初中几何证明题的知识点复习总结

几何证明题的知识点总结

知识点：

一、线段垂直平分线(中垂线)性质定理及其逆定理：

定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

二、角平分线的性质定理及其逆定理：

定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等。

逆定理：在一个角的内部(包括顶点)且到这个角两边距离相等的点，定在这个角的平分线上。

三、相交线、平行线

1、对顶角相等

2、平行线的判定

(1)同位角相等，两直线平行

(2)内错角相等，两直线平行

(3)同旁内角互补，两直线平行

3、平行线的性质

(1)两直线平行，同位角相等

(2)两直线平行，内错角相等

(3)两直线平行，同旁内角互补

(4)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

四、三角形

1、等腰三角形

(1)等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)

等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线

(2)等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形就

是等腰三角形(简称为“等角对等边”)，如果一个三角形的两条边相等，那么这个三角形所对的角相等。

(简称“等边对等角”)

2、RT△的性质定理：

(1)RT△的两个锐角互余。

(2)在RT△中，斜边上的中线等于斜边的一半。

推论：

(1)在RT△中，如果一个锐角等于30度，那么这个角所对的边等于斜边的一半。

(2)在RT△中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度。

2、勾股定理

977

在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方即：a+b=c

3、三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，且等于第三遍的一半。

4、全等三角形的判定定理

(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)

(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)

(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)

(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)

(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)

5、全等三角形的性质

(1)全等三角形的对应角相等

(2)全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线相等

五.相似三角形

1、相似三角形，就是形状相同，但大小不一样

定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

所有边数相同的正多边形都相似(正三角形、正方形、正五边形等)

2、相似三角形的判定方法有

(1)两角对应相等的两个三角形相似；

(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；

(3)三边对应成比例的两个三角形相似；

(4)三角形中有一边平行于第三边，所得的小三角形和原三角形相似；

(5)直角三角形中，斜边的高所得两个三角形都与原三角形相似。

3、相似三角形的性质

(1)相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比都等于相似比(相似三角形

对应边的比叫做相似比)；

(2)相似三角形的周长比等于相似比；

(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

五、平行四边形

定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

性质定理：(1)平行四边形的对边相等

(推论：夹在两条平行线间的平行线段相等、平行线间的距离处处相等)

(2)平行四边形的对角相等

(3)平行四边形的两条对角线互相平分

(4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点

判定定理：(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

六、矩形

定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

性质：（1）矩形的四个角都是直角

（2）矩形的对角线相等

判定定理：（1）有三个内角是直角的四边形是矩形

（2）对角线相等的平行四边形是矩形

（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形

七、菱形

定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

性质：（1）菱形的四条边都相等

（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

判定定理：（1）四边都相等的四边形是菱形.

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

（3）有一组邻边相等的平行四边形是菱形

八、正方形

定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形

性质：（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等.

（2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.

判定定理：（1）判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：

①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等.

②先证它是菱形，再证它有一个角为直角或者证它的对角线相等

（2）判定正方形的一般顺序：

①先证明它是平行四边形；

②再证明它是菱形（或矩形）；

③最后证明它是矩形（或菱形）

九、（等腰）梯形

梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形

等腰梯形性质：（1）等腰梯形两腰相等、两底平行.

（2）等腰梯形在同一底上的两个角相等.

（3）等腰梯形的对角线相等.

等腰梯形判定定理：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形.

（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形.

梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

中考几何题证明思路总结

证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6,线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

