考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷2（共243题）

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷2（共9套）（共243题）考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第1套一、选择题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)1、对于任意的两个事件A，B，AB，则不能推出结论()A、P(AB)=P(A)．B、P(A∪B)=P(B)．C、=P(A)=P(B)．D、=P(B)-P(A)．标准答案：C知识点解析：因为AB，则AB=A，A∪B=B，P(AB)=P(A)，P(A∪B)P(B)，=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)，所以A、B、D结论都能推出，而C的结论是推不出来的，故应选C．2、设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，且A与B相互独立，则()A、A与B互不相容．B、A与B一定相容．C、互不相容．D、与B互不相容．标准答案：B知识点解析：由题设有0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，因A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)≠0，因而A与B相容，选B．另外，A与B独立，故与B也相容．3、某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜p＜1)，则此人第4次射击恰好是第2次命中目标的概率为()A、3p(1-p)2．B、6p(1-p)2．C、3p2(1-p)2．D、6p2(1-p)2．标准答案：C知识点解析：设事件A={第4次射击恰好是第2次命中目标}，则A表示共射击4次，前3次中有一次击中，2次脱靶，第4次击中，所以P(A)=C31p(1-p)2.p=3p2(1-p)2，故选C．4、设随机变量X的分布函数为F(x)，引入函数F1(x)=F(ax)，F2(x)=F3(x)，F3(x)=1-F(-x)，F4(x)=F(x+a)，其中a为任意常数，则下列函数为分布函数的是()A、F1(x)，F2(x)．B、F2(x)，F3(x)．C、F3(x)，F4(x)．D、F2(x)，F4(x)．标准答案：D知识点解析：F1(x)=F(ax)，当a＜0时，F(ax)=F(-∞)=0≠1，所以F1(x)不是分布函数．F2(x)=F3(x)满足分布函数的四条性质，故F2(x)是分布函数．F3(x)=1-F(-x)满足分布函数的性质(1)、(2)、(3)，但性质(4)不满足．F3(x)不能保证右连续．F4(x)=F(x+a)满足分布函数的四条性质，故F4(x)是分布函数．综上所述，F2(x)和F4(x)可以作为分布函数，所以选D．5、假设一个设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为λt的泊松分布(λ＞0)，T表示相继两次故障之间的时间间隔，则对任意t＞0，概率P{T＞t}等于()A、0．B、λt．C、e-λt．D、1-e-λt．标准答案：C知识点解析：事件{T＞t}意味着“相继两次故障之间时间的间隔超过t”，它等价于“在时间间隔为t内不发生故障”，所以{T＞t}={N(t)=0}，其中N(t)～P(λt)，故P{T＞t}=P{N(t)=0}=e-λt．6、已知随机变量X的概率密度为f(x)=，则概率P{λ＜X＜λ+a}(a＞0)的值()A、与a无关，随λ的增大而增大．B、与a无关，随λ的增大而减小．C、与λ无关，随a的增大而增大．D、与λ无关，随a的增大而减小．标准答案：C知识点解析：利用概率密度的规范性，得到Ae-xdx=Ae-λ，即A=eλ．则P{λ＜X＜λ+a}=e-λ(e-λ-e-λ-a)=1-e-a．显然其值与λ无关且随a的增大而增大，故选C．7、设随机变量X，Y的分布函数为F(x，y)，用它表示概率P{-X＜a，Y＜y}，则下列结论正确的是()A、1-F(-a，y)．B、1-F(-a，y-0)．C、F(+∞，y-0)-F(-a，y-0)．D、F(+∞，y)-F(-a，y)．标准答案：C知识点解析：P{-X＜a，Y＜y}=P{X＞-a，Y＜y}，因为P{Y＜y}=P{X＞-Aa，Y＜y}+P{X≤-a，Y＜y}，所以P{X＞-a，Y＜y)=P{Y＜y)-P{X≤-a，Y＜y)=F(+∞，y-0)-F(a．y-0)，故选C．8、设X，Y为两个随机变量，P{X≤1，Y≤1}=，P{X≤1}=P{Y≤1}=，则P(min{X，Y}≤1}=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：设A={X≤1}，B={Y≤1}，P(AB)=，P(A)=P(B)=P{min{X，Y}≤1}=1-P{min{X，Y}＞1}=1-P{X＞1，Y＞1}==P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=故选C．9、设随机变量X，Y相互独立，X在区间(0，2)上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，则概率P{X+Y＞1}=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由题设知fX(x)=因为随机变量X，Y相互独立，所以二维随机变量(X，Y)的概率密度为所以P{X+Y＞1}=1-P{X+Y≤1}=10、设离散型随机变量X只取两个值x1，x2，且x1＜x2．X取值x1的概率为0．6．又已知E(X)=1．4，D(X)=0．24，则X的概率分布为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由于X只取两个值，即P{X=x1}=0．6，P{X=x2}=1-0．6=0．4，又E(X2)=d(X)+[E(X)]2=0．24+(1．4)2=2．2，故得由题设条件x1＜x2，故第二组解应舍去．可见X的概率分布为B．11、设随机变量X和Y同分布，概率密度均为且E[a(X+2Y)]=，则a的值为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由题设E(X)=，且E(Y)=E(X)=，于是E[a(X+2Y)]=aE(X)+2aE(Y)=，故应选A．12、对任意两个随机变量X和y，若E(XY)=E(X)E(Y)，则()A、D(XY)=D(X)D(Y)．B、D(X+Y)=D(X)+D(Y)．C、X和Y独立．D、X和Y不独立．标准答案：B知识点解析：由方差的性质知B正确．这时X与Y不相关，但可能独立，也可能不独立，因而C、D不正确．利用方差的定义计算D(XY)，不能推出选项A．13、已知随机变量X与Y相互独立，D(X)＞0，D(Y)＞0，则()A、X与X+Y相互独立．B、X与X+Y不相互独立．C、X与XY相互独立．D、X与XY不相互独立．标准答案：B知识点解析：已知X与Y相互独立，故Cov(X，Y)=0，Cov(X，X+Y)=Cov(X，X)+Cov(X，Y)=D(X)＞0，所以X与X+Y一定相关，从而X与X+Y一定不相互独立．14、设X1，X2，…，Xn独立同分布，且Xi(i=1，2，…，n)服从参数为λ的指数分布，则下列各式成立的是()(其中Ф(x)=A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由Xi服从参数为λ的指数分布知E(Xi)=．根据中心极限定理，故选A．15、X1，X2，…，Xn是来自正态总体X～N(0，σ2)的简单随机样本，Y2=，则()A、X2～χ2(1)．B、Y2～χ2(10)．C、～t(10)．D、～F(10，1)．标准答案：C知识点解析：因为X～N(0，σ2)．所以～N(0，1)且相互独立，故～χ2(1)，～χ2(10)，所以A、B不正确；又因为X与Y2相互独立，所以所以D不正确；，所以C正确．16、设X～N(0，1)，X1，X2，…，Xn是X的一个样本，，S分别是样本均值和样本方差，则下列选项中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因～χ2(n-1)，而σ2=1，故(n-1)S2=～χ2(n-1)．故选D．对于B，～t(n-1)，故C不正确．