考研数学一（高等数学）模拟试卷11（共248题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷11（共9套）（共248题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0使得()．A、对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)B、对任意的x∈(0，δ)有f(x)＜f(0)C、当x∈(0，δ)时，f(x)为单调增函数D、当x∈(0，δ)时，f(x)是单调减函数标准答案：A知识点解析：因为f’(0)＞0．所以＞0，根据极限的保号性，存在δ＞0，当x∈(0，δ)时，有＞0，即f(x)＞f(0)，选(A)．2、设f(x)在x=0处二阶可导，f(0)=0且=2，则()．A、f(0)是f(x)的极大值B、f(0)是f(x)的极小值C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：B知识点解析：由=2，得f(0)+f’(0)=0，于是f’(0)=0．再由=f’(0)+f"(0)=2，得f"(0)=2＞0，故f(0)为f(x)的极小值，选(B)．3、设f(x)二阶连续可导，且f"(x)／x=－1，则()．A、f(0)是f(x)的极小值B、f(0)是f(x)的极大值C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、x=0是f(x)的驻点但不是极值点标准答案：C知识点解析：因为f(x)二阶连续可导，且f"(x)／x=－1，所以f"(x)=0，即f"(0)=0．又f"(x)／x=－1＜0，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，有f"(x)／x＜0，即当x∈(－δ，0)时，f"(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f"(x)＜0，所以(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，选(C)．4、设y(x)是微分方程y"+(x－1)y’+x2y=ex满足初始条件y(0)=0，y’(0)=1的解，则()．A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在标准答案：A知识点解析：微分方程y"+(x－1)y’+x2y=ex中，令x=0，则y"(0)=2，于是选(A)．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)5、标准答案：1／2知识点解析：6、若f(x)=2nx(1－x)n，记Mn=Mn=_______．标准答案：2／e知识点解析：由f’(x)=2n(1－x)n－2n2x(1－x)n－1=0得x=7、标准答案：知识点解析：8、设f(x)的一个原函数为sinx／x，则∫π／2πxf’(x)dx=_______．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)9、设f’(x)连续，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0xtf(t2－x2)dt，且当x→0时，F(x)～xn，求n及f’(0)．标准答案：F(x)=∫0xtf(t2－x2)dt=1／2∫0xf(t2－x2)d(t2－x2)则n－2=2，n=4，且=1／4f’(0)=1，于是f’(0)=－4．知识点解析：暂无解析10、设f(x)=(sint／sinx)x／sint－sinx，求f(x)的间断点并指出其类型．标准答案：首先f(x)其次f(x)的间断点为x=kπ(k=0，±1，…)，因为f(x)=e，所以x=0为函数f(x)的第一类间断点中的可去间断点，x=kπ(k=±1，…)为函数f(x)的第二类间断点．知识点解析：暂无解析11、设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得|f"(ξ)|≥|f(b)－f(a)|．标准答案：由泰勒公式得两式相减得f(b)－f(a)=[f"(ξ1)－f"(ξ2)]，取绝对值得|f(b)－f(a)|≤[|f"(ξ1)|+|f"(ξ2)|]．(1)当|f"(ξ1)|≥|f"(ξ2)|时，取ξ=ξ1，则有|f"(ξ)|≥|f(b)－f(a)|；(2)当|f"(ξ1)|＜|f"(ξ2)|时，取ξ=ξ2，则有|f"(ξ)|≥|f’(b)－f(a)|．知识点解析：暂无解析12、设f(x)二阶可导，f(x)／x=1且f"(x)＞0．证明：当x≠0时，f(x)＞x．标准答案：由f(x)／x=1，得f(0)=0，f’(0)=1，又由f"(x)＞0且x≠0，所以f(x)＞f(0)+f’(0)x=x．知识点解析：暂无解析设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2)．13、证明方程fn(x)=1有唯一的正根xn；标准答案：令φn(x)=fn(x)=1，因为φn(0)=－1＜0，φn(1)=n－1＞0，所以φn(x)在(0，1)(0，+∞)内有一个零点，即方程fn(x)=1在(0，+∞)内有一个根．因为φ’n(x)=1+2x+…+nxn－1＞0，所以φn(x)在(0，+∞)内单调增加，所以φn(x)在(0，+∞)内的零点唯一，所以方程fn(x)=1在(0，+∞)内有唯一正根，记为xn．知识点解析：暂无解析14、求xn．标准答案：由fn(zn)－fn+1(xn+1)=0，得(xn－xn+1)+(xn2－xn+12)+…+(xnn－xn+1n)=xn+1n+1＞0，从而xn＞xn+1，所以{xn}n=1∞单调减少，又xn＞0(n=1，2，…)，故xn存在，设xn=A，显然A≤xn≤x1=1，由xn+xn2+…+xnn=1，得=1，两边求极限得A／(1－A)=1，解得A=1／2，即xn=1／2．知识点解析：暂无解析15、设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得标准答案：当c=ai(i=1，2，…，n)时，对任意的ξ∈(a1，an)，结论成立；设C为异于a1，a2，…，an的数，不妨设a1＜c＜a2＜…＜an．构造辅助函数φ(x)=f(x)－k(x－a1)(x－a2)…(x－an)，显然φ(x)在[a1，an]上n阶可导，且φ(a1)=φ(c)=φ(a2)=…=φ(an)=0，由罗尔定理，存在ξ1(1)∈(a1，c)，ξ2(1)∈(c，a2)，…，ξn(1)∈(an－1，an)，使得φ’(ξ1(1))=φ’(ξ2(1))=…=φ’(ξn(1))=0，φ’(x)在(a1，an)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则φ(1)(x)在(a1，an)内至少有两个不同零点，设为c1，c2∈(a1，an)，使得φ(n－1)(c1)=φ(n－1)(c2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(c1，c2)(a1，an)，使得φ(n)(ξ)=0．而φ(n)(x)=f(n)(x)－n!k，所以f(n)(ξ)=n!k，从而有知识点解析：暂无解析16、标准答案：=ln|x2lnx|+C知识点解析：暂无解析17、设f(x)在(0，+∞)内连续且单调减少．证明：∫1n+1f(x)dx≤f(k)≤f(1)+∫1nf(x)dx．标准答案：∫1n+1f(x)dx=∫12f(x)dx+f23f(x)dx+…+∫nn+1f(x)dx，当x∈[1，2]时，f(x)≤f(1)，两边积分得∫12f(x)dx≤f(1)，同理∫23f(x)dx≤f(2)，…，∫nn+1f(x)dx≤f(n)，相加得∫1n+1f(x)dx≤f(k)；当x∈[1，2]时，f(2)≤f(x)，两边积分得f(2)≤∫12(x)dx，同理f(3)≤∫23f(x)dx，…，f(n)≤n－1nf(x)dx，相加得f(2)+…+f(n)≤∫1nf(x)dx，于是f(k)≤f(1)+∫1nf(x)dx．知识点解析：暂无解析18、为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口．设井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗盛污泥2000N，提升速度为3m／s，在提升过程中，污泥以20N／s的速度从抓斗中漏掉．