考研数学三（微积分）模拟试卷9（共235题）

考研数学三（微积分）模拟试卷9（共9套）（共235题）考研数学三（微积分）模拟试卷第1套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、微分方程y’’－y’－6y＝(x＋1)e－2x的特解形式为()．A、(ax＋b)e－2xB、ax2e－2xC、(ax2＋bx)e－2xD、x2(ax＋b)e－2x标准答案：C知识点解析：因为原方程的特征方程的特征值为λ1＝－2，λ2＝3，而－2为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为x(ax＋b)e－2x，选(C)．2、设x2＋y2≤2ay(a＞0)，则f(x，y)dxdy在极坐标下的累次积分为()．A、∫0πdθ∫02acosθf(rcosθ，rsinθ)rdrB、∫0πdθ∫02asinθf(rcosθ，rsinθ)rdrC、dθ∫02acosθf(rcosθ，rsinθ)rdrD、dθ∫02asinθf(rcosθ，rsinθ)rdr标准答案：B知识点解析：令其中0≤θ≤π，0≤r≤2asinθ，则f(x，y)dxdy＝∫0πdθ∫02asinθf(rcosθ，rsinθ)rdr，选(B)．3、设f(x)＝，其中g(x)为有界函数，则f(x)在x＝0处()．A、极限不存在B、极限存在，但不连续C、连续，但不可导D、可导标准答案：D知识点解析：因为f(0＋0)＝＝0，f(0)＝f(0－0)＝x2g(x)＝0，所以f(x)在x＝0处连续；因为f’＋(0)＝f’－(0)＝0，所以f(x)在x＝0处可导，应选(D)．4、设f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得()．A、f(x)在(0，δ)内单调增加B、f(x)在(－δ，0)内单调减少C、对任意的x∈(－δ，0)，有f(x)＞f(0)D、对任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)标准答案：D知识点解析：因为f’(0)＝＞0，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＞0，当x∈(－δ，0)时，f(x)＜f(0)；当x∈(0，δ)时，f(x)＞f(0)，选(D)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、＝______．标准答案：知识点解析：因为sinx＝x－＋ο(x3)，所以(1＋x2)sinx－x～．6、设f(x)为偶函数，且f’(－1)＝2，则＝______．标准答案：－8知识点解析：因为f(x)为偶函数，所以f’(x)为奇函数，于是f’(1)＝－2，7、＝______．标准答案：知识点解析：8、设y＝y(x)由x－∫1x＋ye－t2确定，则＝______．标准答案：e－1知识点解析：当x＝0时，y＝1，x－∫1x＋ye－t2dt＝0两边对x求导，得1－e－(x＋y)2(1＋)＝0，将x＝0，y＝1代入得＝e－1．9、微分方程y’＋ytanx＝cosx的通解为______．标准答案：y＝(x＋C)cosx知识点解析：通解为y＝[∫cosxe∫tanxdxdx＋C]e－∫tanxdx＝(x＋C)cosx．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)10、求．标准答案：知识点解析：暂无解析11、．标准答案：知识点解析：暂无解析12、．标准答案：令f(x)＝arctanx，由微分中值定理得知识点解析：暂无解析13、(1)设f(x)＝｜x－a｜g(x)，其中g(x)连续，讨论f’(a)的存在性．(2)讨论f(x)＝在x＝0处的可导性．(3)设f(x)＝讨论f(x)在x＝0处的可导性．标准答案：由＝－g(a)得f’－(a)＝－g(a)；由＝g(a)得f’＋(a)＝g(a)，当g(a)＝0时，由f’－(a)＝f’＋(a)＝0得f(x)在x＝a处可导且f’(a)＝0，当g(a)≠0时，由f’－(a)≠f’＋(a)得f(x)在x＝a处不可导．(2)因为＝f(0)，所以f(x)在x＝0处连续．则f’(0)＝，即f(x)在x＝0处可导．(3)f(0)＝f(0－0)＝0，f(0＋0)＝＝0，由f(0—0)＝f(0＋0)＝f(0)得f(x)在x＝0处连续；由得f’－(0)＝0，得f’＋＝0，因为f’－(0)＝f’＋(0)＝0，所以f(x)在x＝0处可导．知识点解析：暂无解析14、设et2dt＝∫0xcos(x－t)2dt确定y为x的函数，求．标准答案：∫0xcos(x－t)2dt∫x0cosu2(－du)＝∫0xcost2dt,等式∫1y－x2et2dt＝∫0xcost2两边对x求导，得＝cosx2,于是cosx2．知识点解析：暂无解析15、证明：当0＜x＜1时，e－2x＞．标准答案：e－2x＞等价于－2x＞ln(1－x)－ln(1＋x)，令f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x，则f(0)＝0，f’(x)＝＞0(0＜x＜1)，由得f(x)＞0(0＜x＜1)，故当0＜x＜1时，．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且∫01f(t)dt＝0。证明：存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)＝∫0ξf(t)dt．标准答案：令φ(x)＝e－x∫0xf(t)dt，因为φ(0)＝φ(1)＝0，所以存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝e－x[f(x)－∫0xf(t)dt]且e－x≠0，故f(ξ)＝∫0ξf(t)dt．知识点解析：暂无解析17、求．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f(x)＝f(x－π)＋sinx，且当x∈[0，π]时，f(x)＝x，求∫π3πf(x)dx．标准答案：∫π3πf(x)dx＝∫π3π[f(x－π)＋sinx]dx＝∫π3πf(x－π)dx＋∫π3πsinxdx＝∫02πf(x)dx＝∫0πxdx＋∫π2πf(x)dx＝＋∫π2π[f(x－π)＋sinx]dx＝＋∫π2πf(x－π)dx＋∫π2πsinxdx＝＋∫0πxdx－2＝π2－2．知识点解析：暂无解析19、设f(x)连续，证明：∫0x[∫0tf(u)du]dt＝∫0xf(t)(x－t)dt．标准答案：令F(x)＝∫0xf(t)dt，则F’(x)＝f(x)，于是∫0x[∫0tf(u)du]dt＝∫0xF(t)dt，∫0xf(t)(x－t)dt＝x∫0xf(t)dt－∫0xtf(t)dt＝xF(x)－∫0xtdF(t)＝xF(x)－tF(t)｜0x＋∫0xF(t)dt＝∫0xF(t)dt．命题得证．知识点解析：暂无解析20、设u＝xyz，求du．标准答案：，由u＝eyzlnx得＝eyzlnx．zyz－1lnx＝zyzlnx，＝eyzlnx．yzlnxlny＝uyzlnxlny，故du＝uyz(lnxdy＋lnxlnydz)．知识点解析：暂无解析21、设F＝0且F可微，证明：＝z－xy．标准答案：知识点解析：暂无解析22、计算xy(x＋y)dσ，其中D是由x2－y2＝1及y＝0，y＝1围成的平面区域．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设an为发散的正项级数，令Sn＝a1＋a2＋…＋an(n＝1,2,…)．证明：收敛．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设有幂级数．(1)求该幂级数的收敛域；(2)证明此幂级数满足微分方程y’’－y＝－1；(3)求此幂级数的和函数．标准答案：(1)因为＝0，所以收敛半径为R＝＋∞，故幂级数的收敛域为(一∞，＋∞)．故该幂级数满足微分方程y’’－y＝－1．(3)由f’’(x)－f(x)＝－1得f(x)＝C1e－x＋C2ex＋1，再由f(0)＝2，f’(0)＝0得C1＝，所以f(x)＝chx＋1．知识点解析：暂无解析25、求微分方程y’’＋4y’＋4y＝eax的通解．