17、设X～N(μ，σ2)且σ2未知，对均值μ作区间估计，则置信度为95％的置信区间是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：又1-a=0．95，即a=0．05，从而μ的置信度为95％的置信区间为二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)18、从0，1，2，…，9这10个数码中随机可重复地取出5个数码，则“5个数码中至少有2个相同”的概率为_______．标准答案：知识点解析：设A={5个数码中至少有2个相同}，则={5个数码都不相同}，样本空间的基本事件总数为n=105，事件中包含的基本事件数为m=A105==6×7×8×9×10，因而19、设随机变量X的分布函数为F(x)=则a=______，b=_____，c=______．标准答案：1，-1，0知识点解析：利用分布函数的规范性F(-∞)=0，F(+∞)=1得c=0，a=1．根据分布函数的右连续性，F(0)=F(x)=a+b=c，得b=-1．20、在一系列的独立试验中，每次试验成功的概率为p，记事件A=“第3次成功之前失败4次”，B=“第10次成功之前至多失败2次”，则P(A)=_______；P(B)=______．现进行n次重复试验，则在没有全部“失败”的条件下，“成功”不止一次的概率q=______．标准答案：C62p.(1-p)4.p；(55p2-120p+66)p10；知识点解析：A=“第3次成功之前失败4次”，等价于共进行了7次独立试验，且第7次试验成功，前6次试验中4次失败、2次成功，属于伯努利概型．故对前6次试验用伯努利计算公式有C82p2(1-p)4，其中试验成功的概率为夕，所以P(A)=C62p.(1-p)4.p．B=“第10次成功之前至多失败2次”，等价于试验成功10次之前，可能没有失败，可能失败1次，可能失败2次，每次独立试验为伯努利试验．设Bi=“10次成功前失败i次”(i=0，1，2)，等价于共进行10+i次试验，前10+i-1次试验中成功9次，第10次成功发生在第10+i次试验．故根据伯努利概型的计算公式有P(B0)=C1010p10=p10，P(B1)=C109p9.(1-p).p=10p10(1-p)，P(B2)=C119p2.(1-p).p=55p10(1-p)2，故P(B)=P(B0)+P(B1)+P(B2)=p10+10p10(1-p)+55p10(1-p)2=(55p2-120p+66)p10．设X表示“n次试验中成功的次数”，则21、已知X的分布函数为F(x)，Y=3X+1，则(X，Y)的分布函数F(x，y)=______．标准答案：知识点解析：已知F(x)=P{X≤x}，Y=3X+1，故(X，Y)的分布函数F(x，y)=P{X≤x，3X+1≤y}=P{X≤x，X≤}22、设数X在区间(0，1)上随机地取值，当观察到X=x(0＜x＜1)时，数y在区间(x，1)上随机取值，则fY(y)=______．标准答案：知识点解析：因数X在区间(0，1)上随机取值，故X～U(0，1)，即fX(x)=而数Y在(x，1)上随机取值，故fY｜X(y｜x)=f(x，y)=fY｜X(y｜x).fX(x)=23、设随机变量X服从于参数为λ的泊松分布，且已知E[(X-1)(X-2)]=1，则λ=_____．标准答案：1知识点解析：由X～P(λ)，有E(X)=λ，D(X)=λ，则E[(X-)(X-2)]=E(X2)=3E(X)+2=D(X)+E2(X)-3E(X)+2=λ+λ2-3λ+2=1．故λ2-2λ+1=0，λ=1．24、已知编号为1，2，3，4的4个袋子中各有3个白球，2个黑球，现从1，2，3号袋子中各取一球放入4号袋中，则4号袋中自球数X的期望E(X)=______，方差D(X)=_________．标准答案：知识点解析：4号袋中的白球数X取决于前3个袋中取出的球是否是白球，若记则X1，X2，X3相互独立，且服从同一分布：而X-3+X1+X2+X3，所以25、设随机变量X的数学期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，则由切比雪夫不等式，有P(｜X-μ｜≥3σ}≤______．标准答案：知识点解析：由切比雪夫不等式P{｜X-E(X)｜≥ε}≤，取ε=3σ，所以26、设X～t(6)，则X2～______．标准答案：F(1，6)知识点解析：因X～t(6)，故，其中Y～N(0，1)，χ2～χ2(6)．则27、设总体X的分布律为P{X=k}=(1-p)k-1，k=1，2，…，其中p为未知参数，X1，X2，…，Xn为取自总体X的样本，则户的矩估计量为______．标准答案：知识点解析：因为E(X)=，故p的矩估计量为考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第2套一、选择题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)1、设A，B，C是三个事件，与事件A互斥的事件是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：，所以选择D．2、已知A，B为两事件，且BA，P(A)=0．3，=()A、0．45．B、0．5．C、0．6．D、0．7．标准答案：D知识点解析：=1-P(B-A)=1-[P(B)-P(AB)]=+P(A)=0．4+0．3=0．7．3、设A，B，C是两两相互独立且三事件不能同时发生的事件，且P(A)=P(B)=P(C)=x，则使P(A∪B∪C)取最大值的x为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+0=3x-3x2．设f(x)=3x-3x2，则f’(x)=3-6x=0，解得x=又f’’(x)=-6＜0，故是极大值同时也是最大值．4、下述函数中，在(-∞，+∞)内可以作为某个随机变量X的分布函数的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：选项A不满足规范性：选项B四个条件都满足；选项C不满足规范性：选项D，虽然有但不能保证f非负，故排除D．5、设随机变量X的分布函数为F(x)，概率密度为f(x)．若X与-X有相同的分布函数，则()A、F(x)=F(-x)．B、F(x)=-F(-x)．C、f(x)=f(-x)．D、f(x)=-f(-x)．标准答案：C知识点解析：由于分布函数和概率密度都满足非负性，故B、D不能入选．又由题设知X与-X有相同的分布函数，即P{X≤x}=P{-X≤x}，而P{-X≤x}=P{X≥-x}=1-P{X＜-x}，所以P{X≤x}=1-P{X＜-x}，故F(x)=1-F(-x)，有F(x)+F(-x)=1．所以F’(x)-F’(-x)=0，即f(x)=f(-x)，因此仅C入选．6、设随机变量X的概率密度函数为φ(x)，且已知φ(-x)=φ(x)，F(x)为X的分布函数，则对任意实数a，有()A、F(-a)=B、F(-a)=C、F(-a)=F(a)．D、F(-a)=2F(a)-1．标准答案：B知识点解析：7、假设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X，2}的分布函数()A、是连续函数．B、至少有两个间断点．C、是阶梯函数．D、恰好有一个间断点．标准答案：D知识点解析：令Y=min{X，2}，当y＜0时，FY(y)=0；当y≥2时，FY(y)=1；当0≤y＜2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{min{X，2}≤y}=P{X≤y}=1-e-λy，因此FY(y)恰有一个间断点y=2．8、设随机变量X与Y相互独立且都服从参数为λ的指数分布，则下列随机变量中服从参数为2λ的指数分布的是()A、X+Y．B、X-Y．C、max{X，Y}．D、min(X，Y}．标准答案：D知识点解析：利用服从指数分布的充要条件或必要条件来判断．对于A，E(X+Y)=E(X)+E(Y)=对于B，E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0≠对于C，max{X，Y}=E(max{X，Y})=故A、B、C都不正确，选D．9、已知(X，Y)在区域D={(x，y)｜-1＜x＜1，-1＜y＜1}上服从均匀分布，则()A、P(X+Y≥0)=B、P{X-Y≥0}=C、P{max{X，Y}≥0}=D、P(min{X，Y)≥0}=标准答案：D知识点解析：由题设知，(X，Y)的概率密度为由于P{min{X，Y}≥0}=P{X≥0，Y≥0}=故选D．而P{max{X，Y}≥0}=1-P{max{X，Y}＜0}=1-P{X＜0，Y＜0}所以选项A、B、C都不正确．