第六章平面向量及其应用单元检测卷（知识达标）（含解析）高一数学下学期课堂（单元复习篇人教A版2019必修第二册）

第六章平面向量及其应用

（知识达标卷）

一、单选题

1.已知向量a=(-3,2),^=(4,-22),若(a+3Z?)〃,则实数X的值为（）

274

A.—B.—C.一D.-

3435

2

2.在△ABC中，角4B,。所对的边分别是a,b,c,足q<7=4,b=3,sinA=],则g=()

兀71兀-5兀D.不

6366

3.已知向量£=（-3,4）,则与[方向相反的单位向量是（)

A-B.[一；，j仁GT

D-

4.已知正方形/BCD的边长为2,九W是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN

的长度最大时，丽■•两的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,A/2]

C.[1,2]D.[-1,1]

5.在AA5c中，A=p。是2C上一点，S.BD=3DC,AD=3,则AABC面积的最大值是（）

A.373B.4省C.873D.当8

3

6.已知等边AABC的边长为3,若丽'=-2的，则由7.枇=（）

JT_____,__,y

7.如图，平面四边形48co中，AB1BC,AB=BC,ADLAC,NAOC=-,AC=xAB+yAD,则上=

8.如图，在梯形ABC。中，AB//DC且AB=2£）C,BE=3EC,AF=2FD^AE与所交于点。，则Jd=（）

3—►4—►4—►3—►

A.-AB+-BCB.-AB+-BC

7777

4—►3—►2__k3__»

C.-AB+-BCD.-AB+-BC

5577

二、多选题

9.（多选）下列说法中正确的是（）

A,单位向量都相等

B.任一向量与它的相反向量不相等

C.四边形A3Q）是平行四边形的充要条件通=反

D.模为0是一个向量的方向是任意的充要条件

10.在AMC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,已知8=60。力=4,则下列判断中正确的是（）

A.若°=百，则该三角形有两解B.若。==,则该三角形有两解

C.AABC周长有最大值12D.AABC面积有最小值4班

11.如图，在等腰梯形/3CD中，AB=2AD=2CD=2BC,E是3c的中点，连接NE,8。相交于点尸，连

接C6则下列说法正确的是（）

f3f1一

A.AE=-AB+-AD

42

-1—2f-1-3-

C.BF=一一AB+-ADD.CF=—AB——AD

55105

12.AABC中，A=—,AB=2,AC=1,。为线段BC上的点，BI)=ABC,则()

B.%=g时，西卜;

A.ABAC=-1

C.若而_L及，则彳D.|BC|=V3

三、填空题

13.已知非零向量£,b，满足铲=4/且£，（2£+加，则向量£与石的夹角为.

14.已知向量£=（1,2）,坂=（0,1）,若"4+疝，则2=.

15.《后汉书•张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以

篆龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蛛，张口承之.其牙机巧制，皆

隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蛛衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发

机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在

相距200km的43两地各放置一个地动仪，2在/的东偏北60。方向，若/地动仪正东方向的铜丸落下，

B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东km.

16.已知平面向量6,5忑满足：卜-可=无5+1,同=同=1,则卜乙-5+目的最小值为.

四、解答题

17.如图，已知点。为平面直角坐标系的原点，点/的坐标为（4,3）,点8的坐标为（一1,6）,作

垂足为点D.

(1)求|OA|,\OB\,\AB\.

⑵求cosZAOB；

(3)求SQB.

18.已知向量：="),S=(O,-2),在下列条件下分别求左的值:

(Da+B与后平行；

(2)a+B与ka-b的夹角为三.

19.如图，长江某地南北两岸平行，江面的宽度d=lkm,一艘游船从南岸码头/出发航行到北岸.假设游

船在静水中的航行速度7的大小为网=10km/h,水流速度W的大小为同=4km/h,设4和B的夹角为。,

北岸A在n的正北方向.

⑴当6=120?时，判断游船航行到北岸时的位置是在图中A，的左侧还是右侧，并说明理由.

(2)当cos。多大时，游船能到达H处？需航行多长时间？

20.如图，四边形N8CO中，AB=应,AC=g,cosZABC=-^-.

3

(1)求sin/BAC的值；

⑵若/54D=90。，BD=CD,求CD的长.

21.已知£=(一2,-1),方=(2,4),求：

⑴|£+同，\a-l\；

(2)£与B的夹角的余弦值.

22.如图所示，zxABC中，AB=a,AC=b,2AE=AB，3通=蔗.线段3RCE相交于点尸.

A

F

⑴用向量a与B表小BF及CE；

⑵若Q=x〃+yZ,试求实数工，>的值.

参考答案:

1.C

【解析】

【分析】

直接利用平面向量共线的性质求解即可..