n.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。。

13.等于同一线段的两条线段相等。

证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等。

2.证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

*11.利用半圆上的圆周角是直角。

证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

证明线段的和差倍分

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、

相似三角形的性质等）。

证明线段不等

1.同一三角形中，大角对大边。

2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。

*5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。

6.全量大于它的任何一部分。

证明两角的不等

1.同一三角形中，大边对大角。

2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。

*4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。

5.全量大于它的任何一部分。

证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。

2.利用内外角平分线定理。

3.平行线截线段成比例。

4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

*5.与圆有关的比例定理一一相交弦定理、切割线定理及其推论。E

6.利用比利式或等积式化得。

例1.已知：如图1所示，中，NC=90°,AC=BC,AD=DB,=CF«D

求证：DE=DF

A

CF

图1

例2.已知：如图2所示，AB=CD,AD=BC,AE=CF。求证：ZE=ZF

例3.已知：如图所示，AB=AC,求证：FD1ED

A

证明一线'殳和的问题

例4.已知：如图所示在奉石T中，ZBACs/BCA的角平分线AD、CE相交于0。

求证：AC=AE+CD

例5.已知I：如图所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，^

求证：EF=BE+DF

例6.如图所示，已知A应为等边三角形，延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连结CE、

DE,求证：EC=ED

第一讲：如何做几何证明题

【例题精讲】

【专题一】证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可

化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂

线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用至

【例1】已知：如图所示，中，ZC=90°,AC=BC,AD=DB,AECF.求证：DE=DF

【巩固】如图所示，已知AW为等边三角形，延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连结CE、

DE。求证：EC=ED

【例2】己知：如图所示，AB=CD,AD=BC,AE=CF。求证:

【专题二】证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同

旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个

角等于90°,或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

【例3】如图所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。

求证：KH//BC

【例4】已知：如图所示，AB=AC,求证：FD1ED

A

E

6

BDC

【专题三】证明线段和的问题

（-）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）

【例5】如图，四边形ABCD中，AD〃BC,点E是AB上一个动点，若/B=60°,AB=BC,

且NDEC=60°；求证：BC=AD+AE”

【巩固】已知：如图，在中，ZBAC./BCA的角平分线AD、CE相交于0。

求证：AC=AE+CD

（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较

长线段。（补短法）

【例6】己知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，上三

求证：EF=BE+DF

BE

【专题四】证明几何不等式:

【例7】已知：如图所示，在中，AD平分/BAC,AB>AC.

求证：」

BDC

［拓展］76T中，于D,求证：

基本图形的辅助线的画法

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的

中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条

件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的

一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或

补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另

一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性

质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的

全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下

列几种，举例简解如下：

(1)连对角线或平移对角线：

(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形

(3)连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中

位线

“(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

(5)过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.

3.梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助

线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥

梁，梯形中常用到的辅助线有：

(1)在梯形内部平移一腰。

(2)梯形外平移一腰

(3)梯形内平移两腰

(4)延长两腰

(5)过梯形上底的两端点向下底作高

(6)平移对角线

(7)连接梯形一顶点及一腰的中点。

(8)过一腰的中点作另一腰的平行线。

(9)作中位线

数学证明训练题

补形法的应用

一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通31

过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则

能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补

形法，它能培养思维能力和解题技巧。我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。

现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。

一、补成三角形

1.补成三角形

例1.如图1,已知E为梯形ABCD的腰CD的中点；

证明：4ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。

分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用

的辅助线添法之一。

2.补成等腰三角形

例2如图2.已知NA=90。，AB=AC,Z1=Z2,CE±BD,求证：BD=2CE

分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF=2CE,再

证BD=CF即可。

3.补成直角三角形

例3.如图3,在梯形ABCD中，AD〃BC,ZB+ZC=90°,F、G分别是AD、BC的中点，若BC=

18,AD=8,求FG的长。

分析：

要求FG,

4.补成等边三角形

例4.图4,4ABC是等边三角形，延长BC至D,延长BA至E,使AE=

BD,连结CE、EDo

证明：EC=ED

分析：要证明EC=ED,通常要证NECD=NEDC,但难以实现。这样可

采用补形法即延长BD到F,使BF=BE,连结EF。B'

图2

二'补成特殊的四边形

1.补成平行四边形

例5.如图5,四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H

不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分。

分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形GEHF是平行四边形。

2.补成矩形

例6.如图6,四边形ABCD中，NA=60。，ZB=ZD=90°,AB=200m,CD=100m,求AD、BC

的长。

分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形

中较难的计算题不难获解。

图6

3.补成菱形

例7.如图7,凸五边形ABCDE中，/A=NB=120。，EA=AB=BC=2,CD=DE=4,求其面积

分析：延长EA、CB交于P,根据题意易证四边形PCDE为菱形。

4.补成正方形

例8.如图8,在aABC中，AD_LBC于D,ZBAC=45°,BD=3,DC=2。求aABC的面积。

分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题设NBAC=45。，AD±

BC出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解。

5.补成梯形

例9.如图9,已知：G是aABC中BC边上的中线的中点，L是AABC外的一条直线，自A、B、

]_

C、G向L作垂线，垂足分别为A|、Bi、G、Gi。求证：GG|=4(2AA,+BB,+CCj)o

分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过

D作DD1，L于D”则DD1既是梯形BBiGC的中位线，又是梯形DD|A|A的一条底边，因而，可想到运

用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。

三、练习1、在AABC中，AC=BC,D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E,XAE=-BD,

