新高考数学一轮复习精讲精练10.4 双曲线（基础版）（解析版）

10.4双曲线（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一双曲线的定义及应用【例1-1】（2022·潮州二模）若点P是双曲线SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的左、右焦点，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或1（舍去），若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或13，故“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要条件．故答案为：A．【例1-2】（2022·成都模拟）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0面积为（）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】∵双曲线SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又点P在双曲线C的右支上，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0.故答案为：B.【例1-3】（2022常州期中）已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为双曲线左支上一点，点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0周长的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】曲线SKIPIF1<0右焦点为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0周长SKIPIF1<0要使SKIPIF1<0周长最小，只需SKIPIF1<0最小，如图：当SKIPIF1<0三点共线时取到，故l=2|AF|+2a=SKIPIF1<0故答案为：B【例1-4】（2021河北月考）已知方程SKIPIF1<0表示双曲线，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为方程SKIPIF1<0表示双曲线，所以当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.综上所述，实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。故答案为：C【一隅三反】1．（2022高三上·广东开学考）“k<2”是“方程SKIPIF1<0表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵方程SKIPIF1<0为双曲线，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0为双曲线”的充分不必要条件，故答案为：A.2．（2022·运城模拟）已知双曲线SKIPIF1<0的左右焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线上一点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．1或13 B．1 C．13 D．9【答案】C【解析】根据双曲线定义可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：C3．（2022红塔月考）已知SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左焦点，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线右支上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．9 B．5 C．8 D．4【答案】A【解析】设右焦点为F'，则F'(4，0)，依题意，有PF|=|PF'|+4，|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9(当P在线段AF'上时，取等号)故|PF|+|PA|的最小值为9.故答案为：A4（2022广东）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点，若P是双曲线左支上的点，且SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0的面积为（）A．8 B．SKIPIF1<0 C．16 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为P是双曲线左支上的点，所以SKIPIF1<0，两边平方得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。故答案为：C考点二双曲线的离心率及渐近线【例2-1】（2022龙岗期中）双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0表示焦点在y轴上的双曲线，且a2=3，b2=1，则SKIPIF1<0则渐近线为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为为：A【例2-2】（2022长春月考）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若以A，B为焦点的双曲线经过点C，则该双曲线的离心率为()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为a，c，因为SKIPIF1<0，所以AC>BC，因为以A，B为焦点的双曲线经过点C所以AC-BC=2a，AB=BC=2c，在三角形ABC中由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得AC2=12c2，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C【例2-3】（2022·重庆市模拟）已知双曲线C：SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0为等边三角形，且线段SKIPIF1<0的中点恰在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如图所示，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在双曲线C的右支上，又SKIPIF1<0为等边三角形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0连接SKIPIF1<0，则在等边三角形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0.故答案为：C.【一隅三反】1．（2022·湖南模拟）已知O是坐标原点，F是双曲线SKIPIF1<0的右焦点，过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A，O，则双曲线C的渐近线方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由已知，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为以F为圆心的圆经过点A，O，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则△SKIPIF1<0为等边三角形，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以双曲线C的渐近线方程为SKIPIF1<0.故答案为：A2．（2022高三上·广西开学考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且SKIPIF1<0；则C的离心率为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】SKIPIF1<0。故答案为：B3．（202怀仁期末）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点），且SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：D4（2022德州月考）已知双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】作SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，如图，依题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，由双曲线定义知SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为离心率SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0。故答案为：B5．（2022辽宁期中）（多选）已知双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线上一点，若SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率可以是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A,B【解析】SKIPIF1<0是双曲线右支上一点，SKIPIF1<0则有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则双曲线的离心率取值范围为SKIPIF1<0AB符合题意；CD不符合题意.故答案为：AB考点三双曲线的标准方程【例3-1】（2022·海宁模拟）已知双曲线C的渐近线方程为SKIPIF1<0，且焦距为10，则双曲线C的标准方程是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【解析】渐近线方程为SKIPIF1<0的双曲线为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故答案为：C．【例3-2】（2022·河西模拟）已知双曲线的一个焦点与抛物线SKIPIF1<0的焦点重合，且双曲线上的一点SKIPIF1<0到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，故双曲线的焦点在SKIPIF1<0轴上，故设双曲线方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；由双曲线定义知：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；故可得SKIPIF1<0；则双曲线方程为：SKIPIF1<0.故答案为：C.【一隅三反】1．（2022·河南模拟）已知双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的左焦点，且SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意可知，双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在一条渐近线上，如图示：所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且两条渐近线的倾斜角分别为60°，120°，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点），所以SKIPIF1<0为等边三角形，从而SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，故答案为：A.2（2021高三上·宁波期末）已知双曲线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0有相同的渐近线，且它们的离心率不相同，则下列方程中有可能为双曲线SKIPIF1<0的标准方程的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】双曲线SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则渐近线方程为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0。