【详解】

由已知得°+31=(9,2-62),a-&=(-7,2+22),

(a+3。)//(a—b^,

4

.•.9(2+2⑷-(-7)(2-62)=0,解得2=§,

故选：C.

2.A

【解析】

【分析】

根据正弦定理，结合三角形的性质进行求解即可.

【详解】

2

由题意可得=则吟或2得.

a42

因为b<〃，所以5vA,所以3=

o

故选：A

3.C

【解析】

【分析】

ifia

求出H，计算一1即得.

【详解】

【解析】

【分析】

作出图形，考虑尸是线段A3上的任意一点，可得出西以及闲=所+丽，PN=PO-OM,

然后利用平面向量数量积的运算律可求得市.丽的取值范围.

【详解】

如下图所示：

考虑尸是线段43上的任意一点，PM^PO+OM，PN=PO+ON=PO-OM，

圆0的半径长为1,由于P是线段48上的任意一点，则而卜[1,逝],

所以，W-P2V=（PO+W）.（PO-W）=PO2-OM2e[O,l].

故选：A.

5.B

【解析】

【分析】

设CD=尤，则在^ABD^ACD,^ABC分别利用余弦定理可得6,c的关系,再利用基本不等式可得面积的最大

值.

【详解】

设CD=x,BD=3x,AADB=d,由余弦定理可得

/=9+/+6xcos6,c?=9+9x2—18%cos8,

消去cos。得%2+°2=36+12f,

又匕2+。2一床二骁炉,

联立消去x得144=9b2+c2+3bc>6bc+3bc=9bc

所以6cW16,当且仅当6=生8,C=46时等号成立，

3

因止匕Smax=-X16X^=4A/3.

max22

故选：B.

6.A

【解析】

【分析】

转化原式为说•瑟=(通+两')•就=福•南+而•/，利用数量积的定义即得解

【详解】

由题意，CM=-2BM，故点”为线段8C上靠近点8的三等分点

故丽|=1

W-BC=(AB+W)BC=|AB||SC|cosl20+|W||BC|cosO°=3x3x(-1)+lx3xl=-|

故选：A

7.B

【解析】

【分析】

法一：构建以4为坐标原点，45所在直线为x轴，垂直于的直线为丁轴的直角坐标系，应用坐标表示

AC,AB,AD,结合平面向量基本定理求x、y即可求值；

法二：过C作CE//AT＞交48的延长线于£,作C///AB交4D的延长线于尸，利用向量加法的平行四边形

法则可得*=2通+代而求x、y,进而求值;

法三：应用转化法，结合平面向量数量积的运算律次•通=(x荏+y而)•通、ACAD=(xAB+yAD)AD

及已知条件构建方程求x、y即可.

【详解】

法一：以/为坐标原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为了轴建立如图所示的平面直角坐标系,

设|A8|=1,则通=(1,0),由ABL3C,\AB\=\BC\,则|AC|=应且前=(1,1),

法二：如图，过C作CE〃AD交48的延长线于E,作CP//AB交4D的延长线于产，

AC=AE+AF.

由ABL3C,AB=BC及CE!IAD,易知：8是线段NE的中点，于是说=2丽.

由ADJLAC,ZADC=~,得立&c,易知AC=CE,CE=AF,

33

AAF^AC,则4/=也49,故而亚，于是/=2荏+g而，又就=x^+y而,

y=6'即鸿，

法三：设AS=1,由AS_L3C,AB=BC,得AC=&，AC-AB=y/2x^~=1,

由AD_LAC,得/.而=0，又NADC=g,则人。=如

33

A/6(A/2、

又衣•福=(x福+yXE)•丽=x+-----x--------v也

32J

、2

、A/32

ACAD=(xAB+yAD)AD=0力x+y=----x+—y,

3233

Jk7

x-----y=1

3x=2

'•L，于是,故2

V32y=6X-T

-----x+—y=0

I33

故选：B.

8.B

【解析】

【分析】

UL1UUUUUUUUL1UuumUULULULUUIU________ULUUULHU

以AB,BC为基底，设AO=XAE，FO=/uFB，用向量A8BC分别表示出向量AO，AF,FO，由

UUIUUUULULHU

Ab=AO—R9建乂万程，解出义即可.