标准答案：特征方程为λ2＋4λ＋4＝0，特征值为λ1＝λ2＝－2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为y＝(C1＋C2x)e－2x．(1)当a≠－2时，因为a不是特征值，所以设原方程的特解为y0(x)＝Aeax，代入原方程得A＝，则原方程的通解为y＝(C1＋C2x)e－2x＋eax；(2)当a＝－2时，因为a＝－2为二重特征值，所以设原方程的特解为y0(x)＝Ax2e－2x，代入原方程得A＝，则原方程的通解为y＝(C1＋C2x)e－2x＋x2e－2x．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、下列函数f(x)中其原函数及定积分∫-11f(x)dx都存在的是A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：像这类题需逐一分析．上述四个选项的f(x)均不连续．对于(A)：显然x=0是f(x)的第一类间断点，因此在任意一个不包含点x=0在内的区间上，f(x)一定存在原函数．因为当x≠0时｜x｜’=f(x)，因此当x≠0时，f(x)的全体原函数｜x｜+c在x=0处不可导，从而在任意一个包含x=0在内的区间上，｜x｜+c不是f(x)的原函数，所以f(x)在上述区间上不存在原函数．但定积分∫-11(x)dx存在，因为f(x)在上述区间上有界，且只有有限个间断点．故(A)不对．对于(B)：显然x=0是f(x)的振荡间断点即第二类间断点，但是该f(x)存在原函数F(x)=(容易验证，当一∞＜x＜+∞时F’(x)=f(x))．而定积分∫-11f(x)dx不存在，因为在x=0的邻域内f(x)无界．故(B)不对．对于(C)：显然x=0是f(x)的无穷间断点即第二类间断点，此f(x)在包含x=0在内的区间上不存在原函数．定积分∫-11f(x)dx也不存在．故C也不对．对于(D)：显然z=0是f(z)的第二类间断点，容易验证该f(x)在(一∞，+∞)上存在原函数F(x)=定积分∫-11f(x)dx也存在(因为f(x)在(一∞，+∞)上有界，且只有有限个间断点)．故(D)正确，应选(D)．2、积分∫aa+2πcosxln(2+cosx)dx的值A、与a有关．B、是与a无关的负数．C、是与a无关的正数．D、为零．标准答案：C知识点解析：由于被积函数ln(2+cosz).cosx是以2π为周期的偶函数，因此原式=∫02πln(2+cosx)cosxdx=∫-ππln(2+cosx)cosxdx又因为在[0，π]上，2+cosax＞0，sin2x＞0，因此该积分是与a无关的正数．故选(C)．3、设F’(x)=f(x)，则A、当f(x)为奇函数时，F(x)一定是偶函数．B、当f(x)为偶函数时，F(x)一定是奇函数．C、当f(x)是以T为周期的函数时，F(x)一定也是以T为周期的函数．D、当f(x)是以T为周期的函数时，F(x)一定不是以T为周期的函数．标准答案：A知识点解析：令则f(x)=x2是偶函数，但F(x)不是奇函数，故可排除(B)．令F(x)=sinx+x，则f(x)=cosx+1，f(x)是周期函数，但F(x)不是周期函数，故可排除(C)．令F(x)=sinx，则f(x)=cosx，f(x)和F(x)都是周期函数，故可排除(D)．当f(x)为奇函数时，F(x)=∫0xf(t)dt+C，而故F(x)是偶函数，应选(A)．4、设f(x)在(一∞，+∞)上连续，则下列命题正确的是A、若f(x)为偶函数，则∫-aaf(x)dx≠0．B、若f(x)为奇函数，则∫-aaf(x)dx≠2∫0af(x)dx．C、若f(x)为非奇非偶函数，则∫-aaf(x)dx≠0．D、若f(x)为以T为周期的周期函数，且是奇函数，则F(x)=∫0xf(￡)dt是以T为周期的周期函数．标准答案：D知识点解析：由于f(x)=0既是偶函数又是奇函数，且∫aa0dx=0，所以不选(A)，(B)．若f(x)为非奇非偶函数，也可能有∫-aaf(x)dx=0．例如在(一∞，+∞)上为非奇非偶函数，但∫-11f(x)dx=一∫-103x2dx+∫01dx=0，因此不选(C)，由排除法应选(D).事实上，利用“若f(x)为以T为周期的周期函数，则∫aa+Tf(x)dxa1的值与a无关”与奇函数的积分性质可得，有所以F(x)=∫0xf(t)dt是以T为周期的周期函数．5、设则A、f(x)=f(x+π)．B、f(x)＞f(x+π)．C、f(x)＜f(x+π)．D、当x＞0时，f(x)＞f(x+π)；当x＜0时，f(x)＜f(x+π)．标准答案：A知识点解析：故应选A．6、设常数则A、I1＞I2．B、I1＜I2．C、I1=I2．D、I1与I2的大小与α的取值有关．标准答案：A知识点解析：7、下列反常积分中发散的是A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：暂无解析8、设则f(t)在t=0处A、极限不存在．B、极限存在但不连续．C、连续但不可导．D、可导．标准答案：C知识点解析：故f(x)在t=0处不可导．选C．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)9、=__________．标准答案：知识点解析：10、=__________．标准答案：知识点解析：11、=__________．标准答案：xlnlnx+C知识点解析：12、∫ex+excosx(cosx—sinx)dx=_________．标准答案：知识点解析：13、设f’’(x)连续，f’(x)≠0，则=__________.标准答案：知识点解析：14、=_______________。标准答案：知识点解析：15、=__________.标准答案：知识点解析：16、=__________.标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)17、求下列不定积分：标准答案：(I)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)(V)(Ⅵ)由于被积函数是max{x3，x2，1}，所以首先要对x的不同取值范围定出被积函数的表达式；其次，为使求得的原函数处处连续，要对任意常数进行“调整”．求解如下：知识点解析：暂无解析18、求下列定积分：标准答案：(I)(Ⅱ)(Ⅲ)利用定积分的分段积分法与推广的牛顿一莱布尼兹公式得(Ⅳ)(V)(Ⅵ)(Ⅶ)令x=tant，则dx=sec2tdt，故(Ⅷ)用分部积分法，可在(0，+∞)内求得不定积分(IX)知识点解析：暂无解析19、已知是f(x)的一个原函数，求∫x3f’(x)dx。标准答案：由分部积分得∫x3f’(x)dx=x3f(x)一3∫x2f(x)dx．知识点解析：暂无解析20、设F(x)是f(x)的一个原函数，且当x＞0时，满足求f(x)(x＞0)．标准答案：对等式两边积分，得知识点解析：暂无解析21、设且f(0)=0，求函数f(x)和f(lnx)．标准答案：令lnx=t或x=et，则上式积分得由f(x)在t=0处连续，即d(0+)=f(0-)=f(0)=0，得C1=0，C2=一1．故所求的函数为知识点解析：暂无解析22、设f’(x)=arcsin(x一1)2，f(0)=0，求∫01f(x))dx.标准答案：知识点解析：暂无解析23、设曲线y=ax2+bx+c过原点，且当0≤x≤1时，y≥0，并与x轴所围成的图形的面积为，试确定a、b、c的值，使该图形绕X轴旋转一周所得的立体体积最小．标准答案：首先，已知该曲线过原点，因而c=0．又当0≤x≤1时，y≥0，可知a＜0，a+b≥0．于是该曲线在0≤x≤1上与x轴所围面积为该图形绕x轴旋转一周所得的立体体积为可知，要使该图形绕x轴旋转一周所得立体体积最小，a，b的值应分别是知识点解析：暂无解析24、求由直线x=1，x=3与曲线y=xlnx及过该曲线上一点处的切线围成的平面图形的最小面积．标准答案：设(x0，y0)为切点，如图3．1，则切线方程为y—y0=(1+lnx0)(x一x0)．由此可知所围图形面积为知识点解析：暂无解析25、过原点作曲线y=lnx的切线，设切点为x0，且由曲线y=lnx，直线y=0，x=x0所围平面图形的面积与由曲线y=x3，直线y=0，x=a所围平面图形的面积相等，求a的值．标准答案：曲线y=lnx上一点(x0，lnx0)的切线方程为由于切线过原点，故有lnx0=1→x0=e．由y=lnx，x0=e，y=0所围图形面积知识点解析：暂无解析26、设P(a，b)是曲线上的点，且a＜5．