考研数学三（无穷级数）模拟试卷1（共207题）

考研数学三（无穷级数）模拟试卷1（共6套）（共207题）考研数学三（无穷级数）模拟试卷第1套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、下列结论中正确的是A、若数列{un}单调有界，则级数收敛．B、若级数部分和数列{Sn}单调有界，则级数收敛．C、若级数收敛，则数列{un}单调有界．D、若级数收敛，则级数部分和数列{Sn}单调有界．标准答案：B知识点解析：由级数收敛的概念知级数收敛就是其部分和数列{Sn}收敛．数列{un}单调有界只说明存在，未必有存在；由{Sn}单调有界必存在极限即可判定级数收敛，故选B．而由级数收敛，虽然可以确定数列{Sn}和{un}收敛，但{Sn}和{un}未必是单调的．2、现有命题其中真命题的序号是A、①与②B、②与③C、③与④D、①与④标准答案：B知识点解析：设un=(－1)n-1(n=1，2，3，…)，于是收敛，但发散．可见命题①不正确．或把看成为是级数去掉括号后所得的级数．由级数的基本性质5：收敛级数加括号之后所得级数仍收敛，且收敛于原级数的和；但若加括号所得新级数发散时，则原级数必发散；而当加括号后所得新级数收敛时，则原级数的敛散性不能确定，即原级数未必收敛．故命题①不是真命题．设收敛，则其部分和Sn(n=1，2，…)满足而的部分和Tn=Sn+1000一S1000，(n=1，2，…)，从而即收敛．设由极限的保号性质可知，存在自然数N，使得当n＞N时成立，这表明当n＞N时un同号且后项与前项的比值大于1．无妨设uN+1＞0，于是有0N+1N+2<…n<…(n＞N)，从而故发散．若级数有负项，可类似证明同样结论成立．可见命题②与③都是真命题．设un=1，vn=－1(n=1，2，3…)，于是收敛，但都发散．可见命题④不是真命题．故应选B．3、若级数当x＞0时发散，而当x=0时收敛，则常数a=__________.A、1B、－1C、2D、－2标准答案：B知识点解析：本题是一个具体的幂级数，可直接求出该级数的收敛域，再根据题设条件确定a的取值．由知收敛半径为1，从而收敛区间为|x－a|＜1，即a－1＜x＜a+1．又当x－a=1即x=a+1时，原级数变为收敛；当x－a=－1即x=a－1时，原级数变为发散．因此，原级数的收敛域为a－1＜x≤a+1．于是，由题设x=0时级数收敛，x＞0时级数发散可知，x=0是收敛区间的一个端点，且位于收敛域内．因此只有a+1=0，从而a=－1．故选B．4、设常数λ＞0且级数收敛，则级数A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、收敛性与λ有关标准答案：C知识点解析：利用不等式2|ab|≤a2+b2可得由于级数与均收敛，所以原级数绝对收敛，即C正确．故选C．二、解答题(本题共27题，每题1.0分，共27分。)5、已知级数证明级数收敛，并求此级数的和．标准答案：由级数收敛则它的任何加括号级数也收敛的性质及知，级数收敛，其和数为2，且an→0．又由于从而设的部分和为Sn，则S2n=a1+a2+…+a2n-1+a2n=(a1+a2)+…+(a2n-1+a2n)是的部分和，因此注意到S2n+1S2n+a2n+1，因此从而说明收敛且其和为8．知识点解析：注意到是的一个加括号级数，由题设知级数的奇数项构成的级数收敛，从而可以由级数的性质通过运算来判定收敛并求出其和．判定下列级数的敛散性：6、标准答案：当a＞1时，1+an＞an，因此由几何级数的敛散性可知收敛，从而收敛．当0＜a≤1时，l+an≤2，因此从而由级数收敛的必要条件可知发散．知识点解析：暂无解析7、标准答案：注意到xlnn=elnnlnx=nlnx，这样原级数转化为p-级数．由于级数当p＞1时收敛，p≤1时发散可得：当lnx＞1时收敛，当lnx≤1时发散．因此当x＞e时收敛，当x≤e时发散．知识点解析：暂无解析判定下列正项级数的敛散性：8、标准答案：利用比值判别法．因故原级数收敛．知识点解析：暂无解析9、标准答案：利用比较判别法的一般形式．由于且级数发散，故原级数发散．知识点解析：暂无解析10、标准答案：利用比较判别法的极限形式．由于即而级数发散，故原级数也发散．知识点解析：暂无解析11、标准答案：利用比较判别法的极限形式．