《通信原理》10信道编码和差错控制

2024/8/16基本要求了解信道编码的目的和要求掌握纠错编码的基本原理和纠错编码系统的性能分析熟悉常用的简单编码掌握线性分组码、循环码的编码和解码方法12024/8/16基本内容信道编码概念，指数字信号为了适应信道的传输特性，达到高效可靠的传输而进行的相应的信号处理过程。信道编码的目的：降低误码率，提高信号传输的可靠性。信道编码的基本原理是在信号码元序列中增加监督码元，并利用监督码元去发现或纠正传输中发生的错误。22024/8/16基本内容在信道编码只有发现错码能力而无纠正错码能力时，必须结合其他措施来纠正错码，否则只能将发现为错码的码元删除。这些手段统称为差错控制。差错控制编码是一种信道编码。32024/8/16基本内容信道的分类随机信道突发信道混合信道42024/8/16基本内容常用的差错控制方式主要有检错重发（简称ARQ）前向纠错（简称FEC）混合纠错（简称HEC）

目的：克服线路传输中出现的数据差错，实现 调制解调器至终端调制解调器的无差错数 据传送。52024/8/16基本内容差错控制编码方法/纠错编码方法：为了在接收端能够发现或纠正错码，在发送码元序列中加入一些差错控制码元（监督码元/监督位）。

加入的监督码元越多，纠/检错的能力越强，传输效率越低，从而可以用降低传输效率换取传输可靠性的提高。62024/8/16基本内容差错控制编码分类：

按照差错控制编码的不同功能分为

——检错码、纠错码和纠删码； 按照信息码元和附加的监督码元之间的检验关系分为

——线性码和非线性码； 按照信息码元和监督码元之间的约束方式不同分为

——分组码和卷积码；72024/8/16基本内容差错控制编码分类：

按照信息码元在编码后是否保持原来的形式不变分为

——系统码和非系统码； 按照纠正错误的类型不同分为

——纠正随机错误的码和纠正突发错误的码； 按照构造差错控制编码的数学方法分为

——代数码、几何码和算术码； 按照每个码元取值不同分为

——二进制和多进制码。

82024/8/16基本内容码率：编码序列中信息码元数量k和总码元数量n之比：

k/n冗余度：

监督码元数（n-k）和总码元数量n之比:

(n-k)/n92024/8/16纠错编码纠错编码中的基本概念纠错编码：具有检错能力或纠错能力的编码。纠错编码分为分组码和卷积码两大类。分组码：将若干监督码元附加在一组信息位上构成一个具有纠错能力的独立码组，并且监督位仅监督本组中的信息码元。分组码用符号（n,k）表示，其中n是码组长度，k为信息码元数目，r=n-k为监督码元数目。102024/8/16纠错编码纠错编码中的基本概念由代数关系确定监督位的分组码称为代数码。在代数码中，若监督位和信息位的关系是由线性方程式决定的，则称这种编码为线性分组码。例如：奇偶监督码、汉明码、循环码。112024/8/16纠错编码纠错编码中的基本概念汉明码：能够纠正1位错码的效率较高的线性 分组码。循环码：就有循环性的线性分组码。BCH码：能够纠正多个随机错码的循环码。RS码：具有很强纠错能力的多进制BCH码。122024/8/16纠错编码纠错编码中的基本概念码长：一个码组中码元的数目。码重：一个码组中“1”的个数。码距d：两个等长码组之间对应位不同的个数。最小码距：码组集合中所有码距的最小值。132024/8/16纠错编码纠错编码

纠检错能力与最小码距的关系：一个码组内检测e个误码：一个码组内纠正t个误码：一个码组内纠正t个误码同时检测e（e>t）个误码：

142024/8/16纠错编码码距与检错和纠错能力的关系：

152024/8/16纠错编码纠错编码系统的性能：误码率性能和带宽的关系：采用编码降低误码率所付出的代价是带宽的增大。功率和带宽的关系：采用编码以节省功率，并保持误码率不变，付出的代价也是带宽的增大。162024/8/16纠错编码纠错编码系统的性能：传输速率和带宽的关系：对于给定的传输系统，其传输速率和信噪比的关系为提高传输速率，采用编码以保持误码率不变，代价是带宽增大。172024/8/16纠错编码纠错编码系统的性能：编码增益：在保持误码率恒定的条件下，采用纠错编码所节省的信噪比未编码时的信噪比编码后所需的信噪比182024/8/16奇偶监督码

