全国版2024高考数学一轮复习第10章圆锥曲线与方程第2讲双曲线试题1理含解析

第第页第十章圆锥曲线与方程其次讲双曲线练好题·考点自测1.给出以下关于双曲线的命题:①双曲线y29-x24=1的渐近线方程是②若点(2,3)在焦距为4的双曲线x2a2-y2b③若点F,B分别是双曲线x2a2-y2b2=1(④等轴双曲线的渐近线相互垂直,离心率等于2;⑤若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与y2b2-x2以上说法正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.42.[2024全国卷Ⅰ,5,5分][理]已知方程x2m2+nA.(-1,3) B.(-1,3)C.(0,3) D.(0,3)3.[2024全国卷Ⅲ,10,5分][理]双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|A.324 B.3224.[2024全国卷Ⅱ,8,5分][理]设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点A.4 B.8 C.16 D.325.[2024大同市调研测试]如图10-2-1,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作线段F2P与C交于点Q,且Q为PF2的中点.若等腰三角形PF1F2的底边PF图10-2-1A.-2+2157 B.436.[2024天津,7,5分][理]已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且A.x24-y2C.x23-y27.[2024北京,14,5分]已知双曲线C:x26-y23=1,则C的右焦点的坐标为8.[2024全国卷Ⅰ,15,5分][理]已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴拓展变式1.(1)[2024广东七校第一次联考]P是双曲线C:x22-y2=1右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q,F1是双曲线C的左焦点,则|PF1|+|PQ|的最小值为(A.1 B.2+155 C.4+155 D.2(2)[2024全国卷Ⅲ,11,5分][理]设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PFA.1 B.2 C.4 D.82.[2024天津,5,5分][理]已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为2A.x24-yC.x24-y3.[2024成都三诊]已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A,且π6≤∠A.[5,13] B.[5,3] C.[3,13] D.[7,3]答案其次讲双曲线1.D对于①,双曲线y29-x24=1的渐近线方程应是对于②,双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),2a=|(2+2)2+(对于③,F(±c,0),B(0,±b),FB的中点坐标(±c2,±b2)不满意双曲线的渐近线方程y=±b对于④,由等轴双曲线的性质可得④正确;对于⑤,由共轭双曲线的性质可知⑤正确.故选D.2.A解法一因为双曲线x2①当焦点在x轴上时,22=②当焦点在y轴上时,22=综上,-1<n<3.故选A.解法二取n=0,满意题意,解除C,D;取n=2,满意题意,解除B.选A.解法三不考虑双曲线焦点的位置,依据双曲线的性质可得(m2则-1<n<3,故选A.3.A设点P在第一象限,依据题意可知c2=6,所以|OF|=6.又tan∠POF=ba=22,所以等腰三角形PFO底边OF上的高h=62×22=4.B由题意知双曲线的渐近线方程为y=±bax.因为D,E分别为直线x=a与双曲线C的两条渐近线的交点,所以不妨设D(a,b),E(a,-b),所以S△ODE=12×a×|DE|=12×a×2b=ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=22时等号成立.所以c≥4,所以2c≥8,所以5.C连接F1Q,由△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形,且Q是PF2的中点,知F1Q⊥PF2,又|PF2|=c,所以|QF2|=c2,由双曲线的定义可得|F1Q|=c2+2a,依据F1Q⊥PF2和|F1F2|=2c得,(c2)2+(c2+2a)2=(2c)2,化简整理得7c2-4ac-8a2=0,方程两边同时除以a2得7e2-4e-8=0,又e>1,所以e6.C解法一因为直线AB经过双曲线的右焦点,所以不妨取A(c,b2a),B(c,-b2a),取双曲线的一条渐近线为直线bx-ay=0,由点到直线的距离公式可得d1=|bc-b2|a2+b2=bc-b2c,d2=|bc+b2|a2+b2=bc+解法二由直线AB过双曲线的右焦点且垂直于x轴,d1+d2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b=3.因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以ca=2,所以a7.(3,0)3双曲线C:x26-y23=1中,c2=6+3=9,∴c=3,则C的右焦点的坐标为(3,0),C的渐近线方程为y=±36x,即x±2y8.2设B(c,yB),因为B为双曲线C:x2a2-y2b2=1上的点,所以c2a2-yB2b2=1,所以yB2=b4a2.因为AB的斜率为3,所以yB=b2a,b2ac-a=3,所以b2=3ac-3a2,所以c2-1.(1)D设双曲线的右焦点为F2,因为|PF1|-|PF2|=22,所以|PF1|=22+|PF2|,|PF1|+|PQ|=22+|PF2|+|PQ|.当且仅当Q,P,F2三点共线,且P在Q,F2之间时,|PF2|+|PQ|最小,且最小值为点F2到直线l的距离.由题意可得直线l的方程为y=±22x,焦点F2(3,0),点F2到直线l的距离d=1,故|PQ|+|PF1|的最小值为22+1,故选D(2)A解法一设|PF1|=m,|PF2|=n,P为双曲线右支上一点,则由双曲线的定义得m-n=2a.由题意得S△PF1F2=12mn=4,且m2+n2=4c解法二(结论解法)由题意及双曲线焦点三角形的结论(详见主书P207【思维拓展】(4)),得S△PF1F2=b2tan45°=4,得b2=4,又c2a2.B由e=2知,双曲线为等轴双曲线,则其渐近线方程为y=±x,