于是从而由收敛即知收敛．知识点解析：暂无解析12、标准答案：利用比较判别法的极限形式．取那么，由可知具有相同的敛散性．由于发散，从而原级数发散．知识点解析：暂无解析13、标准答案：考察由洛必达法则可得因此由极限不等式性质，当n＞N，即由于收敛，根据正项级数比较判别法的极限形式可得收敛．知识点解析：暂无解析判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛：14、标准答案：由于而级数收敛，利用比较判别法即知收敛，所以此级数绝对收敛．知识点解析：暂无解析15、标准答案：由于当n充分大时有所以此级数为交错级数，且此时还有由莱布尼茨判别法知级数收敛，又由于所以级数发散，故原级数条件收敛．知识点解析：暂无解析16、标准答案：注意到因为从而前一个级数绝对收敛，但后一个级数是条件收敛的，故原级数条件收敛．知识点解析：暂无解析求下列幂级数的收敛域：17、标准答案：因故收敛半径当时，幂级数变为是一个收敛的交错级数；当时，幂级数变成它是发散的，所以的收敛域D为知识点解析：暂无解析18、标准答案：由于故原级数的收敛半径R=+∞，即收敛域D为(－∞，+∞)．知识点解析：暂无解析19、标准答案：该幂级数缺偶次方项，即a2n=0，故不能用求R公式求其收敛半径．此时，可将x看成数，把原幂级数当作一个数项级数来处理．由于故当4|x|2＜1即时级数绝对收敛；当4|x|2>1即时通项不趋于0，级数发散，所以收敛半径又在处，级数成为发散．故原幂级数的收敛域为知识点解析：暂无解析20、求及arctanx的麦克劳林级数．标准答案：利用公式(5．13)，并以x2代替其中的x，则有=1－x2+x4－x6+…+(－1)nx2n+…，(|x|＜1)．由于故对的展开式实行逐项积分即得由于arctanx在[－1，1]上连续，幂级数在[－1，1]上收敛，故当x=±1时上述展开式也成立．即知识点解析：暂无解析求下列幂级数的和函数：21、标准答案：令则易知S1(x)的收敛域为(－1，1)，且S(x)=xS1(x)．为求其和函数S(x)首先求．S1(x)，在其收敛区间(－1，1)内进行逐项积分得因此于是知识点解析：暂无解析22、标准答案：方法1容易求得幂级数的收敛域为[－1，1)．为求其和函数首先在收敛区间(－1，1)内进行逐项求导，得又因为S(0)=0，因此注意和函数S(x)与函数－ln(1－x)都在[－1，1)上连续，它们又在(－1，1)内恒等，于是由连续性可知S(x)=－ln(1－x)也在x=－1处成立，即S(x)=－ln(1－x)(－1≤x＜1)．方法2由公式(5·11)可知故由于ln(1+x)的收敛域为(－1，1]，故ln(1－x)的收敛域为[－1，1)，－ln(1－x)的收敛域不变．知识点解析：暂无解析判别下列正项级数的敛散性：23、标准答案：由于所以，当p＜e时，级数收敛；当p＞e时，该级数发散；当p=e时，比值判别法失效．注意到数列是单调递增趋于e的，所以当p=e时，即{un}单调递增不是无穷小量，所以该级数也是发散的．从而，级数当p＜e时收敛，p≥e时发散．知识点解析：暂无解析24、标准答案：因此，当β＜1时，原级数收敛，当β＞1时发散．若β=1，则原级数为因此，当α＞1时收敛，α≤1时发散．知识点解析：暂无解析判别下列正项级数的敛散性：25、标准答案：利用比较判别法的极限形式，由于级数发散，而且当n→∞时所以原级数也发散．知识点解析：暂无解析26、标准答案：仍利用比较判别法的极限形式．先改写方法1用泰勒公式确定关于的阶．由于所以收敛．方法2转化为考察无穷小量x－ln(1+x)当x→0时关于x的阶．由即知当x→0时x－ln(1+x)～2，从而因此原级数收敛．知识点解析：暂无解析27、标准答案：注意到而且级数收敛，所以原级数也收敛．知识点解析：暂无解析判别下列正项级数的敛散性：28、标准答案：方法1因为函数单调递减，所以再采用比较判别法，并将与收敛级数相比较，由于所以，级数收敛．再由上面导出的不等式知原级数收敛．方法2直接利用定义来判别其收敛性．由可知所以原级数收敛，且其和为4e-1．知识点解析：暂无解析29、其中{xn}是单调递增而且有界的正数数列．标准答案：首先因为{xn}是单调递增的有界正数数列，所以现考察原级数的部分和数列{Sn}，由于又{xn}有界，即|xn|≤M(M>0为常数)，故所以{Sn}也是有界的．