考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷5（共251题）

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷5（共9套）（共251题）考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设随机事件A与B互不相容，0＜P(A)＜1，则下列结论中一定成立的是A、A∪B=Ω．B、=Ω．C、A=B．D、标准答案：B知识点解析：因AB==Ω，应选(B)．2、同时抛掷三枚匀称的硬币，正面与反面都出现的概率为A、1／4．B、1／3．C、2／3．D、3／4．标准答案：D知识点解析：设Bk表示三枚中出现的正面硬币个数，k=0，1，2，3，P(A)为所求概率，依题意P()=P(B0∪B3)=P(B0)+P(B3)==1／4，P(A)=1－P()=3／4．应选(D)．3、假设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X，2}的分布函数A、是连续函数．B、至少有两个间断点．C、是阶梯函数．D、恰好有一个间断点．标准答案：D知识点解析：由于Y=min{X，2}=所以Y的分布函数为计算得知FY(y)只在y=2处有一个间断点，应选(D)．4、设F1(x)与F2(x)分别是随机变量X1与X2的分布函数，为使F(x)=aF1(x)－bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：对任何x，为保证F(x)≥0，a与－b均应大于0，又F(+∞)=aF1(+∞)－bF2(+∞)=a－b=1，应选(A)．5、设随机变量X和Y都服从正态分布，则A、X+Y一定服从正态分布．B、X和Y不相关与独立等价C、(X，Y)一定服从正态分布．D、(X，－Y)未必服从正态分布．标准答案：D知识点解析：(A)不成立，例如，若Y=－X，则X+Y≡0不服从正态分布．(C)不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布．(B)也不成立，因为只有当X和Y的联合分布是二维正态分布时“X和Y独立”与“X和Y不相关”二者等价．故应选(D)．虽然随机变量X和－Y都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，－Y)未必服从正态分布．6、假设随机变量X在区间[－1，1]上均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX的相关系数等于A、－1．B、0．C、0．5．D、1．标准答案：A知识点解析：注意到U=arcsinX和V=8rccosX满足下列关系：arcsinX=－arccosX，即U=－V+，由于U是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数ρ=－1．应选(A)．7、设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立，则根据辛钦大数定律，当n→∞时1／nXi依概率收敛于其数学期望，只要{Xn，n≥1}A、有相同的期望．B、有相同的方差．C、有相同的分布．D、服从同参数p的0—1分布．标准答案：D知识点解析：由于辛钦大数定律除了要求随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立的条件之外，还要求X1，X2，…，Xn，…同分布与期望存在，只有选项(D)同时满足后面的两个条件，应选(D)．8、设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N(0，σ2)的简单随机样本，与S2分别是样本均值与样本方差，则A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据正态总体抽样分布公式知应选(D)．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)9、设事件A与B相互独立，已知它们都不发生的概率为0．16，又知A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则A与B都发生的概率是_______．标准答案：0.36知识点解析：0．16=P()=0．4，P(AB)=P(A)P(B)=0．62=0．36．10、设随机变量X服从正态分布N(μ，1)，已知P{X≤3}=0．975，则P{X≤－0．92}=_______．标准答案：0.025知识点解析：由P{X≤3}=Ф()=Ф(3－μ)=0．975，可知3－μ=1．96，μ=1．04．于是P{X≤－0．92}=Ф(－0．92－μ)=Ф(－1．96)=0．025．11、从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y=2}=_______．标准答案：13／48知识点解析：由于事件{X=1}，{X=2}，{X=3}，{X=4}是一个完备事件组，且P{X=i}=1／4，i=1，2，3，4．条件概率P{Y=2|X=1}=0，P{Y=2|X=i}=1／i，i=2，3，4．根据全概率公式12、随机从数集{1，2，3，4，5}中有返回的取出n个数X1，X2，…，xn，则当n→∞时Xi依概率收敛于_______；1／nXi2依概率收敛于_______．标准答案：3；11知识点解析：依题意X1，…，Xn相互独立且有相同的概率分布：P{Xi=k}=1／5(k=1，2，3，4，5)，与相同的数学期望：EXi=1／5(1+2+3+4+5)=3．根据辛钦大数定律，当n→∞时，Xi依概率收敛于3．同理，X12，…，Xn2相互独立且P{Xi2=k2}=1／5(k=1，2，3，4，5)，EXi2=1／5(1+4+9+16+25)=11，当n→∞时1／nXi2依概率收敛于11．三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)13、一个班内有20位同学都想去参观一个展览会，但只有3张参观票，大家同意通过这20位同学抽签决定3张票的归属．计算下列事件的概率：(Ⅰ)“第二人抽到票”的概率p1；(Ⅱ)“第二人才抽到票”的概率p2；(Ⅲ)“第一人宣布抽到了票，第二人又抽到票”的概率p3；(Ⅳ)“前两人中至少有一人抽到票”的概率p4．标准答案：设事件Ai=“第i人抽到票”，i=1，2．(Ⅰ)如果是填空题，可以根据抽签公平性原理得知中签率应与抽签次序无关．直接填写p1=P(A2))=3／20；作为计算题，应写出解题步骤．根据全概率公式p1=P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)(Ⅱ)事件“第二人才抽到票”表示“第一人未抽到票、但第二人抽到了票”，根据乘法公式(Ⅲ)“第一人宣布抽到了票，第二人又抽到票”表示已知事件A1发生，再考虑事件A2出现．p3=P(A2|A1)=2／19．(Ⅳ)根据加法公式与乘法公式p4=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)－P(A1A2)=P(A1)+P(A2)－P(A1)P(A2|A1)知识点解析：暂无解析14、向直线上掷一随机点，假设随机点落入区间(－∞，0]，(0，1]和(1，+∞)的概率分别为0．2，0．5和0．3，并且随机点在区间(0，1]上分布均匀．设随机点落入(－∞，0]得0分，落入(1，+∞)得1分，而落入(0，1]坐标为x的点得x分．试求得分X的分布函数F(x)。标准答案：以H1，H2，H3分别表示事件：随机点落入(－∞，0]，(0，1]和(1，+∞)，它们构成完备事件组．由条件知P(H1)=0．2，P(H2)=0．5，P(H3)=0．3．于是，由全概率公式即得F(x)=P{X≤x}=P(Hk)P{X≤x|Hk}知识点解析：暂无解析15、某个人参加跳高项目的及格选拔赛，规定一旦跳过指定高度就被认为及格而被入选，但是限制每人最多只能跳6次．若6次均未过竿，则认定其为落选．如果一位参试者在该指定高度的过竿率为0．6，求他在测试中所跳次数的概率分布．标准答案：设该人在选拔赛中跳的次数为X，显然X是一个离散型随机变量，其全部可能取值为1，2，3，4，5，6，由于各次跳跃过竿与否互不影响，因此有P{X=1}=0．6，P{X=2}=0．4×0．