第6讲.万有引力与航天（原卷版）-2024高考二轮复习

2024高考二轮复习二十五专题第6讲、万有引力与航天第一部分织网点睛，纲举目张一．开普勒三定律开普勒用20年的时间通过对第谷行星观测资料的分析总结得出开普勒行星运动三定律。定律内容图示或公式开普勒第肯定律(轨道定律)全部行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒其次定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)全部行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等eq\f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量二、万有引力定律1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．2．表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)，G为引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2.3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．4．万有引力的“两点理解”和“两个推论”(1)两点理解①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力．(2)两个推论①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2).5．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是供应物体随地球自转的向心力F向，如图所示．(1)在赤道上：GMmR2＝mg1＋mω2(2)在两极上：GMmR2＝mg(3)在一般位置：万有引力GMmR2等于重力mg与向心力F越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR2＝三、天体运动1.天体运动的两条基本思路(1)F引＝F向，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r。(2)在忽视自转时，万有引力近似等于物体的重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，可得GM＝gR2(黄金代换式)。2．解决天体运动问题的“万能关系式”四、卫星变轨1．两类变轨问题辨析(1)加速变轨：卫星的速率增大时，使得万有引力小于所需向心力，即F引<eq\f(mv2,r)，卫星做离心运动，轨道半径将变大。因此，要使卫星的轨道半径增大，需开动发动机使卫星做加速运动。(2)制动变轨：卫星的速率减小时，使得万有引力大于所需向心力，即F引>eq\f(mv2,r)，卫星做向心运动，轨道半径将变小。因此，要使卫星的轨道半径减小，需开动发动机使卫星做减速运动。2．变轨前后能量的比较在离心运动过程中(发动机已关闭)，卫星克服引力做功，其动能向引力势能转化，机械能保持不变。在两个不同的轨道上(圆轨道或椭圆轨道)，轨道越高卫星的机械能越大。五、双星模型和多星系统1.双星系统之“二人转”模型双星系统由两颗相距较近的星体组成，由于彼此的万有引力作用而绕连线上的某点做匀速圆周运动简称“二人转”模型。双星系统中两星体绕同一个圆心做圆周运动，周期、角速度相等；向心力由彼此的万有引力供应，大小相等.2.三星系统之“二绕一”和“三角形”模型三星系统由三颗相距较近的星体组成，其运动模型有两种：一种是三颗星体在一条直线上，两颗星体围绕中体组成一个等边三角形，形”模型。,“三角形”模型中，三星结构稳定，角速度相同，半径相同，任一星体的向心力均由另两颗星体对它的万有引力的合力供应3.四星系统之“三绕一”和“正方形”模型四星系统由四颗相距较近的星体组成，与三星系统类似，运动模型通常有两种：一种是三颗星体相对稳定地位于三角形的三个顶点上，环绕另一颗位于中心的星体做圆周运动简称“三绕一”模型；另一种是四颗星体相对稳定地分布在正方形的四个顶点上，围绕正方形的中心做圆周运动简称“正方形”模型。其次部分实战训练，高考真题演练1.（2023学业水公平级考试上海卷）月球绕地球做匀速圆周运动，已知月球的公转周期为T，质量为m，地月距离为r，则月球绕地球转动的线速度大小为，地球和月球之间的引力为。2.（2023高考江苏学业水平选择性考试）设想将来放射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道．该卫星与月球相比，肯定相等的是（）A.质量 B.向心力大小C.向心加速度大小 D.受到地球的万有引力大小3.（2023高考海南卷）如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前后的轨道，下列说法正确的是（）A.飞船从1轨道变到2轨道要点火加速 B.飞船在1轨道周期大于2轨道周期C.飞船在1轨道速度大于2轨道 D.飞船在1轨道加速度大于2轨道4．（2023全国高考新课程卷）2023年5月，世界现役运输力量最大的货运飞船天舟六号，携带约5800kg的物资进入距离地面约400km（小于地球同步卫星与地面的距离）的轨道，顺当对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资（）A．质量比静止在地面上时小B．所受合力比静止在地面上时小C．所受地球引力比静止在地面上时大D．做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大5．（2023年6月高考浙江选考科目）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则（）A．木卫一轨道半径为B．木卫二轨道半径为C．周期T与T0之比为D．木星质量与地球质量之比为6.