10、设X，Y是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别是FX(x)，FY(y)，则Z=max{X，Y}的分布函数是()A、FZ(z)=max{FX(z)，FY(z)}．B、FZ(z)=FX(z)FY(z)．C、FZ(z)=max{｜FX(z)｜，｜FY(z)｜}．D、FZ(z)=FX(z)．标准答案：B知识点解析：FZ(z)=P{Z≤z}=P{max{X，Y}≤z}=P{X≤z，Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}=FX(z)FY(z)．11、设两个不相关的随机变量X，Y的方差分别为4和1，则随机变量4X-2Y的方差为()A、14．B、18．C、60．D、68．标准答案：D知识点解析：D(4X-2Y)=D(4X)+D(2Y)-2Coy(4X，2Y)，因为X与Y不相关，所以4X，2Y也不相关，即Cov(4X，2Y)=0，故D(4X-2Y)=16D(X)+4D(Y)=68，故选D．12、现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今每人从中随机地无放回地抽取3张，则此人抽得奖券的金额的数学期望为()A、6．B、12．C、7．8．D、9．标准答案：C知识点解析：假设X表示“随机地无放回地抽取3张，抽得奖券的金额”，则X可能的取值为6，9，12．且P{X=6}=P{3张都是2元}=P{X=9}=P{2张2元，1张5元}=P{X=12}=P{1张2元，2张5元}=X的分布律为13、设随机变量X，Y独立同分布，记ξ=X+Y，η=X-Y，则随机变量ξ，η必()A、相互独立．B、不相互独立．C、相关．D、不相关．标准答案：D知识点解析：Cov(ξ，η)=Cov(X+Y，X-Y)=D(X)-Cov(X，Y)+Cov(Y，X)-D(Y)=0，所以ξ，η不相关．14、设X，Y是两个相互独立的随机变量且都服从于N(0，1)，则Z=max{X，Y}的数学期望E(Z)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：Z=max{X，Y}=(X+Y+｜X-Y｜)，因X，Y相互独立同服从分布N(0，1)，故X-Y～N(0，2)，则15、设X1，…，Xn为来自总体N(0，σ2)的样本，则样本二阶原点矩A2=的方差为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：X1，X2，…，Xn来自总体N(0，σ2)，所以选C．16、设X～F(n，n)，p1=P{X≥1}，p2=P{X≤1}，则()A、p1＜p2．B、p1=p2．C、p1＞p2．D、p1，p2无法比较．标准答案：B知识点解析：因为X～F(n，n)，所以～F(n，n)，故p1=P{X≥1}==P{X≤1)=p2．17、设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，则数学期望等于()A、n3(n-1)μσ2．B、n(n-1)μσ2．C、n2(n-1)μσ2．D、n3(n-1)μσ．标准答案：A知识点解析：因为，所以18、设总体X～N(μ0，12)，X1，X2，…，X16为取自X的样本，其样本均值为，样本方差为S2，检验H0：μ=μ0，则检验统计量为()A、B、C、χ2=(16-1)S2．D、以上都不是．标准答案：A知识点解析：因X～N(μ0，12)，故σ2已知，检验μ=μ0用U检验法，检验统计量为故选A．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)19、随机地向半圆(a＞0)内投掷一点，点落在半圆内的任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点连线与x轴正方向夹角小于的概率为_______．标准答案：知识点解析：设事件A表示“原点与该点连线与x轴正方向夹角小于”，从而则由几何型概率知20、设连续型随机变量X的概率密度为则a=________，X的分布函数为F(x)=_____．标准答案：知识点解析：利用概率密度的规范性，解得a=9．X的概率密度为f(x)=当x＜0时，F(x)=当x≥0时，F(x)==1-3xe3x-e-3x.故F(x)=21、设X服从参数为λ的泊松分布，P{X=1}=P{X=2}，则概率P{0＜X2＜3}=_______．标准答案：2e-2知识点解析：P{X=k}=(k=0，1，…)，由于P{X=1}=P{X=2}，即，解得λ=2．故P{0＜X2＜3}=P{X=1}=2e-2．22、设X，Y的联合分布律为且X，Y相互独立，则a=_______，b=_______．标准答案：知识点解析：X，Y的联合分布律及边缘分布律为：23、设随机变量X的概率密度为f(x)=则E(X)=________．标准答案：1知识点解析：24、设随机变量X～N(0，4)，Y～U(0，4)，且X，Y相互独立，则E(XY)=______，D(X+Y)=_____，D(2X-3Y)=______．标准答案：知识点解析：因为X，Y相互独立，所以E(XY)=E(X)E(Y)=0，D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+D(2X-3Y)=4D(X)+9D(Y)=4×4+9＞=28．25、若随机变量X1，X2，X3相互独立，且从相同的两点分布服从________分布，E(X)=________，D(X)=_________．标准答案：B(3，0．2)，0．6，0．48知识点解析：由Xi～B(1，0．2)，i=1，2，3，X1，X2，X3相互独立，所以X=X1+X2+X3～B(3，0．2)，所以E(X)=3p=3×0．2=0．6，D(X)=3pq=3×0．2×0．8=0．48．26、设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n→∞时，Yn=依概率收敛于_________．标准答案：知识点解析：本题中X12，X22，…，Xn2满足大数定律的条件，且E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=因此根据大数定律有Yn=依概率收敛于E(Yn)=27、设X1，X2，X3，X4是来自正态总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本，则Y=(X3-X4)／服从______分布，其自由度为_______．标准答案：t，2知识点解析：因X～N(μ，σ2)，故X3-X4～N(0，2σ2)，则～N(0，1)．考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第3套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设A，B，C是相互独立的随机事件，且0＜P(C)＜1，则下列给出的四对事件中不相互独立的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：2、设X，Y为随机变量，若E(XY)=E(X)E(Y)，则()．A、X，Y独立B、X，Y不独立C、X，Y相关D、X，Y不相关标准答案：D知识点解析：因为Cov(X，Y)-E(XY)－E(X)E(Y)，所以若E(XY)=E(X)E(Y)，则有Cov(X，Y)=0，于是X，Y不相关，选(D)．3、设事件A，B，C两两独立，则事件A，B，C相互独立的充要条件是()．A、A与BC相互独立B、AB与A+C相互独立C、AB与AC相互独立D、A＋B与A+C相互独立标准答案：A知识点解析：在A，B，C两两独立的情况下，A，B，C相互独立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)=P(A)P(BC)，所以正确答案为(A)．4、设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(x)为偶函数，X的分布函数为F(x)，则对任意实数a，有()．A、F(一a)=1一∫0af(x)dxB、F(一a)=一∫0af(x)dxC、F(一a)=F(a)D、F(一a)=2F(a)一1标准答案：B知识点解析：F(-a)=∫－∞－af(x)dx∫a＋∞f(-t)dt=∫a＋∞f(t)dt=1一∫－∞af(t)dt=1－(∫－∞－af(t)dt＋∫－aaf(t)dt)=1－F(－a)－2∫0af(t)dt则F(－a)=∫0af(x)dx，选(B)．5、设X和Y分别表示扔n次硬币出现正面和反面的次数，则X，Y的相关系数为()．