数学全等三角形-添加辅助线技巧

数学全等三角形--添加辅助线技巧1.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，并交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，求△DEB的周长。2.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.初二数学第十一章全等三角形综合复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。例1.如图，四点共线，，，，。求证：。例2.如图，在中，是∠ABC的平分线，，垂足为。求证：。例3.如图，在中，，。为延长线上一点，点在上，，连接和。求证：。例4.如图，//，//，求证：。例5.如图，分别是外角和的平分线，它们交于点。求证：为的平分线。例6.如图，是的边上的点，且，，是的中线。求证：。例7.如图，在中，，，为上任意一点。求证：。同步练习一、选择题：1.能使两个直角三角形全等的条件是() A.两直角边对应相等 B.一锐角对应相等 C.两锐角对应相等 D.斜边相等2.根据下列条件，能画出唯一的是() A.，， B.，， C.，， D.，3.如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④。其中能使的条件有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个（第3题）（第4题）（第5题）（第6题）4.如图，已知，，，则等于() A. B. C. D.无法确定二、填空题：5.如图，在中，，的平分线交于点，且，，则点到的距离等于__________；6.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，为折痕，则的大小为_________；三、解答题：7.如图，为等边三角形，点分别在上，且，与交于点。求的度数。8.如图，，，为上一点，，，交延长线于点。求证：。9.如图，已知AE⊥AD，AF⊥AB，AF=AB，AE=AD=BC，AD//BC.求证：（1）AC=EF，（2）AC⊥EF10.已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.求证：BD=2CE.11、如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G。（1）求证：G是CE的中点；（2）∠B＝2∠BCE。12、在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC，求证：AE平分∠BAC。13、如图，在△ABC中，∠B＝22.50，∠C＝600，AB的垂直平分线交BC于点D，BD＝，AE⊥BC于点E，求EC的长。答案例1.思路分析：从结论入手，全等条件只有；由两边同时减去得到，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是，也可以是。由条件，可得，再加上，，可以证明，从而得到。解答过程：，在与中 ∴(HL)，即在与中(SAS)解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。例2.思路分析：直接证明比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明且。也可以看成将“转移”到。那么在哪里呢？角的对称性提示我们将延长交于，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。解答过程：延长交于在与中 (ASA又。解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例3.思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段为边的绕点顺时针旋转到的位置，而线段正好是的边，故只要证明它们全等即可。解答过程：，为延长线上一点在与中(SAS)。解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例4.思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。解答过程：连接//，//，在与中(ASA)。解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。例5.思路分析：要证明“为的平分线”，可以利用点到的距离相等来证明，故应过点向作垂线；另一方面，为了利用已知条件“分别是和的平分线”，也需要作出点到两外角两边的距离。解答过程：过作于，于，于平分，于，于平分，于，于，，且于，于为的平分线。解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。例6.思路分析：要证明“”，不妨构造出一条等于的线段，然后证其等于。因此，延长至，使。解答过程：延长至点，使，连接在与中(SAS)，又，在与中(SAS)又。解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。例7.思路分析：欲证，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段。而构造可以采用“截长”和“补短”两种方法。解答过程：法一：在上截取，连接在与中(SAS)在中，，即AB－AC>PB－PC。法二：延长至，使，连接在与中(SAS)在中，。解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。同步练习的答案一、选择题：1.A 2.C 3.B 4.C二、填空题：5.4 6. 三、解答题：7.解：为等边三角形，在与中(SAS)。8.证明：，在与中(AAS)。9.证明：（1）∵AD//BC，∴∠B＋∠DAB=180°又∵∠DAB＋∠4＋∠EAF＋∠3=360°，∠3=∠4=90°∴∠DAB＋∠EAF=180°∴∠B=∠EAF在△ABC和△FAE中∴△ABC≌△FAE（SAS）∴AC=EF（2）∵△ABC≌△FAE∴∠1=∠F又∵∠1＋∠3=∠2＋∠F∴∠2=∠3又∵∠3=90°∴∠2=90°∴AG⊥EF，即AC⊥EF10.证明：延长BA、CE交于点F.∵∠3=90°，∴∠5＋∠F=90°又∵BE⊥CE，∴∠4=90°，∠7=90°∴∠1＋∠F=90°，∠6=180°－90°=90°∴∠1=∠5在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（ASA）∴BD=FC在△BEF和△BEC中∴△BEF≌△BEC（ASA）∴EF=EC∴FC=2EC∴BD=2EC11.提示：连结ED12、延长FE到G，使EG＝EF，连结CG，证△DEF≌△CEG13、连结AD，DF为AB的垂直平分线，AD＝BD＝，∠B＝∠DAB＝22.50∴∠ADE＝450，AE＝AD＝＝6又∵∠C＝600∴EC＝中考专题复习——相似三角形一.选择题1.（2008年山东省潍坊市）如图,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,设BP=x,则PD+PE=（）A.B.C.D.