（2023高考选择性考试辽宁卷）在地球上观看，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（）A. B. C. D.7.（2023高考山东高中学业水公平级考试）牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质、且都满足。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，依据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（）A. B. C. D.8.（2023高考湖北卷）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为，如图所示。依据以上信息可以得出（）A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为D.下一次“火星冲日”将消灭在2023年12月8日之前9.（2023高考湖南卷）依据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，假如质量为太阳质量的倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快．不考虑恒星与其它物体的相互作用．已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。依据万有引力理论，下列说法正确的是（）A.同一恒星表面任意位置的重力加速度相同B.恒星坍缩后表面两极处重力加速度比坍缩前的大C.恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变D.中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度第三部分思路归纳，内化方法1.计算天体质量和密度的两条基本思路(1)利用中心天体自身的半径R和表面的重力加速度g：由Geq\f(Mm,R2)＝mg求出M，进而求得ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。(2)利用环绕天体的轨道半径r、周期T：由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得出M＝eq\f(4π2r3,GT2)，若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径r＝R，则ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2)。2.天体运行参量比较问题的两种分析方法(1)定量分析法列出五个连等式：Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r。导出四个表达式：a＝Geq\f(M,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))。结合r的大小关系，比较得出a、v、ω、T的大小关系。(2)．定性结论法r越大，向心加速度、线速度、动能、角速度均越小，而周期和能量均越大。3.卫星变轨前后各物理量的比较人造卫星的放射过程要经过多次变轨，过程简图如图所示。(1)两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等。图中vⅢB>vⅡB，vⅡA>vⅠA。(2)两个不同圆轨道上线速度v大小不相等。轨道半径越大，v越小，图中vⅠ>vⅢ。(3)在分析卫星运行的加速度时，只要卫星与中心天体的距离不变，其加速度大小(由万有引力供应)就肯定与轨道外形无关，图中aⅢB＝aⅡB，aⅡA＝aⅠA。(4)不同轨道上运行周期T不相等。依据开普勒行星运动第三定律eq\f(r3,T2)＝k，内侧轨道的运行周期小于外侧轨道的运行周期，图中TⅠ<TⅡ<TⅢ。(5)卫星在不同轨道上的机械能E不相等，“高轨高能，低轨低能”。卫星变轨过程中机械能不守恒，图中EⅠ<EⅡ<EⅢ。4.双星或多星问题解题技巧(1)确定系统中心及半径：明确双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。(2)明确向心力：星体的向心力由其他天体对它的万有引力的合力供应。(3)抓住角速度特点：星体的角速度相等。(4)清楚星体的轨道半径不是天体间的距离：要利用几何学问，查找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。第四部分最新模拟集萃，提升应试力量1..(2024福建莆田重点高中12月质检)2022年10月31日，梦天试验舱在长征五号B遥四运载火箭托举下成功进入预定轨道，此后与空间站对接成为组合体，在距离地面高度H的圆轨道匀速运行。若取无穷远处为引力势能零点，质量为m的物体在地球引力场中具有的引力势能为（式中G为引力常量，M为地球的质量，为物体到地心的距离）。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，试验舱与空间站组合体的质量为，则（）A.先使试验舱与空间站在同一轨道上运行，然后试验舱加速追上空间站实现对接B.若组合体返回地球，则需加速离开该轨道C.在该轨道上组合体的引力势能为D.在该轨道上组合体的机械能为2．（2023山西阳泉期末）两颗相距较远的行星A、B的半径分别为、，距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方随r变化的关系如图甲所示，两图线左端的纵坐标相同；距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的周期为T，取对数后得到如图乙所示的拟合直线（线性回归），两直线平行，它们的截距分别为、。已知两图像数据均接受国际单位，，行星可看作质量分布均匀的球体，忽视行星的自转和其他星球的影响，下列说法正确的是A．图乙中两条直线的斜率均为 B．行星A、B的质量之比为2∶1C．行星A、B的密度之比为1∶2 D．