【详解】

uunuunuuruun3uunuumuunuun3uumUUD32uun

AE=AB+BE=AB+-BC,设AO=4AE=4[Afi+zBCj=；lAB+^BC

44

uumumUUDuunuunuuniuunuuniurn

又AQuAB+BC+COuAB+BC——AB=BC+-AB

22

uum2uum2uuniUUDuuruunuunoUUD2UUD

5LAF=-AD=-BC+-AB,FB=AB-AF=-AB——BC

33333

uunuur2〃"®2〃umuumuuuuuu

设/O=〃M=mAB—mBC,由AF=A0_BO

1um7uuu(uunuun、<7,,uun7,,uun>

即(AB+”C=NAB+半BC卜羊"_羊叼

101

即(1AuBm+(28uuCn=卜(一2段〃、AuuiBi+因<3;+号2”、3C

L2〃1

X------=—uum4uun3uum

：解得<7

所以■3所以AO=-AB+-3C

322〃_2577

-U.=一

TT3r14

故选：B

9.CD

【解析】

【分析】

A.由单位向量的定义判断；B.由零向量的定义判断；C.由相等向量的定义判断；D.由零向量的定义判断.

【详解】

A.单位向量的模均相等且为1,但方向并不一定相同，故错误；

B.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故错误；

C.若四边形ABCD是平行四边形，则一组对边平行且相等，有荏=配，

若丽=反，则AB=OC,AB//OC,则四边形ABCD是平行四边形，故正确;

D.由零向量的规定，知正确.

故选：CD

10.BC

【解析】

【分析】

根据A、B选项给出的条件，利用正弦定理解出sinC和sinA,结合角度大小进行判断；C,。选项，根据

余弦定理结合均值不等式即可判断.

【详解】

b得氐in60°_3

解：对于A,由sin7

sinBsinC4-8

由于c<b,所以C<3,故C为锐角，所以只有一组解，A错误;

可得乐sinA=*i'

对于3,同理，由一三=—

sinAsmB

由于。>>，所以A>3,A有两个解，则相应的C有两个解，B正确;

对于C,由Z?2=一2QCCOSB，

23212

16=储+c2—ac=(a+c)2—3〃c..(a+c)—(tz+c)=—(a+c).

44

故。+c,,8,当且仅当。=。时取等号，此时三角形周长最大，最大值为12,此时三角形为等边三角形，故C

正确；

对于D,由C推导过程知得16=/+。2_ac2ac_ac=aCf

即生,16,当且仅当〃二c时取等号，此时三角形ABC面积最大，最大值为

=-«csinB=-xl6x^=4^,故。错误，

△ABC222

故选：BC.

11.ABD

【解析】

【分析】

根据平面向量的线性运算并结合平面向量共线定理即可判断答案.

【详解】

->f->->1->1A->->->

对于A选项,AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-1-AB+AD+DC

-1(——3f

=AB+--AB+AD+-AB\^-AB+-AD,故A选项正确；

对于B选项，因为8,F,。三点共线，设卷=五凝+(1_到/1力，由嘉〃港，所以存在唯一实数几，使

得=2/，结合A可知，xAB+(1-x)AD=X\^AB+^AD\^^x-^nAB=^-\+x\AD,因为

x--A=O°、-

4333f2f

xka力不共线，所以＜'=>尤=彳，所以4/=/48+不4£>,故B选项正确;

-/l-l+x=O555

[2

-'->~>2->2—>

对于C选项，结合B,BF=AF—AB=——AB+—AD,故C选项错误；

—>-»—>—>1—>-37271—>3~>

对于D选项，结合B,CF=CD+DA+AF=一一AB-AD+-AB+-AD=—AB一一AD,故D选项正确.

255105

故选：ABD.

12.AC

【解析】

【分析】

利用平面向量数量积的定义可判断A选项；利用平面向量数量积计算向量的模，可判断BD选项的正误;

由平面向量垂直的数量积表示可判断C选项.

【详解】

对于A选项，由平面向量数量积的定义可得丽•恁=研|近阵夸=-1,A对；

对于B选项，当;l=g时，AD=AB+BD=AB+^BC^AB+^（AC-AB）=^（AB+ACy

此时|AD|=1^（AB+AC）2=1YIAB2+2AB-AC+AC2=与，B错;

对于c选项，若诟_LZ，则而灰=（而+丽）•灰?=丽灰?+4^2

=AB^AC-AB）+A（^AC-AB）=AB-AC-AB+2AC+AB-2ABAC

=72-5=0,解得彳=。，C对；

对于D选项，|就卜^AC-AB^2=^AC+AB-2ABAC=币,D错.

故选：AC.

13.万##180°

【解析】

【分析】

根据垂直向量的运算可得£出=_2片，结合题意和平面向量数量积的夹角表示可得cos0=-l,进而得出结

果.

【详解】

a±(2a+b),

:.a-(2a+b)=2a+a-b=0»

一一一2

:.a'b--2a•

又因为片=4了，所以I笳=2亩,

设£与B的夹角为凡6w[0,7],

贝Ucose=，t=3y=-1,

\a\\b\2|a|2

：.0=7l.

