考研数学一（填空题）模拟试卷14（共125题）

考研数学一（填空题）模拟试卷14（共5套）（共125题）考研数学一（填空题）模拟试卷第1套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、函数展开成的(x一1)的幂级数为________．标准答案：知识点解析：2、=___________。标准答案：知识点解析：3、设(X，Y)的分布函数为F(x，y)=则P{X＞1，Y＞1}=__________。标准答案：知识点解析：利用联合分布函数来表示区域上的概率，并结合分布函数的定义可得P{X＞1，Y＞1}=F(+∞，+∞)一F(+∞，1)一F(1，+∞)+F(1，1)=1一注：arctan(+∞)=，arctan(1)=4、设y=y(x)是由方程确定的隐函数，则y’’=_________。标准答案：知识点解析：在方程两边对x求导得5、设y=f(x)满足△y=△x+o(△x)，且f(0)=0，则∫01f(x)dx=_______．标准答案：π／4知识点解析：由题设可知dy／dx=，从而由f(0)=0可得C=0．于是f(x)=由定积分几何意义得∫01f(x)dx=∫01dx=π／46、若3维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为________。标准答案：2．知识点解析：由于αTβ=2，故β≠0，且有(βαT)β=β(αTβ)=2β，于是由特征值与特征向量的定义，知2为方阵βαT的一个特征值且β为对应的一个特征向量．下面还可证明方阵βαT只有一个非零特征值．首先可证方阵βαT的秩为1；由βαT≠O知r(βαT)≥1，又由r(βαT)≤r(β)=1，知r(βαT)=1，故0为βαT的特征值．其次可证0为βαT的2重特征值：由于齐次线性方程组(0一βαT)x=0的基础解系所含向量的个数——即方阵βαT的属于特征值0的线性无关特征向量的个数=3一r(βαT)=3—1=2，所以0至少是βαT的2重特征值，但不会是3重特征值(否则βαT=0)．既然3阶方阵βαT有2重特征值0，因此其非零特征值就只能有一个．7、设,n≥2为正整数，则An－2An-1=_________．标准答案：O知识点解析：8、设点M1(1，－1，－2)，M2(1，0，3)，M3(2，1，2)，则点M3到向量的距离为_______．标准答案：知识点解析：={－6，5，－1}，由点M1，M2，M3构成的三角形的面积为设所求距离为d，又9、设二维随机变量(X，Y)服从N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)=________．标准答案：μ3+μσ2知识点解析：由于ρ=0，根据二维正态分布的性质可知随机变量X，Y独立，因此E(XY2)=E(X)．E(Y2)．已知(X，Y)服从N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(X)=μ，E(Y2)=D(Y)+E2(Y)=μ2+σ2，故E(XY2)=μ(μ2+σ2)=μ3+μσ2．10、设f(x)定义在(0，+∞)上，f(ex)=1+x，f[φ(x)]=1+x+lnx，则φ(x)_____．标准答案：xex知识点解析：这是一个函数记号灵活表示的问题．令ex=t，则x=lnt，由f(ex)=1+x，得f(t)=1+lnt．从而f[φ(x)]=1+lnφ(x)=1+x+lnx，所以lnφ(x)=x+lnx，φ(x)=xex．11、设函数F(x，y)==___________。标准答案：4知识点解析：由复合函数求导法则及导数与微分的关系，12、标准答案：知识点解析：13、∫L｜y｜ds=___________，其中L：(x2+y2)2=a2(x2一y2)(a＞0)．标准答案：2a2(2—)知识点解析：14、若二次曲面的方程为χ2＋3y2＋z2＋2aχy＋2χz＋2yz＝4，经正交变换化为y12＋4z12＝4，则a＝________．标准答案：1知识点解析：本题等价于将二次型f(χ，y，z)＝χ2＋3y2＋z2＋2aχy＋2χz＋2yz经正交变换后化为了f＝y12＋4z12．由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1，4，0．由于矩阵的行列式值是对应特征值的乘积，且该二次型的矩阵为A＝，即可得｜A｜＝－(a－1)2＝0，因此a＝1．15、设Ω={(x，y，z)｜x2+y2≤z≤1}，则Ω的形心的竖坐标=_________．标准答案：知识点解析：16、设封闭曲面S：x2+y2+z2=R2(R＞0)，法向量向外，则=_____标准答案：知识点解析：以S的方程代入被积函数，得令Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤R2}，由高斯公式，17、设随机变量X～P(λ)，且E[(X－1)(X－2)]=1，则λ=_______．