行星A、B表面的重力加速度大小之比为2∶13.(2023天津模拟)．太阳系行星在众多恒星背景下沿肯定方向移动，但也会消灭反常，即转变了移动方向消灭“逆行”现象。行星的逆行在天空（天球背景）看起来好像倒退一样，其中水星的逆行现象每年都会发生3次，若以地球为参考系观看到水星的运动轨迹如图。已知每当地球与水星相距最近时就发生一次逆行，水星比地球更靠近太阳，假设水星和地球绕太阳公转方向相同且轨道共面。下列说法正确的是A．水星和地球绕太阳做匀速圆周运动的周期之比约为1:2B．水星和地球绕太阳做匀速圆周运动的周期之比约为1:4C．水星和地球绕太阳做匀速圆周运动的半径之比约为1:2D．水星和地球绕太阳做匀速圆周运动的半径之比约为1:4.（2024山东泰安9月测试）用火箭放射人造地球卫星，假设最终一节火箭的燃料用完后，火箭壳体和卫星一起以的速度绕地球做匀速圆周运动。已知卫星的质量为，最终一节火箭壳体的质量为。某时刻火箭壳体与卫星分别，分别时火箭壳体相对卫星以的速度沿轨道切线方向向后飞去。则（）A.分别后卫星的速度为 B.分别后卫星的速度为C.分别后火箭壳体的轨道半径会变大 D.分别后卫星的轨道半径会变大。5.（2024山西三重教育联盟9月联考）随着深空探测工作的开展，中国人登上月球的幻想即将实现。我国的登月方案之一是：从地球放射的载人飞船，飞到环月轨道Ⅰ上作周期为T的匀速圆周运动。已知环月轨道的半径为r，月球的半径为R。宇航员先进入飞船携带的登月舱，登月舱脱离飞船后沿与月球表面相切的椭圆轨道Ⅱ降落至月面上。工作完成后，再乘坐登月舱返回飞船，飞回地球。飞船的绕行方向、登月舱的降落和返回方向如图中箭头所示，不考虑变轨、对接等其它时间，飞船和登月舱在轨道Ⅰ和Ⅱ上的运动均可视为无动力飞行，不考虑其它天体的引力作用，宇航员在月球上停留的最短时间是（）A. B.C. D.6.（2024黑龙江大庆第一次质检）新一代载人运载火箭的研制将使我国具备在2030年前载人登陆月球的力量，若在将来某次登月过程中，先将一个载人飞船送入环月球圆轨道，飞船绕月球运行多圈后，在环月圆轨道上的点实施变轨，进入椭圆轨道，由距月面的近月点再次变轨落月，如图所示。关于飞船的运动，下列说法正确的是（）A.飞船在点的加速度大于在点的加速度B.飞船在圆轨道上的周期大于在椭圆轨道上的周期C.飞船在椭圆轨道上点的速度大于在点的速度D.在点月球对飞船中的航天员的万有引力大于在点月球对飞船中同一航天员的万有引力7.（2024辽宁十校联合体）为简化“天问一号”探测器在火星软着陆的问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，如图1所示。火星探测器在火星四周的A点减速后，被火星捕获进入了1号椭圆轨道，紧接着在B点进行了一次“侧手翻”，即从与火星赤道平行的1号轨道，调整为经过火星两极的2号轨道，将探测器绕火星飞行的路线从“横着绕”变成“竖着绕”，从而实现对火星表面的全面扫描，如图2所示。以火星为参考系，质量为的探测器沿1号轨道到达B点时速度为，为了实现“侧手翻”，此时启动发动机，在极短的时间内喷出部分气体，假设气体为一次性喷出，喷气后探测器质量变为、速度变为与垂直的。已知地球的公转周期为，火星的公转周期为，地球公转轨道半径为，以下说法正确的是（）A.火星公转轨道半径为B.喷出气体速度u的大小为C.假设实现“侧手翻”的能量全部来源于化学能，化学能向动能转化比例为k（），此次“侧手翻”消耗的化学能D.考虑到飞行时间和节省燃料，地球和火星处于图1中相对位置时是在地球上放射火星探测器的最佳时机，则在地球上相邻两次放射火星探测器最佳时机的时间间隔为8.（2024南京六校联合体调研）牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质、且都满足。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，依据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（）A. B. C. D.9.（2024江西红色十校9月联考）处理废弃卫星的方法之一是将报废的卫星推到更高的轨道——“墓地轨道”，这样它就远离正常卫星，连续围绕地球运行．我国实践21号卫星（SJ－21）曾经将一颗失效的北斗导航卫星从拥挤的地球同步轨道上拖拽到了“墓地轨道”上．拖拽过程如图所示，轨道1是同步轨道，轨道2是转移轨道，轨道3是墓地轨道，则下列说法正确的是（）A.卫星在轨道2上的周期大于24小时B.卫星在轨道1上P点的速度小于在轨道2上P点的速度C.卫星在轨道2上Q点的加速度大于在轨道3上Q点的加速度D.卫星在轨道2上的机械能大于在轨道3上的机械能10.（2024山东泰安9月测试）2022年6月，“神舟十四号”载人飞船与“中国空间站”成功对接，全国人民为之兴奋。已知空间站绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球半径为R，万有引力常量为G，地球表面重力加速度为g，圆周率为，下列说法正确的是（）A.空间站做圆周运动的加速度小于gB.空间站的运行速度介于与之间C.依据题中所给物理量可计算出地球的密度D.空间站离地面的高度为11．．(2024广东七校第一次联考)《天问》是中国战国时期诗人屈原创作的一首长诗，全诗问天问地问自然，表现了作者对传统的质疑和对真理的探究精神，我国探测飞船天问一号放射成功飞向火星，屈原的“天问”幻想成为现实，也标志着我国深空探测迈向一个新台阶，如图所示，轨道1是圆轨道，轨道2是椭圆轨道，轨道3是近火圆轨道，天问一号经过变轨成功进入近火圆轨道3，已知引力常量G，以下选项中正确的是（）

A．天问一号在B点需要点火加速才能从轨道2进入轨道3B．天问一号在轨道2上经过B点时的加速度大于在轨道3上经过B点时的加速度C．天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的平均密度D．天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的质量12．(2024江苏盐城期初摸底质检)如图为地球的三个卫星轨道，II为椭圆轨道