6，P{X=3}=0．42×0．6，P{X=4}=0．43×0．6，P{X=5}=0．44×0．6，P{X=6}=0．45．即X的概率分布为知识点解析：暂无解析16、设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，其中D={(x，y)||x+y|≤1，|x－y|≤1}，求X的边缘密度fX(x)与在X=0条件下，关于Y的条件密度fY|X(y|0)．标准答案：从图3．2可知，区域D是以(－1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，－1)为顶点的正方形区域，其边长为，面积SD=2，因此(X，Y)的联合密度是fX(x)=∫－∞+∞f(x，y)dy根据公式fY|X=F(x，y)／fX(x)(fX(x)≠0)，当x=0时，有fY|X(y|x)=fY|X(y|0)知识点解析：暂无解析设二维随机变量(X1，Y1)与(X2，Y2)的联合概率密度分别为求：17、常数k1，k2的值；标准答案：由1=∫－∞+∞∫－∞+∞f1(x，y)dxdy=∫0+∞dy∫0+∞k1e－(x+y)dx=k1，得k1=1；又由1=∫－∞+∞∫－∞+∞f2(x，y)dxdy=∫0+∞dy∫y+∞k2e－(x+y)dx=∫0+∞k2e－2ydy=k2／2，得k2=2．因此(X1，Y2)与(X2，Y2)的概率密度分别为知识点解析：暂无解析18、Xi，Yi(i=1，2)的边缘概率密度；标准答案：知识点解析：暂无解析19、P{Xi＞2Yi}(i=1，2)．标准答案：P{X1＞2Y1}=f1(x，y)dxdy=∫0+∞dy∫2y+∞e－(x+y)dx=∫0+∞e－3ydy=1／3；P{X2＞2Y2}=f2(x，y)dxdy=∫0+∞dy∫2y+∞2e－(x+y)dx=2∫0+∞e－3ydy=2／3．知识点解析：暂无解析20、设某网络服务器首次失效时间服从E(λ)，现随机购得4台，求下列事件的概率：(Ⅰ)事件A：至少有一台的寿命(首次失效时间)等于此类服务器期望寿命；(Ⅱ)事件B：有且仅有一台寿命小于此类服务器期望寿命．标准答案：设服务器首次失效时间为X，则X～E(λ)．(Ⅰ)由题设X～E(λ)可知，X为连续型随机变量．由于连续型随机变量取任何固定值的概率是0，因此P(A)=0(详细写作：因p=P{X=E(X)}=0，故P(A)=C4kpkqn－k=0)．(Ⅱ)由于X～E(λ)则E(X)=1／λ，即服务器的期望寿命为1／λ．从而一台服务器的寿命小于此类服务器期望寿命E(X)的概率为p0=∫01／λλe－λxdx=1－e－1．而每台服务器的寿命可能小于E(x)，也可能超过E(X)，从而4台服务器中寿命小于E(X)的台数应该服从二项分布，故所求概率为P(B)=C41p0(1－p0)3=4e－3(1－e－1)．知识点解析：暂无解析21、写了n封信，但信封上的地址是以随机的次序写的，设Y表示地址恰好写对的信的数目，求EY，及DY．标准答案：EXk=F{Xk=1}=1／n，DXk=1／n(1－)=(n－1)／n2，k=1，…，n，E(XkXl)=P{Xk=1，Xl=1}=P{Xk=1}P{Xl=1|Xk=1}=Cov(Xk，Xl)=E(XkXl)－EXkEXl知识点解析：暂无解析22、设正态总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn为来自X的简单随机样本，求证：标准答案：根据简单随机样本的性质，X1，X2，…，Xn相互独立与X同分布，且与S2相互独立，于是又因～χ2(n－1)，且W与S2相互独立，所以=F～F(1，n－1)．知识点解析：暂无解析已知X1，…，Xn是来自总体X容量为n的简单随机样本，其均值和方差分别为与S2．23、如果EX=μ，DX=σ2，试证明：Xi－与Xj－(i≠j)的相关系数ρ=－标准答案：由于总体分布未知，因此只能应用定义与性质证明．因为X1，…，Xn相互独立且与总体X同分布，故EXi=μ，DXi=σ2，D=σ2／n，知识点解析：暂无解析24、如果总体X服从正态分布N(0，σ2)，试证明：协方差Cov(X1，S2)=0．标准答案：由于总体X～N(0，σ2)，故EXi=0，DXi=σ2．=1／n2Cov(X1，X12)+Cov(X1，X1Xj)=1／n2(EX13－EX1EX12)+(EX12Xj－EX1EX1Xj)=0，故Cov(X1，S2)=0．知识点解析：暂无解析25、已知总体X服从瑞利分布，其密度函数为X1，…，Xn为取自总体X的简单随机样本，求θ的矩估计量，并问这个估计量是否为无偏估计量?标准答案：记EX=μ，DX=σ2，则DX=EX2－(EX)2计算可知是θ的有偏估计量．知识点解析：暂无解析26、设有一批同型号产品，其次品率记为p．现有五位检验员分别从中随机抽取n件产品，检测后的次品数分别为1，2，2，3，2．(Ⅰ)若已知p=2．5％，求n的矩估计值(Ⅱ)若已知n=100，求p的极大似然估计值(Ⅲ)在情况(Ⅱ)下，检验员从该批产品中再随机检测100个产品，试用中心极限定理近似计算其次品数大于3的概率(注：Ф(5／7)=0．76)．标准答案：记X为n件产品中的次品数，则X～B(n，p)．(Ⅰ)由=EX=np，即10／5=2．5％n，得=80．=C1001(C1002)3C1003p10(1－p)490，lnL=ln[C1001(C1002)3C1003]+10lnp+490ln(1－p)，(Ⅲ)在情况(Ⅱ)下，X～B(100，1／50)，由中心极限定理知X近似服从N(2，19／25)，于是P{X＞3}=1－0．76=0．24．知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第2套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设A，B为两个任意事件，则使减法公式P(A－C)=P(A)－P(C)成立的C为()．A、B、C、C=(A∪B)(A－B)D、C=(A－B)∪(B－A)标准答案：C知识点解析：因(A∪B)(A－B)=A(A－B)∪B(A－B)=A(A－B)=A－BA，即此时C是A的子事件，故有P(A－C)=P(A)－P(C)．故选C．2、设X的分布函数为F(x)，则在下列函数中，仍为分布函数的是()．A、F(2x－1)B、F(1－x)C、F(x2)D、1－F(－x)标准答案：A知识点解析：易验证F(2x－1)满足分布函数的充要条件为：①0≤F(2x－1)≤1；②单调不下降；③右连续性；④故选A．3、设X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ1，σ22)，则()．A、X+Y～N(μ1+μ2，σ12+σ22)B、X－Y～N(μ1－μ2，σ12－σ22)C、X与y不相关和X与y相互独立等价D、X+y可能不服从正态分布标准答案：D知识点解析：由于只已知X与Y的边缘分布为正态分布，而其联合分布未知，所以A，B，C均不正确．故选D．4、设随机变量X与Y服从正态分布N(－1，2)与N(1，2)，并且X与Y不相关，Ax+Y与X+bY亦不相关，则()．A、a－b=1B、a－b=0C、a+b=1D、a+b=0标准答案：D知识点解析：X～N(－1，2)，Y～N(1，2)，于是D(X)=2，D(Y)=2．又Cov(X，Y)=0，Cov(aX+Y，X+bY)=0．由协方差的性质有Cov(aX+Y，X+bY)=aCov(X，X)+Cov(Y，X)+abCov(X，Y)+bCov(Y，Y)=aD(X)+bD(Y)=2a=2b=0，故a+b=0．故选D．5、设随机变量X1，X2，…相互独立且同服从参数为λ的指数分布，其中φ(x)=则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：故选A．6、设随机变量X～N(0，1)和Y～N(0，2)，并且相互独立，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：故选C．7、在假设检验中，原假设H0的拒绝域为W，x1，x2，…，xn为样本值，则犯第二类错误的情况为()．A、H0真，且x1，x2，…，xn∈WB、H0不真，且x1，x2，…，xnWC、H0真，且x1，x2，…，xnWD、H0不真，且x1，x2，…，xn∈W标准答案：B知识点解析：犯第二类错误指的是H0不真，但接受H0，即样本值(x1，x2，…，xn)W．故选B．