2。(2008年乐山市)如图（2），小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为（）A、B、1C、D、6米0.8米6米0.8米4米h米3．（2008湖南常德市）如图3，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）AB边上的高为，（3）△CDE∽△CAB，（4）△CDE的面积与△CAB面积之比为1：4.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个AABCDE图34.(2008山东济宁)如图，丁轩同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到点时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行20m到达点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（）DA．24m B．25m C．28m D．30m5.（2008江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）BA．A．B．C．D．6.(2008重庆)若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则S△ABC︰S△DEF为（）A、2∶3B、4∶9C、∶D、3∶27.(2008湖南长沙)在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米A、4.8米 B、6.4米 C、9.6米 D、10米8．（2008江苏南京）小刚身高1.7m，测得他站立在阳关下的影子长为0.85m。紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）AA.0.5mC.0.6mD.2.2m9．（2008湖北黄石）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（）BA．A．B．C．D．ABC10．（2008浙江金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（）BA、6米B、8米C、18米D、24米11、（2008湖北襄樊）如图1,已知AD与VC相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC的大小为（）BA.60°B.70°C.80°D.120°12.（2008湘潭市）如图，已知D、E分别是的AB、AC边上的点，且那么等于（）B A．1:9 B．1:3 C．1:8 D．1:2BBACDE13.(2008台湾)如图G是ABC的重心，直线L过A点与BC平行。若直线CG分别与AB、AL交于D、E两点，直线BG与AC交于F点，则AED的面积：四边形ADGF的面积=？()D(A)1：2(B)2：1(C)2：3(D)3：2AABGCDEFL14.(2008台湾)图为ABC与DEC重迭的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB//DE。若ABC与DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=？()BABABCDEF(A)3(B)7(C)12(D)15。15.（2008贵州贵阳)6．如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的面积比是（） B． C． D．第4题ABCDEA16.（2008湖南株洲）如图，在中，、分别是第4题ABCDEA A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题1.（2008年江苏省南通市）已知∠A＝40°，则∠A的余角等于＝________度.ABCED2.（08浙江温州）如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，ABCED的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为．OOA1A2A3A4ABB1B2B3143.（2008福建省泉州市）两个相似三角形对应边的比为6，则它们周长的比为________。AECDB图44.（2008年浙江省衢州市）AECDB图45.(2008年辽宁省十二市)如图4，分别是的边上的点，，，则．6.(2008年天津市)如图，已知△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图中相似三角形共有对．AAGEHFJIBC7.(2008新疆乌鲁木齐市)我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度约为m．8.（2008江苏盐城）如图，两点分别在的边上，与不平行，当满足条件（写出一个即可）时，．第1题图第1题图9．（2008泰州市）在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为m．10.（2008年杭州市）.在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是和；并写出它的面积比.三、简答题1．第1题图（2008年陕西省）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．第1题图（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高的长度为，请用所测数据（用小写字母表示）求出．2．（2008年江苏省南通市）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E.（1）求证：AB·AF＝CB·CD（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点.设DP＝xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm2.①求y关于x的函数关系式；②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值.3.(2008湖南怀化)如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：（1）；（2）ABCDEFG图(1)4.(2008湖南益阳)△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点FABCDEFG图(1)Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；Ⅱ.探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答.如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分.Ⅱa.小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了.设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化).AABCDEFG图(2)Ⅱb.小明想：不求正方形的边长也能画出正方形.具体作法是：①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；②连结BF’并延长交AC于F；③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.ABABCDEFG图(3)G′F′E′D′5.(2008湖北恩施)如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.（3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.GGFEDCBAGGyxOFEDCBA6.（08浙江温州）如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动．设，．（1）求点到的距离的长；（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．AABCDERPHQ7.（08山东省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？AABCMNP图1O8．