平面向量易考点考向知识点总结分析,平面向量高考真题及答案解析

考点17平面向量的概念及其线性运算

i.平面向量的实际背景及基本概念

（1）了解向量的实际背景.

（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.

（3）理解向量的几何表示.

2.向量的线性运算

（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.

（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.

）知识整合,

一、平面向量的相关概念

名称定义表示方法注意事项

既有大小又有方向的量叫做向

向量血或4;

向量量；向量的大小叫做向量的长度平面向量是自由向量

模|而|或|@|

（或模）

长度等于。的向量，方向是任意

零向量记作0零向量的方向是任意的

的

非零向量a的单位向量是

单位向

长度等于1个单位的向量常用e表示a

量

\a\

平行向

方向相同或相反的非零向量

量。与b共线可

0与任一向量平行或共线

共线向记为a=Ab

平行向量又叫共线向量

量

相等向两向量只有相等或不等，不

长度相等且方向相同的向量a=b

量能比较大小

相反向

长度相等且方向相反的向量a=-b0的相反向量为0

量

二、向量的线性运算

1.向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律

向量-

4定义法则（或几何意义）运算律

运算

Zjh(1)交换律：

求两个向aab=ba

加法量和的运三角形法则(2)结合律：

算纣(ab)1c=a

(be)

平行四边形法则

求a与8

的相反向

量一6的和

减法a-b=a+(―b)

的运算叫

三角形法则

做a与b

的差

(1)!Aa=1a;

入(“)=入"。；

求实数；I(2)当A>0时。a的

(入+幺)a=Aa

与向量a方向与a的方向更

数乘注a；

的积的运包;当A<0时,Aa的

A(ab)=%a+

算方向与a的方向相

Xb

匣；当A=0时，碗=?

2.共线向量定理

向量a(分0)与方共线，当且仅当有唯一的一个实数人使得方=加.

【注】限定a#0的目的是保证实数2的存在性和唯一性.

考向一平面向量的基本概念

解决向量的概念问题应关注以卜.七点：

(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.

(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关.

(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未

必是相等向量.

(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动

混为一谈.

(6)非零向量。与的关系：、-是a方向上的单位向量.

(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比

较大小.

典例引领

典例1下列命题正确的是

A.单位向量都相等B.模为。的向量与任意向量共线

C.平行向量不一定是共线向量D.任一向量与它的相反向量不相等

【答案】B

【解析】对于A,单位向量的模长相等，方向不一定相同，A错误；

对于B,模为0的向量为零向量，零向量和任一向量平行，，B正确；

对于C,共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，，C错误：

对于D,例如零向量，与它的相反向量相等，，D错误.

故选B.

变式拓展

1.给出下列四个命题：

①若同=例，则a=6；

②若A,B,C,D是不共线的四点，则AB=。6是四边形ABC。为平行四边形的充要条

件；

③若a=b,b=c,则。=。；

④a=〃的充要条件是同=同且.

其中正确命题的序号是

A.①②B.②③

C.③④D.②④

考向二向量的线性运算

平面向量线性运算问题的求解策略：

(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、

相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量

表示出来.

(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、

提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.

(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；

②寻找相应的三角形或多边形；

③运用法则找关系；

④化简结果.

典例引领

典例2若A、B、C、。是平面内任意四点，给出下列式子：

①通+丽=觉+丽，®AC+BD^BC+AD,@AC-BD=DC+AB.

其中正确的有

A.3个B.2个

C.1个D.0个

【答案】B

【解析】①而+函=而+丽的等价式是—次=而一而，左边=4月+4万，右

边=就+加，不一定相等；

②/+丽=及+亚的等价式是恁一加二1一8万，左边=右边=反，故正确；

③前一而=反+而的等价式是/一通=8万+反，左边=右边=成，故正确.

所以正确的有2个，故选B.

【名师点睛】熟练掌握向量的线性运算法则是解题的关键.

变式拓展

2.如图所示，在正方形A8CD中，E为A8的中点，F为CE的中点，则万=

3一1一

A.-AB+-AD

44

3一|一

C.-AB+ADD.-AB+-AD

242

典例引领

典例3如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与3。交于点O,AB+AD^AAO,

则2=.

【答案】2

【解析】由平行四边形法则，得而+通=/=2而，故4=2.