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)8、已知事件A与B相互独立，P(A)=a，P(B)=b．如果事件C发生必然导致事件A与B同时发生，则A，B，C都不发生的概率为______．标准答案：应填(1－a)(1－b)．知识点解析：由于CAB，P(AB)=P(A)P(B)，故A，B，C都不发生的概率为=1－P(A∪B∪C)=1－P(A)－P(B)－P(C)+P(AB)+P(BC)+P(AC)－P(ABC)=1－a－b－P(C)+ab+P(C)+P(C)－P(C)=1－a－b+ab=(1－a)(1－b)．9、设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数则R的取值范围是______．标准答案：应填知识点解析：10、设X1，X2，…，Xn，…相互独立同分布，其分布函数记为F(x)，密度函数记为f(x)，并且F(x)严格单调，f(x)连续，根据中心极限定理，当n充分大时，近似服从______分布，参数为______．标准答案：应填正态，知识点解析：易知F(Xi)，i=1，2，…，n相互独立同分布，且其分布为[0，1]上的均匀分布，故E[F(xi)]=三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)11、设随机变量X服从参数为λ＞0的指数分布，且X的取值于区间[1，2]上的概率达到最大，试求λ的值．标准答案：X的分布函数为P(1≤X≤2)=F(2)－F(1)=1－e－2λ－(1－e－λ)=eλ－e－2λ．记g(λ)=eλ－e－2λ，则g’(λ)=e－λ+2e－2λ．令g’(λ)=0得λ0=ln2，且g’’(λ0)＜0，故当λ=λ0=ln2时，P(1≤X≤2)达到最大．知识点解析：暂无解析12、商店销售10台洗衣机，其中有3台次品，7台正品．若已知已售出洗衣机4台，求从剩下的洗衣机中任选一台是正品的概率．标准答案：由古典概型得所求概率知识点解析：暂无解析13、设随机变量X的分布函数为试求y=X2的分布函数．标准答案：FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)．当y＜0时，FY(y)=0；当0≤y＜1时，当y≥1时，FY(y)=1．故知识点解析：暂无解析14、设随机变量X在(0，1)上服从均匀分布，而且tan(πY／2)=eX，求y的概率密度．标准答案：由tan(πY／2)=eX得由于当0＜X＜1时，fX(x)＞0，于是当时，fY(y)＞0．因此，有从而Y的概率密度为知识点解析：暂无解析15、假设随机变量X等可能地取1，2，3，4为值，而随机变量Y等可能地取1到X的自然数为值，试求X和Y的联合概率分布．标准答案：当j＞i时，有Pij=P(X=i，Y=j)=0；当j≤i时，有pij=P(X=i，Y=j)=P(X=i)P(Y=j｜X=i)故X与Y的联合分布律为知识点解析：暂无解析16、假设随机变量X和Y独立同分布．P{X=0}=P{Y=0}=1－p，P{X=1}=P{Y=1)=p．随机变量问p取何值时，X和Z独立?这时X,Y,Z是否相互独立?标准答案：易得X+Y服从二项分布B(2，p)，于是P(Z=0)=P(X+Y=1)=2p(1－p)，P(Z=1)=P(X+Y=0)+P(X+Y=2)=(1－p)2+P2=1－2p+2p2．若X与Z独立，则P(X=0，Z=0)=P(X=0)P(Z=0)，其中P(X=0，Z=0)=P(X=0，X+Y=1)=P(X=0，Y=1)=P(X=0)P(y=1)=(1－P)P．因此(1－P)P=(1－p)．2p(1－p)，即P(X=i，Z=j)=P(X=i)P(Z=j)，i，j=0，1，故X与Z独立．又因为P(X=0，Y=0，Z=0)=P(X=0，Y=0，X+Y=1)=0，P(X=0)P(Y=0)P(Z=0)≠0，所以时，X，Y，Z并不相互独立．知识点解析：暂无解析假设随机变量X和Y的联合概率密度为17、求未知常数c；标准答案：由∫－∞+∞∫－∞+∞f(x，y)dxdy=1，即∫01∫01cxydxdy=1，得c=4．知识点解析：暂无解析18、求概率P{X＜Y)；标准答案：知识点解析：暂无解析19、求X和Y的联合分布函数F(x，y)；标准答案：F(x，y)=∫－∞x∫－∞yf(u，v)dudv，当X＜0或y＜0时，F(x，y)=0；当0≤x＜1，0≤y＜1时，F(x，y)=∫0x∫0y4uvdudv=x2y2；当0≤x＜1，y≥1时，F(x，y)=∫01dv∫0x4uvdu=x2；当0≤y＜1，x≥1时，F(x，y)=∫01du∫0y4uvdv=y2；当x≥1，y≥1时，F(x，y)=1．故X与Y的联合分布函数为知识点解析：暂无解析20、求X和Y的分布函数F1(x)和F2(y)．标准答案：X的分布函数F1(x)=F(x，+∞)Y的分布函数F2(y)=F(+∞，y)知识点解析：暂无解析设随机变量X与Y相互独立，且均服从(－1，1)上的均匀分布．21、试求X和Y的联合分布函数；标准答案：因为又X与Y相互独立，故X和Y的联合分布函数为知识点解析：暂无解析22、试求Z=X+Y的密度函数．标准答案：X和Y的联合密度函数为故Z的密度函数为知识点解析：暂无解析23、保险公司设置一险种为：每份保单有效期为一年，有效理赔一次；每份保费500元，理赔金额为2万元．统计资料表明，每份保单索赔的概率为0．005．假设总共卖出此种保单800份，试求公司的期望利润．标准答案：设X表示需要索赔的保单数，则X服从二项分布B(800，0．005)，该公司的期望利润为Q=E(800×500－20000X)=400000－20000E(X)=400000－20000×800×0．005=320000(元)．故公司的期望利润为32万元．知识点解析：暂无解析24、检查员逐个地检查某产品，每次花10秒钟检查一个，但也可能有的产品需要再花10秒钟重复检查一次，假设每个产品需要重复检查的概率为0．5，求在8小时内检查员检查的产品个数多于1900个的概率是多少?标准答案：设Xi表示“检查第i个产品花费的时间”(单位为秒)，即i=1，2，…，1900．易知X1，X2，…，Xn相互独立且同分布检查1900个产品所花费的时间，且E(Xi)=10×0．5+20×0．5=15，D(Xi)=E(Xi2)－E2(Xi)=25．知识点解析：暂无解析设总体X服从指数分布，其密度函数为其中λ＞0是未知参数，X1，X2，…，Xn为取自总体X的样本．25、求λ的最大似然估计量；标准答案：似然函数为知识点解析：暂无解析26、求的最大似然估计量；标准答案：知识点解析：暂无解析27、判断的最大似然估计的无偏性；标准答案：由于知识点解析：暂无解析设总体X的密度函数为其中θ＞0为未知参数，x1，X2，…，Xn为来自X的样本，28、证明：都是θ的无偏估计量；标准答案：因为的无偏估计量．易得总体X的分布函数为从而Yn的密度函数为知识点解析：暂无解析29、比较这两个估计量，哪一个更有效?标准答案：易得显然，n＞1时，有知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第3套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：设A={两件产品中有一件是不合格品)，A1={两件产品都是不合格品}，A2={两件产品中一件是不合格品，另一件是合格品}，则A=A1∪A2，A1A2=，所求概率即为P(A1｜A)．因故应选C．2、设随机变量X的分布函数为F(x)，概率密度为其中A为常数，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由∫01Ax(1－x)dx==1，得A=6．所以3、设X1，X2，…，X8是来自总体N(2，1)的简单随机样本，则统计量服从()A、χ2(2)B、χ2(3)C、t(2)D、t(3)标准答案：C知识点解析：且它们相互独立，所以所以由T与X相互独立得，因此本题选C．4、设随机变量X与Y均服从正态分布，X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，记p1=P{X≤μ－4}，p2=P{Y≥μ+5}，则()A、对任意实数μ，都有p1=p2B、对任意实数μ，都有p1＜p2C、只对μ的个别值，才有p1=p2D、对任意实数μ，都有p1＞p2标准答案：A知识点解析：用Ф(x)代表标准正态分布N(0，1)的分布函数，有由于Ф(－1)=1－Ф(1)，所以p1=p2．5、设a为区间(0，1)上一个定点，随机变量X服从(0，1)上的均匀分布．