2

求证：BE平分NABC。

2、如图，已知：在AABC内，NBAC=60。，NACB=40。，P、Q分别在BC、CA±,并且AP、BQ分别

是NBAC、ZABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP

3、已知：ZBAC=90°,AB=AC,AD=DC,AE1BD,求证：ZADB=ZCDE

4、设正三角形ABC的边长为2,M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PA+PM的最大值和最

22

小值分别记为S和，求：S--广的值。

中考专题辅导几何证明题

【题目1】在锐角三角形中，三个内角的度数都是质数，则满足条件的锐角三角形仅有一个

且为等腰三角形

【解析】三角形的内角和为180°,三个内角不可均为奇数，而且小于90°的质数中只有一

个偶数是2,故满足条件的锐角等腰三角形有且只有一个，即：内角为2°,89°,89°

的三南形

【题目2】如图，线段A8的长为2。，。为A3上的一个动点，分别以AC和为斜边

在AB的同侧作两个等腰直角三角形ACD和BCE,则DE的长最短是

【答案】a

【解析】

见图：•.•两个三角形均为等腰三角形，.•.Nl=/2=45°,.•.NDCE=90°,

ADE2=DC2+CE2,设AC=x,则：BC^2a-x

故：DE2=-AC2+-BC2[x2+(2a-x)1]^(x-a}1+a1

222

DE>a,DE的最小值为a

【题目3】如图，在四边形ABC。中，E,尸分别是两组对边延长线的交点，EG,FG分别

平分NBEC/CFD,且NAOC=60°,NABC=80。，则NEGF=

【答案】110°

【解析】

|2a+/?=80°

见图，由<⑵+尸=6。。’可得2("£+，)=14。。

ZEGF=180°-(a+/?+/)=110°

【题目4]【倍长中线一移形变位(不等关系及2倍关系)】

见图：A48C中，。为BC的中点，EE分别为上的点，EDVDF

求证：BE+CF>EF

【解析】延长E0至G,使得ED=DG,连结CG,FG,则易证：

△BDE丝ACDG(SAS)

:.BE=CG①

G

又易证：\DEF〈kDGF(SAS),:.EF=GF②

在ACR中，FG>FC+CG,由①②可知：BE+CF>EF

【题目5］【正方形中45°旋转问题一拼边凑角】

见图，已知分别是正方形ABCD边3C,CO上的点，且ZEAF=45°,求证：

FD+BE=EF

【解析】延长Q3至点G,使得易证：AADFAABG,

N1=N2①

〜NGAE=NDAE=45。，

AG=AF②

GE=FE

由①②可得:\AGE之\AFEn\

GE=GB+BEDF+BE

:.FD+BE=EF

【题目6】【经典导角、特殊三角形：三线，四边形对角线】

见图，在正方形A8CD中，尸为对角线AC上任意一点，夕七，4。于点后，

尸/_£。。于点尸，连结EF和8P,试判断BP和EF之间的位置关系，并加以

证明

NBPC=ZDPC

【解析】连结P。，延长BP交EF于点、G,则易证ABPC名ADPCn!

