广西钦州市2024-2025学年高二数学上学期期末教学质量监测试题理含解析

PAGEPAGE25广西钦州市2024-2025学年高二数学上学期期末教学质量监测试题理（含解析）（考试时间：120分钟；赋分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）1.下列语句能作为命题（）A.3比5大 B.太阳和月亮 C.高二年级的学生 D.2.已知，，若，则等于（）A.1 B.2 C. D.33.命题“若，则”的否命题是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则4.椭圆与轴的交点为，两个焦点为，，则的面积为（）A.6 B.8 C.10 D.5.某班有学生56人，现将全部学生按1，2，3，…，56随机编号，若采纳系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，抽得编号为4，，32，的学生样本，则（）A64 B.60 C.58 D.366.据统计，某产品的市场销售量（万台）与广告费用投入（万元）之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知，与之间有较强的线性相关关系，其线性回来方程是.预料广告费用投入为10万元时，估计该厂品的市场销售约为（）

A.6.1万台 B.5.5万台 C.5.2万台 D.6万台7.在“我爱你，中国”为主题演讲竞赛中，七位评委对甲参赛选手的评分如图茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为（）A. B. C. D.8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A.4 B.8 C.16 D.329.为考察、两名运动员的训练状况，下面是、两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，给出下列四个结论，其中错误的结论是（）A.第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分；B.第1天至第7天运动员的得分逐日提高；C.第2天至第3天运动员的得分增量大于运动员的得分增量；D.运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差.10.直三棱柱中，，，则与面成角的正弦值为（）A. B. C. D.11.是抛物线上一点，若点到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.12.已知双曲线，过其右焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的左焦点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“，使”是真命题，则的范围是________.14.某中学各年级男、女生人数统计如表：年级人数性别高一高二高三男生592563520女生528517a按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a＝_____．15.长方体中，，，则异面直线与所成的角余弦值为__________.16.明朝闻名易学家来知德创立了以太极图说明一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象.他认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.下图是来氏太极图，其大圆半径为6，大圆内部的同心小圆半径为2，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在空白区域的概率为__________.

三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题：，命题：.(1)若为假命题，求实数的取值范围；(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.18.已知中，点，的坐标分别是，，动点满意.（1）求顶点轨迹方程；（2）依据（1）所求得的轨迹方程，求面积的最大值.19.2024年新型冠状病毒肺炎疫情期间，某医院随着医疗工作的有序开展，从2020年3月1日第天12345治愈新型冠状病毒肺炎人数（人）24818若在肯定时间内，该医院每日治愈的新型冠状病毒肺炎病人数与天数具有相关关系，已知线性回来方程恒过定点，且，.（1）求的值和线性回来方程；（2）预料该医院3月11日能否可以实现“单日治愈人数突破40参考公式：，，，为样本平均值.20.如图所示，正三棱柱内接于圆柱，，，点在轴上运动.（1）证明：不论在何处，总有；（2）当点为的中点时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.21.为了了解某工厂生产的产品状况，从该工厂生产的产品随机抽取了一个容量为200的样本，测量它们的尺寸（单位：），数据分为，，，，，，七组，其频率分布直方图如图所示.

（1）依据频率分布直方图，求200件样本中尺寸在内的样本数；（2）记产品尺寸在内为等品，每件可获利6元；产品尺寸在内为不合格品，每件亏损3元；其余的为合格品，每件可获利4元.若该机器一个月共生产2000件产品.以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到9000元，则须要对该工厂设备实施升级改造.试推断是否须要对该工厂设备实施升级改造.22.已知椭圆标准方程为，椭圆的左、右焦分别为、，为椭圆上的点，且.过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点.（1）求椭圆方程；（2）若在以为直径的圆上，求直线的方程和圆的方程.钦州市2024年秋季学期教学质量监测高二数学（理科）（解析版）（考试时间：120分钟；赋分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）1.下列语句能作为命题是（）A.3比5大 B.太阳和月亮 C.高二年级的学生 D.【答案】A【解析】【分析】依据命题定义逐个推断.【详解】依据命题定义：能推断真假的陈述句，A正确，B、C不是陈述句，D不能推断真假.故选：A.2.已知，，若，则等于（）A.1 B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】由条件，求的值.【详解】，，即，解得：.故选：B3.命题“若，则”的否命题是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】【分析】由题意，依据否命题的形式分析几科得到答案．【详解】否命题是条件和结论都否定，依据题意，命题“若，则”的否命题是“若，则”．故选：B【点睛】写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键：分清晰原命题的条件和结论，可以先将原命题改写成“若p则q”的形式（写法不肯定惟一），再写出其它三种命题（大前提不变）．4.椭圆与轴的交点为，两个焦点为，，则的面积为（）A.6 B.8 C.10 D.【答案】D【解析】【分析】由椭圆的方程求出的值、以及的坐标，利用三角形的面积公式即可求解.【详解】由椭圆可得，所以，令可得，所以，所以的面积为，故选：D5.某班有学生56人，现将全部学生按1，2，3，…，56随机编号，若采纳系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，抽得编号为4，，32，的学生样本，则（）A.64 B.60 C.58 D.36【答案】A【解析】【分析】先求出样本间隔，再由样本间隔求出.【详解】因为样本容量为，所以样本的间隔为则即故选：A6.据统计，某产品的市场销售量（万台）与广告费用投入（万元）之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知，与之间有较强的线性相关关系，其线性回来方程是.预料广告费用投入为10万元时，估计该厂品的市场销售约为（）