以Y表示点X到a的距离，当X与Y不相关时，a=()A、0．1B、0．3C、0．5D、0．7标准答案：C知识点解析：由题设条件知X～U(0，1)，Y=｜X－a｜，又因为EY=∫01｜x－a｜dx=∫0a(a－x)dx+∫a1(x－a)dx=a3－a+，E(XY)=∫0ax(a－x)dx+∫a1x(x－a)dx=所以由Cov(X，Y)=0可得方程4a3－6a2+1=0，此方程等价于(2a－1)(2a2－2a－1)=0，从中解得在(0，1)内的实根为a=0．5，即a=0．5时，X与Y不相关．6、一袋中有6个正品4个次品，按下列方式抽样：每次取1个，取后放回，共取n(n≤10)次，其品个数记为X；若一次性取n(n≤10)个，其中次品个数记为y．则下列正确的是()A、EX＞EYB、EX＜EYC、EX=EYD、若n不同，则EX，EY大小不同标准答案：C知识点解析：由题意Y服从参数为n，10，4的超几何分布，故因此EX=EY．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)7、设A，B是任意两个事件，则=______．标准答案：0知识点解析：8、已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，即k=0，1，2，…，则随机变量Z=3X－2的数学期望EZ=______．标准答案：4知识点解析：EZ=3EX－2=4．9、设总体X～P(A)，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，它的均值和方差分别为和S2，则和E(S2)分别为______．标准答案：知识点解析：，E(S2)=DX=λ．10、设随机事件A，B，C满足C=A∪B，P(AB｜C)=______．标准答案：知识点解析：由可得P(A)=P(B)．又由可得A，B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=[P(A)]2=[P(B)]2．11、设二维随机变量的分布律为则随机变量Z=Y.min{X，Y}的分布律为______．标准答案：知识点解析：Z全部可能的取值为0，1，2，3，且所以Z的分布律为12、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则随机变量Z=X－Y的方差为______．标准答案：知识点解析：DZ=DX+DY－2Cov(X，Y)=DX+Dy－2E(XY)+2EXEY，①其中D={(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜x}，如图3—6阴影部分所示．关于X的边缘概率密度为关于Y的边缘概率密度为13、假设一设备在任何长为t的时间段内发生故障的次数N(t)服从参数为λt的泊松分布(λ＞0)，设两次故障之间时间间隔为T，则ET=______．标准答案：知识点解析：由于丁是非负随机变量，故当t＜0时F(t)=P{T≤t}=0；当t≥0时，由于事件T＞t与N(t)=0等价．所以当t≥0时，F(t)=P{T≤t}=1－P{T＞t}=1－P{N(t)=0}=1－e－λt．于是T服从参数为λ的指数分布，即三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)14、设P(A)＞0，P(B)＞0．证明：A，B互不相容与A，B相互独立不能同时成立．标准答案：一方面，若A，B互不相容，则AB=，于是P(AB)=0≠P(A)P(B)＞0，所以A，B不相互独立；另一方面，若A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)＞0，于是AB≠，即A，B不是互不相容的．知识点解析：暂无解析15、设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx，－∞＜x＜+∞，求：(1)系数A与B；(2)P{－1＜X≤1}；(3)X的概率密度．标准答案：(1)由分布函数的性质得(3)X的概率密度为f(x)=F’(x)=－∞＜x＜+∞．知识点解析：暂无解析16、假设有四张同样的卡片，其中三张上分别只印有a1，a2，a3，而另一张上同时印有a1，a2，a3．现在随意抽取一张卡片，令Ak={卡片上印有ak}．证明：事件A1，A2，A3两两独立但不相互独立．标准答案：由于对任意的k，j(k，j=1，2，3且k≠j)，有P(AkAj)==P(Ak)P(Aj)，可见事件A1，A2，A3两两独立．但是，由于P(A1A2A3)==P(A1)P(A2)P(A3)，可见事件A1，A2，A3不相互独立．知识点解析：暂无解析某保险公司接受了10000辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为12元．若车丢失，则赔偿车主1000元．假设车的丢失率为0．006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：17、亏损的概率α；标准答案：设X为需要赔偿的车主人数，则需要赔偿的金额为Y=0．1X(万元)；保费总收入C=12万元．显而易见，随机变量X服从参数为(n，p)的二项分布，其中n=10000，p=0．006；EX=np=60，DX=np(1－p)=59．64．由棣莫弗一拉普拉斯定理知，随机变量X近似服从正态分布N(60，59．64)，随机变量Y近似服从正态分布N(6，0．5964)．保险公司亏损的概率知识点解析：暂无解析18、一年获利润不少于40000元的概率β；标准答案：保险公司一年获利润不少于4万元的概率β=P{12－Y≥4}=P{Y≤8)=≈Ф(2．59)=0．9952．知识点解析：暂无解析19、一年获利润不少于60000元的概率γ．标准答案：保险公司一年获利润不少于6万元的概率γ=P{12－Y≥6}=P{Y≤6)=≈Ф(0)=0．5．知识点解析：暂无解析20、设随机变量X的概率密度为求X的分布函数．标准答案：f(x)的图形如图3—8所示，则X的分布函数为F(x)=∫－∞xf(u)du知识点解析：暂无解析21、设(X，Y)的联合概率密度为求：(1)Z=｜X｜+Y的概率密度fZ((z)；(2)EZ．标准答案：(1)FZ(z)=P{Z≤z}=P{｜x｜+Y≤z}，①当z＜0时，FZ(z)=0；②当z≥2时，FZ(z)=1；③当0≤z＜1时，FZ(z)=P{Z≤z}=P{｜X｜+Y≤z}=P{｜X｜+Y≤z，X≥0}+P{｜X｜+Y≤z，X＜0}=P{X+Y≤z，X≥0}+P{－X+Y≤z，X＜0}，利用二维均匀分布几何意义，积分区域如图3—13所示④1≤z＜2时，同③有(如图3—14)(2)用公式有EZ=∫－∞+∞zfZ(z)dz=∫01z.zdz+∫12z(2－z)dz=1．知识点解析：暂无解析22、已知X～t(n)，求证：X2～F(1，n)．标准答案：X～t(n)，则X可表示为其中Z～N(0，1)，Y～χ2(n)且Z，Y相互独立，又Z2～χ2(1)，于是知识点解析：暂无解析23、一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量50千克，标准差为5千克，若用最大载重为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保证不超载的概率大于0．977(φ(2)=0．977)．标准答案：设Xi是“装运的第i箱的重量”，n表示装运箱数，则EXi=50，DXi=52=25，且装运的总重量Y=X1+X2+…+Xn，因{Xn}独立同分布，故EY=50n，DY=25n．由列维一林德伯格中心极限定理知Y近似服从N(50n，25n)．于是即n＜98．01，即最多可以装98箱．知识点解析：暂无解析24、利用列维一林德伯格定理，证明：棣莫弗一拉普拉斯定理．标准答案：设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，均服从以p为参数的0－1分布，则有EXi=p，DXi=pq(i=1，2，…，n)，于是Sn=X1+X2+…+Xn，ESn=np，DSn=npq，其中q=1－p．随机变量X1，X2，…，Xn满足列维一林德伯格定理的条件：X1，X2，…，Xn独立同分布且数学期望和方差存在，当n充分大时近似地有Sn～N(np，npq)，得证．知识点解析：暂无解析在独立的伯努利试验中，若p为一次试验中成功的概率．