由正项级数收敛的充要条件知原级数收敛．知识点解析：暂无解析考察级数其中p为常数．30、证明：标准答案：将an2改写成由于再将an2改写成知识点解析：暂无解析31、证明：级数当p＞2时收敛，当p≤2时发散．标准答案：容易验证比值判别法对级数失效，因此需要用适当放大缩小法与比较原理来讨论它的敛散性．上题已给出了{an}上下界的估计，由注意当p＞2即时收敛，当p≤2即时发散，因此级数当p＞2时收敛，当p≤2时发散．知识点解析：暂无解析考研数学三（无穷级数）模拟试卷第2套一、选择题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)1、设级数收敛，则下列选项必为收敛级数的为()A、B、un2C、(u2n-1一u2n)。D、(un+un+1)。标准答案：D知识点解析：因为级数un收敛，而un+1与un只差一项，故un+1收敛，再由收敛级数的和仍收敛可知，级数(un+un+1)收敛，故选D。2、如果级数an和bn都发散，则()A、(an一bn)必发散。B、anbn必发散。C、(an+|bn|)必发散。D、(|an|+|bn|)必发散。标准答案：D知识点解析：由于an发散，则|an|发散，而|an|≤|an|+|bn|)，故(|an|+|bn|)必发散，故选D。3、已知级数an收敛，则下列级数中必收敛的是()A、B、an2C、(a2n-1一l一a2n)。D、(an+an+k)，k为正整数。标准答案：D知识点解析：由于(an+an+k)=an+an+k,而级数an+k为原级数an去掉了前k项，因此也收敛，故(an+an+k)必收敛，故选D。4、设an＞0(n=1，2，…)，且an＞收敛，常数λ∈(0，)，则级数()A、绝对收敛。B、条件收敛。C、发散。D、敛散性与λ有关。标准答案：A知识点解析：利用比较法。因为=λ>0,而由正项级数an收敛可知，a2n收敛，再由比较法的极限形式知，原级数绝对收敛，故选A。5、下列命题成立的是()A、若=0，则bn收敛时，an收敛。B、=∞，则an发散时，bn发散。C、若=1，则中至少有一个发散。D、若=0，则中至少有一个收敛。标准答案：C知识点解析：由于anbn=1,则an=0和bn=0中至少有一个不成立，则级数中至少有一个发散，故选C。6、设0≤an＜。(n=1，2，…)，则下列级数中一定收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由0≤an＜可知，0≤an2＜，而由收敛及正项级数的比较判别法知，级数an2收敛，从而(一1)nan2绝对收敛，故选D。7、级数(α>0，β>0)的敛散性()A、仅与β取值有关。B、仅与α取值有关。C、与α和β的取值都有关。D、与α和β的取值都无关。标准答案：C知识点解析：由于(1)当0<β<1时，级数发散。(2)当β>1时，级数收敛。(3)当β=1时，原级数为，当α>1时收敛，当α≤1时发散，故选C。8、设常数λ>0，且级数an2收敛，则级数()A、发散。B、条件收敛。C、绝对收敛。D、敛散性与λ有关。标准答案：C知识点解析：取an=，显然满足题设条件。而此时于是由比较判别法知，级数绝对收敛，故选C。9、设pn=，n=1，2，…，则下列命题正确的是()A、若an条件收敛，则都收敛。B、若an绝对收敛，则都收敛。C、若an条件收敛，则敛散性都不定。D、若an绝对收敛，则敛散性都不定。标准答案：B知识点解析：若an绝对收敛，即|an|收敛，由级数绝对收敛的性质知an收敛。而pn=，再由收敛级数的运算性质知，都收敛，故选B。10、an和bn符合下列哪一个条件可由an发散得出bn发散?()A、an≤bn。B、|an|≤bn。C、an≤|bn|。D、|an|≤|bn|。标准答案：B知识点解析：反证法。如果bn收敛，由|an|≤bn知，|an|收敛，从而an收敛与题设矛盾，故选B。11、若级数an收敛，bn发散，则()A、anbn必发散。B、an2必收敛。C、bn2必发散。D、(an+|bn|)必发散。标准答案：D知识点解析：由bn发散可知，|bn|必发散，而an收敛，则(an+|bn|)必发散，故选D。12、如果级数(an+bn)收敛，则级数()A、都收敛。B、都发散。C、敛散性不同。D、同时收敛或同时发散。