(I)求P点处的切线方程；(Ⅱ)由(I)中的切线与曲线及x轴，y轴所围成图形绕X轴旋转，把所得旋转体的体积表示成a的函数，并求其最小值．标准答案：(I)如图3．2，P处切线方程的斜率为因而P处切线方程可表示为(Ⅱ)该切线交x轴于(10一a，0)，所求旋转体体积V，可用锥体体积减去曲线部分的旋转体体积，即知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第3套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设D是有界闭区域，下列命题中错误的是A、若f(x，y)在D连续，对D的任何子区域D0均有(x，y)∈D)．B、若f(x，y)在D可积，f(x，y)≥0，但不恒等于0((x，y)∈D)，则f(x，y)dσ＞0．C、若f(x，y)在D连续，f(x，y)dσ=0，则f(x，y)≡0((x，y)∈D)．D、若f(x，y)在D连续，f(x，y)＞0((x，y)∈D)，则f(x，y)dσ＞0．标准答案：B知识点解析：直接指出其中某命题不正确．因为改变有限个点的函数值不改变函数的可积性及相应的积分值，因此命题(B)不正确．设(x0，y0)是D中某点，令f(x，y)=则在在区域D上f(x，y)≥0且不恒等于零，但f(x，y)dσ=0．因此选(B)．或直接证明其中三个是正确的．命题(A)是正确的．用反证法、连续函数的性质及二重积分的不等式性质可得证．若f(x，y)在D不恒为零→(x0，y0)∈D，f(x0，y0)≠0，不妨设f(x0，y0)＞0，由连续性→D，且当(x，y)∈D0时f(x，y)＞0，由此可得f(x，y)dσ＞0，与已知条件矛盾．因此，f(x，y)≡0((x，y)∈D)．命题(D)是正确的．利用有界闭区域上连续函数达到最小值及重积分的不等式性质可得证．这是因为f(x，y)≥minf(x，y)=f(x0，y0)＞0，其中(x0，y0)是D中某点，于是由二重积分的不等式性质得f(x，y)dσ≥f(x0，y0)σ＞0，其中σ是D的面积．命题(C)是正确的．若f(x，y)≠0→在(x，y)∈D上f2(x，y)≥0且不恒等于零．由假设f2(x，y)在D连续→f2(x，y)dσ＞0．与已知条件矛盾．于是f(x，y)≡0在D上成立．因此选(B)．比较积分值的大小：2、设I1=，其中D={(x，y)｜(x—1)2+(y一1)2≤2}，则下述结论正确的是A、I1＜I2＜I3．B、I2＜I3＜I1．C、I1＜I3＜I2．D、I3＜I2＜I1．标准答案：A知识点解析：利用求极值的方法可以得到0≤≤1，(x，y)∈D(上述不等式也可由图4．18看出)，因此(A)正确．3、设Ii=dσ，i=1，2，3，其中，D1={(x，y)｜x2+y2≤R2}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2}，D3={(x，y)｜｜x｜≤R，｜y｜≤R}，则下述结论正确的是A、I1＜I2＜I3．B、I2＜I3＜I1．C、I1＜I3＜I2．D、I3＜I2＜I1．标准答案：C知识点解析：容易看出：D1D2，因此(C)正确．4、设I=cos(x2+y2)dσ，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1}，则A、I3＞I2＞I1．B、I1＞I2＞I3．C、I2＞I1＞I3．D、I3＞I1＞I2．标准答案：A知识点解析：在积分区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上有(x2+y2)2≤x2+y2≤，且等号仅在区域D的边界{(x，y)｜x2+y2=1}上与点(0，0)处成立．从而在积分区域D上有cos(x2+y2)2≥cos(x2+y2)≥cos，且等号也仅仅在区域D的边界{(x，y)｜x2+y2=1}上与点(0，0)处成立．此外，三个被积函数又都在区域D上连续，按二重积分的性质即得I3＞I2＞I1，故应选(A)．5、设D是由曲线y=x3与直线x=一1与y=1围成的区域，D1是D在第一象限的部分，则(xy+cosxsiny)dxdy=____．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：用曲线段={(x，y)｜y=一x3，一1≤x≤0}与x轴，y轴将区域D分成D1，D2，D3，D4四个部分(见图4．19)，于是D1与D2关于y轴对称，D3与D4关于x轴对称．由于xy对x或对y均为奇函数，因此xydxdy=0．又由于cosxsiny对x是偶函数，而对y是奇函数，所以cosxsinydxdy=0．综上所述，应选(A)．6、设区域D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，D1为D在第一象限部分，f(x，y)在D上连续且f(x，y)≠0，则f(x，y)dσ成立的一个充分条件是A、f(一x，一y)=f(x，y)．B、f(一x，一y)=一f(x，y)．C、f(一x，y)=f(x，一y)=一f(x，y)．D、f(一x，y)=f(x，一y)=f(x，y)．标准答案：D知识点解析：(D)表明f(x，y)关于x是偶函数，关于y也是偶函数，故当条件(D)成立时，结论成立．(A)不充分．如f(x，y)=xy，有f(一x，一y)=xy=f(x，y)，但xydσ＞0．同样，令f(x，y)=xy，可知满足(C)的条件，但xydσ＞0，故条件(C)不充分．对条件(B)，令f(x，y)=xy2，有f(一x，一y)=一f(x，y)，但xy2dσ＞0．二、解答题(本题共29题，每题1.0分，共29分。)7、设标准答案：利用一阶全微分形式不变性，分别对两个方程求全微分，由第一个方程可得du=f’1d(x—ut)+f’2d(y—ut)+f’3d(z—ut)=f’1dx+f’2dy+f’3dz—t(f’1+f’2+f’3)du—u(f’1+f’2+f’3)dt，于是可解得du=．由第二个方程可得g’1dx+g’2dy+g’3dz=0→dz=一(g’1dx+g’2dy)．把所得的dz代入du表达式的右端．经整理有知识点解析：在题设的两个方程中共有五个变量x，y，z，t和u．按题意x，y是自变量，u是因变量，从而由第二个方程知z应是因变量，即第二个方程确定z是x，y的隐函数．这样一来在五个变量中x，y和t是自变量，u与z是因变量．8、设f(u)有连续的二阶导数且z=f(exsiny)满足方程=e2xz，求f(u)．标准答案：令u=exsiny，则有由已知条件，得f"(u)e2x=e2xf(u)，即f"(u)一f(u)=0．此二阶常系数方程的特征方程是λ2一1=0，特征根λ=±1，故f(u)=C1eu+C2e—u，其中C1和C2是两个任意常数．知识点解析：z=f(exsiny)是z=f(u)与u=exsiny的复合函数，由复合函数求导法可导出与f’(u)，f"(u)的关系式，从而由=e2xz导出f(u)满足的微分方程式，然后解出f(u)．9、设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足f"uu(u，v)=f"vv(u，v)，若已知f(x，4x)=x，f’u(x，4x)=4x2，求f"uu(x，4x)，f"uv(x，4x)与f"vv(x，4x)．标准答案：按复合函数求偏导数的法则将恒等式f(x，4x)=x两端对x求导数得f’u(x，4x)+4f’v(x，4x)=1，把f’u(x，4x)=4x2代入上式可得f’v(x，4x)=一x2．(*)再分别将恒等式f’u(x，4x)=4x2与(*)式两端对x求导数，并利用f"uu(x，y)=f"vv(x，y)就有知识点解析：暂无解析10、设函数z=(1+ey)cosx—yey，证明：函数z有无穷多个极大值点，而无极小值点．标准答案：解得(x，y)=(2nπ，0)或(x，y)=((2n+1)π，一2)，其中n=0，±1，±2，…(Ⅲ)判断所有驻点是否是极值点，是极大值点还是极小值点．在(2nπ，0)处，由于=一2＜0，则(2nπ，0)是极大值点．在((2n+1)π，—2)处，由于＜0，则((2n+1)π，一2)不是极值点．因此函数z有无穷多极大值点(2nπ，0)(n=0，±1，±2，…)，而无极小值点．知识点解析：暂无解析11、某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为P1和P2；销售量分别为Q1和Q2；需求函数分别为Q1=24—0．