以X记为第r次成功出现时的试验次数，则X是随机变量，取值为r，r+1，…，称为负二项分布．记为M(r，p)．其概率分布为：P{X=k}=Ck－1r－1(1－p)k－r，k=r，r+1，…．25、记Y1表示首次成功的试验次数，Y2表示第1次成功后到第2次成功为止共进行的试验次数，证明X=Y1+Y2～Nb(2，p)；标准答案：Y1表示首次成功的试验次数，则Y1服从参数为P的几何分布，取值1，2，…．Y2表示第1次成功后到第2次成功为止共进行的试验次数，则Y2也服从参数为P的几何分布，取值为1，2，…，即Y1，Y2独立同分布于P{Y1=k}=(1－p)k－1.p，k=1，2，…，则X=Y1+Y2为第2次成功出现时的试验次数取值为2，3，…，=(k－1)p2(1－p)k－2=Ck－11p2(1－p)k－2，因此X=Y1+Y2～Nb(2，p)．知识点解析：暂无解析26、设试验成功的概率为独立重复试验直到成功两次为止，求试验次数的数学期望、方差．标准答案：令的几何分布且相互独立，重复试验直到成功两次为止的试验次数X=Y1+Y2．知识点解析：暂无解析27、设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，X的概率密度为其中θ＞0，试求θ的最大似然估计．标准答案：由题意得似然函数为为θ的最大似然估计量．知识点解析：暂无解析设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，X2n(n≥2)是X的简单随机样本，且及统计量28、统计量Y是否为σ2的无偏估计；标准答案：由X1，…，X2n(n≥2)是X的简单随机样本，则X1+Xn+1，X2+Xn+2，…，Xn+X2n也独立．因为Xi+Xn+i(i=1，2，…，n)为N(2μ，2σ2)的简单随机样本，则样本均值为由于E(S2)=2σ2，所以即EY=2(n－1)σ2，故Y不是σ2的无偏估计．知识点解析：暂无解析29、当μ=0时，试求标准答案：当μ=0时，Xi+Xn+i～N(0，2σ2)，i=1，2，…，n，则知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第4套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设X1，…，Xn为相互独立的随机变量，Sn＝X1＋…＋Xn，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，…XnA、有相同的数学期望；B、有相同的方差；C、服从同一指数分布；D、服从同一离散型分布．标准答案：C知识点解析：列维一林德贝格中心极限定理要求诸Xi独立同分布，因此选项A、B不能选(无法保证同分布)，而选项D却保证不了EXi及DXi存在，甚至排除不了Xi为常数(即退化分布)的情形，而中心极限定理却要求Xi非常数且EXi与DXi存在，故不选D，只有C符合要求，故选C．2、设总体X～N(μ，σ2)，从中抽得简单样本X1，X2，…，Xn．记则Y1～＝_______，Y2～_______(写出分布，若有参数请注出)且A、Y1、Y2均与独立．B、Y1、Y2均与不独立．C、Y1与独立，而Y2未必．D、Y2与独立，而Y2未必．标准答案：D知识点解析：由Xi～N(μ，σ2)，∴～N(0，1)，且X1，…，Xn相互独立，故～χ2(n)，故Y1～χ2(n)．而由～χ2(n－1)，故Y2～χ2(n－1)，且Y2与独立，而Y1未必，故选D．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)3、设总体X～N(μ，σ2)，从X中抽得容量为16的简单样本，S2为样本方差，则D(S2)＝_______．标准答案：σ4知识点解析：∵～χ2(15)，∴D()＝2×15＝30，即D(S2)＝30，故D(S2)＝σ5．4、设X～F(n，n)，且P(｜X｜＜A)＝0．3，则P(X＜)＝_______．(其中A为一常数)．标准答案：0．7知识点解析：由0．3＝P(X＜A)，∴A＝F0．3(n，n)，∴＝F0．7(n，n)，故P(X＜)＝0．7．5、设X1，…，Xn来自总体N(μ，σ2)的简单样本，其中μ、σ2均未知．记则假设H0：μ＝0的t检验使用的统计量t＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)6、设X1，X2，…，Xn，是同分布的随机变量，且EX1＝0，DX1＝1．不失一般性地设X1为连续型随机变量．证明：对任意的常数λ＞0，有．标准答案：由已知可知：E(Xi2)＝DXi＋(EXi)2＝1，i＝1，…，n．设(X1，…，Xn)的概率密度为f(χ1，χ2，…，χn)，则知识点解析：暂无解析7、两家影院竞争1000名观众，每位观众随机地选择影院且互不影响．试用中心极限定理近似计算：每家影院最少应设多少个座位才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过1％?(Ф(2．328)＝0．9900)标准答案：设甲影院(乙影院完全同理)应设N个座位才符合要求，而这1000名观众中有X名选择甲影院，则X～B(1000，)，由题意有：P(X≤N)≥0．99．而由中心极限定理知：故得≥2．328，∴N≥53．知识点解析：暂无解析8、(1)设系统由100个相互独立的部件组成．运行期间每个部件损坏的概率为0．1．至少有85个部件是完好时系统才能正常工作，求系统正常T作的概率．Ф()＝0．9522．(2)如果上述系统由n个部件组成，至少有80％的部件完好时系统才能正常工作．问n至少多大才能使系统正常工作的概率不小于0．95?Ф(1．645)＝0．95．标准答案：(1)设有X个部件完好，则X～B(100，0．9)，∴EX＝90，DX＝9，∴P{系统正常工作}＝P{X≥85}＝＝0．9522．(2)设有Y个部件完好，则Y～B(n，0．9)，∴EX＝0．9n，DX＝0．09n，∴P{X≥0．8n}＝由题意，P(X≥0．8n)≥0．95，∴Ф()≥0．95，故≥1．645，得n≥24．35，即n≥25．知识点解析：暂无解析9、对随机变量X，已知EekX．存在(k＞0常数)，证明：P{X≥ε}≤.E(ekX)．(其中ε＞0)．标准答案：不失一般性，设X为连续型随机变量，概率密度为f(χ)，则EekX＝∫－∞＋∞ekχ.f(χ)dχ，而P{X≥ε}＝∫χ≥εf(χ)dχ≤．知识点解析：暂无解析10、当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在0．4至0．6之间的概率不小于0．97试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解．标准答案：设抛掷n次硬币，正面出现X次，则X～B(n．0．5)．现要求P(0．4＜＜0．6)≥0．9．即P(0．4n＜X＜0．6n)≥0．9．(1)用切比雪夫不等式：P(0．4n＜X＜0．6n)＝P(｜X－0．5n｜＜0．1n)≥1－，令1－≥0．9，得n≥250；(2)用中心极限定理：P(0．4n＜X＜0．6n)＝≈Ф(0．2)－Ф(0．2)＝2Ф(0．2)－1．令2Ф(0．2)－1≥0．9，得Ф(0．2)≥0．95，∴0．2≥1．645，∴n≥67．65即n≥68．知识点解析：暂无解析11、利用中心极限定理证明：标准答案：引随机变量Xk～π(1)(参数为1的泊松分布)，k＝1，2，…，且{Xk}相互独立，由泊松分布的再生性知令n→∞，由中心极限定理即知：知识点解析：暂无解析12、设总体X具有概率密度：f(χ)＝从此总体中抽得简单样本X1，X2，X3，X4，求T＝Xi的密度．标准答案：T的分布函数为FT(t)＝P(T≤t)＝P(Xi≤t)＝P(X1≤t，…，X4≤t)＝[P(X1≤t)]4故fT(t)＝F′(t)＝知识点解析：暂无解析13、记总体X～N(μ，σ2)，X1，…，Xn为取自X的简单样本d＝｜Xi－μ｜，求E(d)D(d)．标准答案：∵ξ＝～N(0，1)，得D｜Xi－μ｜＝(1－)σ2．于是知识点解析：暂无解析14、设总体X～N(72，100)，为使样本均值大于70的概率不小于0．95，样本容量n至少应取多大?Ф(1．645)＝0．95标准答案：由题意知：查表得≥1．645，∴n≥67．65，即n≥68知识点解析：暂无解析15、从一正态总体中抽取容量为10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的概率为0．02，求总体的标准差(Ф(2．