标准答案：D知识点解析：由于an=(an+bn)一bn，且(an+bn)收敛，当bn收敛时，an必收敛；而当bn发散时，an必发散，故选D。13、设a是常数，则级数()A、绝对收敛。B、条件收敛。C、发散。D、敛散性与口的取值有关。标准答案：C知识点解析：由于收敛，则收敛，但发散，则发散，故选C。14、设(a2n-1+a2n)收敛，则()A、an收敛。B、an发散。C、an=0。D、当an＞0时an必收敛。标准答案：D知识点解析：当an＞0时，级数(a2n-1+a2n)为正项级数，由于该级数收敛，则其部分和数列=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)有上界，从而可知正项级数an的部分和数列Sn=a1+a2+…+an有上界，则级数an必收敛，故选D。15、已知(一1)n-1an=2，a2n-1=5，则an等于()A、3。B、7。C、8。D、9。标准答案：C知识点解析：(一1)n-1an=2×5—2=8，故选C。16、正项级数an收敛是级数an2收敛的()A、充要条件。B、充分条件。C、必要条件。D、既非充分条件，又非必要条件。标准答案：B知识点解析：由于正项级数an收敛，则an=0。当n充分大时0≤an2≤an，从而ana2收敛。但an2收敛时，an不一定收敛，如an=。因此，正项级数an收敛是级数an2收敛的充分条件，故选B。17、设un=(一1)nln(1+)，则()A、都收敛。B、都发散。C、un收敛而un2发散。D、un发散而un2收敛。标准答案：C知识点解析：是一个交错级数，而ln(1+)单调递减趋于零，由莱布尼茨定理知，级数un收敛。而ln2(当n→∞)，发散，则发散，故选C。18、设幂级数anxn与bnxn的收敛半径分别为，则幂级数的收敛半径为()A、5。B、。C、。D、。标准答案：A知识点解析：设极限都存在，则由题设条件可知Ra=于是幂级数的收敛半径为R==5，故选A。二、填空题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)19、若数列{an}收敛，则级数(an+1一an)___________。标准答案：收敛知识点解析：由题干知，级数(an+1一an)的部分和数列为Sn=(a2一a1)+(a3一a2)+…+(an+1一an)=an+1一a1，因为数列{an}收敛，所以{Sn}收敛。因此，级数(an+1一an)收敛。20、设a1=1，=2021，则级数(an+1一an)的和为___________。标准答案：2020知识点解析：级数(an+1一an)的部分和数列为Sn=(a2一a1)+(a3一a2)+…+(an+1一an)=an+1一a1=an+1一1。则一1=2021—1=2020。21、若数列(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…发散，则级数an___________。标准答案：发散知识点解析：根据级数性质可知，收敛级数加括号后仍然收敛。假设an收敛，则级数(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…收敛，与题设矛盾，故an发散。22、幂级数的收敛半径R=___________。标准答案：√3知识点解析：首先设an=，则当满足条件<1时，即|x|<√3时，该幂级数是收敛的。因此，此幂级数的收敛半径是√3。23、幂级数的收敛域为___________。标准答案：[一1，1)知识点解析：因为=1，则收敛半径R=1。当x=一1时，原级数为收敛；当x=1时，原级数为发散。因此收敛域为[一l，1)。24、幂级数的收敛域为___________。标准答案：[4，6)知识点解析：幂级数的系数为An=．则有因此，幂级数的收敛半径为R=1，其收敛区间为(4，6)。当x=4时，原级数为收敛；当x=6时，原级数为发散，故幂级数的收敛域是[4，6)。25、无穷级数的收敛区间为___________。标准答案：(一√2，√2)知识点解析：在原级数中令=t，原级数可化为，只需讨论的收敛半径和收敛区间即可。对于级数，由于因此，的收敛半径为1，收敛区间为(一1，1)。由于=t，t∈(0，1)所以x=±√2t，即原级数的收敛区间为(一√2，√2)。26、幂级数的收敛半径R=___________。