专题05 一元函数的导数及其应用（4知识点+8重难点+6技巧+4易错）（原卷版）-2025高考数学一轮复习知识

专题05一元函数的导数及其应用（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1导数的概念1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．2、导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．知识点2导数的运算1、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnx(x>0)f′(x)＝eq\f(1,x)2、导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．3、复合函数的导数（1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作.（2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.规律：从内到外层层求导，乘法连接。（3）求复合函数导数的步骤第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；第三步相乘：把上述求导的结果相乘；第四步变量回代：把中间变量代回。知识点3导数与函数的单调性1、导数与函数的单调性的关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．【注意】（1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；（2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零．2、导数法求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域；（2）求（通分合并、因式分解）；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．知识点4导数与函数的极值、最值1、函数的极值（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．2、函数的最值（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3、函数极值与最值的关系（1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个。（2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值。重难点01根据切线情况求参数已知，过点，可作曲线的（）条切线问题第一步：设切点第二步：计算切线斜率；第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解；【典例1】（23-24高三上·广东·月考）若曲线在点处的切线方程为，则．【典例2】（22-23高三下·湖南长沙·月考）设直线是曲线的一条切线，则．【典例3】（23-24高三上·广西南宁·月考）已知曲线与的公切线为，则实数.重难点02含参函数单调性讨论依据（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；（3）导函数多个零点时大小的讨论。【典例1】（23-24高三下·江西·月考）已知函数.（1）若，求曲线在处的切线方程;（2）若，讨论的单调性.【典例2】（2024·海南·模拟预测）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数（为的导函数），讨论的单调性.重难点03构造函数法解决函数问题中的常见类型关系式为“加”型构造：构造（2）构造（3）构造（4）构造（注意的符号）（5）构造关系式为“减”型构造：（6）构造（7）构造（8）构造（9）构造（注意的符号）（10）构造【典例1】（2024·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三上·河北·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，且恒成立，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【典例3】（23-24高三上·山东菏泽·月考）若定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为重难点04单变量不等式恒成立问题一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：1、，2、，3、，4、，【典例1】（2024·河南·三模）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A． B． C．1 D．【典例2】（2024·陕西·二模），有恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．重难点05双变量不等式与等式一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有成立，故．【典例1】（23-24高三上·江苏常州·期中）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）对于，使得，求实数的取值范围．【典例2】（2023高三·全国·专题练习）设函数，．（1）若曲线在处的切线过点，求的值；（2）设若对，，使得成立，求的取值范围．重难点06导数与函数零点问题利用导数确定函数零点的常用方法1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）；2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。【典例1】（2024高三下·浙江杭州·模拟预测）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高三下·河北·月考）已知函数在区间内有唯一极值点，其中为自然对数的底数.（1）求实数的取值范围；（2）证明：在区间内有唯一零点.重难点07隐零点问题的应用导函数的零点不可求时的应对策略：1、“特值试探”法：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循以下原则：①在含有的函数中，通常选取，特别地，选当时，来试探；②在含有的函数中，通常选取，特别地，选取当时，来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决.2、“虚设和代换”法：当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚设为，接下来通常有两个方向：①由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关的问题；②根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解。【典例1】（23-24高三上·湖南·月考）已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）记函数的导函数为，若不等式恒成立，求实数的取值范围.【典例2】（23-24高三下·四川巴中·月考）函数；（1）当时，讨论函数的单调性；（2）在恒成立，求整数的最大值.重难点08极值点偏移问题证明极值点偏移问题常用思路：利用分析法，将所证不等式中的变量分到不等式的两边，构造对称函数，注意将和化到同一区间，再利用导数据研究函数的单调性，求极致、最值等手段证得不等式。【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数为实数.（1）讨论函数的极值；（2）若存在满足，求证：.【典例2】（2024·云南·二模）已知常数，函数.（1）若，求的取值范围;（2）若、是的零点，且，证明:.一、导数定义中极限的计算瞬时变化率的变形形式lim∆x→0【典例1】（2023·吉林长春·模拟预测）利用导数的定义计算值为（

）A．1 B． C．0 D．2【典例2】（2024·江苏南通·二模）已知，当时，.二、求曲线“在”与“过”某点的切线1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率第二步（写方程）：用点斜式第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．【典例1】（23-24高三上·河南·月考）曲线在点处的切线方程为．【典例2】（23-24高三上·山东青岛·期中）曲线过原点的切线方程为.三、已知函数的单调性求参数（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点【典例1】（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【典例2】（2023·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．m>1四、利用导数求函数的极值或极值点1、利用导数求函数极值的方法步骤（1）求导数；（2）求方程的所有实数根；（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化．①如果的符号由正变负，则是极大值；②如果由负变正，则是极小值．③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点．【典例1】（23-24高三下·山东菏泽·月考）函数的极小值点为（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·海南·月考）已知函数在处的切线平行于直线.（1）求的值；（2）求的极值.五、根据函数的极值求参数根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路：根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出，然后分析的根的个数：①分类讨论法分析的根的个数并求解参数范围；②参变分离法分析的根的个数并求解参数范围；③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围.【典例1】（23-24高三上·山西临汾·月考）已知曲线在点处的切线斜率为3，且是的极值点，则函数的另一个极值点为.【典例2】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例3】（23-24高三上·河北衡水·月考）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（

）A． B． C． D．六、利用导数研究函数的最值函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为：（1）求函数在区间上的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。【典例1】（23-24高三下·河南·月考）函数的最小值为（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·湖南长沙·月考）已知函数.（1）当时，求在处的切线方程；（2）讨论在区间上的最小值.易错点1复合函数求导错误点拨：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即。【典例1】（2024高三·全国·专题练习）函数的导数是．【典例2】（2024高三·全国·专题练习）设函数，则易错点2误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系点拨：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号。【典例1】（2