A、一1B、0C、D、1标准答案：A知识点解析：设正面出现的概率为p，则X～B(n，p)，Y=n一X～B(n，1一p)，E(X)=np，D(X)=np(1一p)，E(Y)=n(1一p)，D(Y)=np(1一p)，Cov(X，Y)=Cov(X，n一X)=Cov(X，n)=Cov(X，X)，因为Cov(X，n)=E(nX)一E(n)E(X)=nE(X)一nE(X)=0，Cov(X，X)=D(X)=np(1一p)，所以ρXY==一1，选(A)．6、设X～t(n)，则下列结论正确的是()．A、X2～F(1，n)B、～F(1，n)C、X2～χ2(n)D、X2～χ2(n—1)标准答案：A知识点解析：二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)7、设A，B为两个随机事件，则=________．标准答案：0知识点解析：8、一工人同时独立制造三个零件，第k个零件不合格的概率为(k=1，2，3)，以随机变量X表示三个零件中不合格的零件个数，则P(X=2)=________．标准答案：知识点解析：令Ak=｛第k个零件不合格｝(k=1，2，3)，9、设随机变量X～N(0，σ2)，Y～N(0，4σ2)，且P(X≤1，Y≤一2)=，则P(X＞1，Y＞一2)=________．标准答案：知识点解析：10、若随机变量X～N(2，σ2)，且P(2＜X＜4)=0．3，则P(X＜0)=_________．标准答案：0．2知识点解析：由P(2＜X＜4)=0．3得，则P(X＜0)==0．2．11、设随机变量X～N(1，2)，Y～N(一1，2)，Z～N(0，9)且随机变量X，Y，Z相互独立，已知a(X＋Y)2＋bZ2～χ2(n)(ab≠0)，则a=_________，b=_________，n=________·标准答案：，n=2知识点解析：由X～N(1，2)，Y～N(一1，2)，Z～N(0，9)，得X+Y～N(0，4)且12、设A，B相互独立，只有A发生和只有B发生的概率都是，则P(A)=_________．标准答案：知识点解析：根据题意得13、设(X，Y)的联合分布函数为F(x，y)=，则P{max(X，y)＞1｝=_________．标准答案：e－2+e－3一e－5知识点解析：由FX(x)=F(x，+∞)=，得X～E(2)，同理Y～E(3)，且X，Y独立．P｛max(X，Y)＞1｝=P(X＞1或Y＞1)=1一P(X≤1，Y≤1)=1一P(X≤1)P(Y≤1)=1一FX(1)FY(1)=1一(1一e－2)(1一e－3)=e－2+e－3一e－514、设随机变量X，Y不相关，X～U(一3，3)，Y的密度为fY(y)=，根据切比雪夫不等式，有P｛｜X—Y｜＜3｝≥_________．标准答案：知识点解析：E(X)=0，D(X)=3，E(Y)=0，D(Y)=，则E(X—Y)=0，D(X—Y)=D(X)+D(Y)一2Cov(X，Y)=，所以P｛X—Y｜＜3｝=P｛｜(X—Y)一E(X—Y)｜＜3｝≥1一．三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)袋中有12只球，其中红球4个，白球8个，从中一次抽取两个球，求下列事件发生的概率：15、两个球中一个是红球一个是白球；标准答案：令A=｛抽取的两个球中一个是红球一个是白球｝，则P(A)=．知识点解析：暂无解析16、两个球颜色相同．标准答案：令B=｛抽取的两个球颜色相同｝，则P(B)=．知识点解析：暂无解析17、设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求X的分布．标准答案：知识点解析：暂无解析设二维随机变量(X，Y)的联合密度f(x，y)=．18、求c；标准答案：1=c∫0＋∞dx∫0＋∞xe－x(y＋1)dy==1．知识点解析：暂无解析19、求X，Y的边缘密度，问X，Y是否独立?标准答案：当x≤0时，fX(x)=0；当x＞0时，fX(x)=∫0＋∞xe－x(y＋1)dy=e－x．当y≤0时，fY(y)=0；当y＞0时，fY(y)=∫0＋∞xe－x(y＋1)dx=．显然当x＞0，y＞0时，f(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X，Y不相互独立．知识点解析：暂无解析20、求Z=max(X，Y)的密度．标准答案：当z≤0时，FZ(z)=0；当z＞0时，FZ(z)=P(Z≤z)=P｛max(X，Y)≤z｝=P(X≤z，Y≤z)=∫0zdx∫0zxe－x(y＋1)dy=1－e－z＋，fZ(z)=．知识点解析：暂无解析21、设一设备开机后无故障工作时间X服从指数分布，平均无故障工作时间为5小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作2小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间Y的分布．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设X与Y相互独立，且X～N(0，σ2)，Y～N(0，σ2)，令Z=，求E(Z)，D(Z)．标准答案：因为X与Y相互独立，且X～N(0，σ2)，Y～N(0，σ2)，知识点解析：暂无解析23、设总体X～N(0，σ2)，X1，X2，…，X20是总体X的简单样本，求统计量U=所服从的分布．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设总体X的密度函数为f(x)=，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，求参数θ的最大似然估计量．标准答案：知识点解析：暂无解析设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份．随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表．25、求先抽到的一份报名表是女生表的概率p；标准答案：设Ai=｛所抽取的报名表为第i个地区的｝(i=1，2，3)，Bi=｛第j次取的报名表为男生报名表｝(j=1，2)，则知识点解析：暂无解析26、设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率q．标准答案：知识点解析：暂无解析设随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布，令．27、求(U，V)的联合分布；标准答案：，(U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)．P(U=0，V=1)=P(X≤Y，X＞2Y)=0；P(U=1，V=0)=P(X＞Y，X≤2Y)=P(Y＜X≤2Y)=；P(U=0，V=0)=P(X≤Y，X≤2Y)=P(X≤Y)=；知识点解析：暂无解析28、求ρUV．标准答案：知识点解析：暂无解析29、设总体X的概率分布为θ(0＜θ＜)是未知参数，用样本值3，1，3，0，3，1，2，3求θ的矩估计值和最大似然估计值·标准答案：E(X)=0×θ2＋1×2θ(1一θ)+2×θ2+3×(1—2θ)=3—4θ，L(θ)=θ2×[2θ(1一θ)]2×θ2×(1—2θ)4=4θ6(1一θ)2(1—2θ)4，lnL(θ)=ln4+6lnθ+2ln(1一θ)+4ln(1—2θ)，知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，Sn＝X1＋X2＋…＋Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时Sn近似服从正态分布，只要X1，X2，…，XnA、有相同期望和方差．B、服从同一离散型分布．C、服从同一均匀分布．D、服从同一连续型分布．标准答案：C知识点解析：暂无解析2、假设随机变量X1，X2，…相互独立且服从同参数A的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是A、X1，X2，…，Xn，…B、X1＋1，X2＋2，…，Xn＋n，…C、X1，2X2，…，nXn，…D、X1，X2，…，Xn标准答案：C知识点解析：暂无解析3、设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立，根据辛钦大数定律，当n→∞时Xi依概率收敛于其数学期望，只要{Xn，n≥1}A、有相同的数学期望．B、有相同的方差．C、服从同一泊松分布．D、服从同一连续型分布，f(χ)＝(－∞＜χ＜＋∞)．标准答案：C知识点解析：辛钦大数定律要求：{Xn，n≥1}独立同分布且数学期望存在．