标准答案：1知识点解析：因为X～P(λ)，所以E(X)=λ，D(X)=λ，故E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ2+λ．由E[(X－1)(X－2)]=E(X2－3X+2)=E(X2)－3E(X)+2=λ2－2λ+2=1得λ=1．18、已知编号为1，2，3，4的4个袋子中各有3个白球，2个黑球，现从1，2，3号袋子中各取一球放入4号袋中，则4号袋中自球数X的期望E(X)=______，方差D(X)=_________．标准答案：知识点解析：4号袋中的白球数X取决于前3个袋中取出的球是否是白球，若记则X1，X2，X3相互独立，且服从同一分布：而X-3+X1+X2+X3，所以19、设X表示12次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为0．5，则E(X2)=_________．标准答案：39知识点解析：X～B(12，0．5)，E(X)=6，D(X)=3，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=3+36=39．20、设随机变量X与Y相互独立同分布，且都服从P=的0-1分布，则随机变量Z=max{X，Y}的分布律为__________．标准答案：知识点解析：显然Z也是离散型随机变量，只取0，1两个值，且P{Z=0}=P{max(X，Y)=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=P{Z=1}=1一P{Z=0}=于是Z的分布律为21、已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12，x22，x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=_______．标准答案：2知识点解析：暂无解析22、已知总体X服从参数为λ的泊松分布，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，其均值为+(2—3a)S2是A的无偏估计，则a=___________．标准答案：知识点解析：直接由=λ求a．依题意EX=DX=λ，故+(2—3a)ES2=aλ+(2—3a)λ=(2—2a)λ=λ，解得a=23、设f(x，y)在区域D：x2+y2≤t2上连续且f(0，0)=4，则=_______．标准答案：8π知识点解析：24、设A，B相互独立，只有A发生和只有B发生的概率都是，则P(A)=_________．标准答案：知识点解析：根据题意得25、设10件产品中有4件不合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为________．标准答案：知识点解析：令A=｛第一件产品合格｝，B=｛第二件产品合格｝，则所求概率为考研数学一（填空题）模拟试卷第2套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、设f(x)=在x=0处连续，则a=_________，b=_________。标准答案：a=一1，b=1知识点解析：由题设条件因为f(x)在x=0处连续，所以a+4b=3=2b+1，解得a=一1，b=1。2、已知A=，则A-1=__________。标准答案：知识点解析：因为，所以那么A-1=3、若则a=___________，b=___________。标准答案：1，－4知识点解析：因为且所以得a=1，于是由等价无穷小代换得b=－4。因此，a=1，b=－4。4、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则P{X+Y≤1}=__________.标准答案：1/4知识点解析：暂无解析5、设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份．随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份．(1)求先抽取的一份是女生表的概率P=___________；(2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q=___________．标准答案：29/90,20/61知识点解析：暂无解析6、交换积分次序：标准答案：知识点解析：暂无解析7、曲线y2=2x在任意点处的曲率为_______.标准答案：知识点解析：用曲率计算公式由y2=2x2yy’=2，y’=1／y，y"=－1／y2y’=－1／y3.8、设f(x)在[a，b]上连续可导，f(a)=f(b)=0，且f2(x)dx=1，则xf(x)f′(x)dx=____________．