山东省寿光市圣都中学2025届高三数学上学期期末备考卷B

PAGEPAGE17山东省寿光市圣都中学2025届高三数学上学期期末备考卷（B）留意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔干脆答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集，，，则集合等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，所以．2．已知实数，满意，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在，的条件下，，故“”是“”的充要条件．3．欧拉公式，把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数满意，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，解得，所以．4．设，，，若，则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，由，得，此时，所以，夹角的余弦值为．5．已知角的终边与单位圆的交点为，且，则的值等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依据三角函数的定义得，由同角三角函数的基本关系及，得，所以，，所以．6．某中学共有人，其中男生人，女生人，为了了解该校学生平均每周体育熬炼时间的状况以及常常进行体育熬炼的学生是否与性别有关（常常进行体育熬炼是指：平均每周体育熬炼时间不少于小时），现在按性别用分层抽样的方法从中收集位学生平均每周体育熬炼时间的样本数据（单位：小时），其频率分布直方图如图．已知在样本数据中，有位女生的平均每周体育熬炼时间超过小时，依据独立性检验原理（）附：，其中．A．有的把握认为“该校学生平均每周体育熬炼时间与性别无关”B．有的把握认为“该校学生平均每周体育熬炼时间与性别有关”C．有的把握认为“该校学生平均每周体育熬炼时间与性别无关”D．有的把握认为“该校学生平均每周体育熬炼时间与性别有关”【答案】B【解析】依据分层抽样方法知，名样本中男生人，女生人．依据频率分布直方图可知，常常进行体育熬炼的频率为，得常常进行体育熬炼的人数为（人），其中女生有人，可得如下列联表：所以，故有的把握认为“该校学生平均每周体育熬炼时间与性别有关”．7．的绽开式的各项系数和为，则该绽开式中的系数是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，得的绽开式的各项系数之和为，由已知，得，此时，故绽开式中项的系数为．8．已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】构造函数，则，故函数在上单调递增，由，可得，即，所以，故不等式的解集为．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．若正实数，满意，则下列说法正确的是（）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值 D．有最大值【答案】AB【解析】由基本不等式可得，选项A正确；，所以，选项B正确；，的最小值为，选项C不正确；，得的最小值为，选项D不正确．10．直线与圆相交于，两点，则的长度可能为（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】易知直线过定点，该点与圆心的距离为，故圆心到直线的距离满意，所以，即，结合选项可知B、C正确．11．是居民消费价格指数（）的简称．居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动状况的宏观经济指标．如图是依据国家统计局发布的年月年我国涨跌状况数据绘制的折线图（注：年月与年月相比较，叫同比；年月与年月相比较，叫环比），依据该折线图，下列结论正确的是（）A．年月至年月各月与去年同期比较，有涨有跌B．年月居民消费价格指数同比涨幅最小，年月同比涨幅最大C．年月至年月只跌不涨D．年月至年月涨跌波动不大，改变比较平稳【答案】BD【解析】依据图中同比的折线图可知，年月至年月各月与去年同期比较均为涨，故选项A不正确；同样依据同比折线图知选项B正确；依据环比折线图可知，年月、月均为涨，月、月为跌，故选项C不正确；依据同比、环比折线图可知，年月至年月涨跌波动不大，改变比较平稳，选项D正确．12．抛物线的焦点为，为其上一动点，设直线与抛物线相交于，两点，点，下列结论正确的是（）A．的最小值为B．抛物线上的动点到点的距离的最小值为C．存在直线，使得，两点关于对称D．若过，的抛物线的两条切线交准线与点，则，两点的纵坐标之和的最小值为【答案】AD【解析】依据抛物线的定义知，抛物线上的动点到点与到焦点的距离之和等于动点到点的距离与到准线的距离之和，因为，所以的最小值为，选项A正确；设为抛物线上一动点，则，所以的最小值为，选项B不正确；假设存在直线使得，两点关于直线对称，则直线的斜率为，设直线，代入抛物线方程，得，则，得，设，，的中点坐标为，则，，由，得，与冲突，故假设不成立，故选项C不正确；设，，由，得，，故过点的抛物线的切线方程为，即①，同理，过点的抛物线的切线方程为②，由①②解得，，因为点在准线上，所以，即，所以，当且仅当时等号成立，故，两点的纵坐标之和的最小值为，选项D正确．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为．【答案】【解析】由于双曲线与有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为，将点代入双曲线的方程，得，，故双曲线的标准方程为．14．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是．