2P1，Q2=10—0．05P2；总成本函数C=35+40(Q1+Q2)．试问：厂家如何确定两个市场的售价，才能使其获得的总利润最大?最大总利润是多少?标准答案：总收益函数是R=P1Q1+P2Q2=24P1+10P2—0．2P12一0．05P22，总成本函数是C=35+40(Q1+Q2)=1395—8P1一2P2，于是，该厂的总利润函数是L(P1，P2)=R—C=一0．2P12一0．05P22+32P1+12P2—1395=一0．2(P1—80)2一0．05(P2—120)2+605．由上式知，厂家应分别按P1=80，P2=120的价格在两个市场上销售该产品，才能获最大利润，最大总利润是605．知识点解析：暂无解析12、求函数f(x，y)=x2+8y2一4x2y2在区域D={(x，y)｜x2+4y2≤4，y≥0}上的最大值与最小值．标准答案：首先求f(x，y)在D内其驻点处的函数值．令因在D内y＞0，从而可解出f(x，y)在D内有且只有两个驻点。计算可得其次求f(x，y)在D的边界={(x，y)｜｜x｜≤2，y=0}上的最大值与最小值．把y=0代入f(x，y)的表达式可得f(x，0)=x2，不难得出在上f(x，y)的最小值为f(0，0)=0，最大值为f(一2，0)=f(2，0)=4．最后求f(x，y)在D的边界={(x，y)｜x2+4y2=4，y≥0}上的最大值与最小值．把y=代入f(x，y)的表达式可得一元函数=x2+(2一x2)(4一x2)=x4—5x2+8．令h’(x)=4x3一10x=4x(x2一内共有三个驻点(0，1)，，函数f(x，y)在这三个驻点处的函数值分别是又因f(x，y)在的端点(一2，0)与(2，0)处的函数值为f(一2，0)=f(2，0)=4．比较即知f(x，y)在．比较以上各值可知f(x，y)在D上的最大值为f(0，1)=8，最小值为f(0，0)=0．知识点解析：暂无解析13、设闭区域D={(x，y)｜x2+y2≤y，x≥0}，又f(x，y)为D上的连续函数，且求f(x，y)．标准答案：设f(u，v)dudv=A，在已知等式两边计算区域D上的二重积分(图4．17)，有知识点解析：在函数f(x，y)的表达式中含有函数f(x，y)本身的二重积分，我们曾经遇到过有关定积分的同类问题，可用同样方法求解．因二重积分也是一个常数，只要令f(u，v)dudv=A即可．14、设f(x)是[0，1]上单调减少的正值连续函数，证明∫01xf2(x)dx．∫01f3(x)dx≥∫01f3(x)dx．∫01f2(x)dx，即要证I=∫01f2(x)dx．∫01f3(x)dx一∫01xf3(x)dx．∫01f2(x)dx≥0．标准答案：记I=∫01f2(x)dx．∫01f3(x)dx—∫01xf3(x)dx．∫01f2(x)dx，则由定积分与积分变量所I=∫01xf2(x)dx．∫01f3(y)dy—∫01yf3(y)dy．∫01f2(x)dx=∫01∫01xf2(x)f3(y)dxdy—∫01∫01yf3(y)f2(x)dxdy=f2(x)f3(y)(x一y)dxdy，①其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}．由于积分区域D关于直线y=x对称，又有I=f2(y)f3(x)(y一x)dxdy．②由①式与②式相加，得I=f2(x)f2(y)(y一x)[f(x)一f(y)]dxdy．由于f(x)单调减少，所以I≥0，即∫01f2(x)dx．∫01f3(x)dx≥∫01xf3(x)dx．∫01f2(x)dx．(*)又f(x)取正值，故∫01xf3(x)dx＞0，∫01f3(x)dx＞0．用∫01xf3(x)dx与∫01f3(x)dx除(*)式，不等式得证。知识点解析：暂无解析15、求x(x+2y)dσ，其中D是由曲线x2+4y2=2x+8y一1围成的平面区域．标准答案：由于x2+4y2=2x+8y—1+(y一1)2=1，故积分区域D是xy平面上以(1，1)为中心，长短半轴分别为2与1的椭圆域．引入坐标系的平移u=x—1，v=y一1，则D在uv平面上对应区域D’={(u，v)｜+v2≤1}，且在此利用了u(v+2)是关于u的奇函数，v是奇函数以及u2分别关于u与v是偶函数，而D’分别关于u轴与v轴对称，还利用了区域D’的面积是2π，其中D’1是D’在uv平面上第一象限的部分区域(如图4．20)．因为知识点解析：暂无解析16、设函数f(x，y)连续，则二次积分f(x，y)dy等于_______．标准答案：B知识点解析：设二次积分D又可表示为D={(x，y)｜0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π}，故交换积分次序即得dx∫sinx1f(x，y)dy=∫01dy∫π—arcsinyπf(x，y)dx，所以选(B)．17、交换下列积分的积分顺序：标准答案：(Ⅰ)先对x积分，就是从区域D的左侧边界x=y2到右侧边界x=y+2．两边界线的交点为(1，一1)与(4，2)，所以区域D又可表示为(如图4．22)．D={(x，y)｜一1≤y≤2，y2≤x≤y+2}，(Ⅱ)由题中的累次积分的积分限知，积分区域D的图形如图4．23，它的上侧边界由抛物线y=x2与圆x2+y2=2构成，二者的分界点为(1，1)，而D的下侧边界是x轴，D中最左点的横坐标是x=0，最右点的横坐标是．从而D的另一形式的不等式组表示是D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x2}∪{(x，y)｜1≤x≤一x2}，所以改变积分顺序时需分块进行积分，即知识点解析：在第(Ⅰ)小题中，累次积分的表示式表明：积分区域D由两部分构成，当0≤x≤1时，区域D的下侧边界为y=一；当1≤x≤4时，D的下侧边界为y=x一2，上侧边界为y=，即D={(x，y)｜0≤x≤1，一}．其图形为图4．22所示，改变积分顺序，先对x求积分，就要把区域D的边界表示成y的函数，即D的左侧边界为x=y2，右侧边界为x=y+2，最后再求出x=y2与x=y+2的两个交点的纵坐标y=一1和y=2，即可将区域D表示为D={(x，y)｜—1≤y≤2，y2≤x≤y+2}，由此不难写出新的累次积分．第(Ⅱ)小题可作类似分析．重要的是画出区域的图形，正确表示积分区域的边界，正确表示积分的上、下限．18、设x=rcosθ，y=rsinθ，把下列直角坐标系中的累次积分改写成极坐标系(r，θ)中的累次积分：(Ⅰ)f(x，y)dy；(Ⅱ)∫01dy∫01—yf(x，y)dx．标准答案：(Ⅰ)积分区域D如图4．24所示，可见区域D位于的扇形中，且极点在D的边界上，D的边界方程为r=cosθ，于是D可表示为D={(r，θ)｜，0≤r≤cosθ}，故(Ⅱ)积分区域D如图4．25所示，可见区域D位于0≤θ≤的扇形中，且极点在D的边界上，D的上边界方程的直角坐标方程是x+y=1，从而它的极坐标方程是r=，于是。可表示为D={(r，θ)｜0≤θ≤}，故∫01dy∫01—yf(x，y)dx=f(rcosθ，rsinθ)rdr。知识点解析：求解与本例同类问题的步骤是：第一步，画出题设累次积分对应的积分区域D的图形；第二步，用极坐标系(r，θ)中的不等式组表示D；第三步，按照第二步中结果写出极坐标系中的累次积分．19、设x=rcosθ，y=rsinθ，把极坐标系中的累次积分dp∫02sinθf(rcosθ，rsinθ)rdr改写成直角坐标系中两种积分次序的累次积分．标准答案：积分区域D如图4．26所示，可见D由直线x+y=0与圆x2+y2=2y围成，且D位于直线x+y=0的右上侧．容易得出直线x+y=0与圆x2+y2=22，的交点为(0，0)及(一1，1)，从而区域D可表示为知识点解析：求解与本例同一类型问题的步骤是：第一步，画出对应的积分区域D的图形；第二步，用直角坐标系中两种不同形式的不等式组表示区域D；第三步，按照第二步中结果写出相应的两种积分次序的累次积分．20、设f(x)=dy，求∫01xf(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析21、计算下列二重积分：标准答案：(Ⅰ)交换积分顺序．由于0≤x≤1时，区域D的下侧边界为y=x，上侧边界为y=，其图形为图4．28．这样，就有=∫01(1一y)sinydy=∫01(y—1)d(cosy)=(y一1)cosy｜01一∫01cosyd(y—1)=1一∫01cosydy=1一sin1．