对于A，SKIPIF1<0，则离心率SKIPIF1<0，故A错误；对于B，SKIPIF1<0，则渐近线方程为SKIPIF1<0，故B错误；对于C，SKIPIF1<0，则离心率SKIPIF1<0，故C错误；对于D，SKIPIF1<0，则渐近线方程为SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0，故D正确。故选：D3（2022南山期末）已知双曲线C过点SKIPIF1<0且渐近线为SKIPIF1<0，则双曲线C的方程是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意可设双曲线的方程为SKIPIF1<0，即3x2-y2=λ将点SKIPIF1<0代入上式，得SKIPIF1<0则双曲线的方程为3x2-y2=1故答案为：A4．（2022商丘）若方程SKIPIF1<0表示双曲线，则实数m的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】方程SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，它表示双曲线，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：A．5．（2021肇东月考）以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点且过点SKIPIF1<0的双曲线方程是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则双曲线方程是SKIPIF1<0，故答案为：A考点四直线与双曲线的位置关系【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）过SKIPIF1<0且与双曲线SKIPIF1<0有且只有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【解析】当斜率不存在时，过SKIPIF1<0的直线与双曲线没有公共点；当斜率存在时，设直线为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0①.当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，①式只有一个解；当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；综上可知过SKIPIF1<0且与双曲线SKIPIF1<0有且只有一个公共点的直线有4条.故选：D.【例4-2】（2022·全国·专题练习）若过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0:SKIPIF1<0的右支相交于不同两点，则直线SKIPIF1<0斜率的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意可得直线SKIPIF1<0斜率存在，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设交点SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，故选：D．【一隅三反】1．（2022·安徽）直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0没有公共点，则斜率k的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】联立直线SKIPIF1<0和双曲线：SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，此时方程为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时直线与双曲线有且只有一个交点；当SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时直线与双曲线无交点；故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线SKIPIF1<0的一个顶点为A，过点A的直线SKIPIF1<0与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0，过点A的直线SKIPIF1<0与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线SKIPIF1<0平行，且过双曲线右顶点(a，0)，故SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，且a-3=0，解得a=3，b=1，故c=SKIPIF1<0，故焦距为2c=SKIPIF1<0．故选：D．考点五弦长与中点弦【例5-1】（2021·江西省）已知双曲线x2－y2＝a2（a＞0）与直线y＝SKIPIF1<0x交于A、B两点，且｜AB｜＝2SKIPIF1<0，则a＝_____【答案】3【解析】由题设，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故答案为：3【例5-2】（2022·河南·模拟预测（文））已知双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为坐标原点，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率的乘积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式作差，并化简得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故选：B.【一隅三反】1．（2021·全国·高二课时练习）已知双曲线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过SKIPIF1<0的直线MN为SKIPIF1<0，联立双曲线：SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.弦长|MN|SKIPIF1<0.故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0过左焦点SKIPIF1<0作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为SKIPIF1<0，则b的值是（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：D.3．（2022·山东烟台·三模）过双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的焦点且斜率不为0的直线交SKIPIF1<0于A，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】妨设过双曲线SKIPIF1<0的焦点且斜率不为0的直线为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为SKIPIF1<0，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为SKIPIF1<0，则C的离心率为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由F、N两点的坐标得直线l的斜率SKIPIF1<0．∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．设双曲线C的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴双曲线C的离心率SKIPIF1<0．故选：B．5．（2022·四川省）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（SKIPIF1<0，0）．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝x+2与双曲线交于A，B两点，求弦长|AB|．【答案】(1)SKIPIF1<0y2＝1(2)2SKIPIF1<0【解析】(1)由已知得aSKIPIF1<0，c＝2，再由c2＝a2+b2，得b2＝1，所以双曲线C的方程为SKIPIF1<0y2＝1．(2)由直线与双曲线联立得2x2+12x+15＝0，解得x＝﹣3±SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴|AB|SKIPIF1<02SKIPIF1<0．10.4双曲线（精练）（基础版）题组一题组一双曲线的定义及应用1．（2021·太原期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左右焦点，点P在该双曲线上，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．4 B．4或6 C．3 D．3或7【答案】D【解析】由双曲线定义知：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<03或7，故答案为：D.2．（2022郫都期中）双曲线SKIPIF1<0的两个焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，双曲线上一点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为11，则点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为（）A．1 B．21 C．1或21 D．2或21【答案】B【解析】不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为双曲线的左右焦点，当P在双曲线的左支时，由双曲线的定义可知，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0=11，所以SKIPIF1<0，当P在双曲线的右支时，由双曲线的定义可知，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0=11，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以右支上不存在满足条件的点P.故答案为：B.3．（2021怀仁期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左右焦点，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0的右支交于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的周长的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由双曲线SKIPIF1<0可知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0当SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0的周长最小值为SKIPIF1<0故答案为：C4．