现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?标准答案：设拉力对空斗所做的功为W1，则W1=400×30=12000(J)．设拉力对绳所做的功为W2，任取[x，x+dx][0，30]，dW2=50(30－x)dx，则W2=∫030dW2=22500(J)．设拉力对污泥做功为W3，任取[t，t+dt][0，10]，dW3=(2000－20t)×3dt，则W3=∫0100dW3=57000(J)，拉力克服重力所做的功为W=W1+W2+W3=91500(J)．知识点解析：暂无解析19、已知点P(1，0，－1)与点Q(3，1，2)，在平面x－2y+z=12上求一点M，使得|PM|+|MQ|最小．标准答案：把点P及点Q的坐标代入x－2y+z－12得1－1－12=－12及3－2+2－12=－9，则点P及Q位于平面π的同侧．过点P且垂直于平面π的直线方程为得x=1+t，y=－2t，z=t－1，把x=1+t，y=－2t，z=t－1代入平面π得t=2，所以直线L1与平面π的交点坐标为T(3，－4，1)．令点P关于平面π的对称点为P’(x0，y0，z0)，则有解得对称点的坐标为P’(5，－8，3)．={2，－9，1}，过点P’及点Q的直线为L2：得x=3+2t，y=1－9t，z=2+t，把x=3+2t，y=1－9t，z=2+t代入平面π得t=3／7，所求点M的坐标为M(27／7，－20／7，17／7)．知识点解析：暂无解析20、求二元函数z=f(x，y)=x2y(4－x－y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值．标准答案：(1)求f(x，y)在区域D的边界上的最值，在L1：y=0(0≤x≤6)上，z=0；在L2：x=0(0≤y≤6)上，z=0；在L3：y=6－x(0≤x≤6)上，z=－2x2(6－x)=2x3－12x2，由dz／dx=6x2－24x=0得x=4，因为f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=－64，所以f(x，y)在L3上最小值为－64，最大值为0．(2)在区域D内，由得驻点为(2，1)，因为AC－B2＞0且A＜0，所以(2，1)为f(x，y)的极大值点，极大值为f(2，1)=4，故z=f(x，y)在D上的最小值为m=f(4，2)－64，最大值为M=f(2，1)=4．知识点解析：暂无解析21、设f(x)连续，且f(0)=1，令F(t)=f(x2+y2)dxdy(t≥0)，求F"(0)．标准答案：由F(t)=∫02πdθ∫0trf(r2)dr=2π∫0tfrf(r2)dr=πf(u)du，得F’(t)=2πt(t2)，F’(0)=0，知识点解析：暂无解析22、设函数f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D为区域a≤x≤b，a≤y≤b．证明：f(x)／f(y)dxdy≥(b－a)2．标准答案：因为积分区域关于直线y=x对称，又因为f(x)＞0，所以≥2，从而=(b－a)2知识点解析：暂无解析23、设f(x，y)dx+xcosydy=t2，f(x，y)有一阶连续偏导数，求f(x，y)．标准答案：因为曲线积分与路径无关，所以有cosy=f’y(x，y)，则f(x，y)=siny+C(x)，而f(x，y)dx+xcosydy=t2，即∫0tC(x)dx+tcosydy=t2，两边对t求导数得C(t)=2t－sint2－2t2cost2，于是f(x，y)=siny+2x－sinx2－2x2cosx2．知识点解析：暂无解析24、设曲线L的长度为l，且=M．证明：|∫LPdx+Qdy|≤Ml．标准答案：Pdx+Qdy={P，Q}．{dx，dy}，因为|a．b|≤|a||b|，所以有|Pdx+Qdy|≤≤Mds，于是|∫LPdx+Qdy|≤∫L|Pdx+Qdy|≤∫LMds=M∫Lds=Ml．知识点解析：暂无解析25、若正项级数un收敛，证明：收敛．标准答案：因为un收敛，所以un=0，当x＞0时，ln(1+x)＜x，于是为正项级数，而ln(1+un)=un－+o(un2)，知识点解析：暂无解析证明：26、设an＞0，且{nan}有界，则级数an2。收敛；标准答案：因为{nan}有界，所以存在M＞0，使得0＜nan≤M，即0＜an2≤M2／n2，而级数M2／n2收敛，所以级数an2收敛．知识点解析：暂无解析27、若n2an=k＞0，则级数an收敛标准答案：取ε0=k／2＞0，因为h2an=k＞0，所以存在N＞0，当n＞N时，|n2an－k|＜k／2，即0＜n2an＜3k／2，或者0＜an＜3k／21／n2，知识点解析：暂无解析28、标准答案：令S(x)=n(n－1)xn－2，显然其收敛域为(－1，1)，知识点解析：暂无解析29、一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长18m，运动开始时链条一边下垂8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?标准答案：设链条的线密度为ρ，取x轴正向为垂直向下，设t时刻链条下垂x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为(8－x)m，此时链条受到的重力为(10+x)ρg－(8－x)ρg=2(x+1)ρg．链条的总重量为18ρ，由牛顿第二定理F=ma得18ρd2x／dt2=2ρg(x+1)，即x=g／9，且x(0)=0，x’(0)=0，当链条滑过整个钉子时，x=8，知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，且在点x0处间断，则下列函数在点x0处必定间断的是()A、f(x)sinxB、f(x)+sinxC、f2(x)D、｜f(x)｜标准答案：B知识点解析：反证法．若f(x)+sinx在点x0处连续，则f(x)=[f(x)+sinx]－sinx也在点x0处连续，与已知矛盾．2、下述命题：①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(－∞，+∞)上连续；②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(－∞，+∞)上有界；③设f(x)在(－∞，+∞)上为正值的连续函数，则在(－∞，+∞)上也是正值的连续函数；④设f(x)在(－∞，+∞)上为正值的有界函数，则在(－∞，+∞)上也是正值的有界函数．其中正确的个数为()A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：①与③是正确的，②与④是不正确的，理由如下：①是正确的．设x0∈(－∞，+∞)，则它必含于某区间[a，b]中，由于题设f(x)在任意闭区间[a，b]上连续，故在x0处连续，所以在(－∞，+∞)上连续．论证的关键之处是函数f(x)的连续性是按点来讨论的，在区间上每一点处连续，就说它在该区间上连续．③是正确的．设x0∈(－∞，+∞)，则f(x0)＞0，且在x0处连续．由连续函数的四则运算法则知，在x0处也连续，所以且在(－∞，+∞)上连续．②是不正确的．反例：设f(x)=x，在区间[a，b]上｜f(x)｜≤max{｜a｜，｜6｜}M，这个界与[a，6]有关，容易看出，在区间(－∞，+∞)上f(x)=x就无界了．④是不正确的．反例：f(x)=e－x2，在区间(－∞，+∞)上0＜f(x)≤1．所以f(x)在(－∞，+∞)上为正值的有界函数，而=ex2在(－∞，+∞)上无界，这是因为当x→±∞时，+∞．故应选B．3、设周期函数f(x)在(－∞，+∞)内可导，周期为4，又则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为()A、B、0C、－1D、－2标准答案：D知识点解析：因为函数f(x)周期为4，曲线在点(5，f(5))处的切线斜率与曲线在点(1，f(1))处的切线斜率相等，根据导数的几何意义，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率即为函数f(x)在点x=1处的导数．即f’(1)=－2．4、由曲线(0≤x≤π)与x轴围成的图形绕x轴旋转所成旋转体的体积为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：5、设则f(x)=()A、B、C、lnx－2exD、lnx+2ex标准答案：A知识点解析：由题中所给式子变形得记则在式①两端作(1，e)上的积分，得解得故应选A．