A.6.1万台 B.5.5万台 C.5.2万台 D.6万台【答案】B【解析】【分析】算出，代入，求出，即可求解.【详解】解：由题意知：，，将代入，即，解得：，即，将代入得.故选：B.7.在“我爱你，中国”为主题的演讲竞赛中，七位评委对甲参赛选手的评分如图茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据茎叶图数据，去掉最低分78，最高分94，剩余数据为85，85，85，87，88，求出平均数，再求出方差．【详解】由茎叶图可知评委打出的最低分78，最高分94．其余得分为85，85，85，87，88，故平均分为，方差为．故选：C【点睛】(1)平均数：是指在一组数据中全部数据之和再除以这组数据的个数，表示一组数据集中趋势的量数；(2)方差：是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数，数据和其数学期望（即均值）之间的偏离程度，反映数据离散程度．8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A.4 B.8 C.16 D.【答案】C【解析】分析】依据程序框图计算，判定是否成立，不成立接着循环直到条件成立输出值即可.【详解】解：第一次循环：不成立，故进行其次次循环；其次次循环：不成立，故进行第三次循环；第三次循环：成立，结束循环，输出；故选：C.9.为考察、两名运动员的训练状况，下面是、两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，给出下列四个结论，其中错误的结论是（）A.第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分；B.第1天至第7天运动员的得分逐日提高；C.第2天至第3天运动员的得分增量大于运动员的得分增量；D.运动员第1天至第3天得分方差大于第2天至第4天的得分的方差.【答案】D【解析】【分析】依据图象，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由图象可得，第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分，故A正确；由图象可得，第1天至第7天B运动员的得分逐日提高，故B正确；第2天至第3天，A运动员得分增量大于2，B运动员得分增量小于2，所以第2天至第3天A运动员的得分增量大于B运动员的得分增量，故C正确；在1天至第3天的得分统计中，A运动员最小得分78最高得分80，在第2天至第4天的得分统计中，A运动员最小得分78最高得分高于80，所以第1天至第3天方差小于第2天至第4天的方差，故D错误.故选：D10.直三棱柱中，，，则与面成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】过作,可证平面，连接,可知即为所求线面角，计算即可求解.【详解】如图，过作，连接，在直三棱柱中，因为所以平面，故在平面上的射影为,所以为直线与平面所成的角，设，又所以故故选：A【点睛】方法点晴：求线面夹角一般有两种方法：（1）几何法：作平面的垂线，找到夹角再用三角函数求解；（2）向量法：建系用空间向量公式求解.11.是抛物线上一点，若点到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义求解即可．【详解】抛物线的准线方程为其上一点到抛物线的焦点距离为6，则解得，即抛物线的准线方程为故选：A12.已知双曲线，过其右焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的左焦点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题将代入双曲线，可求出圆半径，再依据题意可得，即可由此求出离心率.【详解】由题可得轴，将代入双曲线可得，以为直径的圆的半径为，双曲线的左焦点在以为直径的圆内，，即，即，两边除以可得，解得（舍去）或，故双曲线离心率的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，依据题意得出.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“，使”是真命题，则的范围是________.【答案】.【解析】【分析】等价于在恒成立，即得解.【详解】命题“，使”是真命题等价于时，恒成立.所以在恒成立，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查全称命题的真假求参数的问题的求解，意在考查学生对该学问的理解驾驭水平.14.某中学各年级男、女生人数统计如表：年级人数性别高一高二高三男生592563520女生528517a按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a＝_____．【答案】480；【解析】【分析】依据分层抽样满意每个个体被抽到的概率是相等的，建立等量关系式，求得结果.【详解】依据题意，由分层抽样方法得，解得，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关分层抽样的问题，涉及到的学问点有分层抽样中依据成比例建立等量关系式求参数，属于基础题目.15.长方体中，，，则异面直线与所成的角余弦值为__________.【答案】【解析】【分析】连接，因为所以或补角为异面直线与所成的角，由余弦定理求解.【详解】如图所示，连接和因为，所以或补角为异面直线与所成的角因为，，所以，，由余弦定理得故答案为：.【点睛】方法点晴：求线线夹角可用几何法：先平移相交找角再用三角学问求解；也可用空间向量公式求解.16.明朝闻名易学家来知德创立了以太极图说明一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象.他认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.下图是来氏太极图，其大圆半径为6，大圆内部的同心小圆半径为2，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在空白区域的概率为__________.