选项A、B缺少同分布条件．选项D虽然服从同一分布但期望不存在，因此选C．4、设Xn表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数，则A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：由于Xn～B(n，)，且EXn＝np＝，DXn＝npq＝，因此根据“二项分布以正态分布为极限分布”定理，有故选C．5、设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数Fα(3，4)满足P{X＞Fα(3，4)}＝α，若P{X≤χ}＝1－α，则χ＝A、B、C、Fα(4，3)．D、F1－α(4，3)．标准答案：A知识点解析：因X～F(3，4)，故～F(4，3)．又1－α＝P{X≤χ}＝P{X＜χ}＝，所以＝F1-α(4，3)，即χ＝．因此选A．6、设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，记Y＝a(X1－2X2)2＋b(3X3－4X4)2，其中a，b为常数．已知Y～χ2(n)，则A、n必为2．B、n必为4．C、n为1或2．D、n为2或4．标准答案：C知识点解析：依题意Xi～N(0，22)且相互独立，所以X1－2X2～N(0，20)，3X3－4X4～N(0，100)，故且它们相互独立．由χ2分布的典型模式及性质知(1)当时，Y～χ2(2)：(2)当a＝，b＝0，或a＝0，b＝时，Y～χ2(1)．由上可知，n＝1或2，即应选C．7、设X1，X2，…，Xn是来自标准正态总体的简单随机样本，和S2为样本均值和样本方差，则A、服从标准正态分布．B、Xi2服从自由度为n－1的χ2分布．C、n服从标准正态分布．D、(n－1)S2服从自由度为n－1的χ2分布．标准答案：D知识点解析：显然，(n－1)S2服从自由度为n－1的χ2分布，故应选D．其余选项不成立是明显的，对于服从标准正态分布的总体，，n～N(0，n)．由于X1，X2，…，Xn相互独立并且都服从标准正态分布，可见Xi2服从自由度为n的χ2分布．8、设随机变量X服从n个自由度的t分布，定义tα满足P{X≤tα}＝1一d－α(0＜α＜1)．若已知P{｜X｜＞χ}＝b(b＞0)，则χ等于A、t1-b．B、．C、tb．D、．标准答案：D知识点解析：根据t分布的对称性及b＞0，可知χ＞0．从而P{X≤χ}＝1－P{X＞χ}＝1－P{｜X｜＞χ}＝1－．根据题设定义P{X≤tα}＝1－α，可知χ＝．应选D．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)9、将一颗骰子连续重复掷4次，以X表示4次掷出的点数之和，则根据切比雪夫不等式，P{10＜X＜18}≥_______．标准答案：知识点解析：以Xk(k＝1，2，3，4)表示第k次掷出的点数，则Xk独立同分布：P{Xk＝i}＝(i＝1，2，…，6)．所以EXk＝(1＋2+＋…＋6)＝，EXk2＝(1＋22＋…＋62)＝，DXk＝EXk2－(EXk)2＝．又由于X＝X1＋X2＋X3＋X4，而Xk(k＝1，2，3，4)相互独立，所以EX＝4×＝14，DX＝4×．因此，根据切比雪夫不等式，有P{10＜X＜18}＝P{－4＜X－14＜4}＝P{｜X－14｜＜4}＝P{｜X－EX｜＜4}≥1－．10、设随机变量X1，…，Xn相互独立同分布，EXi＝μ，DXi＝8(i＝1，2，…，n)，则概率P{μ－4＜＜μ＋4}≥_______，其中标准答案：1－知识点解析：由于X1，…，Xn相互独立同分布，因此有E＝μ，．应用切比雪夫不等式，有P{μ－4＜＜μ＋4}＝P{｜－μ｜＜4}≥1－，即P{μ－4＜＜μ＋4}≥1－．11、已知随机变量X与Y的相关系数ρ＝，且EX＝EY，DX＝DY，则根据切比雪夫不等式有估计式P{｜X－Y｜≥}≤_______．标准答案：知识点解析：由于E(X－Y)＝EX－EY＝0，D(X－Y)＝DX＋DY－2Cov(X，Y)＝DY＋DY－2.ρ＝所以P{｜X－Y｜≥12、将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于_______．标准答案：7／2知识点解析：设X1，X2，…，Xn是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望EX＝21／6＝7／2．因此，根据辛钦大数定律，依概率收敛于7／2．13、设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立且都服从正态分布N(μ，σ2)，记Yn＝X2n－X2n-1根据辛钦大数定律，当n→∞时Yi2依概率收敛于_______．标准答案：2σ2知识点解析：由于{Xn，n≥1}相互独立，故Yn＝X2n－X2n-1(n≥1)相互独立并且都服从N(0，2σ2)，所以{Yn2，n≥1}独立同分布且EYn2＝DYn＋(EYn)2＝2σ2，根据辛钦大数定律，当n→∞时Yi2依概率收敛于2σ2．14、设随机变量序列X1，Xn，…相互独立且都在(－1，1)上服从均匀分布，则＝_______(结果用标准正态分布函数Ф(χ)表示)．标准答案：Ф()知识点解析：由于Xn相互独立且都在(－1，1)上服从均匀分布，所以EXn＝0，DXn＝，根据独立同分布中心极限定理，对任意χ∈R有取χ＝，得．15、设随机试验成功的概率p＝0．20，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16和32次之间的概率α＝_______．标准答案：0．84知识点解析：以X表示“在100次独立重复试验中成功的次数”，则X服从参数为(n，p)的二项分布，其中n＝100，p＝0．20，且EX＝np＝20，＝4．由棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理，知随机变量Un＝近似服从标准正态分布N(0，1)．因此试验成功的次数介于16和32次之间的概率α＝P{16≤X≤32}＝≈Ф(3)－Ф(－1)＝Ф(3)－[1－Ф(1)]＝0．9987－(1－0．8413)＝0．84，其中Ф(u)是标准正态分布函数．16、设总体X～E(λ)，则来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn的联合概率密度f(χ1，χ2，…，χn)＝_______．标准答案：知识点解析：总体X的概率密度f(χ)＝由于X1，X2，…，Xn相互独立，且与总体X服从同一指数分布，因此f(χ1，χ2，…，χn)＝17、设总体X～P(λ)，则来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn的样本均值的概率分布为_______．标准答案：知识点解析：由泊松分布的可加性可知，当X1，X2独立时，X1＋X2－P(2λ)，继而有X1，X2，…，Xn独立同为P(λ)分布时，Xi＝n～P(nλ)．于是，对任意n＞2，n的概率分布为P{n＝k}＝e－nλ，k＝0，1，2，…，而P{n＝k}＝，所以18、已知χ2～χ2(n)，则E(χ2)＝_______．标准答案：n知识点解析：由χ2分布的典型模式χ2＝X12＋X22＋…＋Xn2＝Xi2知，E(χ2)＝E(χi2)，而χi～N(0，1)，且Xi相互独立，由于E(Xi2)＝D(Xi)＋[E(Xi)]2＝1＋0＝1，所以E(χ2)＝E(Xi2)＝n．19、已知X1，X2，X3相互独立且服从N(0，σ2)，则服从的分布及参数为_______．标准答案：知识点解析：记Y1＝X2＋X3，Y2＝X2－X3，则Y1～N(0，2σ2)，Y2～N(0，2σ2)．由于Cov(Y1，Y2)＝E(Y1Y2)－E(Y1)E(Y2)＝E[(X2＋X3)(X2－X3)]＝E(X22)－E(X32)＝σ2－σ2＝0，所以Y1与Y2相互独立，且与X1独立．又由X1＋X2＋X3＝X1＋Y1～N(0，3σ2)，可知(X1＋X2＋X3)～N(0，1)，～χ2(1)，且X1＋X2＋X3与X2－X3相互独立，于是按t分布定义有20、设总体X的密度函数f(χ)＝又，S2分别为取自总体X容量为n的样本的均值和方差，则E＝_______；D＝_______；ES2＝_______．标准答案：0，知识点解析：由于E＝EX，，ES2＝DX，由题设有EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝∫－11χ｜χ｜dχ＝0．DX＝EX2－(EX)2＝∫－∞＋∞χ2f(χ)dχ＝∫－11χ2｜χ｜dχ＝2∫01χ2dχ＝所以E＝0，，ES2＝．