乙匀速骑车去追赶甲.乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车

回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物

件，甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽

略不计）.则乙回到公司时.，甲距公司的路程是米.

【答案】6000

【解析】

【分析】根据函数图象和题意可以分别求得甲乙的速度和乙从与甲相遇到返回公司用的时间，从而可以求

得当乙回到公司时，甲距公司的路程.

【详解】解：由题意可得，甲的速度为：40004-（12-2-2）=500米/分,

4000+500x2-500x2

乙的速度为:=1000米/分,

2+2

乙从与甲相遇到返回公司用的时间为4分钟,

则乙回到公司时，甲距公司的路程是：500X（12-2）-500X2+500X4=6000（米）,

故答案为6000.

【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

18.在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增

加经济收入，经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4：3：5,是根据中药材市场对川

香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的二

16

19

种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的一.为使川香种植总面积与贝母种植总

40

面积之比达到3:4,则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是一.

【答案】3:20

【解析】

【分析】设该村已种药材面积X,余下土地面积为y,还需种植贝母的面积为z,则总面积为(x+y),川香

己种植面积』x、贝母已种植面积,X、黄连已种植面积工x,依题意列出方程组，用y的代数式分别表示

3412

x、y,然后进行计算即可.

【详解】解：设该村已种药材面积x,余下土地面积为y,还需种植贝母的面积为z,则总面积为(x+y),

川香已种植面积2x、贝母己种植面积』x、黄连己种植面积2x

3412

5919,、小

—x+—y=—(x+y)(l)

1216-40

依题意可得，「zX-Iz、

［铲+(/-武-沙Qkz卜3:4②

3

由①得③

将③代入②得z=gy

O

3

...贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比=——z=#—=—3

X+y20

2

故答案为3：20.

【点睛】本题考查了三元一次方程组，正确找出等量关系并列出方程是解题的关键

三、解答题：

(9一4。\a2-9

19.计算：(1)(x+y)2-y(2x+y)；(2)。+------+-----

Ia-2)a-2

【答案】(1)X2;(2)3Q—.3

a+3

【解析】

【分析】(1)先将原式展开，然后合并同类型即可;(2)先对括号内的进行运算并将除法转换成乘法，然后运

用分式乘法即可.

【详解】解：（1）x2+2xy+/-2xy-y2=x2

ci~—2cl9—4。〃一9

(2)原式二--------------1------------

、ci—2Q—2,Q—2

a?—6。+9a—2

-----------X-~-

67—267"-9

(a—3)~a—2

a—2(a+3)(。-3)

ci—3

a+3

【点睛】本题主要考查了整数、分式的的四则混合运算，其中在分式运算中，将除法转变成乘法是解答本

题的关键.

20.如图，在AABC中，AB=AC,D是BC边上的中点，连结AD,BE平分/ABC交AC于点E,过点E

作EF〃BC交AB于点F.

(1)若NC=36°,求/BAD的度数.

(2)若点E在边AB上，EF〃AC交AD的延长线于点F.求证：FB=FE.

【答案】(1)NEW=54°;⑵见解析.

【解析】

【分析】(1)利用等腰三角形的三线合一的性质证明NADB=90。，再利用等腰三角形的性质求出/ABC

即可解决问题；

(2)只要证明NFBE=NFEB即可解决问题.

【详解】解：(1)"AB=AC

ZC=ZABC

•.•4=36"

.•.ZABC=36°

••,D为BC的中点，

:.AD±BC

NBAD=90°-ZABC=90°-36°=54°

(2)〈BE平分ZABC

：.ZABE=AEBC

又YEF//BC

:.ZEBC=ZBEF

:.ZEBF=ZFEB

：.BF=EF

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题

型.

21.每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首.今年某校为确保学生安全，开展

了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛.现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛

成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80仝485,B.85支490,

C.90&495,D.954勺00）,下面给出了部分信息:

七年级10名学生的竞赛成绩是：99,80,99,86,99,96,96,100,89,82

八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是:94,90,94

八年抽取的学生竟寡成绩扇形统计图七、八年级抽取的学生竟赛成绩统计表

年级七年级八年级

平均数9292

中位数93b

众数C100

方差5250.4

根据以上信息，解答下列问题:

（1）直接写出上述图表中a,b,c的值;

（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一

条理由即可）;

（3）该校七、八年级共730人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x^90）的学生人

数是多少？

【答案】（1）a=40,b=94,c=99；（2）八年级，见解析；（3）参加此次竞赛活动成绩优秀的人数是468人.

【解析】

【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论：（2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级于是得

到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；（3）利用样本估计总体思想求解可得.