6、设力f=2i－j+2k作用在一质点上，该质点从点M1(1，1，1)沿直线移动到点M2(2，2，2)，则此力所做的功为()A、2B、－1C、3D、4标准答案：C知识点解析：因为W=f.s，故W=(2，－1，2).(1，1，1)=3．7、设Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；Ω2：x2+y2+z2≤R2，且x≥0，y≥0，z≥0．则有()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：Ω1关于yOz面及zOx面对称，当f(x，y，z)是关于x或y的奇函数时，而f(x，y，z)=z关于x及y都是偶函数，故8、设级数收敛，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为也收敛，将此两级数逐项相加所成的级数(an+an+1)也收敛．也可以举例说明A，B，D均不正确．二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)9、=______．标准答案：e－2知识点解析：所以原极限=e－2．10、曲线在t=1处的曲率K=______．标准答案：知识点解析：因为11、设=∫－∞atetdt，则a=_____．标准答案：2知识点解析：又∫－∞atetdt=∫－∞atd(et)=tet｜∫－∞a－∫－∞aetdt=aea－et｜∫－∞a=(a－1)ea，所以ea=(a－1)ea，a=2．12、xOz坐标面上的抛物线z2=x－2绕x轴旋转而成的旋转抛物面的方程是______．标准答案：y2+z2=x－2知识点解析：xOz面上曲线f(x，z)=0绕x轴旋转而得的旋转曲面方程为即y2+z2=x－2．13、曲面z－ex+2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为______．标准答案：19．2x+y－4=0知识点解析：令F(x，y，z)=z－ex+2xy－3，则Fx’(x，y，z)｜(1，2，0)=4，Fy’(x，y，z)｜(1，2，0)=2，Fx’(x，y，z)｜(1，2，0)=0，所以切平面的法向量为(4，2，0)，由点法式得出切平面的方程为2z+y－4=0．14、设=______．标准答案：0知识点解析：本题属于基本计算，考研中考过多次这种表达式．15、设C为闭区域D的正向边界闭曲线，则∮C(ex2－y)dx+(x+siny2)dy可通过A(A为D的面积)表示为______．标准答案：2A知识点解析：设P=e2－y，Q=x+siny2．因由格林公式，有16、级数的和为______．标准答案：知识点解析：因级数17、幂级数在收敛区间(－a，a)内的和函数S(x)为______．标准答案：知识点解析：18、设一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个线性无关的解y1，y2，若αy1+βy2也是该方程的解，则应有α+β=______．标准答案：1知识点解析：由y’1+P(x)y1=Q(x)及y’2+P(x)y2=Q(x)得(αy1+βy2)’+P(x)(αy1+βy2)=(α+β)Q(x)．19、特征根为r1=0，r2，3=±i的特征方程所对应的三阶常系数齐次线性微分方程为______．标准答案：知识点解析：特征方程为即r3－r2+r=0，其对应的微分方程即如上所填．三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)20、讨论方程2x3－9x2+12x－a=0实根的情况．标准答案：令f(x)=2x3－9x2+12x－a，讨论方程2x3－9x2+12x－a=0实根的情况，即讨论函数f(x)零点的情况．显然，所以，应求函数f(x)=2x3－9x2+12x－a的极值，并讨论极值的符号．由f’(x)=6x2－18x+12=6(x－1)(x－2)，得驻点为x1=1，x2=2，又f’’(x)=12x－18，f’’(1)＜0，f’’(2)＞0，得x1=1为极大值点，极大值为f(1)=5－a；x2=2为极小值点，极小值为f(2)=4－a．当极大值f(1)=5－a＞0，极小值f(2)=4－a＜0，即4＜a＜时，f(x)=2x3－9x2+12x－a有三个不同的零点，因此方程2x3－9x2+12x－a=0有三个不同的实根；当极大值f(1)=5－a=0或极小值f(2)=4－a=0，即a=5或a=4时，f(x)=2x3－9x2+12x－a有两个不同的零点，因此方程2x3－9x2+12x－a=0有两个不同的实根；当极大值f(1)=5－a＜0或极小值f(2)=4－a＞0，即a＞5或a＜4时，f(x)=2x3－9x2+12x－a有一个零点，因此方程2x3－9x2+12x－a=0有一个实根．知识点解析：暂无解析21、设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导且f(a)≠f(b)．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得：标准答案：对f(x)应用拉格朗日中值定理知f(b)－f(a)=f’(η)(b－a)，η∈(a，b)，对f(x)，x2在[a，b]上应用柯西中值定理知知识点解析：暂无解析22、证明：当x＞0时，不等式成立．标准答案：构造辅助函数则f(0)=0，且由题设条件很难确定f’(x)的符号，但是所以知识点解析：暂无解析23、计算下列积分：(1)∫－12[x]max{1，e－x{dx，其中[x]表示不超过x的最大整数；(2)已知求∫2n2n+2f(x－2n)e－xdx，n=2，3，…．标准答案：(1)因分段函数则由定积分的分段可加性得∫－12[x]max{1，e－x}dx=∫－10(－1)e－xdx+∫010dx+∫011dx=2－e．(2)令t=x－2n，则由定积分的分段可加性与分部积分得，∫2n2n+2f(x－2n)e－xdx=∫02f(t)e－t－2ndt=e－2n∫01te－tdt+e－2n∫12(2－t)e－tdt=(1－e－1)2e－2n．知识点解析：暂无解析24、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析25、(1)设f(x)在[a，b]上非负连续且不恒为零，证明必有∫abf(x)dx＞0；(2)是否存在[0，2]上的可导函数f(x)，满足f(0)=f(2)=1，｜f’(x)｜≤1，｜∫02f(x)dx｜≤1，并说明理由．标准答案：由题意f(x)≥0，x∈[a，b]，存在x0∈[a，b]，使f(x0)≠0，从而f(x0)＞0，又由连续性可得，=f(x0)＞0=>存在δ＞0与η＞0，当0＜｜x－x0｜＜δ时，恒有f(x)＞η＞0．于是∫abf(x)dx≥∫x0－δx0+δf(x)dx≥∫x0－δx0+δηdx=η.2δ＞0．(2)设[0，2]上存在连续可微的函数f(x)满足题设条件，则在[0，1]上，对任意x∈(0，1]，存在ξ1∈(0，x)，由拉格朗日中值定理得f(x)－f(x)=f’(ξ1)(x－0)，即f(x)=1+f’(ξ1)x．利用｜f’(x)｜≤1得1－x≤f(x)(x∈(0，1])．由题设f(0)=1知，这一不等式成立范围可扩大为x∈[0，1]．同样，在[1，2]上，对任意x∈[1，2)，存在ξ2∈(x，2)，由拉格朗日中值定理得f(x)－f(2)=f’(ξ2)(x－2)，即f(x)=1+f’(ξ2)(x－2)，利用｜f’(x)｜≤1得1+(x－2)≤f(x)，即x－1≤f(x)(x∈[1，2))．由题设f(2)=1知这一不等式成立范围可扩大为z∈[1，2]．∫02f(x)dx=∫01f(x)dx+∫12f(x)dx＞∫01(1－x)dx+∫12(x－1)dx这与f(x)所满足的｜∫02f(x)dx｜≤1矛盾，故不存在这样的f(x)．知识点解析：暂无解析26、求函数z=x2+y2+2x+y在区域D={(x，y)｜x2+y2≤1)上的最大值与最小值．标准答案：由于D是有界闭区域，z=x2+y2+2x+y在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值．先求函数在区域内部的极值点．解方程组由于不在区域D内，舍去．所以函数在区域内部无偏导数不存在的点．再求函数在边界上的最大值点与最小值点，即求z=x2+y2+2x+y满足约束条件x2+y2=1的条件极值点．