【答案】【解析】【分析】设大圆面积为，小圆面积为，并求出、，进而求得白色区域的面积，结合面积比即可求解.【详解】设大圆面积，小圆面积，则，，可得白色区域的面积为，所以落在白色区域的概率为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满意条件A的基本领件对应的“几何度量”，再求出总的基本领件对应的“几何度量”，然后依据求解，着重考查了分析问题和解答问题的实力，属于基础题．三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题：，命题：.(1)若为假命题，求实数的取值范围；(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)；（2）.【解析】【分析】(1)求解一元二次不等式即可求出实数的取值范围；(2)把是的充分条件，转化为集合的包含关系，列不等式组求解．【详解】解：(1)∵为假命题，则成立，解得或，∴实数的取值范围是.(2)∵是的充分条件，又∵：，：，∴，∴.解得.∴实数的取值范围是.【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的推断，一般可依据如下规则推断：(1)若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；(2)若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；(3)若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；(4)若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含．18.已知中，点，的坐标分别是，，动点满意.（1）求顶点的轨迹方程；（2）依据（1）所求得的轨迹方程，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设动点的坐标为依据，列方程化简即可；（2）因为动点的轨迹方程是以为圆心，以为半径的圆，故当的高为圆的半径时，的面积最大.【详解】解：（1）设动点的坐标为，则，，∵，所以，化简得，即动点的轨迹方程为.（2）由（1）知，动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆（除该圆与轴的交点之外）.因此，当高为圆的半径时，的面积最大，此时.【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）干脆法：假如动点满意的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简洁明白易于表达，只须要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可依据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满意某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满意的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满意的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，依据相关点坐标所满意的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题经常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.19.2024年新型冠状病毒肺炎疫情期间，某医院随着医疗工作的有序开展，从2020年3月1日第天12345治愈的新型冠状病毒肺炎人数（人）24818若在肯定时间内，该医院每日治愈的新型冠状病毒肺炎病人数与天数具有相关关系，已知线性回来方程恒过定点，且，.（1）求的值和线性回来方程；（2）预料该医院3月11日能否可以实现“单日治愈人数突破40参考公式：，，，为样本平均值.【答案】（1），；（2）能实现.【解析】【分析】（1）线性回来方程恒过定点，知故可求；依据参数公式求回来方程；（2）取代入回来方程计算结果再与40比较即可有结论.【详解】解：（1）由题意，，，∴，解得，∵，，所以，，，所以线性回来方程.（2）在中，3月11日即取..∵，∴该医院3月11日能实现“单日治愈人数突破40人【点晴】关键点点晴：定点为回来方程中心点，即，，是求的关键.20.如图所示，正三棱柱内接于圆柱，，，点在轴上运动.（1）证明：不论在何处，总有；（2）当点为的中点时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接并延长，交于，通过和证明平面，即可得出.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量关系即可求出.【详解】（1）证明：连接并延长，交于，∵为正三角形，为外接圆的圆心，∴，∴，又∵在圆柱中，平面，因为平面，所以，又，平面，平面，∴平面，不论在何处，总有平面，所以；（2）如图，设的中点为，由已知得，，相互垂直，以为坐标原点建立空间直角坐标系，

∵，则，为的中点，求得，∴，，，∴，，设平面的一个法向量为，则有，即，取，解得，，得，∵面，可得平面的一个法向量为，∴，故所求锐二面角的余弦值为.【点睛】利用法向量求解空间面面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；其次，破“求坐标关”，精确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21.为了了解某工厂生产的产品状况，从该工厂生产的产品随机抽取了一个容量为200的样本，测量它们的尺寸（单位：），数据分为，，，，，，七组，其频率分布直方图如图所示.

（1）依据频率分布直方图，求200件样本中尺寸在内的样本数；（2）记产品尺寸在内为等品，每件可获利6元；产品尺寸在内为不合格品，每件亏损3元；其余的为合格品，每件可获利4元.若该机器一个月共生产2000件产品.以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到9000元，则须要对该工厂设备实施升级改造.试推断是否须要对该工厂设备实施升级改造.【答案】（1）件；（2）须要对该工厂设备实施升级改造.【解析】【分析】（1）依据评论分布直方