监督位只有1位，码率为

k/(k+1)

奇偶监督码能够检测奇数个错码

分为奇数监督码和偶数监督码

在奇数监督码中，监督位使码组中“1”的个数

为奇数192024/8/16奇偶监督码在偶数监督码中，监督位使码组中“1”的个数为偶数。在接收端检测时，将接收码组按照式 求“模2和”，若计算结果为“1”就说明有错码，为“0”就认为无错码。（a0为监督位，其余位为信息位）202024/8/16二维奇偶监督码

方阵码或矩形码

构造方法：先将若干奇偶监督码按行排列成矩阵，再按列增加第二维监督位

码率为：

有可能检测出偶数个错码

适合检测突发错码，能够纠正部分错码212024/8/16线性分组码代数码是利用代数关系式产生监督位的编码。线性分组码是代数码的一种，其监督位和信息位的关系由线性方程决定。汉明码是能够纠正一个错误的效率较高的线性分组码。222024/8/16线性分组码校正子S（监督关系式）

纠错就是通过计算S，实际中S只有两种取值，故只能表示有错和无错，而不能进一步指明错码的位置。232024/8/16线性分组码若有r个监督关系式，则r个校正子可以指明一个错码的（2r-1）个不同位置。当校正子可以指明的错码位置数目等于或大于码组长度n时，才能纠正码组中任何一个位置上的错码，即要求242024/8/16线性分组码汉明码要求设计一个能够纠正1个错误的分组码(n,k)，给定的码组中有4个信息位，k=4，则监督位数r≥3。若取r=3，则n=k+r=7。现在用a6a5a4a3a2a1a0表示这7个码元，用S1S2S3表示校正子，则这3个校正子恰好能够指明7个错码的位置。252024/8/16线性分组码S1S2S3错码位置S1S2S3错码位置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000无错码汉明码262024/8/16线性分组码汉明码

信息位的值决定于输入信号，是随机的。监督位是按监督关系确定的，应保证校正子S等于0，既有：272024/8/16汉明码

（7,4）码，若代表4个信息位，这代表3个监督码元。线性分组码0000000100100011010001010110011100001110111011010101100010001001101010111100110111101111111100010001001010100111282024/8/16线性分组码汉明码接收端解码方法：根据接收码组，先计算出校正子S1S2S3，然后查表判断错码位置。292024/8/16线性分组码汉明码码率：302024/8/16线性分组码用矩阵形式表示312024/8/16线性分组码监督矩阵——H矩阵可以分成两部分典型形式监督矩阵——具有形式的H矩阵各行必须是线性无关的r×n322024/8/16线性分组码生成矩阵转置矩阵G的各行必须是线性无关的k×nk×rr×k332024/8/16线性分组码解码过程发送码组A，接收到的码组B，收发码组之差记为E（错误图样）校正子若S和E之间有一一对应，则能代表错码的位置。342024/8/16线性分组码001101010110100111011000SSEE错码位置错码位置352024/8/16线性分组码线性码的封闭性

若M1和M2是一种线性分组码中的两个码组，则(M1+M2)仍是其中一个码组。码的最小距离就是码的最小重量362024/8/16循环码具有循环性。即循环码中任一码组循环一位（将最右端的码元移至左端，或反之）以后，仍为该码中的一个码组。为便于计算，把这样的码组中个码元当作是一个多项式的系数，即把一个长为n的码组表示成为信息码多项式x仅是码元位置的标记，我们并不关心x的取值，这种多项式称为码多项式。372024/8/16循环码

循环码的生成多项式是常数项不为”0”的的一个（n-k）次因式循环码的生成矩阵382024/8/16循环码循环码的编码方法根据给定的(n,k)值选定生成多项式即从的因子中选一(n-k)次多项式作为392024/8/16循环码循环码的编码方法

将信息码多项式升(n-k)次幂