标准答案：知识点解析：因=f(x)f′(x)，所以9、设函数y=y(x)由e2x＋y—cos(xy)=e一1确定，则曲线y=y(x)在x=0对应点处的法线方程为_________．标准答案：y=x＋1知识点解析：当x=0时，y=1，e2x＋y一cos(xy)=e一1两边对x求导得e2x＋y(2+)＋sin(xy)(y+)=0，将x=0，y=1代入得=一2，故所求法线方程为y一1=(x一0)，即y=x+1．10、设函数z=f(x，y)在点(0，1)的某邻域内可微，且f(x，y+1)=1+2x+3y+o(ρ)，其中ρ=，则曲面∑：z=f(x，y)在点(0，1)的切平面方程为___________．标准答案：π：2x+3y一z一2=0知识点解析：由f(x，y+1)=1+2x+3y+0(ρ)得f(x，y)在点(0，1)处可微，且而曲面∑：z=f(x，y)在点(0，1，1)的法向量为n==(2，3，一1)，所以切平面方程为π：2(x—0)+3(y一1)一(z—1)=0，即π：2x+3y一z一2=0．11、=______．标准答案：其中C为任意常数知识点解析：12、已知χ2～χ2(n)，则E(χ2)＝_______．标准答案：n知识点解析：由χ2分布的典型模式χ2＝X12＋X22＋…＋Xn2＝Xi2知，E(χ2)＝E(χi2)，而χi～N(0，1)，且Xi相互独立，由于E(Xi2)＝D(Xi)＋[E(Xi)]2＝1＋0＝1，所以E(χ2)＝E(Xi2)＝n．13、标准答案：知识点解析：由｜a+b｜2=(a+b)(a+b)=｜a｜2+｜b｜2+2ab=13+19+2ab=24，得ab=一4，则｜a—b｜2=(a一b)(a一b)=｜a｜2+｜b｜2一2ab=13+19+8=40．则｜a—b｜=．14、过点A(3，2，1)且平行于直线L1：及L2：的平面方程为_________．标准答案：所求平面为π：一(x一3)+2(y一2)+5(z一1)=0，或π：x一2y一5z+6=0知识点解析：直线L1，L2的方向向量为s1=｛1，一2，1｝，s2=｛2，1，0｝，所求平面的法向量为n=s1×s2=｛一1，2，5｝，则所求平面为π：一(x一3)+2(y一2)+5(z一1)=0，或π：x一2y一5z+6=0．15、设L是平面上从圆周x2+y2=a2上一点到圆周x2+y2=b2上一点的一条光滑曲线(a＞0，b＞0)，r=，则I=∫Lr3(xdx+ydy)=_______．标准答案：1／5(b5－a5)知识点解析：r3(xdx+ydy)=1／2r3d(x2+y2)=+r3dr2=r4dr=d(1／5r5)，=∫Ld(1／5r5)=1／5r5|r=ar=b=1／5(b5－a5)．16、设二维随机变量(X，Y)在区域上服从均匀分布，则(X，Y)的关于X的边缘概率密度fX(x)在点x=e处的值为__________．标准答案：知识点解析：D如图3—2阴影部分所示，它的面积所以(X，Y)的概率密度为17、设函数f(x)在[2，+∞)上可导且f(2)=1，如果f(x)的反函数g(x)满足=x2f(x)+x，则f(4)=_____．标准答案：知识点解析：当x≥2时，将已知方程两边对x求导得g[f(x)]f’(x)=2xf(x)+x2f’(x)+1，因为g(x)是f(x)的反函数，所以g[f(x)]=x，于是，上式可写成xf’(x)=2xf(x)+x2f’(x)+1，即(x2-x)f’(x)+2xf(x)=-1，这是一个一阶线性微分方程，利用一阶线性微分方程的通解公式，有由f(2)=1，得C=3-ln2，所以于是18、已知A=，且AXA*=B，r(X)=2，则a=______。标准答案：0知识点解析：根据A可逆可知，其伴随矩阵A*也是可逆的，因此r(AXA*)=r(X)=2=r(B)，因此可得｜B｜=0，则19、设随机变量x～N(μ，σ2)，且方程x2+4x＋X=0无实根的概率为，则μ=_______．标准答案：4知识点解析：因为方程x2+4x+X=0无实根，所以16—4X＜0，即X＞4．由X～N(μ，σ2)且P(x＞4)=，得μ=4．20、设(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则P{X＜y}=_________。标准答案：知识点解析：因为(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，所以X—Y～N(0，2σ2)，从而P{X＜Y}=P{X—Y＜0}=。21、设f(x)连续，且=_________．标准答案：1知识点解析：∫0xtf(x—t)dt∫x0(x一μ)f(μ)(一dμ)=x∫0xf(μ)dμ—∫0xμf(μ)dμ，∫0x(x一t)2dt∫x0arctanμ2(一du)=∫0xarctanμ2dμ，22、微分方程y"-4y=e2x的通解为________.