2024新高考数学二轮总复习专题一常考小题点1.3平面向量与复数组合练学案含解析

1.3平面对量与复数组合练必备学问精要梳理1.复数的加、减、乘的运算法则与实数运算法则相同,除法的运算就是分母实数化.2.复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)及平面对量OZ一一对应,|z-(a+bi)|=r(r,a,b∈R)表示复平面内以(a,b)为圆心,r为半径的圆.3.若a=(x1,y1),b=(x2,y2)为非零向量,夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2.4.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0;a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.5.平面内三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线⇔AB∥BC⇔(x2-x1)(y3-y2)-(x3-x2)(y2-y1)=考向训练限时通关考向一复数的运算及复数的几何意义1.(2024山东,2)2-i1+2i=A.1 B.-1 C.i D.-i2.(2024全国Ⅰ,理1)若z=1+i,则|z2-2z|=()A.0 B.1 C.2 D.23.(多选)若复数z=a+2i1-i在复平面内对应的点在其次象限内,则实数aA.1 B.0C.-1 D.-24.(2024全国Ⅱ,理15)设复数z1,z2满意|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,则|z1-z2|=.

考向二平面对量的概念及线性运算5.(多选)关于平面对量a,b,c,下列说法中不正确的是()A.若a∥b且b∥c,则a∥cB.(a+b)·c=a·c+b·cC.若a·b=a·c,且a≠0,则b=cD.(a·b)·c=a·(b·c)6.(2024山东泰安一模,6)如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,则m+n=(A.1 B.3C.2 D.37.(多选)如图所示,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是()A.AC=AD+C.MN=AD+8.(2024全国Ⅰ,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.

考向三平面对量基本定理及坐标表示9.(2024山东,7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范围是(A.(-2,6) B.(-6,2)C.(-2,4) D.(-4,6)10.(2024全国Ⅲ,文6)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若AC·BC=1,则点C的轨迹为(A.圆 B.椭圆C.抛物线 D.直线11.(2024安徽合肥一中模拟,10)如图,已知矩形LMNK,LM=6,sin∠MLN=23,圆E半径为1,且E为线段NK的中点,P为圆E上的动点,设MP=λML+μMN,则λ+μ的最小值是(A.1 B.5C.74 D.12.(2024北京,13)已知正方形ABCD的边长为2,点P满意AP=12(AB+AC考向四平面对量的数量积13.(2024全国Ⅲ,理6)已知向量a,b满意|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>=()A.-3135 B.-C.1735 D.14.(2024山东济南一模,3)体育熬炼是青少年学习生活中特别重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400N,则该学生的体重(单位:kg)约为()(参考数据:取重力加速度大小为g=10m/s2,3≈1.732)A.63 B.69C.75 D.8115.(多选)(2024海南天一大联考模拟三,10)已知向量a=(3,1),b=(cosα,sinα),α∈0,π2,则下列结论正确的有A.|b|=1B.若a∥b,则tanα=3C.a·b的最大值为2D.|a-b|的最大值为316.(2024全国Ⅱ,理13)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=.

1.3平面对量与复数组合练考向训练·限时通关1.D解析2-i1+2i=(2.D解析由z=1+i,得z2=2i,2z=2+2i,故|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.3.ABC解析因为复数z=a+2i1-i=(a+2i由复数z在复平面内对应的点在其次象限内,所以a-2<0,a+2>0,即-2<a<2,所以实数4.23解析设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=3+i,∴a+c=3,b+d=1.∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4.∴2ac+2bd=-4.∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12.∴|z1-z2|=(a-c5.ACD解析对于A,若b=0,因为0与随意向量平行,所以a不肯定与c平行,故A不正确;对于B,向量数量积满意安排律,故B正确;对于C,若a⊥b,a⊥c,则b与c不肯定相等,故C不正确;对于D,(a·b)·c是与c共线的向量,a·(b·c)是与a共线的向量,故D不正确.故选ACD.6.C解析连接AO,由O为BC的中点可得,AO=12(因为M,O,N三点共线,所以m2+n2=1,所以m+n=27.ABD解析AC=AD+DC=MC=MA+AC=12BAMN=MA+AD+DN=-BC=BA+AD+DC=-AB+AD8.3解析∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=1+1+2a·b=∴a·b=-12,∴|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=3,∴|a-b|=9.A解析如图,以AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,3),C(3,3).设P(x,y),则AP=(x,y),AB=(2,0),∴AP·AB=2x+0×y=∵-1<x<3,∴AP·AB的取值范围为(-2,6),10.A解析以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.设C(x,y),A(-a,0),则B(a,0),则AC=(x+a,y),BC=(x-a,y),由AC·BC=1,得(x+a)(x-a)+y2=1,整理得x2+y2=a2+1,即点C的轨迹为圆.故选11.B解析由已知建立如图所示的平面直角坐标系,由LM=6,sin∠MLN=23,解得MN=12则M3,-1255,N(3,0),L-3,-1255.设P(cosθ,sinθ).因为MP=λML+μMN,MP=cosθ-3,sinθ+1255,ML=(-6,0),MN=0,1255.所以MP=cosθ-3,sinθ+1255=λ(-即cos解得λ所以λ+μ=32+512sinθ-16cosθ=32+14sin(θ+φ),当sin(θ+φ)=-1时12.-1解析以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则点A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2).∵AP=12(AB+AC)=12(2,0)∴PD=(-2,1),PB=(0,-∴PB·PD=0×(-2)+1×(-1)13.D解析∵a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2a·b=25+36-12=49,∴|a+b|=7,∴cos<a,a+b>=a14.B解析由题意知,两只胳膊的拉力F1=F2=400,夹角θ=60°,所以体重G=-(F1+F2).所以G2=(F1+F2)2=4002+2×400×400×cos60°+4002=3×4002.所以|G|=4003(N),则该学生的体重约为403=40×1.732≈69(kg).故选B.15.AC解析对于A,|b|=cos2α+sin2对于B,