考前必刷06 多面体（考题猜想）（解析版）

考前必刷06多面体一、选择题1.下列说法中正确的是（

）A．直四棱柱是长方体B．圆柱的母线和它的轴可以不平行C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥【答案】C【分析】根据相关立体几何图形的性质逐项判断即可.【详解】对于A：由直四棱柱的定义可知，长方体是直四棱柱，但当底面不是长方形时，直四棱柱就不是长方体，故A错误；对于B：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故B错误；对于C：由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确；对于D：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故D错误.故选：C.2．如图所示的是一个五棱柱，则下列判断错误的是（

）A．该几何体的侧面是平行四边形B．该几何体有七个面C．该几何体恰有十二条棱D．该几何体恰有十个顶点【答案】C【分析】根据棱柱的定义及性质判断即可.【详解】解：根据棱柱的定义可知，该几何体的侧面是平行四边形，故A正确；该五棱柱有七个面，十五条棱，十个顶点，故B、D正确，C错误；故选：C3．如图四个几何体中是棱锥的选项是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用棱锥的定义判断选项即可．【详解】因为有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．所以中几何体为棱锥，故选：．4.以下关于多面体的命题种，真命题为（

）A．所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥B．所有侧面均为正方形的四棱柱是正四棱柱C．所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体D．所有侧面均为正方形的多面体是正方体【答案】A【分析】直接利用正棱柱和正棱锥体的定义判定A、B、C、D即可得出答案．【详解】解：对于A：所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥，故A正确；对于B：所有侧面均为正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，底面不一定为正方形，故B错误；对于C：所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体，也可能为正四棱锥，故C错误；对于D：所有侧面均为正方形的多面体是直棱柱，故D错误．故选：A．5.在长方体中，，，，则该长方体的表面积为（

）A．204 B．200 C．196 D．192【答案】D【分析】连接，，利用勾股定理求出，再根据长方体的表面积公式计算可得.【详解】如图，在长方体中，连接，，因为，，，所以，所以，所以该长方体的表面积.故选：D.6.已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为A． B． C． D．【答案】A【解析】求出侧棱长，再求出侧面积和两个底面积，即可得表面积．【详解】由题意侧棱长为．所以表面积为：．故选：A.7.已知直三棱柱的体积为，则三棱锥的体积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据棱柱的几何性质和棱锥的体积公式把三棱锥的体积转化为三棱锥，再结合棱柱的体积求三棱锥的体积即可.【详解】.故选：D.8.中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，若取，则下列结论正确的是（

）A．正四棱锥的底面边长为48mB．正四棱锥的高为4mC．正四棱锥的体积为D．正四棱锥的侧面积为【答案】C【分析】在如图所示的正四棱锥中，设底面边长为，根据侧棱长和侧面与底面所成的二面角可求底边的边长，从而可求体高、侧面积以及体积，据此可判断各项的正误.【详解】如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，，则为的中点，连接，则平面，，则为侧面与底面所成的锐二面角，设底面边长为．正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，取，∴，则，，．在中，，解得，故底面边长为，正四棱锥的高为，侧面积为，体积．故选：C．9.底面边长和高都是1的正三棱柱的表面积是（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【解析】表面积为.故选：D.10.三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为（