ZAPG=ZBPC

：.ZAPG=ZDPC,又AC为对角线，N1=N2=N3=N4=45°,/5=/6,

Z6=Z7

易证：\PDE\FED=>\,

Z5=Z7

又N7+N8=N5+N8=90°,...PG，即：BP1EF

【题目7】【经典判断：有关三角形全等】

⑴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（）

⑵有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等（）

⑶三角形6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等（）

⑷一边及其它两边上的高对应相等的两个三角形全等（

【答案】X,X,X,X

【解析】见下图：

⑶略，（4）略

［题目8］【全等中的等积变换】

如图，等腰RtAABC和等腰RtAADE的腰长分别为。力，且有共同的顶点A,连结8RCE,若用5.加

与SMCE表示MB。与AACE的面积。求证：SMeD=SMCD____f

【解析】过点分别向A3,AC作垂线，垂足分别为点F,G,令NE4G=N1,\、\］

NAEF=N2,ZADG=Z3,易证：AAEFAADG,：.EFDG\/

S=—•AB-DG,S=—■AC-EF,又

IMSARDnL)2AM/ACCFc2AC=A3,5IASADAU=SL

【题目9］【三角形三边与周长的关系】

将长度为18的木条做成三边长均为整数的三角形，那么这样做成的不同的三角形个数为

【答案】7

【解析】设周长为C,三角形的最大边为无，则C«x<C,即：6<x<9,则：

当x=6时，三边为：6,6,6

7,7,4

当工=7时，三边为：<

7,6,5

‘8,8,2

8,7,3

当x=7时，三边为：《

8,6,4

8,5,5

【题目10］见图，易证四边形ABCO中，AD//BC,E在CO上，且AE,BE分别平分

ZDAB,ZABC,则AB的长与AD+BC的长的大小关系是.

【答案】AB=AD+BC

（解析】方法一（截长法）：在AB上取AF=AD,连结EF,易证：AAZ）Eg\AFE,

：.Z5=Z6,EF=FE

易证：ZAEB=90°,则：N5+N7=90°,N6+N7=90°,N6+N8=90。，

N7=N8,易证：ABEF名ABEC

方法二（补短法）：延长BC,使得CF^DA,连结EF,

易证：MDEAFCE,Z5=Z6,

易证：ZAEB=90°,三点共线，在ABA尸中，

；.AB=BF,：.AB=AD+BC

【题目11】【典型类等边三角形全等】

已知：BC=CA=BD,EA=EB,ZC=60°,NCBE=NDBE,求NBDE的度数

【解析】连结CE,AE=5En/l=N3,AC=BC=>Z2=Z4=ZDBE,

易证：ABDE注AACE=>NBDE=NACE

易证：AAC£丝\BCEnNACE=NBCE

综上可得：ZBDE=-ZACS=30°

2

【题目12］已知：在AA3C中，ZA=90°,AB=AC,BO平分NABC交AC于£>,过C

作8。的垂线，交8。延长线于E,求证：BD=2CE

BC

BC

【解析】分别延长84,CE相交于尸，则：等腰公台。尸,EC^-FC,

2

易证：MCFmMBD=CF=BD=2EC

【题目13］三角形三边长为。力,c,且满足关系式：=―1—,试判断这个三

abca-b+c

角形的特征，写出你的结论并加以证明

…八..11111111b-ah-a

［解析］•----H—=---------------=-----------------=----------

abca-b+caha-b+ccah--c(a—b+c)

，S一a)(_L——!—)=S"C"+Ci

abc(a-b+c)abc(a-b+c)

(ab)(bc)(cg)「0

abc(a-b+c)

(a-b)(b-c)(c-a)=0,a,b,c三者中至少有两个相等

三角形一定是等腰三角形

【题目14］已知：见图，AC=BC,AC1BC,DE经过点C,AOLOE于O,BEIDE

于E,求证：MCD^ACBE

【题目15］已知：如图，AD//BC,AA8E和ACQF是等腰直角三角形，NEAB

=NFOC=9O°,A0=2,6C=5,求四边形AEOE的面积

【解析】过民瓦作A。的垂线，垂是分别为：P,Q,H,G,则易证:

Rt\ABPgRtAEAg,Rt\HDFgRt\GCD,:.EQ=AP,FH=DG

SAEDF=SMDE+S^DF=^AD(EQ+FH^=YADBC=5

AH

B

【题目15］如图，四边形ABC。中，NABC=/BCD,NAB。=20°,NAC£>=30°,N8DC=40°,

求NAO8,NDAC的度数

【解析】根据题意易得：Zl=Z2=50°,AB=BC,ZABC=80°,

作BE=BC,连结AE,易得：AABE为正三角形，，/AEB=60°=/A3E

N3=N4=40。，:.BE=ED,BE=AE,

：.AE=ED,.\ZADE=10°,：.ZADB=3Q°,ZDAC=80°

【题目16】【外角定理，证明角之间的关系】

如图所示：已知。为A48C内的任意一点，求证：Z.BDC>ABAC

【徐华析】

【题目17］设P为AABC内的一点，若APLBC,证明：|PB-PC|2|AB-AC|

【题目18】【利用中位线解题】

如图，在A4BC中，AC=7,BC=4,。为AB的中点，E为AC边上一点，且NAEO=90°+—NC,

2

求CE的长

B

【题目19］【构造等边三角形一等腰三角形+60。】

如图所示，两条长度为的线段AB和CD相交于。点，且NAOC=60°,

求证：AC+BD>\

【解析】

【题目20］【代数方程与根的判别式】

求方程5x2+6xy+2y2-14%-8y+10=0的实数根

【解析】将方程看成关于x的一元二次方程，则方程有解的条件为：

△=—4(y+l)2N0,又—(4+>)240,：.y=-1,代入方程得:

5(f-4x+4)=0,解得：x=2

【题目21】【特殊双十字分解法】

解方程：X4-2V3X2-X+3-V3=0

/X百

【解析】用双十字相乘法：“X

x2-x5/3-1

故分解为：(/+龙―百)(％2一X+百—1)=0,

1±71+473

解得：x=或

22

三角形证明总复习

【知识精读】

1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形中的几条重要线段：

(1)三角形的角平分线(三条角平分线的交点叫做内心)

(2)三角形的中线(三条中线的交点叫重心)

(3)三角形的高(三条高线的交点叫垂心)

3.三角形的主要性质

(1)三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；

(2)三角形的内角之和等于180°

(3)三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；

(4)三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；

(5)三角形具有稳定性。

4.补充性质：在\ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则S^BE-S&CDE=S^DE-S^CAE。

三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角形又是多边形的

一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究

多边形。实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。

因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。

5.三角形边角关系、性质的应用

【分类解析】

例1.锐角三角形ABC中，ZC=2ZB,则NB的范围是()

A.10°<ZB<20°B,20°<ZB<30°

C.30°<ZB<45°D.450<ZB<60°

分析：

因为A48C为锐角三角形，所以0。</8<90。

又/C=2/B,.•.00<2/8<90°A00<ZB<45°

又：NA为锐角，ZA=180°-(ZB+ZC)为锐角

...ZB+ZC>90°

.-.3ZB>90°,B|JZB>30°

30°<ZB<45°,故选择C。

例2.选择题：已知三角形的一个外角等于160°,另两个外角的比为2:3,则这个三角形的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定