（2022奉贤期中）已知SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0分别为双曲线的左、右焦点.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】5【解析】因为双曲线的渐近线方程为3x-y=0，即y=3x=SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得a=1，根据双曲线定义P是双曲线SKIPIF1<0右支上的一点，满足|PF1|-|PF2|=2a=2，所以|PF1|=|PF2|+2=5.故答案为：55．（2022·开封模拟）若双曲线SKIPIF1<0的焦距为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0．【答案】4或SKIPIF1<0【解析】当焦点在x轴时，可得m>0，2m−4>0，2m+2m−4=42当焦点在y轴时，可得m<0，2m−4<0，2−m+4−2m=42所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：4或SKIPIF1<06．（2022·岳普湖模拟）已知双曲线SKIPIF1<0，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆.则M的横坐标为，若F1到圆M上点的最大距离为SKIPIF1<0，则△F1PF2的面积为.【答案】1；SKIPIF1<0【解析】双曲线的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.设圆SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0相切于SKIPIF1<0，根据双曲线的定义可知SKIPIF1<0，根据内切圆的性质可知SKIPIF1<0①，而SKIPIF1<0②.由①②得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0到圆M上点的最大距离为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0在第一象限，解得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以△F1PF2的面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：1；SKIPIF1<07．（2021温州期中）已知双曲线x2-y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则∣PF1∣+∣PF2∣的值为.【答案】SKIPIF1<0【解析】∵PF1⊥PF2，SKIPIF1<0∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值为SKIPIF1<0故答案为SKIPIF1<0题组二题组二双曲线的离心率及渐近线1．（2021高三上·南开期末）已知双曲线SKIPIF1<0，过原点作一条倾斜角为SKIPIF1<0的直线分别交双曲线左、右两支于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，以线段SKIPIF1<0为直径的圆过右焦点SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为（）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设双曲线的左焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如下图所示：由题意可知，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，也为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为矩形，故SKIPIF1<0，由已知可知SKIPIF1<0，由直角三角形的性质可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为等边三角形，故SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故答案为：A.2．（2022湖南月考）已知双曲线的左焦点为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为双曲线右支上一点，SKIPIF1<0为坐标原点，满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】∵SKIPIF1<0，O为SKIPIF1<0的中点，∴△SKIPIF1<0为直角三角形，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴e＝SKIPIF1<0.故答案为：B.3．（2021·全国甲卷）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由|PF1|=3|PF2|，|PF1|-|PF2|=2a得|PF1|=3a，|PF2|=a在△F1PF2中，由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故答案为：A4．（2022·靖远模拟）若双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线与直线y＝2围成了一个等边三角形，则C的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】D【解析】由题意得：渐近线方程的斜率为SKIPIF1<0，又渐近线方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以C的离心率为SKIPIF1<0故答案为：D5．（2022·新乡三模）已知双曲线SKIPIF1<0的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】B【解析】因为双曲线C的顶点SKIPIF1<0到一条渐近线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，双曲线C的离心率SKIPIF1<0.故答案为：B6．（2022·湘赣皖模拟）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，双曲线C上一点P到x轴的距离为c，且SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】作SKIPIF1<0轴于M，依题意SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等腰直角三角形，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由双曲线定义知SKIPIF1<0．而SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，双曲线离心率SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故答案为：C．7．（2022·济南二模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点，点P在双曲线上，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为.【答案】SKIPIF1<0【解析】不妨假设点P在双曲线右支上，则SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<08．（2022·汝州模拟）已知双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线所夹锐角为SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为．【答案】SKIPIF1<0【解析】由于SKIPIF1<0，双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线的渐近线与SKIPIF1<0轴夹角小于SKIPIF1<0，由，得SKIPIF1<0，则双曲线的离心率SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0题组三题组三双曲线的标准方程1．（2022·安徽模拟）与椭圆SKIPIF1<0共焦点且过点SKIPIF1<0的双曲线的标准方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】椭圆SKIPIF1<0的焦点坐标为SKIPIF1<0，设双曲线的标准方程为SKIPIF1<0，由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，双曲线的方程为SKIPIF1<0。故答案为：C.2．（2022合肥期末）已知点SKIPIF1<0分别是等轴双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为8，则双曲线SKIPIF1<0的方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以双曲线方程为SKIPIF1<0．故答案为：D．3．（2022资阳期末）已知双曲线SKIPIF1<0过三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中的两点，则SKIPIF1<0的方程为.【答案】SKIPIF1<0【解析】根据双曲线SKIPIF1<0的对称性可知，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在双曲线图像上，将其代入双曲线方程，所以8a2=1，16a2−4b所以双曲线C：SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.4．（2022徐汇期末）已知双曲线经过点SKIPIF1<0，其渐近线方程为SKIPIF1<0，则该双曲线的方程为．【答案】SKIPIF1<0【解析】考虑到双曲线的实轴可能在x轴，也可能在y轴，分别设双曲线方程如下：实轴在x轴时，设双曲线方程为：SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0…①其渐近线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0…②联立①②，解得SKIPIF1<0，双曲线方程为SKIPIF1<0；实轴在y轴时，设双曲线方程为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0…③其渐近线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0…④联立③④，无解；故答案为：SKIPIF1<0.5．（2022河南月考）经过点SKIPIF1<0且与双曲线SKIPIF1<0有公共渐近线的双曲线方程为．【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意设所求双曲线的方程为SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0在双曲线上，∴SKIPIF1<0，∴所求的双曲线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。答案：SKIPIF1<0。6．（2022·湖北模拟）在平面直角坐标系中，已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上任意一点，线段SKIPIF1<0的垂直平分线与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0