（2008湖北咸宁）如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一个位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与△OAB的位似比为2︰1．(答案如右图)AA(第8题图)BOABCDEPOR9．(2008安徽)如图，四边形和四边形都是平行四边形，点为的中点，分别交于点．ABCDEPOR（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求．10.（2008年杭州市）如图：在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F.证明：∠CAE=∠CBF;证明：AE=BF;FCABPEH以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG,如果存在点P,能使得S△ABC=FCABPEH11.（2008佛山）如图，在直角△ABC内，以A为一个顶点作正方形ADEF，使得点E落在BC边上.(1)用尺规作图，作出D、E、F中的任意一点(保留作图痕迹，不写作法和证明.另外两点不需要用尺规作图确定，作草图即可)；(2)若AB=6，AC=2，求正方形ADEF的边长.AABC12.（2008广东）如图5，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.（1）求证：EF∥BC.（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.13.（2008山西太原）如图，在中，。（1）在图中作出的内角平分线AD。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）（2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由。14.（2008湖北武汉）如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC。求证：△ABC∽△FDE．证明：略FFEDCBA15．（2008湖南常德市）如图7，在梯形ABCD中，若AB//DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少（注意：全等看成相似的特例）？（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．AABCD①②③④图7Ｏ16.（2008年山东省临沂市）如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，。⑴求证：△ABF∽△CEB;⑵若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积。17.（2008年山东省潍坊市）如图，AC是圆O的直径，AC=10厘米，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，过A作AD⊥BP，交BP于D点，连结AB、BC.求证△ABC∽△ADB;若切线AP的长为12厘米，求弦AB的长.AAPDBCO相似三角形答案一.选择题2.C3.D4.D5.B6.B7.C8.A9.B10.B11.B12.B13.D14.B15.B16.C二.填空题1.50；2.10.5；3.6；4.4；5.；6.6；7.4.8；8.∠ADE=∠ACB（或∠AED=∠ABC或）9.100；10.三.解答题1.CDCDEFBA（2）测量示意图如右图所示．（3）如图，测得标杆，树和标杆的影长分别为，．，．．．2.（1）证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC∴AF＝CF，∠DFA＝DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF.∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B∴△DCF∽△ABC∴，即.∴AB·AF＝CB·CD（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝12，∴CF＝AF＝6∴×6＝3x＋27（x＞0）②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小.显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB.由（1），∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，地△DAF∽△ABC.EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋＝.∴当x＝时，△PBC的周长最小，此时y＝3.证明：（1）四边形和四边形都是正方形（2）由（1）得∴AMN∽CDN4.Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形，∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°∴△BDG≌△CEF(AAS)Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，求得ABCDEFG解图(2)HABCDEFG解图(2)H解之得：(或)解法二：设正方形的边长为x，则在Rt△BDG中，tan∠B=，∴解之得：(或)解法三：设正方形的边长为x，则由勾股定理得：解之得：Ⅱb.解：正确由已知可知，四边形GDEF为矩形ABCDEFG解图(3)G’FABCDEFG解图(3)G’F’E’D’∴，同理，∴又∵F’E’=F’G’，∴FE=FG因此，矩形GDEF为正方形5.解:(1)∆ABE∽∆DAE,∆ABE∽∆DCA∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°∴∠BAE=∠CDA又∠B=∠C=45°∴∆ABE∽∆DCA(2)∵∆ABE∽∆DCA∴由依题意可知CA=BA=∴∴m=自变量n的取值范围为1<n<2.(3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n∵m=∴m=n=FDHAGECB∵FDHAGECB∴OE=OD=－1∴D(1－,0)∴BD=OB－OD=1-(－1)=2－=CE,DE=BC－2BD=2-2(2－)=2－2∵BD＋CE=2BD=2(2－)=12－8,DE=(2－2)=12－8∴BD＋CE=DE(4)成立证明:如图,将∆ACE绕点A顺时针旋转90°至∆ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.连接HD,在∆EAD和∆HAD中∵AE=AH,∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD,AD=AD.∴∆EAD≌∆HAD∴DH=DE又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°∴BD+HB=DH即BD＋CE=DE6.解：（1），，，．点为中点，．，．，ABCDEABCDERPHQM21（2），．，，，，即关于的函数关系式为：．（3）存在，分三种情况：ABCDERPHQ①当时，过点作ABCDERPHQ，，．，，ABCDEABCDERPHQ②当时，，．③当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，．，，．综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．7.解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．∴，即．∴AN＝x．……………2分∴=．（0＜＜4）……………3分ABCMND图2OQ（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，ODABCMND图2OQ在Rt△ABC中，BC＝=5．由（1）知△AMN∽△ABC．∴，即．∴，∴．…5分过M点作MQ⊥BC于Q，则．在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA．∴．∴，．∴x＝．∴当x＝时，⊙O与直线BC相切．…………………7分ABCMNP图3O（3）随点M的运动，当P点落在直线BCABCMNP图3O∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．∴△AMO∽△ABP．∴．AM＝MB＝2．故以下分两种情况讨论：=1\*GB3①当0＜≤2时，．∴当＝2时，