分析：由于三角形的外角和等于360°,其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度

数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。

解：•.•三角形的一个外角等于160°

另两个外角的和等于200°

设这两个外角的度数为2x,3x.•.2x+3x=200

解得：x=40,2x=80,3x=120

与80°相邻的内角为100。,这个三角形为钝角三角形

应选C

例3.如图，己知：在A48c中，AB4,AC,求证：ZC<-ZB«

22

分析：欲证NCv’NB,可作NABC的平分线BE交AC于E,只要证NC<NEBC即可。为与

2

题设ABW’AC联系，又作AF//BE交CB的延长线于F。

2

显然NEBC=NF,只要证NC<NF即可。由AF<2A8WAC可得证。

证明：作NABC的角平分线BE交AC于E,过点A作AF〃BE交CB的延长线于F

•••AF//BE,：.ZF=/EBC,NFAB=ZABE

又：BE平分NABC,.".ZEBC=ZABE

；.NF=/FAB,；.AB=BF

又：AB+FB>AF,即2AB>AF

又•••ABA’AC,AAC>AF

2

ZF>ZC,又•../F=』NA8C

2

ZC<-ZB

2

例4.己知：三角形的一边是另一边的两倍.求证：它的最小边在它的周长的工与工之

64

间。

分析：首先应根据已知条件，运用边的不等关系，找出最小边，然后由周长与边的关系加以证明。

证明：如图，设AABC的三边为a、b、c,其中a=2c,

b>a-c,a=2c:.b>c◎因此，c是最小边，.・.0<3c

因此,a+0+c<2c+3c+c,即c>—（«+/?+（?）

—（a+。+c）<c<—（6?+。+c）

故最小边在周长的』与！之间。!\f

64d冷

中考点拨：

例1.选择题：如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是（）■<

A.50B.100C.180D.200

分析：由于我们学习了三角形的内角、外角的知识，所以需要我们把问题转化为三角形角的问题。

解：vZC+ZE=ZAGF,NB+ND=NAFG

ZA+ZB+ZC+ZE+ND=ZA+ZAGF+/AbG=180。

所以选择C

例2.选择题：已知三角形的两边分别为5和7,则第三边x的范围是（）

A.大于2B.小于12C.大于2小于12D.不能确定

分析：根据三角形三边关系应有7+5>x>7—5,即12>x>2

所以应选C

3

例3.已知：P为边长为1的等边A4BC内任一点。求证：一<P4+PB+PC<2

2

BC

证明：过P点作EF//BC,分别交AB于E,交AC于E

则NAEP=NABC=60°

•••/EAP</EAF=60°

ZAPE>60°

在A4EP中，

ZAPE>NAEP,：.AE>AP

•：/AFE=ZACB=60°,NAEF=60°

AAEF是等边三角形

AF=EF

AE>AP

•：<BE+EP>BP

PF+FC>PC

(AE+EB)+(EP+PE)+FC>AP+BP+PC

AB+EF+FC>AP+BP+PC

AB+(AF+AC)>AP+BP+PC

：.PB+PA+PC<AB+AC^2

PA+PB>AB

：.<PB+PC>BC

PC+PA>AC

2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC=3

3

:.2>PA+PB+PC>-

2

题型展示：

例1.已知：如图，在A4BC1中，D是BC上任意一点，E是AD上任意一点。求证：

；

(1)ZBEOZBACA.

(2)AB+AOBE+EC。//V

/TA

BDC

分析：在(1)中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在(2)中，添加一条辅助线，转化到另一

个三角形中，利用边的关系定理即可证出。

证明：(1)；NBED是A4BE的一个外角，AZBED>ZBAE

同理，ZDEC>ZCAE：.ZBED+ZDEC>ZBAE+ZCAE

即ZBEC>ZBAC

(2)延长BE交AC于F点

,/AB+AF>BE+EF

又EF+FC>EC

AB+AF+EF+FC>BE+EF+EC

即AB+AC〉BE+EC

例2.求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。

己知：如图，在A4BC中，NC=90°,NEAB、NA8。是A4BC的外角，AF、BF分别平分NEAB

及NABD。求证：/AFB=45°c

分析：欲证NAFB=45。，须证NE43+NE9A=135。

：AF、BF分别平分/EAB及/ABD

要转证/EAB+/ABD=270°

又•••/C=90°,三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和

，问题得证

证明：VZEAB=ZABC+ZC

NABD=NCAB+/C

ZABC+ZC+ZCAB=180°,ZC=90°

ZEAB+ZABD^ZABC+ZC+ZCAB+NC=180°+90°=270°

；AF、BF分别平分NEAB及NABD

ZFAB+NFBA=；(NEAB+Z/1BD)=1x270°=135°

在^ABF中，NAFB=180°-(NFAB+ZFBA)=45°

【实战模拟】

1.已知：三角形的三边长为3,8,1+2%,求x的取值范围。

2.已知：A48C中，AB=BC,D点在BC的延长线上，使AO=3C,ZBCA=a,/CAD=0,

求a和B间的关系为？B

A：pl

1)

3.如图，AA5c中，ZABC.2AC5的平分线交于P点，ZBPC=134°,则/84C=()

A.68°B.80°C.88°D.46°

A

BC

4.已知：如图，AD是A45c的BC边上高，AE平分/BAC。求证

ZE4D=^(ZC-ZB)

BEDC

5.求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。

【试题答案】

1.分析：本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。

解：•.•三边长分别为3,8,l+2x,由三边关系定理得：

5<1+2x<11

r.4<2x<10

2<x<5

2.解：*/AB=BC,ABCA