(Ⅱ)由现有积分限画出积分区域的图形为图4．29，这样就有(Ⅳ)积分区域D是三角形，如图4．31所示，交换x，y的积分次序，得所以原式=π∫0af’(y)dy=πf(y)｜0a=π[f(a)一f(a)]．知识点解析：本题虽然是二重积分的计算，而且已经化成了累次积分，但是都不是初等函数，所以不能先对y积分，必须交换积分顺序．22、计算累次积分I=∫01dx∫1x+1ydy+∫12dx∫xx+1ydy+∫23dx∫x3ydy．标准答案：由累次积分限知：0≤x≤1时1≤y≤x+1；1≤x≤2时x≤y≤x+1：2≤x≤3时x≤y≤3，于是积分区域D如图4．32所示，因此D可表示为D={(x，y)｜1≤y≤3，y一1≤x≤y}，从而知识点解析：本题实质上是二重积分的计算，而且已经化成了累次积分，但由于这里项数较多，计算起来较复杂，所以不宜先对y积分，必须先确定积分区域D，然后再交换积分顺序．23、计算二重积分I=dxdy，其中D是由y=1，y=x2及x=0所围区域(如图4．33)．标准答案：被积函数中含有，若先对y积分，其原函数无法用初等函数表示，因此先对x积分．知识点解析：暂无解析24、计算二重积分I=dxdy，其中D是由y=x，y=0，x=1所围成的区域(如图4．34)．标准答案：因被积函数中含cos2，而D={(xy)｜0≤x≤1，0≤y≤x}，于是知识点解析：被积函数xcos2，若先对x积分，则原函数不易求出．故只能采用先对y进行积分，后对x积分的积分次序．25、计算(a＞0)，其中D是由圆心在点(a，a)、半径为a且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的区域．标准答案：区域D如图4．35，区域D的上边界是方程为(x一a)2+(y一a)2=a2的下半圆上的一段弧，它的方程为y=a一，下边界方程为y=0，故区域D可表示为知识点解析：暂无解析26、计算二重积分(x+y)dσ，其中积分区域D是由直线x=0，x=2，y=2与曲线y=所围成．标准答案：积分区域D如图4．36所示，D的不等式表示是D={(x，y)｜0≤x≤2，≤y≤2}，从而知识点解析：暂无解析27、计算二重积分{｜x+y｜一2｜dxdy，其中D={(x，y)｜0≤x≤2，一2≤y≤2}．标准答案：因如图4．37所示，用直线y=一x+2，y=一x将D分成D1，D2与D3，于是可得知识点解析：暂无解析28、计算下列二重积分：(Ⅰ)围成的区域；(Ⅱ)(x+y)dσ，其中D是由直线y=x，圆x2+y2=2x以及x轴围成的平面区域．标准答案：(Ⅰ)积分域D见图4．38．D的极坐标表示是：0≤0≤，0≤r≤sin2θ，于是(Ⅱ)在极坐标系x=rcosθ，y=rsinθ中积分区域D={(r，θ)｜0≤θ≤，0≤r≤2cosθ}，如图4．39，故知识点解析：第(Ⅱ)小题的积分域涉及圆，自然应该用极坐标系．第(Ⅰ)小题尽管与圆无关，但是若书直角坐标系，边界曲线的表达式很复杂，所以也应该用极坐标系．29、计算下列二重积分：(Ⅰ)｜x2+y2一1｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤l，0≤y≤}；(Ⅱ)｜sin(x一y)｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤y≤2π}．标准答案：(Ⅰ)将积分区域分块，如图4．40．设D1={(x，y)｜x2+y2≤1}∩D，D2={(x，y)｜x2+y2≥1}∩D，则D=D1+D2，且可分块计算二重积分用极坐标x=cosθ，y=rsinθ计算第一个二重积分．由于计算第二个二重积分．由于D2=D—D1，故(Ⅱ)依图4．41所示将区域D分割，则sin(y—x)dxdy=∫0πdx∫x+π1πsin(x一y)dy+∫0πdx∫xx+πsin(y—x)dy+∫π2πdxsin(y一x)dy=∫0πcos(x—y)｜x+π2πdx一∫π2πcos(y一x)｜xx+πdx—∫π2πcos(y—x)｜x2πdx知识点解析：暂无解析30、设函数计算二重积分(x，y)dσ，其中D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤2}．标准答案：积分区域D如图4．42所示．不难发现，区域D分别关于x轴和y轴对称，而被积函数关于x和y都是偶函数，从而原积分可化为在第一象限积分的4倍，即为计算D2上积分的方便，引入极坐标：x=rcosθ，y=rsinθ，则x+y=1的方程为r=，从而知识点解析：暂无解析31、求下列二重积分：(Ⅰ)I=，其中D={(x，y｜0≤x≤1，0≤y≤1}；(Ⅱ)I=｜3x+4y｜dxdy，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1}．标准答案：考察积分区域与被积函数的特点，选择适当方法求解．(Ⅰ)尽管D的边界不是圆弧，但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便．D的边界线x=1及y=1的极坐标方程分别为(Ⅱ)在积分区域D上被积函数分块表示，若用分块积分法较复杂．因D是圆域，可用极坐标变换，转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形．这时可利用周期函数的积分性质．作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，则D={(r，θ)｜0≤θ≤2π，0≤r≤1}．从而其中sinθ0=．由周期函数的积分性质，令t=θ+θ0就有知识点解析：暂无解析32、设函数f(x)在区间[0，1]上具有连续导数，f(0)=1，且满足其中Dt={(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤t一x}(0＜t≤1)．求f(x)的表达式．标准答案：积分区域Dt如图4．43所示，计算可得解微分方程(**)又可得f(t)=．代入f(0)=1可确定常数C=16，故f(x)=(0≤x≤1)．知识点解析：暂无解析33、计算二重积分ye—(x+y)dσ，其中D是由直线y=x与y轴在第一象限围成的区域。标准答案：无界区域D的左边界是y轴，右边界是y=x，而y的取值范围是0≤y＜+∞(如图4．44)．D的不等式表示：D={(x，y)｜0≤y＜+∞，0≤x≤y}知识点解析：暂无解析34、设D={x，y)｜0≤x＜+∞，0≤y＜+∞}，求．标准答案：用极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，D的极坐标表示：知识点解析：暂无解析35、设D={(x，y)｜—∞＜x＜+∞，一∞＜y＜+∞}，求．标准答案：记I=，D是全平面．引入极坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ，D的极坐标表示：0≤0≤2π，0≤r＜+∞知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第4套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设z=x2+y2一2ln｜x｜一2ln｜y｜(x≠0，y≠0)，则下列结论正确的是A、函数z有四个驻点，且均为极小值点．B、函数z有四个驻点，且均为极大值点．C、函数z有四个驻点，其中两个为极大值点，两个为极小值点．D、函数z有二个驻点，其中一个为极大值点，一个为极小值点．标准答案：A知识点解析：所以有四个驻点(一1，1)，(一1，一1)，(1，一1)，(1，1)．又故有AC—B2＞0，且A＞0．从而以上四个驻点均为极小值点．选(A)．2、设平面区域D1={(x，y)｜x2+y2≤R2｜，D2={(x，y)｜x2+y2≤R2，x≥0}，D3={(x，y)｜x2+y2≤R2，x≥0，Y≥0}，则必有A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：由积分区域和被积函数的奇偶性判断可知(B)正确．在(A)中．所以(A)错误．在(C)中所以(C)错误．在(D)中所以(D)错误．3、设平面区域D1={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，D2={(x，y)｜x2+y2≤1}，D3=则A、I1＜I2＜I3．B、I1＜I3＜I2．C、I3＜I1＜I2．