变式拓展

__2____]_________

3.如图，在AABC中，AD=-AC,BP=-PD,若丽=4通+〃/，则丸+〃的

值为

13

-

EB.4-

AC.

87

-D

9-9-

考向三共线向量定理的应用

共线向量定理的主要应用：

(1)证明向量共线：对于非零向量4,b,若存在实数人使4=加，则4与力共线.

(2)证明三点共线：若存在实数九使通=2恁，则A,B,C三点共线.

【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.

(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.

典例引领

典例4已知两个非零向量。与分不共线.

(1)若脑=。+6,夙7=2a+8瓦金=3(。-办求证:三点共线；

(2)试确定实数匕使履+〃和。+姑共线.

［解析］(1)AB=a+b,BfC=2a+8b,(TD=3(a-b),

ifD—BC+C£)=2a+86+3(a-ft)=5(a+ft)=5/17?,

・,•脑，丽共线，

又；它们有公共点民

・・・A,8Q三点共线.

(2):•痴+〃与。+助共线，

・・・存在实数九使得ka+b=Ma+助,

(k-A)a=(Ak-1)b.

・・,a,b是两个不共线的非零向量，

k-X=Xk-1=0,

Ic1-1=0,

k=1或-1.

【名师点睛】利用向量证明三点共线时，一般是把问题转化为证明过同一点的两条有向线段

所在的向量共线.对于第（2）问，解决此类问题的关键在于利用向量共线的条件得出

妨），再利用对应系数相等这一条件，列出方程组，解出参数.

变式拓展

4.如图,MN是平行四边形A8C。的边AD,C£＞的中点,是对角线AC的三等分点，求

证:氏三点共线，且B,F,N三点共线.

、学点冲关季（

1.下列说法正确的是

A.向量而与向量而是共线向量，则点A6,。,。必在同一条直线上

B.两个有共同终点的向量，一定是共线向量

C.长度相等的向量叫做相等向量

D.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同

2.已知。是正六边形ABCDEF的中心，则与向量砺平行的向量为

A.AB+ACB.AB+BC+CD

C.AB+AF+CDD.AB+CD+DE

3.设M是平行四边形A6CO的对角线的交点，。为任意一点（且不与〃重合），则

丽+丽+花+丽等于

A.OMB.20M

C.30MD.40M

4.设。为△ABC所在平面内一点，配=4前，则

'-1.4■.1.5.

A.AD=——AB+-ACB.AD=——AB+-AC

3344

.1.4■.4.1.

C.AD^-AB+-ACD.AD^-AB——AC

5533

5.已知。,方为非零不共线向量，向量8a—处与—依+》共线，贝蛛=

A.2A/2B.-2V2

C.+2V2D.8

6.已知a,。为两非零向量，若|a+b|=|a一4，则a与的夹角的大小是

A.90B.60

C.45°D.30°

7.已知非零向量。,万，且丽=a+2瓦%=一5。+6瓦丽=7。一2b,则一定共线的三点

是

A.4、B、DB.4、B、C

C.B、C、DD.A、C、D

8.如图，。在△ABC的内部，。为AB的中点，且函+丽+2诙=0，则△ABC的

面积与八4。。的面积的比值为

C.5D.6

9.已知。为△ABC内一点，且=月+阮），通=「前，若8,。，。三点共线,

则，的值为

10.已知等边三角形ABC中，。是线段AC的中点，垂足为是线段80的

中点，则应=

A.--BD+-FCB.-BD--FC

8484

C.-BD--FCD.--BD+-FC

8484

11.在△A8C中，点M，N满足4%=2而,而=而.若Af）V=x脑+），疝，则

户；）'=.

12.设向量。，力不平行，向量痴+》与。+处平行，则实数；1=.

13.已知正方形A8C。的边长为1,设福=a,b,*=c,则|a—5+c|=.

BC=

14.设Q,方是不共线的两个非零向量，若砺=依+12万，痈=4。+5方，无=-履+10），

且点A,B，C在同一直线上，则攵=.

3通高赵］

1.（2018年高考新课标I卷文科）在△ABC中，AD为8c边上的中线，E为A£）的中点，

则丽=

3—1—1—3—

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

2.（2017年高考新课标H卷文科）设非零向量。，）满足心+可=|。一同，贝ij

A.aLbB.同=同

C.a//bD.|«|>|ft|

能参考答案.