故答案为：71

14.--##-2.5

2

【解析】

【分析】

根据向量垂直的坐标运算即可求解.

【详解】

解：因为向量Z=(l,2),B=(0,l),所以£+/B=(l,2)+九(0,1)=(1,彳+2),

又。_1心+点)，所以7Q+4)=(l,2)-(l,/l+2)=lxl+2(；l+2)=0,解得a=一：,

故答案为:

15.100(73+1)

【解析】

【分析】

依题意画出图象，即可得到A=60。,8=75。,C=45。，AB=200,再利用正弦定理计算可得;

【详解】

解：如图，设震源在C处，则AB=20（Km,则由题意可得A=60。,8=75。,C=45。，根据正弦定理可得

^=焉，又sin7T=sin（45+30。）=5布45。侬3。。+345。$也30。=1**+**「咛旦所以

200x-----------

…200sin75°4

AC二---------------------=100(73+1),

sin45°

2

所以震源在力地正东100（若+1）6处.

故答案为：100（正+1）

16.2应-1##-1+2应

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系，设砺=£=(1,0),OB=b=(x,y),求出8的轨迹方程，再根据忻-3+4的几何意义

求其最小值.

【详解】

如图，在平面直角坐标系中，设Q4=a=(l,0),OB=b=[x,y),则/(I,0),B(x,y),

贝!]/_B=(xTy),"一5卜6-5+]nJ(尤一I)?+y2=x+l^>y2=4x,

即B的轨迹为抛物线：/=4%.

设A，(3,O),则3£=两，3万一5=朗,

设三五，V=1,故C的轨迹是以A，为圆心，半径为1的圆,

A\ia-b+^=\BC\,可看作抛物线上任意点3到以4(3,0)为圆心，半径为1的圆上任一点C的距离,

22

贝忸。2忸A[_]=J(元一3)2+/_1=iy(%-3)+4x-l=7(x-l)+8-l>2V2-1,当X=]时取等号.

故卜£-%4的最小值为2&-1.

故答案为：2忘-L

17.⑴=5,\OB\=y/31,|明=后:

£

185

27

⑶万.

【解析】

【分析】

(1)利用向量坐标模长公式进行求解；(2)利用向量坐标夹角公式求解；(3)根据第二问求出8,再使

用勾股定理求出3。，求出面积.

(1)

IUUTI-----------lUimi「

3=OA=J16+9=5,\OB\=\OB\=^^36=^7,由于通=(-1,6)-(4,3)=(-5,3),所以

网=网=125+9=取；

⑵

__...._OA•OB1414V37

O4.(9B=(4,3)-(-l,6)=^+18=14,故cosNAOB=网,网=

5.V37185

⑶

由(2)得：cos/AOB="历,所以OD=O2.cos/AOB=V^7x此短=丑，由勾股定理得:

1851855

BD=4OB2-OD：如戈=3,所以%

\NDD乙乙J乙

18.(1)-1

(2)-1±6

【解析】

【分析】

(1)首先求出Z+B与防-%再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可；

⑵首先利用向量数量积的坐标运算求出他+勾•(依-可，再根据平面向量数量积的定义得到方程，解得即

可；

(1)

解：因为。=。，1),=(0,—2),所以@+5=(1,-1),ka-b=(k,k+2),又4+6与妨一5平行，所以-左=左+2,

解得k=-l；

(2)

解：因为1+0=(1.—1),ka—b=(k,k+2),所以+6)=lx&+(—1)x(左+2)=—2,

因为4+5与标—5夹角为耳，所以(<?+5).(妨-5)=k+同1-同cosg,

即-2=-阻x+(左+2)-x—,解得k=—}+y/3.

19.(1)左侧，理由见解析；

⑵cos，=-2,时间为YUh.

542

【解析】

【分析】

(1)6=120?时，游船水平方向的速度大小为同cos(180。-。)-同然后确定方向即可.

(2)若游船能到A，处，则有同=^cos(180。-。)，求出cos。，然后求出时间f即可；

(1)

6=120?时，游船水平方向的速度大小为同cos(180。-。)-同=1km/h,方向水平向左，故最终到达北岸时游

船在H点的左侧;

A'

(2)

若游船能到A处,则有同=降收180。-。),

v2

贝U有cos。=-cos(180°-e)=—2=——，

Vj5

此时游船垂直江岸方向的速度\=同411。=2伤km/h,

d国

时间'=口=石r

A'

【解析】

【分析】

(1)由余弦定理求得BC=g,在AABC中应用正弦定理即可求sin/BAC.

(2)过C作CEJ_A。于E,ZBAC=6,可得=CE2=AC2-AE2,令BD=CD=,结合勾股定理

即可求CD的长.

(1)

由余弦定理，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=3,贝13BC2