三、解答题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)21、对某一目标进行多次同等规模的轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是个随机变量，假设其期望值为2，标准差是1．3，计算在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率．标准答案：设第i次轰炸中命中目标的炸弹数为Xi，100次轰炸中命中目标的炸弹总数为X，则X＝X1＋…＋X100，且X1，…，X100相互独立同分布．EXi＝2，DX＝1．32，EX＝200，DX＝169．应用独立同分布中心极限定理，X近似服从正态分布N(200，169)，则有P{180＜X＜220}＝P{｜X－200｜＜20}＝≈2Ф(1．54)－1＝0．876．知识点解析：暂无解析22、假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克．求：(Ⅰ)100个螺丝钉一袋的重量超过5．1千克的概率；(Ⅱ)每箱螺丝钉装有500袋，500袋中最多有4％的重量超过5．1千克的概率．标准答案：(Ⅰ)假设Xi表示袋中第i颗螺丝钉的重量，i＝1，…，100，则X1，…，X100相互独立同分布，EXi＝50，DXi＝52．记一袋螺丝钉的重量为S100，则S100＝，ES100＝5000，DS100＝2500．应用列维－林德伯格中心极限定理可知S100近似服从正态分布N(5000，502)，且P{S100＞5100}＝1－P{S100≤5100}＝1－≈1－Ф(2)＝0．02275．(Ⅱ)设500袋中重量超过5．1千克的袋数为Y，则Y服从参数n＝500，p＝0．02275的二项分布．EY＝11．375．DY＝11．116．应用棣莫弗．拉普拉斯中心极限定理，可知Y近似服从参数μ＝11．375，σ2＝11．116的正态分布，于是≈Ф(2．59)＝0．995．知识点解析：暂无解析23、设X1，X2，…，Xn是来自标准正态总体N(0，1)的简单随机样本，其均值和方差分别为X和S2，记T＝＋S2．试求：E(T)与E(T2)的值．标准答案：由正态总体的性质知，与S2相互独立；由样本数字特征的性质知，E()＝E(X)＝0，E(S2)＝D(X)＝1；由正态总体的样本方差的分布知，(n－1)S2～χ2(n－1)；由χ2分布的性质知，D[χ2(n－1)]＝2(n－1)，从而D[(n－1)S2]＝(n－1)2D(S2)＝2(n－1)，即D(S2)＝．于是E(T)＝E(＋S2)＝E()＋E(S2)＝0＋1＝1，E(T2)＝E[(＋S2)2]＝D(＋S2)＋[E(＋S2)]2＝知识点解析：暂无解析24、已知总体X的数学期望EX＝μ，方差DX＝σ2，X1，X2，…，X2n是来自总体X容量为2n的简单随机样本，样本均值为，统计量Y＝(Xi＋Xn+i－2)2，求EY．标准答案：由于总体分布未知，我们只好将Y化简，应用数字特征性质计算EY．由于又EXi＝μ，DXi＝σ2，EXi2＝σ2＋μ2，，所以2nσ2＋2nμ2＋2nμ2－2σ2－4nμ2＝2(n－1)σ2．知识点解析：暂无解析25、(Ⅰ)设X与Y相互独立，且X～N(5，15)，Y～X2(5)，求概率P{X－5＞3．5}；(Ⅱ)设总体X～N(2．5，62)，X1，X2，X3，X4，X5是来自X的简单随机样本，求概率P{(1．3＜＜3．5)∩(6．3＜S2＜9．6)}．标准答案：(Ⅰ)P{X－5＞3．5}＝＝P{t(5)＞2．02}＝0．05．(Ⅱ)因与S2相互独立，故有p＝P{(1．3＜＜3．5)∩(6．3＜S2＜9．6)}＝P{1．3＜＜3．5}P{6．3＜S2＜9．6}而～N(2．5．62／5)．即有P{6．3＜S2＜9．6}＝＝P{0．7＜χ4(4)＜1．067}＝P{χ2(4)＞0．7}－P{χ2(4)＞1．067}＝0．95－0．90＝0．05．于是所求概率为P＝0．3179×0．05＝0．0159．知识点解析：暂无解析26、设X1，X2，…，Xn是取自正态总体X的简单随机样本，EX＝μ，DX＝4，Xi，试分别求出满足下列各式的最小样本容量n：(Ⅰ)P{｜－μ｜≤0．10}≥0．90；(Ⅱ)D≤0．10；(Ⅲ)E｜－μ｜≤0．10．标准答案：依题意，X～N(μ，4)，～N(0，1)．(Ⅰ)P{｜－μ｜≤0．10}＝＝2Ф(0．05)－1≥0．90，即Ф(0．05)≥0．95．查标准正态分布函数表可得0．05≥1．65，n≥1089．(Ⅱ)解不等式≤0．1，n≥40．(Ⅲ)令U＝，易见U一N(0，1)，于是解不等式知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第5套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设A，B为任意两个不相容的事件且P(A)＞0，P(B)＞0，则下列结论正确的是()．A、B、C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(A—B)=P(A)标准答案：D知识点解析：因为A，B不相容，所以P(AB)=0，又P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(A－B)=P(A)，选(D)．2、设X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，令P=P(X≤μ一4)，q=P(Y≥μ+5)，则()．A、p＞qB、p＜qC、p=qD、p，q的大小由μ的取值确定标准答案：C知识点解析：3、设X为随机变量，E(X)=μ，D(X)=σ2，则对任意常数C有()．A、E[(X—C)]2=E[(X一μ)]2B、E[(X－C)]2≥E[(X—μ)]2C、E[(X—C)]2=E(X2)一C2D、E[(X－C)2]＜E[(X一μ)2]标准答案：B知识点解析：E[(X-C)2]－E[(X-μ)2]=[E(X2)一2CE(X)+C2]一[E(X2)一2μE(X)+μ2]=C2+2E(X)[E(X)－C]一[E(X)]2=[C—E(X)]2≥0，选(B)．4、设随机变量X～F(m，n)，令P｛X＞Fα(m，n)｝=α(0＜α＜1)，若P(X＜k)=α，则k等于()．A、Fα(m，n)B、F1－α(m，n)C、D、标准答案：B知识点解析：根据左右分位点的定义，选(B)．5、若事件A1，A2，A3两两独立，则下列结论成立的是()．A、A1，A2，A3相互独立B、两两独立C、P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)D、相互独立标准答案：B知识点解析：由于A1，A2，A3两两独立，所以也两两独立，但不一相互独立，选(B)．6、设随机变量X服从参数为1的指数分布，则随机变量y=min｛X，2｝的分布函数()．A、是阶梯函数B、恰有一个间断点C、至少有两个间断点D、是连续函数标准答案：B知识点解析：FY(y)=P(Y≤y)=P｛min(X，2)≤y｝=1一P｛min(X，2)＞y｝=1一P(X＞y，2＞y)=1一P(X＞y)P(2＞y)当y≥2时，FY(y)=1；当y＜2时，FY(y)=1一P(X＞y)=P(X≤y)=FX(y)，而FX(x)=，所以当0≤y＜2时，FY(y)=1－e－y；当y＜0时，FY(y)=0，即FY(y)=，显然FY(y)在y=2处间断，选(B)．7、若(X，Y)服从二维正态分布，则①X，Y一定相互独立；②若ρXY=0，则X，Y一定相互独立；③X和Y都服从一维正态分布；④X，Y的任一线性组合服从一维正态分布，上述几种说法中正确的是()．A、①②③B、②③④C、①③④D、①②④标准答案：B知识点解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以X，Y都服从一维正态分布，aX+bY服从一维正态分布，且X，Y独立与不相关等价，所以选(B)．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)8、设事件A，B相互独立，P(A)=0．3，且P(A+)=0．7，则P(B)=________．标准答案：知识点解析：9、设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=0)=P(X=1)，则P(X≥1)=________．标准答案：1一e－2知识点解析：X的分布律为P(X=k)=e－λ(k=0，1，2，…)，由P(X=0)=P(X=1)得λ=2，P(X≥1)=1一P(X=0)=1一e－2．10、设X～P(1)，Y～P(2)，且X，Y相互独立，则P(X+Y=2)=_________．