新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题05 基本不等式及其应用(原卷版)

专题05基本不等式及其应用【考纲要求】1、能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小2、能初步运用基本不等式证明简单的不等式．3、熟练掌握基本不等式及其变形的应用，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题4、能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．【思维导图】【考点总结】一、重要不等式及证明如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．请证明此结论．证明∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”．二、基本不等式1．内容：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，其中a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．2．证明：∵a＋b－2eq\r(ab)＝(eq\r(a))2＋(eq\r(b))2－2eq\r(a)·eq\r(b)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0.∴a＋b≥2eq\r(ab).∴eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．三、基本不等式的常用推论1．ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)．2.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．3．当ab>0时，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；当ab<0时，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≤－2.4．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．四、基本不等式求最值1．理论依据：(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为eq\f(s2,4).(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2eq\r(p).2．基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．【题型汇编】题型一：基本不等式及其应用题型二：利用基本不等式求最值题型三：利用基本不等式解决实际问题【题型讲解】题型一：基本不等式及其应用一、单选题1．（2022·全国·高考真题（文））已知SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·江西赣州·二模（理））在等差数列SKIPIF1<0和等比数列SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则下列关系式中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·四川攀枝花·三模（理））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则a，b，c的大小关系正确的是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知x，y都是正数，且SKIPIF1<0，则下列选项不恒成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·河北石家庄·二模）已知SKIPIF1<0，则x､y､z的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·江西新余·二模（文））设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题1．（2022·湖南衡阳·三模）已知实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则下列不等式正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03（2022·河北邯郸·一模）下列大小关系正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a和b，满足SKIPIF1<0，下列不等式正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题1．（2021·河南·模拟预测（文））已知关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0有两个实根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则下列不等式中正确的有______.（填写所有正确结论的序号）①SKIPIF1<0；

②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0；

④SKIPIF1<0.2．（2021·全国·模拟预测）已知等比数列SKIPIF1<0的各项均为正数，SKIPIF1<0，且存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为________．四、解答题1．（2022·江西南昌·三模（理））已知函数SKIPIF1<0，已知不等式SKIPIF1<0恒成立.(1)求SKIPIF1<0的最大值SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.2．（2022·四川·成都七中三模（文））设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立．(1)求实数m的取值范围；(2)求证：SKIPIF1<0．3．（2022·宁夏·银川一中二模（理））已知函数SKIPIF1<0(1)若不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，求实数a的值.(2)若SKIPIF1<0，求证:SKIPIF1<0.题型二：利用基本不等式求最值一、单选题1．（2022·上海黄浦·二模）若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均为非零实数，则不等式SKIPIF1<0成立的一个充要条件为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·广东茂名·二模）已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．SKIPIF1<03．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，对于任意SKIPIF1<0，必有SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0只有一个零点，则函数SKIPIF1<0有（

）A．最小值为SKIPIF1<0 B．最大值为SKIPIF1<0 C．最小值为4 D．最大值为44．（2022·山东淄博·三模）已知正项等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差数列．若存在两项SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·江西萍乡·三模（文））已知正实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·全国·二模（理））△ABC中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则AB边上的高的最大值为（

）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·全国·二模（理））动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题1．（2022·全国·高考真题）若x，y满足SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·山东临沂·三模）下列命题正确的是（

）A．正实数x，y满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为4B．“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”成立的充分条件C．若随机变量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．命题SKIPIF1<0，则p的否定：SKIPIF1<03．（2022·湖南师大附中三模）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的可能取值有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·辽宁沈阳·三模）已知SKIPIF1<0分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且SKIPIF1<0，则下列说法正确的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减C．SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称 D．SKIPIF1<0的最小值为15．（2022·河北唐山·三模）下列命题正确的有（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0三、双空题1．（2022·天津·耀华中学二模）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D为SKIPIF1<0中点，P为SKIPIF1<0上一点，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________；SKIPIF1<0的最小值为___________.2．（2022·天津·二模）如图直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量的模为____________；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为_______．3．（2022·辽宁·东北育才学校二模）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在定义域内为单调递减函数，则实数SKIPIF1<0的最小值为___________；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为___________.四、填空题1．（2022·上海虹口·二模）函数SKIPIF1<0的值域为_________.2．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取到最小值时，SKIPIF1<0___________．五、解答题1．（2022·全国·高考真题）记SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求B；(2)求SKIPIF1<0的最小值．2．（2022·上海·高考真题）在椭圆SKIPIF1<0中，直线SKIPIF1<0上有两点C、D(C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.(1)若∠AFBSKIPIF1<0，求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；(3)已知直线BC与椭圆SKIPIF1<0相交于点P，直线AD与椭圆SKIPIF1<0相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求SKIPIF1<0的最小值.题型三：利用基本不等式解决实际问题一、单选题1．（2022·陕西西安·三模（文））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则以下不等式正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·安徽省舒城中学一模（文））在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的外接圆圆心分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·山西·怀仁市第一中学校一模（理））已知三棱锥SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0在底面的射影SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂心，若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0的面积之和的最大值为8时，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·四川·石室中学二模（理））设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线SKIPIF1<0上任意一点，M是线段PF上的点，且SKIPIF1<0，则直线OM的斜率的最大值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题1．（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（

）A．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0C．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<02．（2022·浙江·模拟预测）已知三棱锥SKIPIF1<0，过顶点B的平面SKIPIF1<0交分别棱AC，AD于M，N（均不与棱端点重合）．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别表示三棱锥SKIPIF1<0和三棱锥SKIPIF1<0的体积．下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·广东肇庆·二模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0三、双空题1．（2022·浙江台州·二模）已知正实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为___________；SKIPIF1<0的最大值为___________.四、填空题1．（2022·全国·高考真题（理））已知SKIPIF1<0中，点D在边BC上，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0取得最小值时，SKIPIF1<0________．

2．（2022·山东济南·三模）2022年3月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0千米．现需要在SKIPIF1<0，OB，SKIPIF1<0上分别取一点D，E，F，建造三条健走长廊DE，DF，EF，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为______千米．五、解答题27．（2022