全国版2024高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第4讲正余弦定理及解三角形试题2理含解析

第第页第四章三角函数、解三角形第四讲正、余弦定理及解三角形1.[2024湖北省四地七校联考]在一幢20m高的楼顶测得对面一座塔吊顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°,如图4-4-1,那么这座塔吊的高是()A.20(1+33B.20(1+3)mC.10(6+D.20(6+图4-4-12.[2024南京市学情调研]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2bcosC≤2a-c,则角B的取值范围是()A.(0,π3] B.(0,2π3] C.[π3,π)3.[2024贵阳市四校其次次联考]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若bsinA=2csinB,cosB=14,b=3,则△ABC的面积为(A.915 B.91516 C.34.[2024南昌三模]在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若ca+b+bA.△ABC可能为正三角形 B.角A,B,C成等差数列C.角B可能小于π3 D.B+C5.[2024大同市高三调研]在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则sin∠BAC=6.[2024洛阳市统考]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2c-ba=sinC(1)求A;(2)若b=32,c=2,点D为BC的中点,求a及AD.7.[2024长春市质检]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,a>b.(1)求证:△ABC是直角三角形.(2)若c=10,求△ABC的周长的取值范围.8.[2024惠州市模拟]已知△ABC的内角A,B,C满意si(1)求角A;(2)若△ABC的外接圆的半径为1,求△ABC的面积S的最大值.9.[2024江西重点中学其次次联考]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinBsinC=3sinA,△ABC的面积为332,a+b=33,则c=(A.21 B.3C.21或3 D.21或310.[2024晋南中学联考]平面四边形ABCD为凸四边形,且∠A=60°,AD⊥DC,AB=3,BD=2,则BC的取值范围为()A.[72,2) B.(7C.(2,7) D.[72,711.[2024福建五校其次次联考]锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且a=1,bcosA-cosB=1,若A,B改变时,sinB-2λsin2A存在最大值,则正数λ的取值范围是()A.(0,33) B.(0,1C.(33,22) D.(12.[2024四川五校联考]在△ABC中,角A的平分线交BC于点D,BD=2CD=2,则△ABC面积的最大值为()A.32 B.22 C.3 D.413.[2024陕西省百校联考]在△ABC中,D为AC的中点,若AB=463,BC=2,BD=5,则cos∠ABC=sinC=.

14.[2024福建宁德模拟]海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙隐私的最终遗产”,我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图4-4-2所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80m,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则图4-4-2中海洋蓝洞的口径为m.