标准答案：C1e2x+C2e-2x+x/4e2x知识点解析：暂无解析23、一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为_________标准答案：知识点解析：Ai表示“第i次取的是次品”，i=1，2．则有24、设A，B都是三阶矩阵，A=，且满足(A*)－1B=ABA+2A2，则B=_______．标准答案：知识点解析：｜A｜=一3，A*=｜A｜A－1=一3A－1，则(A*)－1B=ABA+2A2化为AB=ABA+2A2，注意到A可逆，得B=BA＋2A或一B=3BA+6A，则B=一6A(E＋3A)－1，E＋3A=25、标准答案：1/3知识点解析：考研数学一（填空题）模拟试卷第3套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、标准答案：知识点解析：2、一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为_______．标准答案：知识点解析：记Ai=(第i次取得次品)，i=1，2．3、=________．标准答案：知识点解析：4、沿f(x)连续可导，f(0)=0且f’(0)=b，若F(x)=在x=0处连续，则A=__________．标准答案：a+b知识点解析：因为F(x)在x=0处连续，所以A=a+b．5、设y=f(lnx)ef(x)，其中f(x)可微，则dy=_________．标准答案：ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx知识点解析：利用一阶微分形式不变性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx．6、设的伴随矩阵为A*，且A*BA=2BA一8E，则矩阵B=________．标准答案：知识点解析：B=8(2E—A*)—1A—1=8[A(2E—A*)]—1=8(2A—AA*)—1=8(2A—｜A｜E)—1=8(2A+2E)—1=4(A+E)—1=。7、设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则层(XY2)=_____________．标准答案：μ(μ2+σ2)．知识点解析：由于(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，说明X，Y独立同分布，故X与Y2也独立．由期望的性质有E(XY2)=EXEY2，又EX=μ，EY2=DY+(EY)2=σ2+μ2，所以E(XY2)=μ(μ2+σ2)．8、已知α1，α2，α3，α4是3维列向量，矩阵A＝(α1，α2，2α3－α4＋α2)，B＝(α3，α2，α1)，C＝(α1＋2α2，2α2＋3α4，α4＋3α1)，若｜B｜＝－5，｜C｜＝40，则｜A｜＝_______．标准答案：8知识点解析：根据行列式的性质，有｜A｜＝｜α1，α2，2α3－α4＋α2｜＝｜α1，α2，2α3－α4｜＝｜α1，α2，2α3｜－｜α1，α2，α4｜＝－2｜α3，α2，α1｜－｜α1，α2，α4｜＝10－｜α1，α2，α4｜．由于C＝(α1＋2α2，2α2＋3α4，α4＋3α1)＝(α1，α2，α4)，(*)两边取行列式，有｜C｜＝｜α1，α2，α4｜.＝20｜α1，α2，α4｜．又由｜C｜＝40，知｜α1，α2，α4｜＝2．故｜A｜＝8．9、=_________．标准答案：＋C知识点解析：10、设j阶方阵A、B满足关系式A-1BA=6A+BA，且则B=________.标准答案：知识点解析：矩阵方程右乘A-1，化简为A-1B=6E+B，得(A-1-E)B=6E．11、设随机变量X概率分布为P{X=k}=(k=0，1，2…)，则E(X2)=________．标准答案：2知识点解析：12、设曲面∑为z=xydydz+xdzdx+x2dxdy=______。标准答案：4π知识点解析：利用高斯公式及轮换对称性进行求解。补平面∑1为x2+y2≤4，z=0的下侧，记∑和∑1所围的空间区域为Ω，则13、设an＞0，且则P的取值范围为______．标准答案：应填P>2．知识点解析：14、若直线与直线L2：x+1=y-1=z相交，则λ=_________．标准答案：知识点解析：L1的方向向量S1=(1，2，λ)，L2的方向向量s2=(1，1，1)，L1上的点A(1，一1，1)，L2上的点B(一1，1．0)．因L1与L2相交，故s1，s2与=(一2，2，一1)三向量共面，(s1×s2).因为15、若A=(4，5，6)，则|A|=_______．标准答案：0知识点解析：利用公式“r(AB)≤r(B)及A≠0，则r(A)≥1”，易见本题中r(A)=1，所以|A|=0．或作矩阵乘法由A中两行元素成比例可知|A|=0．16、已知三阶行列式=________。