此时z=1+2x+y．用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数L(x，y，λ)=1+2x+y+λ(x2+y2－1)，令所有最值怀疑点仅有两个，由于知识点解析：暂无解析27、计算曲线积分其中L：(x－1)2+y2=2，其方向为逆时针方向．标准答案：由于当x=y=0时，被积函数无意义，故L所包围的区域不满足格林公式的条件，作一小圆挖去原点(0，0)，作逆时针方向的圆周l：x=rcosθ，y=rsinθ，0≤θ≤2π，使l全部被L所包围，在L和l为边界的区域D内，根据格林公式，有知识点解析：暂无解析28、设曲线C：y=sinx，0≤x≤π，证明：标准答案：先将曲线积分化为定积分：则由定积分的性质，得知识点解析：暂无解析29、求微分方程y’’(3y’2－x)=y’满足初值条件y(1)=y’(1)=1的特解．标准答案：这是不显含y型的二阶微分方程y’’=f(x，y’)，按典型步骤去做即可．令化为3p2dp=(xdp+pdx)=0，这是关于p与x的全微分方程，解之得p3－xp=C1，以初值条件x=1时，p=1代入，得C1=0，从而得p2－xp=0，以x=1时，y=1代入，得知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、f(x)在[一1，1]上连续，则x=0是函数g(x)=的()．A、可去间断点B、跳跃间断点C、连续点D、第二类间断点标准答案：A知识点解析：显然x=0为g(x)的间断点，因为=f(0)，所以x=0为g(x)的可去间断点，选(A)．2、设∫f(x)dx=x2+C，则∫xf(1一x2)dx等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：∫xf(1-x2)dx=∫f(1-x2)d(1一x2)=(1-x2)2+C，选(B)．3、设fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)都存在，则()．A、f(x，y)在(x0，y0)处连续B、f(x，y)存在C、f(x，y)在(x0，y0)处可微D、f(x，y0)存在标准答案：D知识点解析：多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对；4、设区域D由x=0，y=0，x＋y=，x+y=1围成，若I1=[ln(x+y)]3dxdy,I2=(x+y)3dxdy，I3=sin3(x+y)dxdy，则()A、I1＞I2＞I3B、I2＞I3＞I1C、I1＜I2＜I3D、I2＜I3＜I1标准答案：B知识点解析：故I2≥I3≥I1，应选(B)．5、设f(x)在x=a处二阶可导，则等于()．A、一f’’(a)B、f’’(a)C、2f’’(a)D、f’’(a)标准答案：D知识点解析：6、设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为()．A、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B、C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2φ3(x)C、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)一φ3(x)]D、C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1标准答案：D知识点解析：因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)一φ3(x)，φ2(x)一φ3(x)为方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=0的两个线性无关解，于是方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)一φ3(x)]+C2[φ2(x)－φ3(x)]+φ3(x)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1一C1一C2或C1+C2+C3=1，选(D)．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)7、=________．标准答案：e知识点解析：8、∫01sinx2xtdt=_________．标准答案：知识点解析：9、点M(1，一1，2)到平面π：2x—y+5z一12=0的距离为d=_________．标准答案：知识点解析：．10、幂级数的收敛半径为_________．标准答案：知识点解析：11、微分方程xy’=+y的通解为________．标准答案：知识点解析：12、=__________．标准答案：知识点解析：13、设f(μ，ν)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t3f(x，y)，且f1’(1，2)=1，f2’(1，2)=4，f(1，2)=__________．标准答案：3知识点解析：f(tx，ty)=t3f(x，y)两边对t求导数得xf1’(tx，ty)+yf2’(tx，ty)=3t2f(x，y)，取t=1，x=1，y=2得f1’(1，2)+2f2’(1，2)=3f(1，2)，故f(1，2)=3．14、设级数条件收敛，则p的取值范围是_________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)15、求．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f(x)=，求df(x)｜x=1．标准答案：由f(x)==xex得f’(x)=(x+1)ex，从而f’(1)=2e，故df(x)｜x=1=2edx．知识点解析：暂无解析17、求y=∫0x(1一t)arctantdt的极值．标准答案：令y’=(1－x)arctanx=0，得x=0或x=1，y’’=－arctanx＋，因为y’’(0)=1＞0，y’’(1)=＜0，所以x=0为极小值点，极小值为y=0；x=1为极大值点，极大值为y(1)=∫01(1一t)arctantdt=∫01arctantdt一∫01tarctantdt知识点解析：暂无解析18、求．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(2)=，f’(2)=0,∫02f(x)dx=1，求∫01x2f’’(2x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析20、计算∫L(x3+y2)ds，其中L：x2+y2=a2．标准答案：根据对称性，∫L(x3+y2)ds=∫Ly2ds=∫Lx2ds，则∫L(x3+y2)ds==πa3．知识点解析：暂无解析21、设级数收敛，又an≤bn≤cn(n=1，2，…)．证明：级数bn收敛．标准答案：由an≤bn≤cn，得0≤bn一an≤cn一an．因为(cn－an)收敛，根据正项级数的比较审敛法得(bn一an)收敛，又bn=(bn一an)+an，则bn收敛．知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析23、求．标准答案：知识点解析：暂无解析设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f()=1，f(1)=0．证明：24、存在η∈(，1)，使得f(η)=η；标准答案：令φ(x)=f(x)一x，φ(x)在[0，1]上连续，＞0，φ(1)=一1＜0，由零点定理，存在η∈(，1)，使得φ(η)=0，即f(η)=η．知识点解析：暂无解析25、对任意的k∈(一∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)一k[f(ξ)一ξ]=1．标准答案：设F(x)=e－kxφ(x)，显然F(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且F(0)=F(η)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，η)，使得F’(ξ)，整理得F’(ξ)－K[F(ξ)一ξ]=1．