变式拓展

1.【答案】B

【解析】①同=可，即4,8的模的大小相等，但方向不一定相同，故两个向量不一定相

等，故①错误；

②若A6,C,£）是不共线的四点，则A与=De=A8〃CO且=四边形

ABCO为平行四边形，故②正确；

③若。=》，则分的模的大小相等，方向相同，若8=c,则瓦c的模的大小相等，方

向相同，故a,c的模的大小相等，方向相同，即a=c,故③正确；

④a=方的充要条件是阿=|可且。力同向，故④错误.

故正确命题的序号是②③，故选B.

2.【答案】D

【解析】根据题意得：AF=^（AC+AE）,又/=丽+而，AE=^AB,

所以衣=；（A方+A/5+；Ab）=+

故选D.

【名师点睛】高考对向量加法、减法运算的考查，重在对加法法则、减法法则的理解，

要特别注意首尾顺次相接的若干向量的和为0的情况.一般将向量放在具体的几何图形中,

常见的有三角形、四边形（平行四边形、矩形、菱形、梯形）、正六边形等.

在解决这类问题时，要注意向量加法、减法和共线（相等）向量的应用.当运用三角形加

法法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法.

3.【答案】A

【解析】由题意得：AP=AB+BP=AB+-BD=AB+-（AD-AB]=-AB+-AD

44、'44

31?31

=-AB+-x-AC=-AB+-AC,

44346

____3111

又AP=几43+//AC,可知：/+//=-4--=—.

故选A.

【名师点睛】本题考查向量的线性运算问题，涉及向量的数乘运算、加法运算、减法运

算，属于常规题型.

1TIT1

4.【解析】设血二°,疝=儿则4"=）及死==~（a+b）,

*Til1QR-ll

BE=AE-AB-S-2a）,则=AKl-AB=l）-a=^b-2a）.

3T

由8M=2B'E,得B,E,M三点共线，

3

同理可得BN=2办，所以B,F,N三点、共线.

考点冲关

1.【答案】D

【解析】对于A,若向量丽与向量而是共线向量，则AB〃C。或点A8,C,。在同

一条直线上，故A错误；

对于B,共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既

不相同又不相反，故B错误；

对于C,长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向相同，故C错误；

对于D,相等向量是大小相等、方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，

其终点必相同，故D正确.

故选D.

【名师点睛】本题考查向量的基本定义，关键是理解向量有关概念的定义.解题时，根

据题意，结合向量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案.

2.【答案】B

【解析】如图，AB+BC+CD=AD=2Ad=-2OA-

故选B.

【名师点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，在正六边形中，首先利用向量的加法

运算法则，结合向量共线的条件，对选项逐个分析，求得正确结果.

3.【答案】D

【解析】丫。为任意一点，不妨把A点看成。点，则

OA+OB+OC+OD=0+AB+AC+AD,

•.•〃是平行四边形A3CZ）的对角线的交点，二0+而+/+M=2AC=40M-

故选D.

4.【答案】B

【解析】而=通+砺=通+2就=通+2（恁一通）=一▲通+3而.故选8.

44、'44

5.【答案】C

【解析】,向量8a—心与—kz+〃共线，

，存在实数2,使得8a-妨=〃-Aa+万），即&z—疑>=—左々（+劝，

又为非零不共线向量，

S1，解得女=±2逝.

-K-A

故选C.

6.【答案】A

【解析】因为|。+目=卜-耳，即所围成的平行四边形的对角线长度相等，所以该平行四

边形为正方形或长方形，由此可得畿，〃的夹角为90。，故选A.

【名师点睛】根据向量的加减法则，结合几何图象特征即可.

7.【答案】A

【解析】由向量的加法法则可得8方=BC+CD=-5a+6b+la-2b=2a+4b=2AB>

所以而与丽共线，又两线段过同一点8,所以三点一定共线.故选A.

【名师点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，向量的加法法则，考查利用向量的共

线来证明三点共线，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.解本题时，由向量加法

的“三角形''法则，可得=2A后，从而可得结果.

8.【答案】B

【解析】：。为A8的中点，OA+OB=2ODOA+OB+2OC=0'OC=-OD>

O是CD的中点，,S^AOC=S^AOD=—S^AOB=—SAA8c.故选B.