标准答案：知识点解析：P(X+Y=2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=0)，由X，Y相互独立得P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=11、设随机变量X在[一1，2]上服从均匀分布，随机变量Y=，则D(Y)=_________．标准答案：知识点解析：随机变量X的密度函数为f(x)=，随机变量Y的可能取值为一1，0，1，12、设X为总体，E(X)=μ，D(X)=σ2，X1，X2，…，Xn为来自总体的简单随机样本，S2=，则E(S2)=_________·标准答案：σ2知识点解析：13、设A，B是两个随机事件，且P(A)=0．4，P(B)=0．5，=_________．标准答案：0.2知识点解析：因为相互独立，故=P(A)[1一P(B)]=0．4×0．5=0．214、设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=_______时，成功次数的标准差最大，其最大值为________．标准答案：p=，最大值为5知识点解析：设成功的次数为X，则X～B(100，p)，D(X)=100p(1－p)，标准差为．令f(p)=p(1-p)(0＜P＜1)，由f’(p)=1—2p=0得=一2＜0，所以时，成功次数的标准差最大，最大值为5．15、设随机变量X的密度函数为f(x)=，则E(X)=__________，D(X)=_________．标准答案：E(X)=1，D(X)=知识点解析：因为16、设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，S2=，则D(S2)=_________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)设(X，Y)的联合概率密度为f(x，y)=，求：17、(X，Y)的边缘密度函数；标准答案：当0＜x＜1时，fX(x)=∫－∞＋∞f(x，y)dy=∫02xdy=2x，当x≤0或x≥1时，fX(x)=0，所以fX(x)=，同理fY(y)=．知识点解析：暂无解析18、Z=2X—Y的密度函数．标准答案：当z≤0时，F(z)=0；当z≥2时，F(z)=1；当0＜z＜2时，知识点解析：暂无解析19、设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时问服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动，求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度．标准答案：用X，Y分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的时间，则T=X+Y，由已知条件得X，Y的密度为fX(x)=．当t≤0时，FT(t)=0；当t＞0时，FT(t)=P(X+Y≤t)==25∫0te－5xdx∫0t－xe－5ydy=5∫0te－5x[1一e－5(t－x)]dx=5∫0t(e－5x—e－5t)dx=(1一e－5t)一5te－5tT的密度函数为f(t)=．知识点解析：暂无解析20、设某种零件的长度L～N(18，4)，从一大批这种零件中随机取出10件，求这10件中长度在16～22之间的零件数X的概率分布、数学期望和方差．标准答案：显然X～B(10，p)，其中p=P(16≤L≤22)，因为L～N(18，4)，所以～N(0，1)，所以p=P(16≤L≤22)=(－1≤≤2)=φ(2)一φ(一1)=φ(2)+φ(1)一1=0．8185因此E(X)=np=10×0．8185=8．185，D(X)=npq=10×0．8185×(1—0．8185)=1．4856．知识点解析：暂无解析21、设总体X的分布律为P(X=k)=(1－p)k－1p(k=1，2，…)，其中p是未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体的简单随机样本，求参数p的矩估计量和极大似然估计量．标准答案：知识点解析：暂无解析设总体X的概率密度为f(x)=，其中未知参数θ＞0，设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单样本．22、求θ的最大似然估计量；标准答案：设x1，x2，…，xn为样本值，似然函数为知识点解析：暂无解析23、该估计量是否是无偏估计量?说明理由．标准答案：参数θ的无偏估计量．知识点解析：暂无解析24、设，求矩阵A可对角化的概率．标准答案：由｜λE一A｜==(λ－1)(λ一2)(λ—Y)=0得矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=Y．若Y≠1，2时，矩阵A一定可以对角化；当Y=1时，A=，λ=1为二重特征值，因为r(E—A)=2，所以A不可对角化；当Y=2时，A=，λ=2为二重特征值，因为r(2E－A)=1，所以A可对角化，故A可对角化的概率为P(Y≠1，2)+P(Y=2)=P(Y=0)+P(Y=2)+P(Y=3)=．知识点解析：暂无解析设随机变量X服从参数为2的指数分布，令U=，求：25、(U，V)的分布；标准答案：因为X服从参数为2的指数分布，所以X的分布函数为(U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)．P(U=0，V=0)=P(X≤1，X≤2)=P(X≤1)=F(1)=1一e－2；P(U=0，V=1)=P(X≤1，X＞2)=0；P(U=1，V=1)=P(X＞1，X＞2)=P(X＞2)=1一F(2)=e－4；P(U=1，V=0)=P(X＞1，X≤2)=e－2一e－4．(U，V)的联合分布律为知识点解析：暂无解析26、U，V的相关系数．标准答案：由U～得E(U)=e－2，E(V)=e－4，E(UV)=e－4，E(U2)=e－2，E(V2)=e－4，则D(U)=E(U2)一[E(U)]2=e－2一e－4，D(V)=E(V2)一[E(V)]2=e－4－e－8，Cov(U，V)=E(UV)一E(U)E(V)=e－4一e－6，于是ρUV=．知识点解析：暂无解析27、设随机变量X，Y相互独立且都服从N(μ，σ2)分布，令Z=max｛X，Y｝，求E(Z)．标准答案：因为X，Y都服从N(μ，σ2)分布，所以U=～N(0，1)，且U，V相互独立，则X=σU+μ，Y=σV+μ，故Z=max{X，Y}=σmax{U，V}+μ，由U，V相互独立得(U，V)的联合密度函数为f(μ，ν)=(一∞＜μ，ν＜+∞)．于是E(Z)=σE[max｛U，V｝]+μ．而E[max｛U，V｝]=∫－∞＋∞dμ∫－∞＋∞max{μ，ν}f(μ，ν)dν知识点解析：暂无解析28、设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn＋1为总体X的简单随机样本，记服从的分布·标准答案：知识点解析：暂无解析29、某种元件使用寿命X～N(μ，102)，按照客户要求该元件使用寿命不能低于1000h，现从该批产品中随机抽取25件，其平均使用寿命为=995，在显著性水平α=0．05下确定该批产品是否合格?标准答案：令H0：μ≥1000，H1：μ＜1000，因为总体方差已知，所以选取统计量，左临界点为一z0．05=一1．645，因为=一2．5＜－1．645，所以拒绝H0，即该批产品不合格．知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第6套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设A，B是任意两个事件，且AB，P(B)＞0，则必有()A、P(A)≤P(A｜B)B、P(A)＜P(A｜B)C、P(A)≥P(A｜B)D、P(A)＞P(A｜B)标准答案：A知识点解析：由于AB，因此AB=A，而0＜P(B)≤1，所以P(A)=P(AB)=P(B)P(A｜B)≤P(A｜B)，故选A．2、设随机变量X的概率密度为则Y=2X的概率密度为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为FY(y)=P{Y≤y}=P{2X≤y}=所以故选C．3、设X1，X1，…，Xn是来自总体．X～N(0，1)的简单随机样本，则统计量服从()A、y～χ2(n－1)B、Y～t(n－1)C、Y～F(n，1)D、Y～F(1，n－1)标准答案：B知识点解析：由总体X～N(0，1)知X1～N(0，1)，又它们相互独立，所以因此本题选B．