D、I3＜I2＜I1标准答案：C知识点解析：易见三个积分区域D1，D2，D3各自分别关于x轴对称，又各自分别关于y轴对称，记它们各自在第一象限的部分区域为D11,D21，D31．再利用被积函数f(x，y)=｜xy｜分别关于变量x与变量y都是偶函数，从而有因为三个积分区域D11,D21，D31的左边界都是y轴上的直线段{(x，y)｜x=0，0≤y≤1}，下边界都是x轴上的直线段{(x，y)10≤x≤1，y=0}，而D11的上边界是直线段{(x，y)｜0≤x≤1，y=1一x}，D21的上边界是圆弧，D31的上边界是曲线弧{(x，y)｜0≤x≤1，．不难发现当0＜x＜1时即三个积分区域D11,D21与D31的包含关系是，如图4．1．从而利用被积函数｜xy｜非负且不恒等于零即知三个二重积分的大小关系应是I3＜I1＜I2，即应选(C)．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)4、设D={(x，y)｜2x≤x2+y2，0≤y≤x≤2}，则=__________。标准答案：知识点解析：采用极坐标计算．首先画出D的图形(如图4．3),x2+y2=2x的极坐标方程为ρ=2cosθ；x=2的极坐标方程为ρ=2secθ；y=x的极坐标方程为，故5、交换积分次序：∫01∫x23-xf(x，y)=dy=___________．标准答案：知识点解析：由题设知，积分区域由x=0，x=1，y=x2，y=3一x所围成，即积分区域D=D1+D2+D3(如图4．4)，且D1={(x，y)｜0≤y≤1，0≤x≤}，D2={(x，y)｜1≤y≤2，0≤x≤1}，D3={(x，y)｜2≤y≤3，0≤x≤3一y}，于是交换积分次序得6、累次积分=_________．标准答案：知识点解析：如图4．5，在(θ，P)平面上交换积分次序，有三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)7、将下列累次积分交换积分次序：标准答案：(I)首先画出积分域如图4．7所示．交换积分次序后原积分可以写成(Ⅱ)画出积分域，如图4．8所示．由图可知，交换积分次序后原积分成为∫-10dx∫-x2-x2(x，y)dy+∫01dx∫x2-x2一f(x，y)dy．知识点解析：暂无解析8、计算累次积分标准答案：积分区域图形如图4．9，由被积函数的形式，可以看出应先对x积分，故交换积分次序，得知识点解析：暂无解析9、计算标准答案：由累次积分知积分区域D如图4．10，由被积函数和区域D看出，本题在极坐标系x=rcosθ，y=rsinθ中计算较方便．在极坐标下的方程为在极坐标下的方程为r=2cosθ，且D=D1+D2，其中知识点解析：暂无解析10、设区域D是由直线y=x与曲线标准答案：区域D如图4．11，在极坐标系x=rcosθ，y=rsinθ中它可表示为知识点解析：暂无解析11、求标准答案：作出区域D的平面图形，如图4．12．将D分割成D1与D2，则D=D1+D2，其中此时，如果欲想分别积分的原函数没有初等函数的表达式(即不可积类型)，无法继续计算下去．由此看来，在计算二重积分选择积分次序时，不但要考虑积分区域的特点，同时还要考虑被积函数的特点．当按某种积分次序遇到困难无法进行下去时，马上应考虑换另一种积分次序进行．知识点解析：暂无解析12、计算标准答案：积分区域D为扇形(见图4．13)：知识点解析：暂无解析13、计算其中D由y=ex，y=2和x=0围成的平面区域．标准答案：积分区域如图4．14．由被积函数形式可以看出，此积分只能先对x积分，故知识点解析：暂无解析14、设其中D={(x，y)；x2+y2≥2x}．标准答案：由f(x，y)的定义域和D确定的积分区域如图4．15中的D1，即知识点解析：暂无解析15、设x=rcosθ，y=rsinθ，将如下直角坐标系中的累次积分化为极坐标系中的累次积分．标准答案：本题中积分区域如图4．16中阴影部分所示．将其化为极坐标，可知由于γ=1一x可表示为rsinθ=1一rcosθ，即而γ2=2x一x2可表示为r=2cosθ，故．从而原积分可化为知识点解析：暂无解析16、计算二重积分其中积分区域D由直线y=一x，y=x，x=一1以及x=1围成．标准答案：积分区域D分别关于x轴与y轴对称，如图4．17．由于被积函数分别是x与y的偶函数，从而其中D1是D在第一象限的部分．因被积函数的表达式中包含，采用极坐标系x=rcosθ，y=rsinθ来计算较简，这时知识点解析：暂无解析17、交换下列累次积分的积分顺序：190标准答案：(I)由题意知，积分区域D=D1∪D2，其中D1={(x，t)｜0≤x≤1，1一x2≤y≤1}，D2={(x，y){1≤x≤e，lnx≤y≤1}，见图4．18，交换积分顺序得(Ⅱ)由I2可知，D=D1∪D2，其中见图4.19，交换积分顺序得，I2=∫01dx∫x32-xf(x,y)dy.知识点解析：暂无解析18、计算二重积分其中D是两个圆：x2+y2≤1与(x一2)2+y2≤4的公共部分．标准答案：积分区域D如图4．20所示．由于被积函数f(x，y)=y关于x轴对称，积分区域D也关于X轴对称，所以积分值为0．知识点解析：暂无解析19、计算二重积分其中D是曲线y=lnx与y=2lnx以及直线x=e所围成的平面区域．标准答案：知识点解析：暂无解析20、求其中D是由曲线xy=2，直线y=x一1及y=x+1所围成的区域．标准答案：作出D的平面图形如图4．21．因积分区域关于原点O对称，被积函数又是x与y的偶函数，故知识点解析：暂无解析21、计算二重积分其中D是由曲线y=ex与直线y=x+1在第一象限围成的无界区域．标准答案：由题设知D={(x，y)｜0≤x＜+∞，x+1≤y≤ex}，(如图4．22)．设常数b＞0，且知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[a，b]上连续，求证：标准答案：设积分区域D={(x，y)｜a≤x≤b，b≤y≤b}，由∫abf(c)dx=∫abf(y)dy可知二重积分知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第5套一、选择题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、设函数f(x)在x=0的某邻域内连续，且满足=一1，则x=0A、是f(x)的驻点，且为极大值点．B、是f(x)的驻点，且为极小值点．C、是f(x)的驻点，但不是极值点．D、不是f(x)的驻点．标准答案：C知识点解析：本题应先从x=0是否为驻点人手，即求f’(0)是否为0；若是，再判断是否为极值点．由f(x)=0，从而f(0)=0，f’(0)==(1一cosx)]=一1×0=0可知x=0是f(x)的驻点．再由极限的局部保号性还知，在x=0的某去心邻域内＜0；由于1—cosx＞0，故在此邻域内，当x＜0时f(x)＞0=f(0)，而当x＞0时f(x)＜0=f(0)，可见x=0不是极值点，故选(C)．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)2、(Ⅰ)用等价、同阶、低阶、高阶回答：设f(x)在x0可微，f’(x0)≠0，则当△x→0时f(x)在x=x0处的微分与△x比较是()无穷小，△y=f(x0+△x)一f(x0)与△x比较是()无穷小，△y—df(x)与△x比较是()无穷小．(Ⅱ)设函数y=f(x)可微，且曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线y=2一x垂直，则=()标准答案：(Ⅰ)同阶；同阶；高阶(Ⅱ)0知识点解析：(Ⅰ)与△x是同阶无穷小量；按定义=f’(x)≠0，故△y与△x也是同阶无穷小量；按微分定义可知当△x→0时差△y一df(x)=o(△x)，即它是比△x高阶的无穷小．(Ⅱ)由题设可知f’(0)=1，又△y一dy=o(△x)，dy=f’(x0)△x=△x，于是3、设=________．标准答案：Acosb知识点解析：补充定义f(a)=b，则有4、设y=f(lnx)ef(x)，其中f可微，则dy=_________．标准答案：ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)dx知识点解析：利用一阶微分形式不变性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx．5、若y=f(x)存在反函数，且y’≠0，y"存在，则=_________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)6、判断下列结论是否正确?为什么?(Ⅰ)若函数f(x)，g(x)均在x0处可导，且f(x0)=g(x0)，则f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)若x∈(x0一δ，x0+δ)，x≠x0时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x=x0处有相同的可导性；(Ⅲ)若存在x0的一个邻域(x0—δ，x0+δ)，使得x∈(x0一δ，x0+δ)时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x0处有相同的可导性．若可导，则f’(x0)=g’(x0)．标准答案：(Ⅰ)不正确．函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关，还与该点附近的函数值有关．仅有f(x0)=g(x0)不能保证f’(x0)=g’(x0)．正如曲线y=f(x)与y=g(x)可在某处相交但并不相切．(Ⅱ)不正确．例如f(x)=x2，g(x)=显然，当x≠0时f(x)=g(x)，但f(x)在点x=0处可导，因为g(x)在点x=0不连续，从而g(x)在点x=0处不可导．(Ⅲ)正确．由假设可得当x∈(x0—δ，x0+δ)时因此，当x→x0时等式左右端的极限或同时存在或同时不存在，而且若存在则相等．再由导数定义即可得出结论．知识点解析：暂无解析7、说明下列事实的几何意义：(Ⅰ)函数f(x)，g(x)在点x=x0处可导，且f(x0)=g(x0)，f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)函数y=f(x)在点x=x0处连续，且有=∞．标准答案：(Ⅰ)曲线y=f(x)，y=g(x)在公共点M0(x0，f(x0))即(x0，g(x0))处相切．(Ⅱ)点x=x0是f(x)的不可导点．曲线y=f(x)在点M0(x0，f(x0))处有垂直于x轴的切线x=x0(见图2．1)．知识点解析：暂无解析8、设f’(x)存在，求极限，其中a，b为非零常数．标准答案：按导数定义，将原式改写成=af’(x)+bf’(x)=(a+b)f’(x)．知识点解析：暂无解析9、设函数f(x)在x=x0处存在f’+(x0)与f’—(x0)，但f’+(x0)≠f’—(x0)，说明这一事实的几何意义．标准答案：x=x0是f(x)的不可导点．曲线在点M0(x0，f(x0))处存在左、右切线，且左、右切线有一个夹角(M0是曲线y=f(x)的尖点)，见图2．2．知识点解析：暂无解析10、设f(x)在x=a可导，且f(a)=1，f’(a)=3，求数列极限w=．标准答案：这是指数型数列极限，先转化成其指数是型数列极限，用等价无穷小因子替换，由数列极限与函数极限的关系及导数定义知因此w=e6．知识点解析：暂无解析11、求下列函数的导数y’：标准答案：(Ⅰ)y’=．(Ⅱ)当x≠0时，由求导法则得f’(x)=；当x=0时，由导数定义即得知识点解析：暂无解析12、设y=(1+x2)sinx，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析13、已知f’(x)=kex，常数k≠0，求f(x)的反函数的二阶导数．标准答案：设y=f(x)，则．知识点解析：暂无解析14、(Ⅰ)设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex一xy2=0所确定，求；(Ⅱ)设函数y=y(x)由方程x3+y3一sin3x+6y=0所确定，求dy｜x=0=0；(Ⅲ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求．标准答案：(Ⅰ)将原方程两边直接对x求导数，并注意y是x的函数，然后解出y’即可．由(2x+2y．y’)cos(x2+y2)+ex一y2—2xy．y’=0，得(Ⅱ)先用隐函数求导法求出y’，再求微分dy=y’dx．在方程的两边对x求导，并注意到y是x的函数，得3x2+3y2y’一3cos3x+6y’=0．又y｜x=0=0，上式中令x=0，y=0解得y｜x=0=．(Ⅲ)y=y(x)由方程f(x+y)一y=0确定，f为抽象函数，若把f(x+y)看成f(u)，u=x+y，y=y(x)，则变成复合函数和隐函数的求导问题．注意，f(x+y)及其导函数f’(x+y)均是x的复合函数．将Yy=f(x+y)两边对x求导，并注意y是x的函数，f是关于x的复合函数，有y’=f’．(1+y’)，即y’=．又由y’=(1+y’)f’再对x求导，并注意y’是x的函数，f’仍然是关于x的复合函数，有y"=(1+y’)’y’+(1+y’)(f’)’=y"f’+(1+y’)f"．(1+y’)=y"f’+(1+y’)2f"，知识点解析：暂无解析15、设ex+y=y确定y=y(x)，求y’，y"．标准答案：注意y是x的函数，将方程两端对x求导得ex+y(1+y’)=y’，即y’=．(这里用方程ex+y=y化简)再对x求导得知识点解析：暂无解析16、设f(x)=，求f(x)在点x=0处的导数．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设f(x)=，求f(1)与f’(一1)．标准答案：由题设知f(1+0)==f(一1)，故f(x)又可以写成知识点解析：暂无解析18、设f(x)=求f’(x)．标准答案：当x≠0时，由求导法则得f’(x)=3x2sin；当x=0时，可用以下两种方法求得f’(0)．方法1°按定义求：f’(0)==0．方法2°显然f(x)=0=f(0)，f(x)在点x=0处连续，又知识点解析：暂无解析19、设函数f(x)有任意阶导数，且f’(x)=f2(x)，则当n＞2时，f(n)(x)=________．标准答案：n!fn+1(x)(n≥1)知识点解析：将f’(x)=f2(x)两边求导得f"(x)=2f(x)f’(x)=2f3(x)，再求导得f(n)(z)=3!f2(x)f’(x)=3!f4(x)．由此可猜想f(n)(x)=n!fn+1(x)(n≥1)．20、求下列函数的n阶导数公式：标准答案：知识点解析：暂无解析21、设y=sin3x，求y(n)．标准答案：知识点解析：用三角函数积化和差公式，可将sin3x化成形如sinax与cosbx的函数之和差，并用(sinax)(n)及(cosbx)(n)的公式．22、设f(x)在(a，b)内处处可导，且满足f’(x)≠0．证明对任何x0∈(a，b)一定存在x1，x2∈(a，b)使得f(x1)＞f(x0)＞f(x2)．标准答案：假设结论不正确，则存在x0∈(a，b)使得对任何x∈(a，b)，要么f(x)≥f(x0)(这时f(x0)为极小值)；要么f(x)≤f(x0)(这时f(x0)为极大值)．因此若结论不正确，则f(x)必在(a，b)内某点x0处取得极值．由于f(x)在(a，b)内处处可导，由费马定理可知f’(x0)=0，但是对一切x∈(a，b)有f’(x)≠0，这就产生了矛盾．因此结论正确．知识点解析：f(x1)＞f(x0)＞f(x2)的含义是既有函数值小于f(x0)的点又有函数值大于f(x0)的点．若这个结论不正确，则在(a，b)内的函数值要么处处不小于f(x0)，要么处处不大于f(x0)，这时f(x0)就是极值．由费马定理得出f’(x0)=0，此与条件矛盾．23、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，又g(x)在[a，b]上连续，求证：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=g(ξ)f(ξ)．标准答案：设∫g(x)dx是g(x)的某个原函数，并令R(x)=e—∫g(x)dx，作辅助函数F(x)=R(x)f(x)，对F(x)在[a，b]上用罗尔定理，即知本题结论成立．知识点解析：注意存在ξ∈(a，b)，f’(ξ)=g(ξ)，(ξ)←→令f’(ξ)一g(ξ)f(ξ)=0←→[f’(x)一g(x)f(x)]｜x=ξ=0←→[R(x)f’(x)一R(x)g(x)f(x)]｜x=ξ=0←→[R(x)f(x)]’｜x=ξ=0，其中R(x)是在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，而且当x∈(a，b)时满足如下条件的任一函数：R’(x)=一R(x)g(x)，又R(x)≠0．