【答案】【解析】当时，，由于为奇函数，故，，，则，故所求的切线方程为，即．15．声音是物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数，已知函数的图象向右平移个单位长度后，与纯音的数学模型的图象重合，则，若函数在是减函数，则的最大值是．【答案】，【解析】依据题意，函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，又的图象与的图象重合，且，故，得，所以．令，可得，由于包含的单调递减区间，故，得的最大值为．16．《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵中，，，，且有鳖臑和鳖臑，现将鳖臑沿翻折，使点与点重合，则鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是．【答案】【解析】鳖臑经过翻折后，记点翻折到处，则与鳖臑拼接成的几何体是如图所示的三棱锥，其中平面，底面是边长为的等边三角形．设的中心为，该三棱锥外接球的球心在过且垂直于平面的直线上，连接，则平面，连接，，在中作，因为，所以为的中点，所以，在中，易得，设三棱锥外接球的半径为，则，所以该几何体外接球的表面积．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知是的边上的一点，的面积是面积的倍，．（1）若，求的值；（2）若，，求的长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，，所以，所以，所以．（2）因为，即，以，所以，，，所以．18．（12分）给出以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设数列的前项和，，且满意，记，，求数列的前项和．【答案】见解析．【解析】选①，由已知（ⅰ），当时，（ⅱ），（ⅰ）（ⅱ）得，即，当时，，即，所以，满意，故是以为首项，为公比的等比数列，所以，，，所以．选②，由已知（ⅰ），当时，（ⅱ），（ⅰ）（ⅱ）得，即，当时，满意，，，所以．选③，由已知（ⅰ），当时，（ⅱ），（ⅰ）（ⅱ），得，即，当时，，而，得，满意，故是以为首项，为公比的等比数列，所以．，，所以．19．（12分）如图，已知平面平面，直线平面，且．（1）求证：平面；（2）若，平面，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）如图，过点作于点，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）因为平面，所以，由，可知，又，所以，所以，所以点是的中点，如图，连接，则，所以平面，则，，所以四边形是矩形．以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，则，，，．设平面的法向量为，易知，，由，得，取，得；设平面的法向量为，易知，，由，得，取，得．设二面角的平面角为，则，由图知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆与圆相交于，，，四点，四边形为正方形，，分别是的左、右焦点，的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于，两点，，若直线与直线的斜率之积为，证明：直线恒过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）不妨设点在第一象限，因为四边形为正方形，所以，因为点在圆上，所以，即，又点在椭圆上，所以，所以①，又的周长为，所以②，由①②及可解得，，所以椭圆的方程为．（2）①当直线的斜率不存在时，设，，，因为点在椭圆上，所以，即，所以，不满意题意；②当直线的斜率存在时，设，，，联立得，整理得，所以，，则，即，解得，所以直线恒过定点．21．（12分）已知函数．（1）若，在上的最小值是，求；（2）若，且，是的两个极值点，证明：（其中为自然对数的底数，）．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）的定义域是，，令，易知图象的对称轴方程为，且，因为，且，所以当时，，此时，所以在上单调递增，，解得．（2）由有两个极值点，，可得在上有个不同的实根，即在上有个不同的实根，则，解得，由根与系数的关系可得，，所以，当时，，令，则，令，则，当时，，所以在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减，，所以，所以原不等式成立，即．22．（12分）新能源汽车已经走进我们的生活，渐渐为大家所青睐．现在有某品牌的新能源汽车在甲市进行预售，预售场面异样火爆，故该经销商采纳竞价策略，基本规则是：①竞价者都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与竞价的总人数；②竞价采纳“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统依据当期汽车配额，依据竞价人的出价从高到低安排名额．某人拟参与年月份的汽车竞价，他为了预料最低成交价，依据网站的公告，统计了最近个月参与竞价的人数（如下表）：（1）由所收集数据的散点图发觉，可用线性回来模型拟合竞价人数（单位：万人）与月份编号之间的相关关系．请用最小二乘法求关于的线性回来方程：，并预料年月份（月份编号为）参与竞价的人数．（2）某市场调研机构对位拟参与年月份汽车竞价人员的报价进行了抽样调查，得到如表所示的频数表：（ⅰ）求这位竞价人员报价的平均值和样本方差（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替）；（ⅱ）假设全部参与竞价人员的报价听从正态分布，且与可分别由（ⅰ）中的样本平均数及估计．