标准答案：知识点解析：设an=，则当满足条件=2x2＜1时，即|x|＜该幂级数是收敛的。因此，幂级数的收敛半径是27、无穷级数的收敛区间为___________。标准答案：知识点解析：幂级数的系数为an=(1+)n2则因此，幂级数xn的收敛半径为，收敛区间为。28、设幂级数anxn的收敛半径为3，则幂级数nan(x一1)n+1的收敛区间为___________。标准答案：(一2，4)知识点解析：根据幂级数的性质对原幂级数逐项求导后，得，其收敛半径不变，因此有nan(x一1)n+1=(x一1)2nan(x一1)n-1，其收敛区间为|x一1|<3，即(一2，4)。29、已知幂级数an(x+2)n在x=0处收敛，在x=一4处发散，则幂级数an(x一3)n的收敛域为___________。标准答案：(1，5]知识点解析：由题意可知，an(x+2)n的收敛域为(一4，0]，则anxn的收敛域为(一2，2]。所以an(x一3)n的收敛域为(1，5]。30、已知幂级数anxn在x=1处条件收敛，则幂级数an(x一1)n的收敛半径为___________。标准答案：1知识点解析：由题干已知幂级数anxn在x=1处条件收敛，那么x=1为该幂级数收敛区间的端点，其收敛半径为l，因此幂级数an(x一1)n收敛半径也为1。31、级数的和为___________。标准答案：知识点解析：由麦克劳林公式易知ln(1+x)=，则32、级数的和为___________。标准答案：知识点解析：令S(x)=nxn-1，(|x|<1)，那么有33、f(x)=在x=一1处的泰勒展开式为___________。标准答案：(一1)n(x+1)n，(一2＜x＜0)知识点解析：f(x)=考研数学三（无穷级数）模拟试卷第3套一、选择题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、下列命题中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为ωn＜un＜vn，所以0＜un一ωn＜vn一ωn．又因为收敛，因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项(B)，(C)将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对．例如取级数可以说明(B)不对，取级数就可以说明(C)不对，故选(D)．2、下列命题中错误的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由级数收敛的性质知命题(A)正确；由反证法可知命题(B)正确．若设，这两个级数都发散，但是收敛，可知命题(C)正确，命题(D)错误．3、已知级数条件收敛，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：设4、设a＞0为常数，则A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性与a有关标准答案：A知识点解析：5、对于级数其中un＞0(n=1，2，3，…)，则下列命题正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因|(一1)n-1un|=|un|=un，由绝对收敛，故命题(B)正确；命题(A)错误：如；命题(C)，(D)错误：如取6、下列结论正确的是()A、在收敛域上必绝对收敛B、的收敛半径为R，则R一定是正常数C、若的收敛半径为R，则其和函数S(x)在(-R，R)内必可微D、都是幂级数标准答案：C知识点解析：由幂级数的和函数S(x)在收敛区间(一R，R)上的性质可知，命题(C)正确．命题(A)错误：如收敛域为(一1，1]，但在x=1处，命题(B)错误：因为收敛半径可能为R=0或R=+∞；命题(D)错误：由幂级数的定义可知不是幂级数．7、设0≤un≤则下列级数中一定收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因收敛，由正项级数的比较审敛法知收敛，故绝对收敛，从而收敛，故选(D)．