知识点解析：暂无解析26、设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且｜f(4)(x)｜≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x0的点x，有，其中x’为x关于x0的对称点．标准答案：知识点解析：暂无解析27、设f(x)在(一∞，+∞)上有定义，且对任意的x，y∈(一∞，+∞)有｜f(x)一f(y)｜≤｜x—y｜．证明：｜∫abf(x)dx一(b一a)f(a)｜≤(b一a)2．标准答案：因为(b一a)f(a)=∫abf(a)dx，所以｜∫abf(x)dx一(b一a)f(a)｜=｜∫ab[f(x)一f(a)]dx｜≤∫ab｜f(x)一f(a)｜dx≤∫ab(x-a)dx=．知识点解析：暂无解析28、计算dxdy，其中D为单位圆x2＋y2=1所围成的第一象限的部分．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、当x→1时，f(x)=的极限为()．A、2B、0C、∞D、不存在但不是∞标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)2、设f(x)为奇函数，且f’(1)=2，则f(x3)｜x＝－1=_________．标准答案：6知识点解析：因为f(x)为奇函数，所以f’(x)为偶函数，由f(x3)=3x2f’(x3)得f(x3)｜x=－1=3f’(一1)=3f’(1)=6．3、设f(x)=则∫－15f(x一1)dx=_________．标准答案：＋ln3知识点解析：∫－15f(x一1)dx=∫－15f(x一1)d(x一1)=∫－24f(x)dx4、若，则｜a－b｜=________．标准答案：知识点解析：由｜a+b｜2=(a+b)(a+b)=｜a｜2+｜b｜2+2ab=13+19+2ab=24，得ab=一4，则｜a一b｜2=(a一b)(a—b)=｜a｜2+｜b｜2一2ab=13+19+8=40，则｜a一b｜=．5、设f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则fx’(0，1，一1)=________．标准答案：1知识点解析：6、∫01dy∫0y2cos(1一x)2dx=_______．标准答案：知识点解析：7、x2ydx+xy2dy=_______，其中L：｜x｜+｜y｜=1，方向取逆时针方向．标准答案：0知识点解析：令L1：y=1一x(起点x=1，终点x=0)，L2：y=1+x(起点x=0，终点x=一1)，L3：y=一1一x(起点x=一1，终点x=0)，L4：y=一1+x(起点x=0，终点x=1)，=∫10[x2(1一x)－x(1－x)2]dx+∫0－1[x2(1+x)+x(1＋x)2)]dx＋∫－10[－x2(1＋x)一x(1＋x)2]dx+∫01[x2(x－1)+x(x－1)2]dx=08、的通解为________．标准答案：知识点解析：9、设f(x)=，在x=1处可微，则a=________，b=________．标准答案：a=2，b=-1知识点解析：因为f(x)在x=1处可微，所以f(x)在x=1处连续，于是f(1—0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=1．又f－’(1)==2，f＋’(1)==a，由f(x)在x=1处可微得a=2，所以a=2，b=一1．10、设f(x)为连续函数，且满足∫01f(xt)dt=f(x)+xsinx，则f(x)=_______．标准答案：f(x)=cosx一xsinx+C知识点解析：由∫01f(xt)dt=f(x)+xsinx，得∫01f(xt)d(xt)=xf(x)+x2sinx，即∫0xf(t)dt=xf(x)+x2sinx，两边求导得f’(x)=一2sinx一xcosx，积分得f(x)=cosx一xsinx+C．11、设函数z=f(x，y)在点(0，1)的某邻域内可微，且f(x，y+1)=1+2x+3y+o(ρ)，其中ρ=，则曲面∑：z=f(x，y)在点(0，1)的切平面方程为__________．标准答案：切平面方程为π：2(x一0)＋3(y一1)一(z一1)=0，即π：2x＋3y—z一2=0知识点解析：由f(x，y＋1)=1＋2x+3y＋o(ρ)得f(x，y)在点(0，1)处可微，且f(0，1)=1，=3，而曲面∑：z=f(x，y)在点(0，1，1)的法向量为n==(2，3，一1)，所以切平面方程为π：2(x一0)＋3(y一1)一(z一1)=0，即π：2x＋3y—z一2=0．12、微分方程y’一xe－y+=0的通解为_________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)13、设．标准答案：知识点解析：暂无解析14、设y=f()，且f’(x)=lnx，求y’．标准答案：y’=．知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒为常数，证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．标准答案：因为f(x)在[a，b]上不恒为常数且f(a)=f(b)，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)≠f(a)=f(b)，不妨设f(c)＞f(a)=f(b)，由微分中值定理，存在ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，使得．知识点解析：暂无解析16、求．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求∫0nπx｜cosx｜dx．标准答案：∫0nπx｜cosx｜dx=∫0πx｜cosx｜dx＋∫π2πx｜cosx｜dx＋…＋∫(n－1)πnπx｜cosx｜dx∫0πx｜cosx｜dx==π，∫π2πx｜cosx｜dx∫0π(t＋π)｜cost｜dx=∫0πt｜cost｜dt＋π∫0π｜cost｜dt＝π＋2π＝3π，∫2π3πx｜cosx｜dx∫0π(t＋2π)｜cost｜dt=∫0πt｜cost｜dt＋2π∫0π｜cost｜dt=5π，则∫0nπx｜cosx｜dx=π＋3π＋…＋(2n－1)π=n2π．知识点解析：暂无解析设直线y=kx与曲线y=所围平面图形为D1，它们与直线x=1围成平面图形为D2。18、求k，使得D1与D2分别绕x轴旋转一周成旋转体体积V1与V2之和最小，并求最小值；标准答案：知识点解析：暂无解析19、求此时的D1+D2．标准答案：知识点解析：暂无解析20、对右半空间x＞0内的任意光滑有侧封闭曲面∑，有f(x)dydz—xyf(x)dzdz—e2xzdxdy=0，其中f(x)在(0，+∞)内具有一阶连续的偏导数，且f(0+0)=1，求f(x)．标准答案：由高斯公式得xf(x)dydz—xyf(x)dzdx—e2xzdxdy=±[xf’(x)+(1一x)f(x)一e2x]dν=0，当曲面∑法向量指向外侧时取正号，当曲面∑的法向量指向内侧时取负号．由∑的任意性得xf’(x)+(1-x)f(x)一e2x=0(x＞0)，或者f’(x)+，则知识点解析：暂无解析21、判断级数的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析22、求微分方程y’’+2y’一3y=(2x+1)ex的通解．标准答案：特征方程为λ2+2λ一3=0，特征值为λ1=1，λ2=一3，则y’’+2y’一3y=0的通解为y=C1ex+C2e－3x，令原方程的特解为y0=x(ax+b)ex，代入原方程得，所以原方程的通解为y=C1ex+C2e3x+(2x2+x)ex．知识点解析：暂无解析23、已知，求a，b的值．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ－η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．标准答案：令φ(x)=exf(x)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得即2e2ξ=(ea+eb)eη[f’(η)+f(η)]，或2e2ξ－η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．知识点解析：暂无解析25、设f(x)=∫0xecostdt，求∫0πf(x)cosxdx．