）A．4 B．6 C．12 D．24【答案】A【解析】因为三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，所以该三棱锥的体积为，故选：A.二、填空题11.长方体是．（写出所有正确选项的序号）①直四棱柱；②正四棱柱；③正方体；④直棱柱．【答案】①④【分析】由长方体的概念可直接做出判断.【详解】长方体是是底面为长方形的直四棱柱，所以长方体是直四棱柱，也属于直棱柱.故答案为：①④.12.判断正误．（1）棱柱的底面互相平行．()（2）棱柱的各个侧面都是平行四边形．()（3）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．()【答案】√√×【详解】（1）根据棱柱的定义可知正确（2）根据棱柱的定义可知正确（3）根据棱锥的定义可知，有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体为棱锥，故错误13.长方体中由一个顶点出发的三个侧面的面积分别为2､3､6，则该长方体的体积为.【答案】6【分析】由已知中从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为2、3、6，我们可以设长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，我们可以根据已知求出长方体的体积．【详解】解：设长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，∵从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为2、3、6，∴a•b＝2，a•c＝3，b•c＝6∴（a•b•c）2＝36∴a•b•c＝6即长方体的体积为6故答案为：614.若正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为4，则此正四棱柱的体积为．【答案】100【分析】根据棱柱体积公式直接可得.【详解】故答案为：10015.如图，沿正方体相邻的三个侧面的对角线截得一个体积为的三棱锥，则该正方体的棱长为．【答案】2【分析】设该正方体的棱长为，再根据棱锥的体积公式求解即可【详解】设该正方体的棱长为，则，解得故答案为：216.若正四棱锥的底面边长和高都是2，则其体积为.【答案】【分析】直接根据棱锥的体积公式求解即可．【详解】解：由题意的该四棱锥的体积，故答案为：．17.已知长方体的长、宽、高分别是、、，和该长方体等体积的正方体的棱长为．【答案】【分析】根据长方体和正方体体积公式可直接构造方程求得结果.【详解】由题意知：长方体体积；设正方体棱长为，则，解得：.故答案为：.18.已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为.【答案】【分析】先根据球的体积公式求半径，然后根据正方体的体对角线即为外接球的直径可得正方体的棱长，即可求得正方体体积.【详解】记正方体棱长为a，外接球半径为R，则，解得，因为正方体的体对角线即为外接球的直径，所以，解得，所以，正方体的体积为.故答案为：19．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的全面积为．【答案】12【分析】根据正四棱锥的特点，可知侧面是全等的等腰三角形，求出斜高可得侧面积，结合底面积可得全面积.【详解】如图在正四棱锥S﹣ABCD中，O为底面正方形的中心，E为BC的中点，连接OE，SO，SE，则SO⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以BC⊥SO，在三角形ABC中，O，E分别为AC，BC的中点，所以OE∥AB，又因为AB⊥BC，所以BC⊥OE．又OE∩SO＝O，所以BC⊥平面SOE，因为SE⊂平面SOE，所以SE⊥BC，即SE为侧面SBC的斜高，三角形SBE为直角三角形，所以SE＝＝2．所以该正四棱锥的全面积S全＝SABCD+4×SSBC＝2×2+4×＝4+8＝12．故答案为12．20．2021年东京奥运会的游泳比赛在东京水上运动中心举行，其中某泳池池深约3.5m，容积约为4375，若水深要求不低于1.8m，则池内蓄水至少为（

）A．2250 B．2500 C．2750 D．2000【答案】A【解析】由题意，池底面积，则蓄水量至少为.故选：A.三、解答题21．已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥．(1)求它的表面积；(2)求它的体积.【答案】(1)；(2)﹒【分析】(1)四棱锥表面积为四个侧面等边三角形面积和底面正方形面积之和；(2)连接、，AC∩BD＝，连接，则为棱锥的高，求出SO，根据棱锥体积公式即可求解．【详解】（1）∵四棱锥的各棱长均为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形，∴它的表面积为；（2）连接、，AC∩BD＝，连接，则为棱锥的高，则，故棱锥的体积．22．如图所示，在长方体中，求棱锥的体积与长方体的体积之比.【答案】【解析】棱锥可以看成棱锥，然后结合棱锥与棱柱的体积公式求解即可.【详解】解：已知的长方体可以看成直四棱柱，设它的底面面积为S，高为h，则长方体的体积为.因为棱锥可以看成棱锥，且的面积为，棱锥的高是h，所以.因此所求体积之比为.23．用斜二测画法画一个底而为正方形，顶点在底面上的射影是底面中心，底面边长为2cm，高为2cm的棱锥.【答案】作图见解析【分析】根据斜二测画法画出正四棱锥