可取R(x)=e∫g(x)dx，若对R(x)f(x)在[a，b]上可用罗尔定理即得证．24、(Ⅰ)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0，f(c)＜0，(a＜c＜b)．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使f"(ξ)＞0；(Ⅱ)设h＞0，f(x)在[a一h，a+h]上连续，在(a一h，a+h)内可导，证明：存在0＜θ＜1使得=f’(a+θh)一f’(a一θh)．标准答案：(Ⅰ)由于a＜c＜b，由已知条件可知f(x)在[a，c]与[c，b]上都满足拉格朗日中值定理的条件，故存在点ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使f(c)一f(a)=f’(ξ1)(c一a)，ξ1∈(a，c)；f(b)一f(c)=f’(ξ2)(b一c)，ξ2∈(c，b)．由于f(a)=f(b)=0，于是有f(c)=f’(ξ1)(c一a)，①一f(c)=f’(ξ2)(b一c)．②由于c一a＞0，b一c＞0，f(c)＜0，因此由式①、②可知f’(ξ1)＜0，f’(ξ2)＞0．由已知条件知f’(x)在[ξ1，ξ2]上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使f"(ξ)=＞0．(Ⅱ)令F(x)=f(a+x)+f(a一x)，则F(x)在[0，h]上连续，在(0，h)内可导，由拉格朗日中值定理可得存在θ∈(0，1)使得=F’(θh)．由于F(h)一F(0)=f(a+h)+f(a一h)一2f(a)，F’(x)=f’(a+x)一f’(a一x)，F’(θh)=f’(a+θh)一f’(a一θh)，因此存在满足0＜θ＜1的θ使得=f’(a+θh)一f’(a一θh)．知识点解析：(Ⅰ)明在某区间内存在一点ξ使得f’(ξ)=0常可考虑利用罗尔定理，而证明在某区间内存在一点ξ使得f’(ξ)＞0常可考虑利用拉格朗日中值定理．(Ⅱ)在[a，a+h]和[a一h，a]上分别对f(x)应用拉格朗日中值定理可得到存在θ1，θ2∈(0，1)使得f(a+h)一f(a)=f’(a+θ1h)h，f(a一h)一f(a)=一f’(a一θ2h)h，这时有=f’(a+θ1h)一f’(a一θ2h)，然而θ1与θ2未必相等．若将f(a+h)一2f(a)+f(a一h)重新组合成f(a+h)一2f(a)+f(a一h)=[f(a+h)+f(a一h)]一[f(a+0)+f(a—0)]，我们发现它是F(x)=f(a+x)+f(a一x)在点x=h的值减去在点x=0的值，并且f’(a+θh)一f’(a一θh)=F’(θh)，要证的等式就是对F(x)在[0，h]上应用拉格朗日中值定理的结果．25、设a＞0，且函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，试证：至少存在一点ξ∈b)使得f(ξ)一ξf’(ξ)=．标准答案：将等式右端改写成令F(x)=，则F(x)，G(x)在[a，b]上满足柯西中值定理条件，于是，至少存在一点ξ∈(a，b)使得知识点解析：暂无解析26、证明当x∈(一1，1)时成立函数恒等式arctanx=．标准答案：令f(x)=arctanx，g(x)=，要证f(x)=g(x)当x∈(一1，1)时成立，只需证明：1°f(x)，g(x)在(一1，1)可导且当x∈(一1，1)时f’(x)=g’(x)；2°存在x0∈(一1，1)使得f(x0)=g(x0)．由初等函数的性质知f(x)与g(x)都在(一1，1)内可导，计算可得即当x∈(一1，1)时f’(x)=g’(x)．又f(0)=g(0)=0，因此当x∈(一1，1)时f(x)=g(x)，即恒等式成立．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第6套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(x)在x＝a处可导，且f(a)≠0，则｜f(x)｜在x＝a处()．A、可导B、不可导C、不一定可导D、不连续标准答案：A知识点解析：不妨设f(a)＞0，因为f(x)在x＝a处可导，所以f(x)在x＝a处连续，于是存在δ＞0，当｜x－a｜＜δ时，有f(x)＞0，于是＝f’(a)，即｜f(x)｜在x＝a处可导，同理当f(a)＜0时，｜f(x)｜在x＝a处也可导，选(A)．2、下列说法正确的是()．A、f(x)在(a，b)内可导，若B、f(x)在(a，b)内可导，若C、f(x)在(－∞，＋∞)内可导，若D、f(x)在(－∞，＋∞)内可导，若标准答案：D知识点解析：设f(x)＝f(x)＝∞，f’(x)＝时，f’(x)＝0，其中k∈Z，则f’(x)≠∞，(A)不对。设f(x)＝f(x)＝0≠∞，(B)不对；设f(x)＝x，f(x)＝∞，但f’(x)＝1，f’(x)＝1≠∞，(C)不对，选(D)．3、设f(x)在R上是以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是()．A、∫axf(t)dtB、∫a－xf(t)dtC、∫－xof(t)dt－∫x0f(t)dtD、∫－xxtf(t)dt标准答案：D知识点解析：设φ(x)＝∫－xxtf(t)dt＝2∫0xtf(t)dt，φ(x＋T)＝2∫0x＋T(t)dt＝2∫0xtf(t)＋2∫xx＋Ttf(t)dt≠φ(x)，选(D)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、＝______．标准答案：ln2知识点解析：＝e3a，由e3a＝8，得a＝ln2．5、设f(x)＝x2，则f’(x)＝______．标准答案：2x(1＋4x)e8x知识点解析：得f’(x)＝2xe8x＋8x2e8x＝2x(1＋4x)e8x．6、设f(x，y)可微，f(1，2)＝2，f’x(1，2)＝3，f’y(1，2)＝4，φ(x)＝f[x,f(x，2x)]，则φ’(1)＝______．标准答案：47知识点解析：因为φ’(x)＝f’x[x，f(x，2x)]＋f’y[x，f(x，2x)]×[f’x(x，2x)＋2f’y(x，2x)]，所以φ’(1)＝f’x[1，f(1，2)]＋f’y[1，f(1，2)]×[f’x(1，2)＋2f’y(1，2)]＝3＋4×(3＋8)＝47．7、＝______．标准答案：知识点解析：8、设f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)＝t3f(x，y)，且f’x(1，2)＝1，f’y(1，2)＝4，则f(1，2)＝______．标准答案：3知识点解析：f(tx，ty)＝t3f(x，y)两边对t求导数得xf’x(tx，ty)＋yf’(tx，ty)＝3t2f(x，y)，取t＝1，x＝1，y＝2得f’x(1，2)＋2f’y(1，2)＝3f(1，2)，故f(1，2)＝3．9、微分方程y’－xey＋＝0的通解为______．标准答案：知识点解析：所以原方程的通解为ey＝．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)10、确定常数a，b，c，使得＝c．标准答案：知识点解析：暂无解析11、设an＝A，证明：数列{an)有界．标准答案：取ε0＝1，因为an＝A，根据极限定义，存在N＞0，当n＞N时，有｜an－A｜＜1，所以｜an｜≤｜A｜＋1．取M＝max{｜a1｜，｜a2｜，…，｜aN｜，｜A｜＋1)，则对一切的n，有｜an｜≤M．知识点解析：暂无解析12、求．标准答案：知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)＝0，f()＝1，f(1)＝0．证明：(1)存在η∈(，1)，使得f(η)＝η；(2)对任意的k∈(－∞，＋∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)－k[f(ξ)－ξ]＝1．标准答案：(1)令φ(x)＝f(x)－x，φ(x)在[0，1]上连续，＞0，φ(1)＝－1＜0，由零点定理，存在η∈(，1)，使得φ(η)＝0，即f(η)＝η．(2)设F(x)＝e－k