33)＝0．99)．标准答案：设总体X～N(μ，σ)，则，由题意得：0．02＝P{－μ｜＞4}查表得＝2．33，∴σ＝．知识点解析：暂无解析16、设总体X～N(μ，σ2)，从X中抽得样本X1，…，Xn，Xn-1，记试求的分布．标准答案：又～χ2(n－1)，且Sn2与Xn+1－相互独立，故知识点解析：暂无解析17、设k个总体N(μ，σ2)(i＝1，…，k)相互独立，从第i个总体中抽得简单样本：Xi1，Xi2…，，记＝，(i＝1，…，k)．又记n＝，试求T＝的分布．标准答案：由χi2＝～χ2(ni－1)，i＝1，2，…，k．且χ12，…，χk2相互独立，∴χi2～χ2((ni－1))即T～χ2(n－k)知识点解析：暂无解析18、从总体X～N(0，σ2)中抽得简单样本X1，…，Xn+m，求Y＝．标准答案：∵～N(0，1)，i＝1，…，n＋m，且诸Xi相互独立，故：又∵Xi2与Xχ2相互独立，故即Y～F(n，m)．知识点解析：暂无解析19、设总体X～B(m，p)，其中m已知，p未知．从X中抽得简单样本X1，…，Xn，试求p的矩估计和最大似然估计．标准答案：矩估计：EX＝mp，∴，故；最大似然估计：似然函数为：令解得p＝，故p的最大似然估计为．知识点解析：暂无解析20、设总体的密度为：从X中抽得简单样本X1，…，Xn．试求未知参数θ的矩估计和最大似然估计．标准答案：矩估计：最大似然估计：似然函数为L＝f(χi)即当χ1，…，χn＞0时，lnL＝－2nlnθ＋ln(χ1…χn)－∴令＝0，解得θ＝故θ的最大似然估计为：知识点解析：暂无解析21、设总体X在区间(μ－p，μ＋p)上服从均匀分布，从X中抽得简单样本X1，…，Xn，求μ和ρ(均为未知参数)的矩估计，并问它们是否有一致性．标准答案：∵EX＝μ，EX2＝DX＋(EX)2＝＋μ2，得，解得矩估计为而n→∞时，即和分别是μ和ρ的一致估计．知识点解析：暂无解析22、设总体X在区间[0，θ]上服从均匀分布，其中θ＞0为未知参数，而X1，…，Xn为从X中抽得的简单样本，试求θ的矩估计和最大似然估计，并问它们是否是θ的无偏估计?标准答案：EX＝，得∴为θ的矩估计．而＝θ．即为θ的无偏估计．又，似然函数当0≤≤θ时，随着θ的增加L在减小，欲使L达最大，须θ＝χi，即θ的最大似然估计为，而的分布函数为∴的概率密度为：可见不是θ的无偏估计．知识点解析：暂无解析23、设Y＝lnX～N(μ，σ2)，而X1，…，Xn为取自总体的X的简单样本，试求EX的最大似然估计．标准答案：EX＝Eey＝．令Yi＝lnXi，i＝1，2，…，n．Y1，…，Yn相当于取自总体Y中的样本．似然函数故μ和σ2的最大似然估计分别为故EX的最大似然估计为这里exp{a}＝ea．知识点解析：暂无解析24、从均值为μ，方差为σ2＞0的总体中分别抽取容量为n1和n2的两个独立样本，样本均值分别记为和．试证：对任意满足a＋b＝1的常数a、b，T＝都是μ的无偏估计．并确定a、b，使D(T)达到最小．标准答案：E(T)＝＝(a＋b)μ＝μ，∴T为μ的无偏估计．而令(DT)′a＝0，解得a＝，而可见D(T)在a＝处取得唯一极值且为极小值，故时，D(T)最小．知识点解析：暂无解析25、总体X～N(2，σ2)，从X中抽得简单样本X1，…，Xn试推导σ2的置信度为1－α的置信区间．若样本值为：1．8，2．1，2．0，1．9，2．2，1．8．求出σ2的置信度为0．95的置信区间．(χ0．9752(6)＝14．449，χ0．0252(6)＝1．237．下侧分位数．)标准答案：χ2＝(Xi－2)2～χ2(n)，∴1－α＝故σ2的置信区间为：对1－α＝0．95，n＝6，可算得(χi－2)2＝0．14，故σ2的置信区间为＝[0．009689，0．1132]．知识点解析：暂无解析26、为了研究施肥和不施肥对某种农作物产量的影响独立地，选了13个小区在其他条件相同的情况下进行对比试验，得收获量如下表：设小区的农作物产量均服从正态分布且方差相等，求施肥与未施肥平均产量之差的置信度为0．95的置信区间(t0．975(11)＝2．201，下侧分位数)．标准答案：设施肥与不施肥的农作物产量分别为总体X与Y，X～N(μ1，σ2)，Y～N(μ2，σ2)，由题可知n＝6，＝33，Sχ2＝＝3．2，m＝7，＝30，Sy2＝＝4，1－α＝0．95，故μ1－μ2的置信下限为置信上限为知识点解析：暂无解析27、随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差S＝11．设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为0．95的置信区间．标准答案：设炮口速度为总体X，X～N(μ，σ2)，而n＝9，α＝0．05．∴的置信下限为σ的置信上限为知识点解析：暂无解析28、一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为R：1，现有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记X为所抽的白球数．这样做了n次以后，我们获得一组样本：X1，X2，…，Xn，基于此，求R的最大似然估汁．标准答案：由题意，总体X的分布律为：P{X＝k}＝，k＝0，1，2，…似然函数为令＝0，解得R＝，故R的最大似然估计为知识点解析：暂无解析29、用过去的铸造方法，零件强度的标准差是1．6kg／mm2．为了降低成本，改变了铸造方法．测得用新方法铸出的零件强度如下：52，53，53，54，54，54，54，51，52．设零件强度服从正态分布．取显著性水平α＝0．05，问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化?(χ0．9752(8)＝17．5，χ0．0252(8)＝2．180，下侧分位数)标准答案：设零件强度为总体X，则X～N(μ，σ2)，检验H0，σ2＝1．62．拒绝域为χ2＝并χ2≥(n－1)，这里σ02＝1．62，n＝9，算得＝53，χ2＝＝3．90625，故(n－1)＝2．180＜χ2＜17．535＝(n－1)，故接受H0．知识点解析：暂无解析30、一批矿砂的4个样品中镍含量测定为(％)：3．25，3．26．3．24．3．25．设测定值总体服从正态分布。问在α＝0．01下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值为3．26．(t0．975(3)＝5．8409，下侧分位数)．标准答案：设这批矿砂的镍含量为总体X，则X～N(μ，σ2)．检验H0：μ＝μ0．这儿μ0＝3．26，n＝4，拒绝域为：可算得＝3．25，S＝0．01，故｜－μ0｜＝0．01，＝0．02920，可见，故接受H0．知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第5套一、选择题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)1、设事件A，B同时发生时事件C必然发生，则()A、P(C)≤P(A)+P(B)．B、P(C)＞P(A)+P(B)-1．C、P(ABC)=P(AB)．D、P(C)=P(A∪B)．标准答案：C知识点解析：因A，B同时发生时事件C必然发生，所以，ABC，则ABC=AB，P(ABC)=P(AB)，故选C．2、设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0．5，P(A-B)=0．3，则P(B-A)=()A、0．1．B、0．2．C、0．3．D、0．4．标准答案：B知识点解析：因为A与B相互独立，所以，①A与也相互独立，从而，即P(A)=0．6；②B与也相互独立，从而P(B-A)==[1-P(A)]=P(B)=0．4×0．5=0．2．3、将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面)，A2={掷第二次出现正面)，A3={正、反面各出现一次)，A4={正面出现两次)，则事件()A、A1，A2，A3相互独立．B、A2，A3，A4相互独立．C、A1，A2，A3两两独立．D、A2，A3，A4两两独立．标准答案：C知识点解析：A，B两事件相互独立的充要条件为P(AB)=P(A)P(B)；A，B，C三事件相互独立的充要条件为A，B，C两两相互独立，且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．