标准答案：知识点解析：结合行列式的性质：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面，即17、与矩阵A=可交换的矩阵为________。标准答案：，其中x2和x4为任意实数知识点解析：设矩阵B=与A可交换，则由AB=BA可得即x3=—2x2，x1=4x2+x4，所以B=，其中x2和x4为任意实数。18、设X1，X2，…Xn是取自总体X的简单随机样本，是总体方差σ2的无偏估计量，则a＝_______，b＝______．标准答案：知识点解析：样本方差是总体方差σ2的无偏估计，所以19、微分方程(2x+3)y"=4y’的通解为_________．标准答案：知识点解析：20、设矩阵A=E-αβT，其中α，β是n维非零列向量，且A2=3E-2A，则βTα=______．标准答案：4知识点解析：因为A=E-αβT，其中α，β是N维非零列向量，且A2=3E-2A，所以A2=(E-αβT)(E-αβT)=E-αβT-αβT+αβTαβT=E-2αβT+(βTα)αβT=E+(βTα-2)αβT①由已知A2=3E-2A得A2=3E-2(E-αβT)=E+2αβT②由①、②两式整理得，E+(βTα-2)αβT=E+2αβT，从而有(βTα-4)αβT=0，又因为α，β是n维非零列向量，所以αβT≠0；从而有βTα-4=0，即βTα=4．21、设y=ec，y=x2为某二阶线性齐次微分方程的两个特解，则该微分方程为______标准答案：知识点解析：由于方程形状已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可．方法一设所求的二阶齐次线性微分方程为y’’+p(x)y’+q(x)y=0．分别以y1=ex，y2=x2代入，得方法二由于y1=ex与y2=x2线性无关，故该二阶线性齐次微分方程的通解为y=C1ex+C2x2，①y’=C1ex+2C2x，②y’’=C1ex+2C2．③由式①，式②，式③消去C1与C2便得如上所填．22、设A是三阶矩阵，其三个特征值为，则｜4A*+3E｜=__________．标准答案：10知识点解析：23、随机变量X的密度函数为f(x)=ke-｜x｜(一∞＜x＜+∞)，则E(X2)=_________．标准答案：2知识点解析：24、设随机变量X～B(n，p)，且E(X)=5，E(X2)=，则n=________，P=________．标准答案：n=15，p=知识点解析：因为E(X)=np，D(X)=np(1一p)，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=np(1一p)+n2P2，所以np=5，np(1一p)+n2p2=．25、=_____________标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（填空题）模拟试卷第4套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、当x→0时，x—sinxcos2x～cx2，则c=___________，k=___________．标准答案：c=，k=3．知识点解析：2、方程｜A｜＝＝0的根是_______．标准答案：a1，a2，a3，－(a1＋a2＋a3)知识点解析：由观察可知，χ1＝a1时，1、2行对应元素相等，｜A｜＝0；χ2＝a2时，2、3行对应元素相等，｜A｜＝0，χ3＝a3，时，3、4行对应元素相等，｜A｜＝0．又由行列式的每行元素和为χ＋a1＋a2＋a3，将2、3、4列各元素加到第1列相应元素上去，且提取公因式得｜A｜＝(χ＋a1＋a2＋a3)＝0，故有χ＝－(a1＋a2＋a3)所以方程是一元四次方程，四个根依次是a1，a2，a3，－(a1＋a2＋a3)．3、设α，β均为3维列向量，βT是β的转置矩阵，如果αβT＝，则αβT＝_______．标准答案：5知识点解析：设α＝(a1，a2，a3)T，β＝(b1，b2，b3)T，则而αTβ＝(a1，a2，a3)＝a1b1＋a2b2＋a3b3可以看出αTβ也就是矩阵αβT的主对角线元素的和，所以αTβ＝1＋6＋(－2)＝5．4、设函数f(x)有任意阶导数且f’(x)=f2(x)，则f(n)(x)=______(n＞2)·标准答案：n!fn+1(x)知识点解析：将f’(x)=f2(x)两边求导得f”(x)=2f(x)f’(x)=2f3(x)，再求导得f"’(x)=3!f2(x)f’(x)=3!f4(x)．由此可归纳证明f(n)(x)=n!fn+1(x)．5、设y=sinx2，则=____________．标准答案：知识点解析：设u=x3，则x=，于是由复合函数求导法则即得6、设随机变量X概率分布为P{X=k}=(k=0，1，2，…)则E(X2)=________。标准答案：2知识点解析：由概率分布的性质P{X=k}=1，有即随机变量X服从参数为1的泊松分布，则有E(X)=1，D(X)=1E(X2)=D(X)+[E(X)]2=2。