标准答案：∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π－∫0πf’(x)sinxdx=－∫0πecosxsinxdx=ecosx｜0π=e－1－e．知识点解析：暂无解析26、计算．标准答案：知识点解析：暂无解析27、设函数f(x，y)在D：x2+y2≤1有连续的偏导数，且在L：x2+y2=1上有f(x，y)≡0．证明：f(0，0)=dxdy，其中Dr：r2≤x2＋y2≤1．标准答案：知识点解析：暂无解析28、讨论级数dx的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设函数则在x=0处f(x)()A、不连续B、连续，但不可导C、可导，但导数不连续D、可导，且导数连续标准答案：C知识点解析：故f(x)在x=0处连续．故f(x)可导，但不存在，即f’(x)在x=0处不连续．2、设常数α＞1，函数则f(x)在x=0处()A、不连续B、连续但不可导C、可导，f’(0)=aD、可导，f’(0)=0标准答案：D知识点解析：考虑x＞0处，由于α＞1，有当又f(0)=0，所以f(x)在x=0处连续，不选A．再看f’(0)是否存在，等于多少．而当令x→0－，由于α＞1，再由夹逼定理得所以f’(0)存在且等于0．选D．3、曲线上相应于x从3到8的一段弧的长度为()A、B、C、9D、6标准答案：A知识点解析：4、积分()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：5、两个半径为R的正交圆柱体所围成立体的表面积S等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：记所求面积为S．由于对称性S=16S1，S1对应第一卦限中曲面被截得部分的面积，该部分在xOy面的投影域为因为6、设an≠0(n=0，1，…)，且幂级数anx2n+1的收敛半径为4，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：例如收敛半径都是4，所以幂级数在｜x｜＜4内收敛．但在x=4处，上述级数的通项4[2+(－1)n]不趋于零，级数在x=4处发散，所以它的收敛半径R=4．但是它的不存在．故应选D．二、填空题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)7、设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)=______．标准答案：na知识点解析：令x=－1，则f(1)=f(－1)+f(2)，因f(x)是奇函数，得到f(2)=f(1)－f(－1)=2f(1)=2a．再令x=1，则f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用第二数学归纳法证明f(n)=na．当n=1，2，3时，已知或者已证．假设1≤n≤k时，有f(n)=na．当n=k+1时，f(k+1)=f(k－1)+f(2)=(k－1)a+2a=(k+1)a．故对一切正整数n，有f(n)=na．令x=0，则f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0.a．又f(x)是奇函数，故对一切负整数n有f(n)=－f(－n)=－(－na)=na．所以对一切整数n，均有f(n)=na．8、当x→π时，若有则A=______，k=______．标准答案：知识点解析：当x→π时，9、的可去间断点为______．标准答案：x=－1知识点解析：间断点有x=－2，11，0，1．在x1=－2点处，由于可知f(x)在x1=－2点的半径小于1的去心邻域内有界；同时，任一半径小于1的去心邻域的f(x)的函数值无限振荡，振幅不趋于0，所以x1=－2是f(x)的振荡间断点．在x2=－1点处，由于在x2=－1点的半径小于1的去心邻域内有界；而从而可知x2=－1是f(x)的可去间断点．在x3=0点处．由于所x3=0是f(x)的无穷间断点．在x4=1点处，由于所以x4=1是f(x)的跳跃间断点．10、曲线的凹区间是______．标准答案：(0，+∞)知识点解析：当x＞0时，y’’＞0，曲线是凹的；当x＜0时，y’’＜0，曲线是凸的．11、=_____．标准答案：ln3知识点解析：因所以原积分==ln(2+x∫1e)｜02=ln6－ln2=ln3．12、经过点A(1，0，0)与点B(0，1，1)的直线绕z轴旋转一周生成的曲面方程是______．标准答案：x2+y2－2z2+2z－1=0知识点解析：由直线方程的两点式得直线AB的方程：写成参数式：x=1+t，y=－t，x=－t，得旋转曲面S的方程：x2+y2=(1－z)2+z2．13、函数u=3x2y－2yz+z3，v=4xy－z3，点P(1，一1，1)．u在点P处沿gradv｜P方向的方向导数等于______．标准答案：知识点解析：gradv｜P=(－4，4，－3)，单位化为gradu｜P=(－6，1，5)，所以所求方向导数14、设=______．标准答案：-sinθ知识点解析：由x=rcosθ，y=rsinθ，得15、设f(x，y)为连续函数，则=______，其中D={(x，y)｜x2+y2≤t2}．标准答案：f(0，0)知识点解析：因被积函数f(x，y)在闭区域D上是抽象函数，故无法用先求出重积分的方法去求极限，因此考虑：①用中值定理先去掉积分号再求极限；②N－次积分化分子为积分上限的函数．因16、设在光滑曲面∑所围闭区域Q上，P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)有二阶连续偏导数，且∑为Ω的外侧边界曲面，由高斯公式可知的值为______．标准答案：0知识点解析：因P，Q，R在Ω上有二阶连续偏导数，故Ryx’’=Rxy’’，Qzx’’=Qxz’’，Pzy’’=Pyz’’，从而由高斯公式有17、若将在[0，2]上展开成正弦级数，则该级数的和函数S(x)为______．标准答案：知识点解析：根据狄利克雷收敛定理(需进行奇延拓)知，18、幂级数的收敛域为______．标准答案：[－1，1]知识点解析：为缺项级数，不能通过求收敛半径R，可用比值审敛法求R．具体为：当｜x2｜＜1，即｜x｜＜1时，级数绝对收敛；当｜x2｜＞1，即｜x｜＞1时，级数发散．故R=1．当x=1时，原级数收敛．从而收敛域为[－1，1]．19、用待定系数法确定微分方程y’’－2y’=x2+e2x+1的特解形式(不必求出系数)是______．标准答案：y*=x(ax2+bx+c)+dxe2x知识点解析：特征方程为r2－2r=0，特征根r1=0，r2=2．对f1(x)=x2+1，λ1=0是特征根，所以y1*=x(ax2+bx+c)；对f2(x)=e2x，λ2=2也是特征根，故有y2*=dxe2x．从而y*=y1*+y2*就是特解．20、以y=7e3x+2x为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是______．标准答案：y’’’－3y"=0知识点解析：由特解y=7e3x+2x知特征根为r1=3，r2=r3=0(二重根)，特征方程为r3－3r2=0，相应齐次线性方程即为y’’’－3y"=0．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)21、在数中求出最大值．标准答案：先考查连续函数由得x=e，且当x＜e时，f’(x)＞0，f(x)单调增加；当x＞e时，f’(x)＜0，f(x)单调减少．所以，f(e)为f(x)的最大值，而2＜e＜3，于是所求的最大值必在知识点解析：暂无解析22、求摆线的曲率半径．标准答案：故摆线的曲率半径知识点解析：暂无解析23、设标准答案：令u=sin2x，则有知识点解析：暂无解析24、计算不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析25、设an=∫01x(1－x)n－1dx(n=1，2，…)．(1)求an；(2)求(－1)nnan的和．标准答案：(1)作积分变量替换，令t=1－x，an=∫01x(1－x)n－1dx=∫01(1－t)tn－1(－dt)=∫01(tn－1－tn)dt=(2)知识点解析：暂无解析26、在第一象限的椭圆上求一点，使过该点的法线与原点的距离最大．标准答案：设因为椭圆上任意一点(x，y)处的法线方程为所以原点到该法线的距离为构造拉格朗日函数h(x，y，λ)=f(x，y)+λg(x，y)．