因为P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(A4)=，且P(A1A2)=，P(A1A3)=，P(A2A3)=，P(A2A4)=，P(A1A2A3)=0，有P(A1A2)=P(A1)P(A2)，P(A1A3)=P(A1)P(A3)，P(A2A3)=P(A2)P(A3)，P(A1A2A3)≠P(A1)P(A2)P(A3)，P(A2A4)≠P(A2)P(A4)，故A1，A2，A3两两独立但不相互独立；A2，A3，A4不两两独立更不相互独立，应选C．4、设随机变量X的概率密度为f(x)，则可以作为概率密度函数的是()A、f(2x)．B、f(2-x)．C、f2(x)．D、f(x2)．标准答案：B知识点解析：对于(B)，f(2-x)≥0且f(t)dt=1，所以正确选项为B．5、设随机变量X～N(μ，σ2)，其分布函数为F(x)，则对任意函数a，有()A、F(a+μ)+F(a-μ)=1．B、F(μ+a)+F(μ-a)=1．C、F(a)+F(-a)=1．D、F(a-μ)+F(μ-a)=1．标准答案：B知识点解析：因为X～N(μ，σ2)，所以6、设随机变量X的分布函数为p1=P{0≤X＜1}，p2=P{X=1}，则()A、p1＜p2．B、p1=p2．C、p1＞p2．D、无法判定．标准答案：C知识点解析：由于p1=P{0≤X＜1}=F(1-0)-F(0-0)p2=P{X-1)=F(1)-F(1-0)=1-e-x--e-1，因此p2＜p1，故选C．7、设(X，Y)的概率密度为f(x，y)=g(x)h(y)，其中g(x)≥0，h(y)≥0，存在且不为0，则X与Y的概率密度fX(x)，fY(y)分别为()A、fX(x)=g(x)，fY(y)=h(y)．B、fX(x)=ag(x)，fY(y)=bh(y)．C、fX(x)=bg(x)，fY(y)=ah(y)．D、fX(x)=g(x)，fY(y)=abh(y)．标准答案：C知识点解析：故选C．8、设随机变量(X，Y)的分布律为已知事件{X=0}与{X+Y=2}独立，则a，b分别为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由分布律性质得a+b=，由{X=0}与{X+Y=2}独立得P{X=0，X+Y=2}=P{X=0}.P{X+Y=2}，即．故选C．9、ξ，η相互独立且在[0，1]上服从均匀分布，则使方程x2+2ξx+η=0有实根的概率为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由ξ～U(0，1)．η～U(0，1)，且ξ与η独立，则(ξ，η)～f(x，y)=方程x2+2ξx+η=0有实根，则(2ξ)2-4η≥0，即ξ2≥η，故10、设随机变量X与Y相互独立，且X的分布函数为FX(z)，Y的概率分布为P{Y=0}P{Y=1}=，则Z=XY的分布函数FZ(z)为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由全概率公式及X与Y相互独立得FZ(z)=P{Z≤z}=P{XY≤z}=P{Y=0}P{XY≤z｜Y=0]+P{Y=1}P{XY≤z｜Y=}=P{X.0≤z｜Y=0)+P{X≤z｜Y=1}]=[P{X.0≤z}+P{X≤z}]，于是当z＜0时，FZ(z)=FX(z)；当z≥0时，FZ(z)=[1+FX(z)]．从而11、设离散型随机变量X可能的取值为x1=1，x2=2，x3=3，且E(X)=2．3，E(X2)=5．9，则取x1，x2，x3所对应的概率为()A、p1=0．1，p2=0．2，p3=0．7．B、p1=0．2，p2=0．3，p3=0．5．C、p1=0．3，p2=0．5，p3=0．2．D、p1=0．2，p2=0．5，p3=0．3．标准答案：B知识点解析：E(X)=x1p1+x2p2+x3p3=p1+2p2+3(1-p1-p2)=3-2p1-p2=2．3，2p1+p2=0．7，E(X2)=x12p1+x22p2+x32p3=p1+4p2+9(1-p1-p2)=5．9，8p1+5p2=3．1，解得p1=0.2，p2=0.3，则p3=0.5故选B.12、设随机变量X与Y均服从B(1，)分布，且E(XY)=．记X与Y的相关系数为ρ，则()A、ρ=1．B、ρ==-1．C、ρ=0．D、ρ=标准答案：A知识点解析：由，又Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=故选A．13、已知随机变量X服从标准正态分布，Y=2X2+X+3，则X与Y()A、不相关且相互独立．B、不相关且相互不独立．C、相关且相互独立．D、相关且相互不独立．标准答案：D知识点解析：由于X～N(0，1)，所以E(X)=0，D(X)=E(X2)=1，E(X3)=0，所以E(XY)=E[X(2X2+X+3)]=2E(X2)+E(X2)+3E(X)=1．Coy(X，Y)=E(XY)-E(X)E(y)=1≠0X与Y相关X与Y不独立．故选D．14、设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，Sn=X1+X2+…+Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，X2，…，Xn()A、有相同的数学期望．B、有相同的方差．C、服从同一指数分布．D、服从同一离散型分布．标准答案：C知识点解析：列维一林德伯格中心极限定理要求随机变量X1，X2，…，Xn相互独立、同分布且方差存在．当n充分大时，Sn=X1+X2+…+Xn才近似服从正态分布，故本题只要求验证满足同分布和方差存在的条件．15、设X1，X2，X3，X4是取自总体N(0，4)的简单随机样本，记X=a(X1=2X2)2+b(3X3-4X4)2，其中a，b为常数，已知X～χ2(n)分布，则()A、n必为2．B、n必为4．C、n为1或2．D、n为2或4．标准答案：C知识点解析：X1，X2，X3，X4是相互独立且均服从N(0，4)分布，所以X1-2X2～N(0，20)和3X3-4X4～N(0，100)且相互独：泣，因此，如果令a=，则a(X1-2X2)2～χ2(1)；如果令b=，则b(3X3-4X4)2～χ2(1)．16、设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，是样本均值，记则服从于自由度为n=1的t分布的随机变量是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：若X～N(μ，σ2)，则～t(n-1)，对本题来说，17、设X1，X2，…，Xn为取自正态总体X～N(μ，σ2)的样本，则μ2+σ2的矩估计量为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：按矩估计方法：所以μ2+σ2的矩估计为．故选D．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)18、设A，B为随机事件，已知P(A)=0．5，P(B)=0．6，=0．4，则P(A∪B)=_______．标准答案：0．7知识点解析：19、设随机变量的分布函数为F(x)=A+Barctanx，-∞＜x＜+∞，则常数A=_______；B=______；P{X＜1}=_______；概率密度f(x)=______．标准答案：知识点解析：利用分布函数的规范性F(-∞)=0，F(+∞)=1，得，从而A=0．5，B=，即分布函数F(x)=0．5+arctanx，-∞＜x＜+∞．利用分布函数计算随机事件发生的概率，得20、已知每次试验“成功”的概率为夕，现进行n次独立试验，则在没有全部“失败”的条件下，“成功”不止一次的概率为_______．标准答案：知识点解析：令事件A={成功}，则p=P(A)，又设n次独立试验中A发生的次数为X，则X～B(n，p)，所求概率为21、假设随机变量X的分布函数为F(x)，已知F(0)=，且密度函数f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中f1(x)是正态分布N(0，σ2)的密度函数，f2(x)是参数为λ的指数分布的密度函数，则a=_______，b=_______．标准答案：知识点解析：已知F(0)=，即22、设平面区域D由曲线y=及直线y=0，x=1，x=e2围成，二维随机变量(X，Y)在D上服从均匀分布，则(X，Y)关于X的边缘密度在X=2处的值为_______．