【详解】解：（1）。=[1-20%-10%—吃）x100=40,

•.,八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平方数,

,94+94〜

：.b=----------=94

2

•••在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多,

/.c=99；

(2)八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的中位

数和众数均高于七年级.

13

(3)参加此次竞赛活动成绩优秀(x290)的学生人数=720X—=468人，

20

答：参加此次竞赛活动成绩优秀(x>90)的学生人数是468人.

【点睛】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力：利用统计图获取信息时，必须认真

观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问

22.《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征.在数的学习过程中，

我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数

等.现在我们来研究另一种特殊的自然数一“纯数”.定义；对于自然数n,在计算n+(n+1)+(n+2)

时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“数”，例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，

各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位.

(1)判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；

(2)求出不大于100的“纯数”的个数.

【答案】(1)2019不是“纯数”，2020时“纯数”，见解析；(2)13个.

【解析】

【分析】(1)根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”；(2)根

据题意可以推出不大于100的“纯数”的个数，本题得以解决.

【详解】解：(1)当“=2019时，/7+1=2020,〃+2=2022

,・计算时，个位为9+0+1=10,需要进位，

・•.2019不是“纯数”；

当“=2020时，〃+1=2021,〃+2=2022

•••个位为0+1+2=3,不需要进位：十位为2+2+6,不需要进位：百位为0+0+0=0,不需要进位：

千位为2+2+2=6,不需要进位：

・•.2020是“纯数”；

综上所述，2019不是“纯数”，2020时“纯数”.

(2)由题意，连续的三个自然数个位不同，其他位都相同；

并且，连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进

位；

侬这个数为一位的自然数的时候，只能是0、1、2,共3个；

Q当这个数为二位的自然数的时候，十位只能为1、2、3,个位只能为0、1、2,共9个；

e当这个数为io。时，io。是“纯数”；

..不大于100的“纯数”有3+9+1=13个.

【点睛】本题考查整式的加减、有理数的加法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定

义解答.

23.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函

数解决问题”的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象.同时，

我们也学习了绝对值的意义|a|=J_a（qV0）.结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数

y=|Ax-3|+h中，当x=2时-，y=-4；当1=（）时，y=-1.

（1）求这个函数的表达式；

（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象井并写出这个函数的一条性

质；

（3）已知函y=；x—3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|日—3|+b«gx—3

的解集.

3

【答案】（1）y=-x-3-4i（2）见解析，当xN2时，y随x的增大而增大：当x<2时，y随x的增大

而减小；（3）l<x<4.

【解析】

【分析】（1）根据在函数y=|kx-3|+b中，当x=2时，y=-4；当x=0时，y=-l,可以求得该函数的表达式；（2）

根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象并写出它的一条性质；（3）根据图象可以直接写出所求不等式

的解集.

\2k-3\+b=-4

【详解】解：(1)由题意，可得」

|-3|+Z?=-1

3

k

2

b=-4

二函数的解析式为：y=|x-3—4

当x22时，y随x的增大而增大；当x<2时，y随x的增大而减小；

(3)1<%<4；

【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利

用一次函数的性质和数形结合的思想解答.

24.某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2

倍.物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管

费.

(1)该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？

(2)为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米

和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动.为提离大家的积极性，6月份准备把活动一升级为

活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一.经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动

二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户

3

型户数的基础上将增加2。％,每户物管费将会减少一“％；6月份参加活动的80平方米的总户数在5

月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%,每户物管费将会减少』a%.这样，参加活动的这部分

4

住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少9。%,求a的值.

18

【答案】(1)该小区有250套80平方米住宅；(2)a的值为50.

【解析】

【分析】(1)设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，根据物管费90000元，可列方程

求解；(2)50平方米住宅有500X40%=200户参与活动一，80平方米住宅有250X20%=50户参与活动一;

3

50平方米住宅每户所交物管费为100(1-—a%)元，有200(l+2a%)户参与活动二；80平方米住宅每户

10

所交物管费为160(l--a%)元，有50(l+6a%)户参与活动二.根据参加活动的这部分住户6月份总共缴

4

纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少』a%,列出方程求解即可.

18

【详解】(1)解：设该小区有X套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套.

由题意得知：2x(50x2x+80x)=90000

解得x=250

答：该小区有250套80平方米住宅.