根据条件极值的求解方法，先求根据实际问题，与原点距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可断定所求的点为知识点解析：暂无解析27、设L为曲线x2+y2=R。(常数R＞0)一周，n为L的外法线方向向量，u(x，y)具有二阶连续偏导数且标准答案：如图1．6—12所示，设τ0=(cosα，sinα)为L沿逆时针方向的单位向量．将它按顺时针方向转便得L的外法线方向的单位向量为n0=(sinα，－cosα)．故方向导数其中D={(x，y)｜x2+y2≤R2)为L所围成的有界区域．知识点解析：暂无解析28、设曲线C：x2+y2+x+y=0，取逆时针方向，证明：标准答案：关于第二型曲线积分的估值问题，一般是先考虑用格林公式将其转化为二重积分，然后对二重积分进行估值．由格林公式，有∮Cxcosy2dy－ysinx2dx=(cosy2+sinx2)dσ，(*)其中D={(x，y)｜x2+y2+x+y≤0}=是由C围成的圆域，横坐标最小为由积分的保号性得，知识点解析：暂无解析29、求微分方程y’’+2y’+2y=的通解．标准答案：先用三角公式将自由项写成e－x+e－xcosx，然后再用叠加原理和待定系数法求特解．对应的齐次方程的通解为y=(C1cosx+C2sinx)e－x．为求原方程的一个特解，将自由项分成两项e－x，e－xcosx，分别考虑y’’+2y’+2y=e－x，①与y’’+2y’+2y=e－xcosx．②对于①，令y1*=Ae－x，代入可求得A=1，从而得y1*=e－x．对于②，令y2*=xe－x(Bcosx+Csinx)，代入可求得B=0，，从而得y2*=xe－xsinx．由叠加原理，得原方程的通解为y=Y+y1*+y2*=e－x(C1cosx+C2sinx)+e－x+xe－xsinx，其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)1、设函数y=(x)在(0，+∞)内有界且可导，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：(反例排除法)取f(x)=．显然f(x)在(0，+∞)内可导．因为，所以f(x)在(0，+∞)内有界．不存在，排除A．因为，排除C、D．2、设f(x)=如果f(x)在x=0点处连续，则k等于()A、0．B、2．C、D、1．标准答案：D知识点解析：如果f(x)在x=0点处连续，则3、设y=则y’’｜xx=0等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为ln(1+x2)，所以4、设f(x)在点x=0的某邻域内连续，且，则在点x=0处f(x)()A、取得极大值．B、取得极小值．C、不可导．D、可导但f’(0)≠0．标准答案：B知识点解析：因为当x→0时，ex-1～x，sinx～x，所以由与f(x)在点x=0的某邻域内的连续性，知=f(0)=0．于是由排除C、D．由极限的局部保号性及知，在x=0的某去心邻域内，，即f(x)>＞f(0)，所以在点x=0处f(x)取得极小值．5、已知f’(sinx)=x，则f(sinx)等于()A、sinx+cosx+C．B、x+arcsinx+C．C、xsinx+C．D、xsinx+cosx+C．标准答案：D知识点解析：因为f’(sinx)=x，所以f(sinx)=∫f’(sinx)d(sinx)=∫xd(sinx)=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C．6、设an=等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为，所以7、设摆线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)，a＞0，在其第一拱上分摆线的长度为1：3的点的坐标为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：设第一拱上分摆线的长度为1：3的点对应的参数为t0，则由参数方程表示下面曲线的弧长计算公式，摆线的第一拱的长度为由题设故所求点的坐标为8、设u=f(x，y)，而x=rcosθ，y=rsinθ(r＞0，θ∈[0，2π])，其中f具有二阶连续导数，则等于()A、-f’1sinθ+f’2cosθ．B、rsinθcosθ(f’’22-f’’11)-f’1sinθ+f’2cosθ．C、rcos2θf’’11-f’1sinθ+f’2cosθ.D、rsinθcosθ(f’’22-f’’11)+rcos2θf’’12-f’1sinθ+f’2cosθ.标准答案：D知识点解析：本题考查二元复合函数的二阶偏导数的计算．由二元复合函数偏导数的链式法则，有=[f’’11(-rsinθ)+f’’12rcosθ]cosθ-f’1sinθ+[f’’21(-rsinθ)+f’’22rcosθ]sinθ+f’2cosθ，因为f具有二阶连续偏导数，所以f’’12=f’’21，于是=rsinθcosθ(f’’22-f’’11)+rcos2θf’’12-f’1sinθ+f’2cosθ．9、二次积分可写成()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：的积分区域D1为由直线x=0，y=x，y=1围成；的积分区域D2为由直线y=1，x=0，x=2-y围成．所以二次积分的积分区域D=D1∪D2是由直线x=0，y=x，x+y=2围成，如图21所示，故原积分形式可写成10、设曲线г：x=t，y=(0≤t≤1)，其线密度ρ=，则曲线的质量为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：本题主要考查第一类曲线积分的物理意义与计算方法．根据第一类曲线积分的物理意义与计算方法，曲线的质量为11、下列四个级数中发散的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：对于A，因为由比值审敛法知，级数收敛．对于B，因为而级数发散，由比较审敛法的极限形式知，级数发散．如果从考试的角度讲，应选B，解题结束．但为便于考生复习，对于C，这是一个交错级数，因为当x＞e2时，f(x)单调减少，所以当n＞[e2]时，，故由交错级数的莱布尼茨定理知，级数收敛．对于D，因为12、函数f(x)=arctan展开成x的幂级数为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：将f(x)=展开成x的幂级数非常困难，考虑用“先导后积”法．显然f(0)=．对f(x)求导得等式两边从0到x积分，得13、设曲线y=y(x)满足xdy+(x-2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积最小，则y(x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：原微分方程可化为，这是一阶线性微分方程．由其通解公式有曲线y=x+Cx2与直线x=1及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为故当C=时，V取得最小值所以y(x)=x-x2．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)14、=_____.标准答案：知识点解析：这是一个型未定式的极限，可考虑用洛必达法则，也可利用对数的运算性质进行转换．15、设f(x)=在(-∞，+∞)内连续，则a=______，b=_____．标准答案：-1，1知识点解析：因为f(x)在(-∞，+∞)内连续，所以x=0与x=1是f(x)的连续点，故所以b=1，a+b=0，即a=-1，b=1．16、设函数y=y(x)由方程=_______．标准答案：知识点解析：这是一个隐函数求导问题，由于方程两边表达式是幂指函数，故可先对方程两边取对数，再将方程两边对x求导．方程，xlnx=ylny，两边对x求导，得17、已知函数y=f(x)具有二阶连续导数，且(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点，则=____.标准答案：0知识点解析：因为y=f(x)具有二阶连续导数，且(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点，所以f’’(a)=0，由洛必达法则18、∫x3ex2dx=_______.．标准答案：知识点解析：先作变换x2=t，再用分部积分公式计算．