7、已知随机变量X的概率分布为P{X=k}=则P{Y≤2．5}=________．标准答案：知识点解析：8、抛物线y2=2px，从原点到这条曲线上的一点M(x，y)的弧长s=_______。标准答案：知识点解析：不妨设p＞0，y＞0，则9、∫(arcsinx)2dx=____________.标准答案：，其中C为任意常数知识点解析：10、标准答案：应填知识点解析：函数u(x，y，z)沿单位向量n=一{cosα，cosβ，cosγ}的方向导数为本题直接用上述公式即可．本题若，n={m，n，l)非单位向量，则应先将其单位化，从而得方向余弦为11、设L是区域D：x2＋y2≤一2x的正向边界，则I＝(x3一y)dx＋(x一y3)dy＝______．标准答案：2π知识点解析：把线积分表成D是圆域：(x＋1)2＋y2≤1，于是由格林公式．12、设f＝χ12＋χ22＋5χ32＋2aχ1χ2－2χ1χ3＋4χ2χ3为正定二次型，则未知系数a的范围是_______．标准答案：＜a＜0知识点解析：二次型的矩阵为其各阶主子式为因为f为正定二次型，所以必有1－a2＞0且－a(5a＋4)＞0，因此4＜a＜0．故当＜a＜0时，A正定，从而f正定．13、设x=2a+b，y=ka+b，其中｜a｜=1，｜b｜=2，且a⊥b．若以x和y为邻边的平行四边形面积为6，则k的值为_________．标准答案：一1或5知识点解析：以x，y为邻边的平行四边形的面积14、设级数收敛，则P的取值范围是_______．标准答案：(1，+∞)知识点解析：确定an=关于1／n的阶．由于而an．收敛p＞1，因此p的取值范围是(1，+∞)．15、设z==_________．标准答案：知识点解析：16、设y1=ex，y2=x2为某二阶齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为______．标准答案：知识点解析：由于方程结构已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可．由于y=ex与y：=x2线性无关，故该二阶齐次线性微分方程的通解为y=C1ex+C2x2，y’=C1ex+2C2x，y’’=C1ex+2C2．三式联立消去C1与C2便得如上所填．17、设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1，则线性方程组AX=0的通解为________．标准答案：X=k(1，1，…，1)T，k为任意实数知识点解析：因A的秩为n-1，故方程组AX=0的基础解系只含n-(n-1)=1个解向量，又A的各行元素之和为零，知(1，1，…，1)T为AX=0的非零解，则AX=0的通解为X=k(1，1，…，1)T，k为任意实数．18、微分方程的通解是________标准答案：y=(C1+C2)ex+1，其中C1，C2为任意常数知识点解析：原方程为二阶常系数非齐次线性微分方程．其通解为y=y齐+y*，其中y齐是对应齐次方程的通解，y*是非齐次方程的—个特解．因原方程对应齐次方程的特征方程为r2-2r+1=0，即(r-1)2=0，特征根为r1,2=1．故y=(C1+C2x)C，其中C1，C2为任意常数．又据观察，显然y*=1与y齐合并即得原方程通解．19、(Ⅰ)已知A=，则(A*)－1=____________．(Ⅱ)已知A=，则A－1=____________．(Ⅲ)设A，B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=A一2B，B=，则(A+2E)－1=____________．(Ⅳ)设A=，B=(E+A)－1(E—A)，则(E+B)－1=____________．(Ⅴ)如A3=0，则(E+A+A2)－1=____________．标准答案：知识点解析：(Ⅰ)由AA*=｜A｜E，有(Ⅱ)A=(Ⅲ)由AB=A一2B有AB+2B=A+2E一2E，得知(A+2E)(E－B)=2E，即(A+2E)(E一B)．(Ⅳ)由于B+E=(E+A)－1(E一A)+E=(E+A)－1(E—A)+(E+A)－1(E+A)=(E+A)－1[(E—A)+(E+A)]=2(E+A)－1，故(B+E)－1=(E+A)．(Ⅴ)注意(E—A)(E+A+A2)=E—A3=E．20、标准答案：知识点解析：21、标准答案：a=2，b=3知识点解析：解得λ=5，a=2，b=3．22、设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=—aE+ATA是正定阵，则a的取值范围是__________。标准答案：a＜0知识点解析：BT=(—aE+ATA)T=—aE+ATA=B，故B是一个对称矩阵。