(2)

参与活动一：

50平方米住宅每户所交物管费为100元，有500x40%=200套参与活动一，

80平方米住宅每户所交物管费为160元，有250x20%=50套参与活动二，

参与活动二：

50平方米住宅每户所交物管费为100义(1-慨a%]元，有200x(1+2。％)套参与活动一；

80平方米住宅每户所交物管费为160x11—元，有5050x(1+6。％)套参与活动二；

由题意得：200x(l+2a%).100x11-Q%)+50x(1+6a%)•160x11a%)=

[200x(1+2«%)-100+50x(1+6«%)-160]^l-^«%J

令f=Q%.

化简得：r(2r-l)=0.

解得：G=0（舍去），t,=-

2

a=50a=0（舍去）

答：〃的值为50.

【点睛】本题是一元二次方程的综合应用题，数据较多，分析清楚题目中相关数据，根据等量关系列出方

程是解题的关键.

25.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE,EMJAE,垂足为E,交CD于点M,

AFJBC,垂足为F,BHJAE,垂足为H,交AF于点N,点P显AD上一点，连接CP.

(1)若DP=2AP=4,CP=V17，CD=5,求4ACD的面积.

(2)若AE=BN,AN=CE,求证：AD=0CM+2CE.

【答案】（1）ACD=12；（2）见解析.

【解析】

【分析】（1）作CGJ_AD于G,设PG=x,则DG=4-x,在R5PGC和IRMDGC中，由勾股定理得出方程,

解方程得出x=l,即PG=1,得出GC=4,求出AD=6,由三角形面积公式即可得出结果；

（2）连接NE,证明ANBFgZ\EAF得出BF=AF,NF=EF,再证明AANE四△ECM得出CM=NE,由NF=

图1

解：（1）解：作CG_LA。于G,如图1所示:

设PG=x,贝lj£>G=4-x,

在Rl/kPGC中，GC2=CP2-PG2=\1-x2,

在Rtz\£)GC中，GC2=CD2-GD2=52-(4-x)』9+8x-

/.17-x2—9+8x-x2,

解得：x=l,即PG=1,

・・・GC=4,

a

：DP=2AP=4f

・・.A£>=6,

**•S&ACD=5xA£)xCG=-x6x4=12；

图2

(2)证明：连接NE,如图2所示：

9：AHLAE,AFLBC,AELEM,

：.NAEB+NNBF=ZAEB+ZEAF=NAEB+NMEC=9。。,

ZNBF=NEAF=NMEC,

ZNBF=ZEAF

在aNB/和中，<ZBFN=ZEFA,

AE=BN

:•△NBFQ/\EAF(AAS),

：.BF=AF,NF=EF,

：.ZABC=45°,/ENF=45。,FC=AF=BF,

:・/ANE=NBCD=135。,AD=BC=2AFf

/HEC=ZEAF

在△4可£：和△ECM中，｛AN=EC,

ZANE=ZECM

:•丛ANEm/\ECM(ASA),

：.CM=NE,

又NF=—NE=—MC,

22

6

：.AF=—MC+EC,

2

.*.A£>=夜MC+2EC.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知

识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键.

四、解答题：

26.如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A,B（点A在点B的左侧）交y轴于

点C,点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E.

（1）连结BD,点M是线段BD上一动点（点M不与端点B,D重合），过点M作MNJBD交抛物线于点

N（点N在对称轴的右侧），过点N作NHk轴，垂足为H,交BD于点F,点P是线段OC上一动点，当

MN取得最大值时，求HF+FP+’PC的最小值；

3

（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个二单位得到点Q,

2

连结AQ,把AACIQ绕点0瓶时针旋转一定的角度a（0°<a<360°）,得到△AOQ,其中边AQ交坐标

轴于点C在旋转过程中，是否存在一点G使得NQ'=NQ'OG?若存在，请直接写出所有满足条件的点

Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）,+也I；（2）存在，Q的坐标（宜1,-逑），（空，巫）,（-述，拽），

33555555

（4非2亚、

（----，-------）

55

【解析】

【分析】（1）先确定点F的位置，可设点N（m,m2-2m-3）,则点F（m,2m-6）,可得|NF|=（2m-6）-（m2-

b

2m-3）=-m2+4m-3,根据二次函数的性质得0I=——时，NF取到最大值，此时HF=2,F（2,-2）,在x轴

2a

上找一点K（一述，0）,连接CK,过点F作CK的垂线交CK于点J,交y轴于点P,sinZOCK=-

43

，直线KC的解析式为：y=-20X-3,从而得到直线FJ的解析式为：y=也8-七也联立解出点J

,42

(2-272-19-4夜

-9-，9

)得FP+’PC的最小值即为FJ的长，且|E/|="l+*也，最后得出++=7+4夜;

(2)由题意可得出点Q(0,-2),A2=逐，应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半”取AQ

的中点G,