24

【名师点睛】本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题.解决向量小题的常用方法

有：数形结合，向量的三角形法则、平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底

化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.解决本题时.，根据平面向量的几何

运算可知。为C£>的中点，从而得出答案.

9.【答案】B

【解析】设线段的中点为M，则砺+历=2而，因为2荷=砺+^所以

而=丽，则〃磁=；（赤+*）=；（而+；而）=；通+，而，由

8,0,。三点共线，得l+-1=1,解得/=，.故选B.

44/3

【名师点睛】利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法：

①A,B,C三点共线=通=AAC；

②。为平面上任一点，A8,C三点共线00X=/l赤+〃反，且X+〃=l.

10.【答案】C

【解析】..•尸是线段BD的中点，.•.CF=~（CD+CB）=-CA+-CB=-BA--BC.

2、74244

是线段AC的中点，.♦.亦=g（/M+比）.

又历=诙-丽=3丽-丽=3丽」（丽+宿」丽-!瓦，

442、>42

令诙=/1丽+〃斤，

则!丽」而=勺丽+觉）+生£而一幺丽=（4一幺）丽+（2+生）死，

422、>442424

.14〃143〃皿口3,1

•>——-----，———।----,解得u——,A——,

42422448

__13

：.DE=-BD--FC,

84

故选C.

11.【答案】---

L6

llill11

【解析】山题中条件得血=A/C+C1V=-At+-C&=-Ac+A^B-4t）=-Ai?--AC=xAB+y

323226

~11

尼,所以4予y=-z

Z6

12.【答案】1

2

1=k

【解析】因为向量而+〃与a+2b平行，所以助+6=乂。+2切，则《J所以

1=2%,

13.【答案】2

【解析】如图，a+b=c,所以|。-8+4=|勿|,

又同=1,二.|a-b+c|=2,

故答案为2.

【名师点睛】本题考查两个向量的加减法的法则，及其几何意义，属于基础题.向量的运

算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，二是坐标运

算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较

简单）.运算法则是：

（1）平行四边形法则（平行四边形的时角线分别是两向量的和与差）；

（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.

14.【答案】—2

3

【解析】由题得砺=砺一砺=（4—左）。一7仇丽=砺一反=（4+%）4-5仇

4一左一72

因为点A，B，。在同一直线上，所以一；=k=r

4+%—53

故答案为-2.

3

【名师点睛】（1）本题主要考查向量的运算和共线向量的性质，意在考查学生对这些基

础知识的掌握水平.（2）三点共线o通=九配.

直通高考

-------

1.【答案】A

【解析】根据向量的运算法则，可得

诙2丽，丽=1.丽丽+U丽+宿

222424t）

=-BA+-BA+-AC^-BA+-AC,所以丽而—故选A.

2444444

【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向

量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，

需要认真对待每一步运算.

2.【答案】A

【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量8的模长为边长的平行四

边形是矩形，从而可得故选A.

考点18平面向量的基本定理及坐标表示

（1）了解平面向量的基本定理及其意义.

（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

:知识整合

一、平面向量基本定理

如果6，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且

只有一对实数小，％2,使。=44+402.其中，不共线的向量内，02叫做表示这一平面内所

有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

二、平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与X轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对

于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj,

这样，平面内的任一向量。都可由x、y唯一确定，我们把（x,y）叫做向量a的坐标，记

作a=（x,>1）,其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做。在y轴上的坐标.

三、平面向量的坐标运算

1.向量坐标的求法

（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

（2）设A（xi，%），B（及，"），则（刈-xi，竺一yi）.

2.向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设（xi,yi）,b-（及，”），贝Ja+b-（及+xi，"+yi），a—b-（xj—X2>yi—yi）,Aa-（zxi,

加），

|a|=J尤;+）,；,|a+4|=｛（%+%2）2+（另+%）2.

3.平面向量共线的坐标表示

设a二（xj,yi）,b=（X2，"），贝UQ〃力=阳冲一垃6二0.

4.向量的夹角

已知两个非零向量a和"作砺=a,OB=b,则NA03=。（0。0把180。）叫做向量。与b

的夹角.如果向量a与b的夹角是90。，我们说。与b垂直，记作

菖2点考向,

考向一平面向量基本定理的应用

1.应用平面向量基本定理表示向量的实质

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的

力口、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后，任一向

量的表示都是唯一的.