4、设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则随机变量Z=Y－X的概率密度fZ(z)=()A、∫－∞+∞f(x，z－x)dxB、∫－∞+∞f(x，x－z)dxC、∫－∞+∞f(x，z+x)dxD、∫－∞+∞f(－x，z+x)dx标准答案：C知识点解析：记Z的分布函数为FZ(z)，则FZ(z)=P{Z≤z}=P(Y－X≤z}==∫－∞+∞dx∫－∞+∞f(x，y)dy，①其中Dz={(x，y)｜y－x≤z)，如图3—4所示的阴影部分．又∫－∞+∞f(x，y)dy∫－∞z(x，u+x)du．②将②代入①得FZ(z)=∫－∞+∞dx∫－∞zf(x，u+x)du=∫－∞zdu∫－∞+∞f(x，u+x)dx．于是fZ(z)==∫－∞+∞f(x，z+x)dx．因此本题选C．5、设X是随机变量，EX＞0且E(X2)=0．7，DX=0．2，则以下各式成立的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：于是由切比雪夫不等式知因此本题选C．6、设X1，X2，…，Xn独立同分布N(μ，σ2)，令i=1，2，…，，2，则Zk=服从的分布为()A、t(n－1)B、N(0，1)C、χ2(1)D、F(1，1)标准答案：B知识点解析：对k=1，2，…，n－1，则(k+1)Vk+Vk+1+…+Vn－1=(－X1－X2－…－Xk－1)+kXk－Xn于是Zk是独立正态分布随机变量X1，X2，…，Xk，Xn的线性组合，所以Zk服从正态分布．所以D[(k+1)Vk+Vk+1+…+Vn－1]=D[(－X1－X2－…－Xk－1)+kXk－Xn]=D(X1)+…+D(Xk－1)+k2D(Xk)+D(Xn)=[(k－1)+k2+1]σ2=(k2+k)σ2．因此(k+1)Vk+Vk+1+…+Vn－1～N(0，(k2+k)σ2)，标准化后即Zk～N(0，1)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)7、设随机变量X的分布函数为则A，B的值依次为______．标准答案：1；0知识点解析：由F(x)右连续的性质得即A+B=1．又于是B=0，A=1．8、设随机变量X1，X2，…，X100独立同分布，且EXi=0，DXi=10，i=1，2，…，100，令=______．标准答案：990知识点解析：9、设总体X的概率密度为其中θ＞－1为参数．X1，X1，…，Xn是来自总体X的样本，则未知参数θ的最大似然估计值为______．标准答案：知识点解析：似然函数为解得0的最大似然估计值为10、一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为______．标准答案：知识点解析：设A表示“第i次取的是次品”，i=1，2．则有由全概率公式得P(A2)=P(A1)P(A2｜A1)+11、设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为1的指数分布，则随机变量的概率密度为______．标准答案：知识点解析：由题意可知X的概率密度为则fZ(z)=∫－∞+∞｜x｜f(x)f(xz)dx，12、设总体X和Y相互独立，且分别服从正态分布N(0，4)和N(0，7)，X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y14分别来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量的数学期望和方差分别为______．标准答案：知识点解析：13、二维正态分布一般表示为N(μ1，μ2；σ12，σ22；ρ)，设(X，Y)～N(1，1；4，9；0．5)，令Z=2X－Y，则Z与Y的相关系数=______．标准答案：知识点解析：由(X，Y)～N(1，1；4，9；0．5)得EX=1，EY=1，DX=4，DY=9，ρXY=0．5，Cov(Z，Y)=Cov(2X－Y，Y)=2Cov(X，Y)－Cov(Y，Y)DZ=D(2X－Y)=4DX+DY－2Cov(2X，Y)三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)14、证明：若三事件A，B，C相互独立，则A∪B及A－B都与C相互独立．标准答案：因为P[(A∪B)C]=P(AC∪BC)=P(AC)+P(BC)－P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)－P(A)P(B)P(C)=EP(A)+P(B)－P(AB)]P(C)=P(A∪B)P(C)，所以A∪B与C相互独立．因为P[(A－B)C]==P(A－B)P(C)，所以A0B与C相互独立．知识点解析：暂无解析15、设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布，证明：Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布．标准答案：P{Z=k}=P{X+Y=k}=P{X=i}P{Y=k－i}=Cnipi(1－p)n－i.Cnk－ipk－i(1－p)n－k+i=pk(1－p)2n－kCniCnk－i=C2nkpk(1－p)2n－k，k=0，1，…，2n．故Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布．知识点解析：暂无解析从装有1个白球和2个黑球的罐子里有放回地取球，记这样连续取5次得样本X1，X2，X3，X4，X5．记y=X1+X2+…+X5，求：16、Y的分布律，EY，E(Y2)；标准答案：记Y是连续5次取球中取得黑球的个数，则从而知识点解析：暂无解析17、E(S2)(其中，S2分别为样本X1，X2，…，X5的均值与方差)．标准答案：由于X的分布律为知识点解析：暂无解析18、设X和Y相互独立且均服从0－1分布，P{X=1}=P{Y=1}=0．6．试证明：U=X+Y，V=X－Y不相关且不独立．标准答案：由协方差的定义和性质，以及X和Y相互独立，可知Coy(U，V)=E(UV)－EUEV=E(X2－Y2)－E(X+Y)E(X－Y)=E(X2)－E(Y2)=0，于是U=X+Y，V=X－Y不相关．现在证明U=X+Y，V=X－Y不独立．事实上，由P{U=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=0．16，P{V=0}=P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=1}=P{X=0}P{Y=0}+P{X=1}P{Y=1}=0．52，P{U=0，V=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=0．16≠0．16×0．52=P{U=0}P{V=0}，可见U和V不独立．知识点解析：暂无解析19、假设随机变量X服从参数为λ的指数分布，求随机变量Y=1－e－λx的概率密度fY(y)．标准答案：(公式法)y=1－e－λx是(0，+∞)上的单调函数，且其反函数为即随机变量Y=1－e－λx服从区间(0，1)上的均匀分布．知识点解析：暂无解析20、设随机变量X1，X1，…，Xn相互独立，且Xi服从参数为λi的指数分布，其概率密度为求P{X1=min{X1，X2，…，Xn}}．标准答案：方法一P{X1=min{X1，X2，…，Xn}}=P{X，≤min{X2，X3，…，Xn}}，记Y=min{X2，X3，…，Xn}，则有又因为(X1，Y)的概率密度为f(x，y)=f1(x)fY(y)，所以P{X1≤min{X2，X3，…，Xn}}==∫0+∞λ1e－λ1xdx∫x+∞(λ2+λ3+…+λn)e－(λ2+λ3+…+λn)ydy=∫0+∞λ1e－λ1xe－(λ2+λ3+…+λn)xdx=方法二利用连续型的全概率公式．P{min{X2，X3，…，Xn)≥X1}=∫－∞+∞P{min{X2，X3，…，Xn}≥x｜X1=x}f1(x)dx=∫0+∞P{min{X2，X3，…，Xn}≥x}λ1e－λ1xdx=∫0+∞P{X2≥x)…P{Xn≥x}λ1e－λ1xdx=λ1∫0+∞e－λ2x…e－λnxe－λ1xdx=知识点解析：暂无解析21、对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别为p1，p2，p3，各台仪器是否产生故障相互独立，求产生故障仪器的台数X的数学期望和方差．标准答案：X的分布律为由此直接计算EX和DX相当麻烦，应利用期望的性质进行计算．设i=1，2，3，则Xi(i=1，2，3)的分布律如下