图4-4-215.[2024陕西百校联考]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若A≠π2,且csin2A=4cosAsinC,求a(2)若sinA,sinB,sinC成等差数列,求B的最大值.16.在△ABC中,角A与角B的内角平分线交于点i,且5+4cos(A+B)=4sin2C.(1)求角C的大小;(2)若△ABC的外接圆半径为4,求△ABi周长的最大值.17.在△ABC中,AB=4,BC=3,则当函数f(B)=cos2B-cos(B+π3)-3sin(B+π3)+5取得最小值时,AC=(A.13 B.23 C.4 D.218.在△ABC中,若sin(π2-B)=cos2A,则AC-BCA.(-1,12) B.(13,C.(12,23) D.(1319.[2024洛阳市联考]已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,且满意(a+b+c)(sinB+sinC-sinA)=bsinC.(1)求角A的大小;(2)设a=3,S为△ABC的面积,求S+3cosBcosC的最大值.答案第四讲正、余弦定理及解三角形1.B由题图知BE的长度即所求塔吊的高.易知四边形ABCD为正方形,∴CD=BC=AD=20m.在Rt△DCE中,∠EDC=60°,∴EC=CD·tan∠EDC=203(m),∴这座塔吊的高BE=BC+CE=(20+203)=20(1+3)(m).故选B.2.A由2bcosC≤2a-c及余弦定理,得2b·a2+b2-c22ab≤2a-c,整理,得a2+c3.B因为bsinA=2csinB,所以由正弦定理得a=2c,因为cosB=14,b=3,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得9=4c2+c2-2×2c×c×14,解得c=32,所以a=3.因为B∈(0,π),所以sinB=1-cos2B=154,所以△ABC的面积S△ABC4.B由ca+b+ba+c=1,得c(a+c)+b(a+b)(a+b)(a+c)=1,即c2+b2+ac+ab=a2+bc+ab+ac,即a2=b2+c2-bc,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12,由于0<A<π,所以A=π3,所以B+C=2π3为定值.当且仅当A=B=C=π3时,△ABC是正三角形,故△ABC可能为正三角形.若角A,B,C成等差数列,则2B=A+C=π3+C,又B5.31010解法一记内角A,B,C的对边分别为a,b,c,作AD⊥BC交BC于点D,则AD=13a,△ABC的面积S=12×a×13a=12acsinB,可得a=322c.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b=10解法二作AD⊥BC交BC于点D,则AD=13BC,设BC=3,则AD=1.由B=π4,可知BD=1,则DC=2,AC=5.由正弦定理得sin∠BACsinπ6.(1)由题意及正弦定理,原式可化为2sinC-sinB=sinA(sinCtanA-cosC),即2sinC-sin(A+C)=sinA(sinCtanA-cosC),所以2sinC-sinAcosC-cosAsinC=sinCsin2AcosA化简可得2sinC-cosAsinC=sinCsin因为sinC≠0,(此条件不能省略)所以sin2AcosA即sin2A+cos2A=2cosA,所以cosA=22又0<A<π,所以A=π4(2)由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=18+4-12=10,所以a=10.解法一因为D是BC的中点,所以BD=a2又cosB=a2+c所以AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB=172所以AD=172解法二因为D为BC中点,所以AD=12(AB+AC),所以AD2=14(AB+AC)2,即AD2=14(AB2+7.(1)在△ABC中,由正弦定理可知sinA=sinB·sinAcosA,因为sinA≠0,所以sin所以sinB=sin(A+π2),所以B=A+π2或B+A+π2=π,由a>b,知A>B,所以B+A+π2=π,即A+B=π(2)△ABC的周长L=10+10sinA+10cosA=10+102sin(A+π4),由a>b可知,π4<A<π2,因此22<sin(A+π4故△ABC的周长的取值范围为(20,10+102).8.(1)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由正弦定理和已知条件,得a-化简得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA=b2∵0<A<π,∴A=π3(2)记△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理得asinA=2R,得a=2RsinA=2sin由余弦定理得a2=3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤3(当且仅当b=c时取等号),故S=12bcsinA≤12×3×32=33即△ABC的面积S的最大值为339.D因为sinBsinC=3sinA,sinB≠0,所以sinC=3sinAsinB=3ab,又△ABC的面积为332,所以12absinC=32a2=332,解得a=3.又a+b=33,所以b=23,sinC=32,当0<C<π,所以cosC=12或cosC=-12.当cos10.D在△ABD中,设AD=x,则由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠A,即x2-3x-1=0,得AD=x=3+已知AD⊥CD,∠A=60°,延长AB,DC交于点E,所以在Rt△ADE中,∠E=30°,AE=2AD=3+因为AB=3,所以BE=7,所以当BC⊥CD时,BC最短,此时,在Rt△BCE中,BC=12BE=72.在△BDE中,BD=2,BE=7,所以BC<BE=7,所以BC的取值范围是[72,7)11.A∵a=1,∴bcosA-acosB=a,由正弦定理得sinB·cosA-sinA·cosB=sinA,即sin(B-A)=sinA,∴B-A=A或B-A=π-A,∴B=2A或B=π(舍).∵△ABC为锐角三角形,∴0<A<π2,0<B=2A<π2,π2<A+B=3A<π,解得π解法一sinB-2λsin2A=sin2A-λ(1-cos2A)=sin2A+λcos2A-λ=1+λ2sin(2A+φ)-λ(其中tanφ=λ).∵π3<2A<π2,∴要使sinB-2λsin2A取得最大值,只需存在φ,满意2A+φ=π2,∴0<φ<π6,∴tan0<λ=tanφ<tanπ解法二sinB-2λsin2A=sin2A-2λsin2A,令f(A)=sin2A-2λsin2A(π6<A<π4),则f'(A)=2cos2A-2λsin2A=2λcos2A(1λ-tan2A).当tan2A<1λ时,f'(A)>0,f(A)单调递增,当tan2A>1λ时,f'(A)<0,f(A)单调递减,∴当tan2A=1λ时,f(A)取得最大值,∵1λ=tan2A∈(12.C如图D4-4-3,由BD=2CD=2,知BC=3,由角平分线定理,得ABAC=BDCD=2,设AC=x,∠BAC=2α,α∈(0,π2),则AB=2x,由余弦定理,得32=4x2+x2-2·2x·x·cos2α,即图D4-4-3S△ABC=12·2x·x·sin2α=x2·sin2α=9sin2α5-4cos2α=9×2sinαcosα5-4×(co13.66210521依题意得BD=12(BA+BC),所以BD2=14(BA+BC)2,即BA2+BC2+2BA·BC=4BD2,即(463)2+22+2×463×2cos∠ABC=4×(5)2,解得cos∠ABC=66,所以sin∠ABC=306.因为(BA+BC)2+(BA-BC)14.805由已知得,在△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°,所以∠DAC=15°,由正弦定理得AC=80sin150°sin15°=在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,所以∠DBC=30°,由正弦定理CDsin∠CBD=BCsin∠BDC,得BC在△ABC中,由余弦定理,得AB2=1600×(8+43)+1600×(8-43)+2×1600×(6+2)×(6-解得AB=805m.故题图中海洋蓝洞的口径为805m.15.(1)因为csin2A=4cosAsinC,所以2csinAcosA=4cosAsinC,因为A≠π2,所以cosA≠0,所以csinA=2sinC所以c=2sinCsinA=(2)因为sinA,sinB,sinC成等差数列,所以2sinB=sinA+sinC,由正弦定理可得2b=a+c,由余弦定理可得cosB=a2+c2-因为ca>0,ac>0,所以cosB=38(ca+ac)-14≥38×2因为cosB<1,所以cosB∈[12,1),因为B∈(0,π),(角B所以B∈(0,π3],所以B的最大值为π16.(1)∵A+B+C=π,∴A+B=π-C,∴cos(A+B)=-cosC.∵5+4cos(A+B)=4sin2C,∴5-4cosC=4(1-cos2C),即4cos2C-4cosC+1=0,解得cosC=12又0<C<π,∴C=π3(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∵△ABC的外接圆半径为4,∴由正弦定理得csinC∵C=π3,∴c=43,∠ABC+∠BAC=2π又角A与角B的内角平分线交于点i,∴∠ABi+∠BAi=π3∴∠AiB