新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题12 解三角形(原卷版)

专题12解三角形【考纲要求】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、正弦定理和余弦定理【思维导图】【考点总结】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形形式a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝eq\f(1,2)ah(h表示边a上的高)．(2)S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsin_B＝eq\f(1,2)absinC.(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．【常用结论】1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．二、解三角形的综合应用【思维导图】【考点总结】1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．常用结论测量中的几种常见问题求AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达∠ACB＝αBC＝a解直角三角形AB＝atanα底部不可达∠ACB＝α∠ADB＝βCD＝a解两个直角三角形AB＝eq\f(atanαtanβ,tanβ－tanα)求水平距离山两侧∠ACB＝αAC＝bBC＝a用余弦定理AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα)河两岸∠ACB＝α∠ABC＝βCB＝a用正弦定理AB＝eq\f(asinα,sin（α＋β）)河对岸∠ADC＝α∠BDC＝β∠BCD＝δ∠ACD＝γCD＝a在△ADC中，AC＝eq\f(asinα,sin（α＋γ）)在△BDC中，BC＝eq\f(asinβ,sin（β＋δ）)在△ABC中，应用余弦定理求AB【题型汇编】题型一：正弦定理题型二：余弦定理题型三：三角形的面积公式题型四：解三角形的实际应用【题型讲解】题型一：正弦定理一、单选题1．（2022·江西南昌·二模（理））在SKIPIF1<0中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．8 B．6 C．5 D．32．（2022·吉林·延边州教育学院一模（文））已知SKIPIF1<0，内角SKIPIF1<0的对边分别是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<03．（2022·江西·二模（文））设在SKIPIF1<0中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0不唯一，则m的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·四川·乐山市教育科学研究所二模（文））设SKIPIF1<0的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0，则A=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·陕西西安·三模（文））在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<06．（2022·安徽·芜湖一中一模（文））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若SKIPIF1<0，则角A的大小为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·贵州黔东南·一模（理））设a，b，c分别为SKIPIF1<0内角A，B，C的对边．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·湖南省临澧县第一中学一模）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题1．（2022·重庆八中模拟预测）在△SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则△SKIPIF1<0为等边三角形题型二：余弦定理一、单选题1．（2022·陕西商洛·二模（文））SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．22．（2022·四川雅安·三模（文））在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·陕西咸阳·二模（文））在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．44．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．16 B．9 C．－9 D．－165．（2022·北京昌平·二模）在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0只需添加一个条件，即可使△SKIPIF1<0存在且唯一.条件：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0中，所有可以选择的条件的序号为（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③6．（2022·内蒙古包头·二模（文））SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．9 B．6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·陕西榆林·三模（理））△SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若△SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．10 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·全国·二模（理））△ABC中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则AB边上的高的最大值为（

）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题1．（2022·广东广州·三模）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．下面四个结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的外接圆半径是4B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0一定是钝角三角形D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0三、解答题1．（2022·北京市第十二中学三模）SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0的大小；(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求SKIPIF1<0的面积.条件①：SKIPIF1<0；条件②：SKIPIF1<0；条件③：SKIPIF1<0；条件④：SKIPIF1<0.题型三：三角形的面积公式一、单选题1．（2022·江西萍乡·三模（文））在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为角SKIPIF1<0的对边，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为2，则边长SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·江西鹰潭·一模（理））SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，设D是SKIPIF1<0边的中点，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于(

)A．2 B．4 C．-4 D．-23．（2022·天津河西·三模）已知SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学一模（理））在SKIPIF1<0中，角A，B，C所以对的边分别为a，b，c，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或35．（2022·江西·南昌市实验中学一模（文））在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对应边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）.A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·宁夏银川·一模（理））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若SKIPIF1<0，则△ABC面积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、解答题1．（2022·北京·潞河中学三模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)SKIPIF1<0的值；(2)SKIPIF1<0的面积.条件①：SKIPIF1<0；条件②：SKIPIF1<0.题型四：解三角形的实际应用一、单选题1．（2022·青海西宁·一模（文））某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地.经测量，这块三角形空地的两边长分别为32m和68m，它们的夹角是SKIPIF1<0.已知改造费用为50元/m2，那么，这块三角形空地的改造费用为（

）A．SKIPIF1<0元 B．SKIPIF1<0元 C．SKIPIF1<0元 D．SKIPIF1<0元2．（2022·江西师大附中三模（理））滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为SKIPIF1<0，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为SKIPIF1<0，则小明估算滕王阁的高度为（

）（精确到SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·江西师大附中三模（文））地处赣江东岸的腾王阁与岳阳楼､黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一､“中国十大历史文化名楼”之一，世称“西江第一楼”.“云销雨霁，彩彻区明.落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色.渔舟唱晚，响穷彭蠡之滨；雁阵惊寒，声断衡阳之浦”是唐代文学家王勃对腾王阁的生动描写.某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进72米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若SKIPIF1<0，则楼高AB约为（

）A．58米 B．68米 C．78米 D．88米4．（2022·四川泸州·二模（理