8、已知级数则()A、级数①收敛，级数②发散B、级数①发散，级数②收敛C、两级数都收敛D、两级数都发散标准答案：D知识点解析：设则{u2n}为单调增数列，故从而级数①发散，由级数发散可知，级数②一般项极限不为零，故发散．9、当级势A、一定条件收敛B、一定绝对收敛C、一定发散D、可能收敛，也可能发散标准答案：B知识点解析：因级数都为正项级数，且收敛，又由比较审敛法知，绝对收敛．故选(B)．10、若正项级数发散，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：级数存在N，当n＞N时．an2≤an,由比较审敛法知，必收敛．故选(C)．11、存在是级数(an一an+1)收敛的()A、充分条件而非必要条件B、必要条件而非充分条件C、既非充分又非必要条件D、充分必要条件标准答案：D知识点解析：(an一an+1)的前n项和为Sn=(a1一a2)+(a2一a3)+…+(an一an+1)=a1一an+112、设存在，则()A、必收敛B、(an2一an+12)必收敛C、(a2n-1一a2n)必收敛D、标准答案：B知识点解析：由于(an2一an+12)=a12—a2，所以选(B)．13、若an(x一1)n在x=-1处收敛，则在x=2处是()A、条件收敛B、绝对收敛C、发散D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：由an(x一1)n在x=一1处收敛，则收敛半径R≥|一1—1|=2．而在x=2处，|2—1|=1＜R，所以x=2在收敛区间内，即原级数在x=2处绝对收敛，故应选(B)．14、级数A、收敛B、发散C、条件收敛D、绝对收敛标准答案：C知识点解析：15、当|x|＜1时，级数的和函数是()A、ln(1一x)B、C、ln(x-1)D、一ln(x一1)标准答案：B知识点解析：二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)16、设a为常数，若级数标准答案：a知识点解析：因为级数17、级数的和为_______．标准答案：知识点解析：因为级数为等比级数，其公比q满足18、级数，当______时绝对收敛；当________时条件收敛；当________时发散．标准答案：p＞1；0＜p≤1；p≤0知识点解析：19、常数项级数的敛散性为________．标准答案：发散知识点解析：将已给级数每相邻两项加括号得新级数因为级数发散，由于加括号后级数发散，故原级数必发散．20、的敛散性为_______．标准答案：发散知识点解析：21、正项级数收敛的充分必要条件为其部分和数列{Sn}_______．标准答案：有界(或有上界)知识点解析：级数，收敛等价于{Sn}收敛．对于正项级数{Sn}为单调递增数列．由数列极限存在准则与数列收敛的必要条件可知，单调递增数列{Sn}收敛等价于{Sn}有界(或有上界)．22、级数的收敛域是_______．标准答案：(一1，1]知识点解析：因为不缺项的x的幂级数，又因故R=1．23、函数f(x)=展开成的x-1的幂级数为__________．标准答案：(一1)n(x一1)n，0＜x＜2知识点解析：因一1＜x＜1．故(一1)n(x一1)n，一1＜x一1＜1，即0＜x＜2．24、幂级数在收敛区间(-a，a)内的和函数S(x)为_______．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、求(a为常数，0＜|a|＜e)．标准答案：利用级数的收敛，求数列极限或证明数列收敛．若对于级数．由知识点解析：暂无解析27、判别下列级数的敛散性(k＞1，a＞1)：标准答案：知识点解析：暂无解析28、判别级数的敛散性．标准答案：收敛，故原级数收敛．知识点解析：暂无解析29、将函数f(x)=展开成x的幂级数，并指出其收敛区间．标准答案：由已知展开式知知识点解析：暂无解析30、判别下列正项级数的敛散性：标准答案：知识点解析：暂无解析31、判别级数的敛散性．标准答案：易知当n充分大时，单调递减且收敛于0，由莱布尼茨判别法知，级数收敛．知识点解析：暂无解析32、判别级数的敛散性．标准答案：由泰勒公式，有知识点解析：暂无解析33、判别级数的敛散性．标准答案：F(x)单调减少，因此级数满足莱布尼茨判别法条件，是条件收敛的．但级数发散．由收敛级数与发散级数的代数和是发散级数，知原级数发散．