令x2=t，则19、设当x＞0时，连续函数f(x)满足，则f(2)=_______．标准答案：知识点解析：已知方程两边对x求导，得f(x2+x3).(2x+3x2)=1，f(x2+x3)=取x=1，得f(2)=20、点P0(1，0，-1)到直线L：的距离为_______．标准答案：知识点解析：过点P0作平面Ⅱ垂直于直线L，记平面Ⅱ与直线L的交点为P，则点P0与P之间的距离即为点P0到直线L的距离(如图43)．直线L的方向向量也是所作平面Ⅱ的法向量，由平面的点法式方程，得所作平面Ⅱ为-(x-1)-(y-0)+2(x+1)=0，即x+y-2z-3=0，联立方程组所以P点坐标为，故点P0到直线L的距离为21、设f(t，et)dt，其中f(u，v)是连续函数，则dz=______．标准答案：xf(x2y,ex2y)(2ydx+xdy)知识点解析：这是一个积分上限的二元函数的全微分计算问题．利用积分上限函数的求导公式及偏导数的计算方法，有=f(x2y,ex2y)．2xy，=f(x2y,ex2y)．x2，所以dz=xf(x2y,ex2y)(2ydx+xdy)．22、在直角坐标下二次积分则在极坐标下先对r后对θ的二次积分I=______．标准答案：知识点解析：由已知二次积分知，积分区域由直线y=0，y=2，x=-y及曲线围成，如图48所示．在极坐标下积分区域可分成两部分23、设г是圆柱面x2+y2=1与平面z=x+y的交线．从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分∫гxzdx+xdy+=_____．标准答案：π知识点解析：本题考查空间曲线上第二类曲线积分的计算．将г化成参数方程，把曲线积分转化为定积分直接计算．将曲线г化为参数方程0≤θ≤2π．则24、幂级数x2n-的收敛半径为_________．标准答案：知识点解析：考查缺奇数项的幂级数的收敛半径．考虑幂级数．由高等数学知该幂级数的收敛半径25、已知是微分方程的表达式是______．标准答案：知识点解析：将y=代入微分方程，得考研数学一（高等数学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设常数α＞2，则级数A、发散．B、条件收敛．C、绝对收敛．D、敛散性与α有关．标准答案：C知识点解析：由于设常数p满足1＜p＜α一1，则有由正项级数比较判别法的极限形式知级数收敛，进而知当α＞2时绝对收敛，即(C)正确．2、设a＞0为常数，则级数A、发散．B、条件收敛．C、绝对收敛．D、敛散性与口有关．标准答案：B知识点解析：用分解法．分解级数的一般项二、解答题(本题共24题，每题1.0分，共24分。)3、判定下列级数的敛散性：标准答案：(Ⅰ)因发散，故原级数发散．(Ⅱ)因(Ⅲ)使用比值判别法．因，故原级数收敛．知识点解析：暂无解析4、判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛：标准答案：(Ⅰ)由于收敛，利用比较判别法即知收敛，所以此级数绝对收敛．(Ⅱ)由于当n充分大时，0＜＞0，所以此级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的两个条件，这说明原级数(n→∞)，所以，级数条件收敛．是条件收敛的，故原级数条件收敛．知识点解析：暂无解析5、求下列函数项级数的收敛域：标准答案：(Ⅰ)注意=1，对级数的通项取绝对值，并应用根值判别法，则当＞1，即x＜0时，原级数发散(x=一1除外)，因为一般项不是无穷小量；当x=0时，原级数为收敛的交错级数．因此，级数的收敛域为[0，+∞)．(Ⅱ)使用比值判别法，则有这就说明：当｜x｜＞1时，级数收敛，而且绝对收敛；然而，当｜x｜≤1(x≠—1)时，比值判别法失效．但是，当｜x｜＜1时，=1；当x=1时，un(x)=(n=1，2，…)，都不满足级数收敛的必要条件．所以，级数的收敛域为｜x｜＞1．知识点解析：暂无解析6、求下列幂级数的收敛域：标准答案：(Ⅰ)=3，故收敛半径R=1／3．当x=1／3时，原幂级数为，是一个收敛的交错级数；当x=一1／3时，原幂级数为的收敛域为(一1／3，1／3]．(Ⅱ)使用根值法．由于，的收敛半径R=+∞，即收敛区间也是收敛域为(一∞，+∞)．知识点解析：暂无解析7、求幂级数的收敛域及其和函数．标准答案：容易求得其收敛域为[一1，1)．为求其和函数S(x)，在它的收敛区间(一1，1)内先进行逐项求导，即得S’(x)=，x∈(—1，1)．又因为S(0)=0，因此S(x)=∫0xS’(t)dt=∫0x=一ln(1—x)．注意原级数在x=一1处收敛，又ln(1一x)在x=一1处连续，所以S(x)=一ln(1一x)，x∈[一1，1)．知识点解析：暂无解析8、判定下列级数的敛散性：标准答案：(Ⅰ)本题可采用比值判别法．由于，所以，当p＜e时，级数收敛；当p＞e时，该级数发散；当p=e时，比值判别法失效．注意到数列{(1+)n}是单调递增趋于e的，所以当p=e时，＞1，即{un}单调递增不是无穷小量，所以该级数也是发散的．总之，级数当p＜e时收敛，p≥e时发散．(Ⅱ)本题适宜采用根值判别法．由于=0，所以原级数收敛．这里用到=0．知识点解析：暂无解析9、判别下列级数的敛散性：标准答案：(Ⅰ)利用比较判别法的极限形式．由于级数发散，而且当n→∞时所以原级数也发散．(Ⅱ)仍利用比较判别法的极限形式．先改写用泰勒公式确定的阶．由于(Ⅲ)注意到0≤收敛，所以原级数也收敛．(Ⅳ)因为函数f(x)=单调递减，所以再采用极限形式的比较判别法，即将=0，所以，级数收敛．再由上面导出的不等式0＜un≤，所以原级数也收敛．知识点解析：暂无解析10、判别级数的敛散性，其中{xn}是单调递增而且有界的正数数列．标准答案：首先因为{xn}是单调递增的有界正数数列，所以0≤1—．现考察原级数的部分和数列{Sn}，由于Sn=(xn+1一x1)，又{xn}有界，即｜xn｜≤M(M＞0为常数)，故所以{Sn}也是有界的．由正项级数收敛的充要条件知原级数收敛．知识点解析：暂无解析11、判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛)：标准答案：(Ⅰ)由于发散，所以原级数不是绝对收敛的．原级数是交错级数，易知的单调性，令f(x)=＞0(当x充分大时)→当x充分大时g(x)．这说明级数满足莱布尼兹判别法的两个条件，所以该级数收敛，并且是条件收敛的．(Ⅱ)由于sin(nπ+，所以此级数是交错级数．又由于发散，这说明原级数不是绝对收敛的．由于sinx在第一象限是单调递增函数，而是单调减少的，所以，sin随着n的增加而单调递减．又显然满足莱布尼兹判别法的两个条件，从而它是收敛的．结合前面的讨论，知其为条件收敛．知识点解析：暂无解析12、判别级数(p＞0)的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛)．标准答案：为判断其是否绝对收敛，采用极限形式的比较判别法，由于所以，当p＞1时，级数绝对收敛；而当p≤1时，该级数不绝对收敛．下面介绍几种方法讨论0＜p≤1时，是否条件收敛．考察部分和Sn=(n≥2)的极限是否存在．先考虑部分和数列的奇数项，即注意到等式右端的每一项都是正的，所以S2n+1＜0，而且单调递减．又由于亦即S2n+1＞，这就说明{S2n+1}是单调递减有下界的，所以其极限存在，设S2n+1=S．又由于(S2n+1—u2n+1)=S，即Sn=S，亦即级数的部分和数列收敛，所以该级数收敛．特别，这说明0＜p≤1时，该级数条件收敛．知识点解析：对于交错级数先要讨论其是否绝对收敛．这里un≥un+1不总是成立的，也就是说莱布尼兹判别法的条件不满足．这样，当其不是绝对收敛时，莱布尼兹判别法也不能使用，可考虑直接用定义讨论其收敛性或利用收敛级数的性质．13、判断如下命题是否正确：设无穷小un～vn(n→∞)，若级数vn也收敛．证明你的判断．标准答案：对于正项级数，比较判别法的极限形式就是：vn同时收敛或同时发散．本题未限定vn一定收敛．比如，取即un～vn(n→∞)．级数un是收敛的，然而级数vn是不收敛的．知识点解析：暂无解析14、确定下列函数项级数的收敛域：标准答案：(Ⅰ)使用比较判别法．当x≤1时，由于也发散．当x＞1时，取p∈(1，x)，由于=0，所以的收敛域为(1，+∞)．(Ⅱ)当x＞0时，由于满足莱布尼兹判别法的两个条件，因此是收敛的．而当x≤0时，因该级数通项不趋于零，所以是发散的．故级数的收敛域为(0，+∞)．知识点解析：暂无解析15、求下列幂级数的收敛域或收敛区间：(Ⅲ)anxn的收敛半径R=