2.应用平面向量基本定理的关键点

（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量.

(2)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量

用这一组基底表示出来.

(3)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何

性质，如平行、相似等.

3.用平面向量基本定理解决问题的一般思路

(1)先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性

组合，再进行向量的运算.

(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运

用线段中点的向量表达式.

典例引领

典例1如图所示，在八480中，OC=-OA,OD=-OB,AO与5c相交于点

42

设0A=a»OB—b.

(1)试用向量Q,力表示。例；

(2)过点M作直线石尸，分别交线段AC,BD于点E,尸.记砺=OF=jLib,

13

求证：2十三为定值.

A〃

【解析】(1)由A,M,。三点共线，可设丽=加砺+(1—m)3万=ma+q^b,

由8,M,。三点共线，可设两=〃双+(1-〃)丽=：a+(l—〃)5,

m--n

414

，解得m=—〃=—,

l-m.77

------=\-n

2

/.OM=-a+-b.

77

(2)由E,M,F三点共线,设OA7=kOE+(l-k)OF—kAn.+(\-lc)/nb,

I3

由(1)知&4=(1—&)〃二,,

13

—=73—=7—73

4〃

13

A-+-=7,为定值.

A〃

【名师点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，以及平面向量的线性运算，其中根

据三点共线，合理设出向量，列出方程组求解是解答本题的关键，同时要熟记向量的基本概

念和基本的运算公式是解答向量问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于

中档试题.

变式拓展

1.如图，在"5。中，D,E分别为边AC,AB上的点，且=AE=2EB,

BD,CE相交于点P，若AQ=a,AC=b,则衣=

11,

A.—a+—b

33

C.—a+—b

24

考向二平面向量的坐标运算

1.向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线

段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.

2.解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并

注意方程思想的应用.

牢记：向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，

无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

典例引领

典例2已知4(-3,0),8(0,2),。为坐标原点，点C在/AOB内，且乙4。。=45°，设

Ofc=ACM+(l-A)Ofe(AG/?),贝I"的值为

【答案】C

【解析】•乙4。。=45°，.,•设C(x,-x),则比'=(x,-x),

又4(-3,0),8(0,2),根据向量的坐标运算知加4+(1-4)而=(-3九2-2A),

x=-3A2

所以《=>A.

—x=2—245

故选C.

典例3已知A(-2,4),8(3,-1),C(一3,T),设A月=a,BC=b,CA=c.

(1)求为+〃一3c；

(2)求满足Q=〃力+HC的实数〃2,n.

【解析】(1)由已知得a=(5,—5),b—(—6,—3),c=(1,8),

则3a+b—3c=3(5,-5)+(—6,-3)-3(1,8)=(15—6-3,-15-3-24)=(6,-42).

(2)mb+nc=(-6m++8〃)，

一6m+〃=5

n〃2=〃=-l.

—+8/2=-5

变式拓展

2.把点A(3,2)按向量&=(1,4)移到点B,若丽=-2阮(。为坐标原点)，则C点的

坐标为

A.(―1,1)

C.(2,3)

考向三向量共线(平行)的坐标表示

1.利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量。共线的向量时，可

设所求向量为4a(/IGR),然后结合其他条件列出关于2的方程，求出2的值后代入

而即可得到所求的向量.

2.利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若

a=(Xi，y),b-(x2,y2),则的充要条件是玉％=/X”解题比较方便.

3.三点共线问题.A,B,C三点共线等价于通与AC共线.

4.利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再

利用三角恒等变换求解.

典例引领

典例4已知ei,e2是平面内两个不共线的非零向量，脑=2ei+e2,£^=-ei+/ie2,Et=-2ei+e2,

且A,E,C三点共线.

(1)求实数，的值；

(2)若ei=(2,1),e2=(2,-2),求死的坐标;

(3)已知点。(3,5),在(2)的条件下，若A,a四点按逆时针顺序构成平行四边形，求

点A的坐标.

【解析】(1)Z£=/lB+/?E=(2ei+e?)+(-ei+2e2)=ei+(1+2)e2.

•••A,E,C三点共线，

・•・存在实数上使得屈=上比,

即61+(1+#02=叔一26|+02),

即(1+2A)ei+(l+2-攵)02=0.