B正定的充要条件是对于任意给定的x≠0，都有xTBx=xT(—aE+ATA)x=—axTx+xTATAx=—axTx+(Ax)TAx＞0，其中(Ax)T(Ax)≥0，xTx＞0，因此a的取值范围是—a＞0，即a＜0。23、设A是秩为3的5×4矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，若α1+α2+2α3=(2，0，0，0)T，3α1+α2=(2，4，6，8)T，则方程组Ax=b的通解是___________．标准答案：(，0，0，0)T+k(0，2，3，4)T．知识点解析：由于秩r(A)=3，所以齐次方程组Ax=0的基础解系由4一r(A)=1个向量所构成．又因为(α1+α2+2α3)一(3α1+α2)=2(α3一α1)=(0，一4，一6，一8)T是Ax=0的解，即其基础解系可以是(0，2，3，4)T．由A(α1+α2+2α3)=Aα1+Aα2+2Aα3=4b，知(α1+α2+2α3)是方程组Ax=b的一个解．那么根据方程组解的结构知其通解是(，0，0，0)T+k(0，2，3，4)T．24、相互独立的随机变量X1和X2均服从正态分布，则D(｜X1—X2｜)=_________。标准答案：知识点解析：根据题意随机变量X1和X2相互独立，且服从正态分布，设Z=X1—X2，则Z～N(0，1)，其概率密度函数为φ(z)=。D(｜X1—X2｜)=D(｜Z｜)=E(｜Z｜2)—E2(｜Z｜)=E(Z2)—E2｜Z｜=D(Z)+E2(Z)—E2｜Z｜，显然，D(Z)=1，E(Z)=0。所以，D(｜X1—X2｜)=1+0—。25、一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为_________标准答案：知识点解析：Ai表示“第i次取的是次品”，i=1，2．则有考研数学一（填空题）模拟试卷第5套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、方程f(x)==0的全部根是________．标准答案：1，2，3．知识点解析：由范德蒙行列式得f(x)=(2—1)(3—1)(x一1)(3—2)(x一2)(x一3)．2、设f(x)连续，且，则=__________。标准答案：a2f(a)知识点解析：3、标准答案：0知识点解析：分子、分母同除以(ex)3。其中根据洛必达法则易知4、设L是柱面x2+y2=1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分+y2/2dz=__________.标准答案：π知识点解析：5、已知f’(ex)=xe-x，且f(1)=0，则f(x)=________。标准答案：知识点解析：令ex=t，则x=lnt，于是有f’(t)=积分得由f(1)=0得C=0，故f(x)=6、已知连续型随机变量X的概率密度为则EX=_______，DX=_______．标准答案：1；知识点解析：7、标准答案：知识点解析：暂无解析8、设f(x)为奇函数，且f’(1)=2，则f(x3)｜x=－1=________．标准答案：6知识点解析：因为f(x)为奇函数，所以f’(x)为偶函数．由f(x3)=3x2f’(x3)得f(x3)｜x=－1=3f’(一1)=3f’(1)=6．9、曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在点（0,1）处的切线方程是_______.标准答案：y=x+1.知识点解析：暂无解析10、设函数u(x，y，z)=，单位向量n=，则=_______。标准答案：知识点解析：11、设D为y＝x3及x＝一1，y＝1所围成的区域，则I＝＝______．标准答案：0知识点解析：D如图9．1所示．添加辅助线y＝一x3(x≤0)，将D分解成D＝D1∪D2，其中D1关于y轴对称，D2关于x轴对称，被积函数对x，y均为奇函数12、设X～N(μ．σ2)，其中μ和σ2(σ＞0)均为未知参数．从总体X中抽取样本X1，X2，…，Xn，样本均值为，B2＝，则未知参数μ和σ2的矩估计量分别为＝_______，＝_______．标准答案：；B2．知识点解析：由于待估计参数有2个：μ，σ2，故考虑一阶、二阶矩．由于E(X)＝μ，E(X2)＝D(X)＋[E(X)]2＝σ2＋μ2，令解得μ和σ2的矩估计量分别为，13、若的代数余子式A12＝一1，则代数余子式A21＝______．标准答案：2知识点解析：按代数余子式定义14、已知曲线L的方程为y=1一｜x｜，x∈[一1，1]，起点是(一1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分∫Lxydx+x2dy=_________．标准答案：0知识点解析：令15、设空间区域Ω是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=2所围成的立体，则(x2+y2)dv=____