标准答案：知识点解析：D的面积==2所以二维随机变量(X，Y)的密度函数为下面求X的边缘密度．当x＜1或x＞e2时φx(x)=0，当1≤x≤e2时，所以φx(2)=.23、设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E(X+e-2X)=________．标准答案：知识点解析：X的概率密度为故E(X+e-2X)=E(X)+E(e-2X)=1+24、设随机变量X和Y的相关系数为0．5，E(X)=E(Y)=0，E(X2)=E(Y2)=2，则E[(X+Y)2]=______.标准答案：6知识点解析：E[(X+Y)2]=E(X2)+2E(XY)+E(Y2)=4+2[Cov(X，Y)+E(X).E(Y)]25、设ξ，η是两个相互独立均服从于正态分布的随机变量，则E(｜ξ-η｜)=______.标准答案：知识点解析：设Z=ξ-η，因ξ，η是两个相互独立且均服从于正态分布的随机变量，故Z～N(0，1)．26、设总体X服从0-1分布，P{X=1)=p(0＜p＜1)．设X1，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，为其样本均值，则=______(k=0，1，2，…，n)．标准答案：Cnkpk(1-p)n-k知识点解析：X1，…，Xn相互独立且都服从0-1分布，～B(n，p)．即27、X1，X2，…，Xn为总体X～N(0，σ2)的一个样本，则σ2的最大似然估计量为______．标准答案：知识点解析：似然函数为考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第6套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数Fα(3，4)满足P{X＞Fα(3，4)}=α，若P{X≤x}=1一α，则x=A、B、C、Fα(4，3)．D、F1-α(4，3)．标准答案：A知识点解析：由P{X≤x}=1一α可知，P{X＞x}=α，即x=Fα(3，4)．又由F1-α(n1，n2)=故选(A)．2、设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，记Y=a(X1—2X2)2+b(3X3—4X4)2，其中a，b为常数．已知Y～χ2(n)，则A、n必为2．B、n必为4．C、n为1或2．D、n为2或4．标准答案：C知识点解析：依题意Xi～N(0，22)且相互独立，所以X1一2X2～N(0，20)，3X3—4X4～N(0，100)，且它们相互独立．由χ2分布的典型模式及性质知由上可知，n=1或2，即应选(C)．3、设X1，X2，…，Xn是来自标准正态总体的简单随机样本，和S2为样本均值和样本方差，则A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：显然，(n一1)S2服从自由度为n一1的χ2分布，故应选(D)．其余选项不成立是明显的：对于服从标准正态分布的总体，由于X1，X2，…，Xn相互独立并且都服从标准正态分布，可见服从自由度为n的χ2分布．4、设随机变量X服从n个自由度的t分布，定义tα满足P{X≤tα}=1一α(0＜α＜1)．若已知P{|X|＞x}=b(b＞0)，则x等于A、t1-bB、C、tb．D、．标准答案：D知识点解析：根据t分布的对称性及b＞0，可知x＞0．从而P{X≤x}=1一P{X＞x}=根据题设定义P{X≤tα}=1一α，可知应选(D)．5、假设总体X的方差DX存在，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为，S2，则EX2的矩估计量是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析6、设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ2已知，μ未知．现从中随机抽取n个零件，测得样本均值，则当置信度为0．90时，判断μ是否大于μ0的接受条件为A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：本题假设检验的假设应为H0：μ≤μ0；H1：μ＞μ0．因此选(C)．7、已知正态总体X一N(a，σx2)和Y～N(b，σy2)相互独立，其中4个分布参数都未知．设X1，X2，…，Xm和Y1，Y2，…，Yn是分别来自X和Y的简单随机样本，样本均值分别为，样本方差相应为Sx2和Sy2，则检验假设H0：a≤b使用t检验的前提条件是A、σx2≤σy2．B、Sx2≤Sy2．C、σx2=σy2．D、Sx2=Sy2．标准答案：C知识点解析：应该选(C)．因为t检验使用统计量其中Sxy2是两个总体的联合样本方差：只有当选项(C)即σx2=σy2成立时才能导出统计量t的抽样分布——t分布，并且根据t分布来构造t检验．二、填空题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)8、设总体X—E(λ)，则来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn的联合概率密度f(x1，x2，…，xn)=______．标准答案：知识点解析：总体X的概率密度f(x)=由于X1，X2，…，Xn相互独立，且与总体X服从同一指数分布，因此9、设总体X—P(λ)，则来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn的样本均值的概率分布为________．标准答案：知识点解析：由泊松分布的可加性可知，当X1，X2独立时，X1+X2一P(2λ)，继而有X1，X2，…，Xn独立同为P(λ)分布时，于是，对任意n＞2，的概率分布为10、已知χ2～χ2(n)，则E(χ2)=______．标准答案：n知识点解析：由χ2分布的典型模式χ2=X12+X22+…+Xn2=而Xi～N(0，1)，且Xi相互独立，由于E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1+0=1，所以11、已知X1，X2，X3相互独立且服从N(0，σ2)，则服从的分布及参数为_________.标准答案：知识点解析：记Y1=X2+X3，Y2=X2一X3，则Y1～N(0，2σ2)，Y2～N(0，2σ2)．由于Cov(Y1，Y2)=E(Y1Y2)一E(Y1)E(Y2)=E[(X2+X3)(X2一X3)]=E(X22)一E(X32)=σ2一σ2=0，所以Y1与Y2相互独立，且与X1独立．又由X1+X2+X3=X1+Y1～N(0，3σ2)，且X1+X2+X3与X2一X3相互独立，于是按t分布定义有12、设总体X的密度函数f(x)=分别为取自总体X容量为n的样本的均值和方差，则ES2=______．标准答案：知识点解析：暂无解析13、假设X1，X2，…，X16是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本为其均值，S为其标准差，如果=0．95，则参数a=________．(t0.05(15)=1．7531)标准答案：a=一0．4383．知识点解析：暂无解析14、设X1，X2，…，X9是来自总体X～N(μ，4)的简单随机样本，而是样本均值，则满足=0．95的常数μ=________．(ψ(1．96)=0．975)标准答案：1．3067．知识点解析：暂无解析15、设X～N(μ，σ2)，其中μ和σ2(σ＞0)均为未知参数．从总体X中抽取样本X1，X2，…，Xn，样本均值为则未知参数μ和σ2的矩估计量分别为标准答案：,B2知识点解析：由于待估计参数有2个：μ，σ2，故考虑一阶、二阶矩．由于E(X)=μ，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=σ2+μ2，16、设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，已知总体X的概率密度为则θ的最大似然估计量=______标准答案：知识点解析：似然函数为17、已知总体X的概率密度只有两种可能，设对X进行一次观测，得样本X1，规定当时拒绝H0，否则就接受H0，则此检验犯第一、二类错误的概率α和β分别为_______．标准答案：知识点解析：由检验的两类错误概率α和β的意义，知18、已知总体X服从参数为λ的泊松分布，X1,