•・・以心是平面内两个不共线的非零向量，

1+2%=0且1+2-左=0,

13

解得％=--工=—

22

3

故实数丸的值为-

2

3

(2)由(1)知,BE=—g---€2,

2

则瓦?二庇+比=-3d一1。2=-3(2,1)—，(2,—2)=(-6,—3)—(1,—1)=(-7,-2).

22

故死的坐标为(-7,-2).

(3)-：A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形，，疝=死.

设A(x,y),则疝=(3-x,5-y).

由(2)知成=(—7,—2),

'3r=_7fx=10

，解得Vr

15-y=-2[y=7

...点A的坐标为(10,7).

变式拓展

3.已知a=(l,2),〃=(O,l),c=(-2,攵)，若(a+2»〃c,则左=

A.8B.—8

苣点冲关充

1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量血的坐标是

y

2

ZL

1

12x

A.(2,2)B.(-2,-2)

C.(1,1)D.(-1,-1)

2.下列各组向量中，能作为平面上一组基底的是

A.q=(0,2),e2=(0,-1)B.4=(2,1),e2=(0,0)

C.q=(3,1),e2=(5,|)

D.et=(-2,1),e2=(4,2)

3.己知48=(1,—1),C(0,l),若前=2A与，则点。的坐标为

A.(-2,3)B.(2,-3)

C.(-2,1)D.(2,-1)

4.已知向量a-b=(3,—1),6=(1,-2),若向量一2«+〃必与向量a-)平行，则实数”?=

A.-4B.-2

C.4D.2

5.在△A6C中，点。在边A8上，且£>4=2口力，设CA=a,CB=/>，则CD=

12,B.2/

A.—a+—b

3333

I2,21,

C.—a——bD.—a——b

3333

6.已知向量a=(l,3),b=(m,2m-3),平面上任意向量c都可以唯一地表示为

c=ar+〃b(/l，4€R),则实数加的取值范围是

A.(-oo,0)U(0,+℃)B.(-co,3)

C.(―oo,—3)U(—3,+oo)D.[—3,3)

7.已知在RtZXABC中，两直角边AB=1，AC=2,。是△ABC内一点，且NZMB=60。,

4

设沏=2丽+/,无e(X,〃eR),则二■=

A2J

3

C.3D.2&

8.在平面直角坐标系xO＞中，已知点4(1,1),3(2,3),。(3,2),若点p满足

丽+而+前=0厕1两=.

9.已知向量a=(m,2加一1),ft=(1,-2),若a〃)，则|4«+24=.

10.已知向量a=(x,2),ft=(-1,1),若,一母=卜+可，则x的值为.

21

AN=-NCAP=tAB+-AC,

11.如图，在△ABC中，3,P是BN上一点，若3则实数/的值为

12.已知点A(—2,4),3(3,-1),。(一3,—4),设向量A3=a,3C=b,CA=c.

(1)若4=〃必+〃以求实数加，”的值；

(2)若函=一2"由'=3c,求向量丽的坐标.

---2——•—4—•

13.如图，在平行四边形ABC。中，CM=—CB,N是AM上一点，且CN=〃CA+—C8.

37

(1)求实数”的值;

(2)记四=己4，b=Ca，试用》表示向量丽7，DMtDN-

14.已知向量a=(sinacos6-2sine),b=(1,2).

一、H/八sin0-cos0,,

(1)右a〃)，求";------二的值;

l+3cos_0

(2)若|4=例，()＜。＜兀，求。的值.

3通高考J,

1.(2019年高考全国n卷文数)已知向量。=(2,3),6=(3,2),则|Q』|=

A.y/2B.2

C.50D.50

2.（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量次，OB，反的模分别为1,1,0,3

与玩的夹角为。，且tana=7,。月与反的夹角为45。.若灰;=加砺+〃（历

（m,nGR）,则加+鹿=.

3.（2018新课标全国m文科）已知向量4=（1,2）,6=（2,-2）,c=（l,z）.若c〃（%+b）,

则行.

4.（2017年高考山东卷文数）已知向量折（2,6）力=（一1,/1）,若。〃b,则;1=.

变式拓展

1.【答案】C

【解析】设AP=XQ+yb，

则而=x^+2y而，AP=^AE+yAC,

因为8,P,。三点共线，所以x+