知识点解析：暂无解析34、设两条抛物线y=nx2+和y=(n+1)x2+记它们交点的横坐标的绝对值为an．求：(1)这两条抛物线所围成的平面图形的面积Sn；(2)级数的和．标准答案：(1)解方程得两条抛物线交点的横坐标的绝对值为根据对称性可得知识点解析：暂无解析考研数学三（无穷级数）模拟试卷第4套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、设级数收敛，则下列选项中一定收敛的级数为()A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：方法一：令sn=u1+u2+…+un，因为收敛，所以且存在。设，令s’n=(u1+u2)+(u2+u3)+…+(un+un+1)=2sn-u1+un+1。因为，所以级数收敛。故选D。方法二：取，级数收敛，而发散，选项A不对；取，级数发散，选项B不对；取，级数发散，由比较判别法可知选项C不对。故选D。2、设级数收敛，则级数()A、收敛B、收敛C、收敛D、收敛标准答案：D知识点解析：方法一：令sn=a1+a2+…+an，因为收敛，所以且存在。设，令故极限存在，所以收敛，故选D。方法二：令，则级数为莱布尼茨级数，故收敛。而，由此可知，级数和均发散。故选D。3、设有两个数列{an}，{bn}，若，则()A、当收敛时，收敛B、当收敛时，收敛C、当收敛时，收敛D、当收敛时，收敛标准答案：C知识点解析：方法一：因为，根据极限的定义存在一实数M＞0，对一切n有︱an︱≤M。同理，若收敛，则，取M0=1，存在正整数N，当n＞N时，︱bn︱＜1，于是bn2≤︱bn︱，由正项级数的比较审敛法得收敛。由an2bn2≤M2bn2及收敛，得收敛，故选C。方法二：取，显然收敛，但发散，选项A不对。取，显然且发散，但收敛，选项B不对。取，显然且发散，但收敛，选项D不对。由排除法可知，故选C。4、设an＞0，n=1，2，3，…，且收敛，常数，则级数()A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性与λ有关。标准答案：A知识点解析：由于为正项级数且收敛，则级数收敛，而且有则由比较判别法可知收敛，故绝对收敛。故选A。5、设为正项级数，下列结论中正确的是()A、若，则级数收敛B、若存在非零常数λ，使得，则级数发散C、若级数收敛，则D、若级数发散，则存在非零常数λ，使得标准答案：B知识点解析：方法一：取，则有，但级数发散，故选项A不对。取，级数收敛，但，故选项C不对。取，级数发散，但，选项D不对。故选B。方法二：设，取，因为，所以存在正整数N，当n＞N时，，于是有，即。而发散，由正项级数的比较审敛法得发散。故选B。6、下列级数中属于条件收敛的是()A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：方法一：由于其中收敛，选项A发散。由于其中均收敛→选项B绝对收敛。由于收敛→选项C绝对收敛。故选D。方法二：直接证明选项D条件收敛。单调下降趋于零(n→∞)，根据莱布尼茨定理可知交错级数收敛。又有且发散，即选项D条件收敛。故选D。7、设a＞0为常数，则()A、绝对收敛B、条件发散C、发散D、收敛性与a有关标准答案：A知识点解析：，且。由于收敛，故收敛，则绝对收敛。故选A。8、若在x=-1处收敛，则此级数在x=2处()A、条件收敛B、绝对收敛C、发散D、收敛性不确定标准答案：B知识点解析：因为x=-1为级数的收敛点，所以级数在︱x-1︱＜︱-1-1︱=2内收敛，即当-1＜x＜3时级数绝对收敛，由于x=2在区间(-1，3)内，故选B。9、下列四个级数中发散的是()A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：对于选项A，因为由比较审敛法知，级数收敛。对于选项B，因为而级数发散，由比较审敛法的极限形式知级数发散。对于选项C，这是一个交错级数，而且令，则，当x＞e2时，f’(x)＜0，所以f(x)单调减少，即当n＞[e2]([e2]表示不大于e2的最大整数)时，，由交错级数的莱布尼茨定理知，级数收敛。对于选项D，因为而级数收敛，所以绝对收敛。故选B。10、若级数收敛，发散，则()A、必发散B、必收敛C、必发散D、必发散标准答案：D知识点解析：方法一：(推理法)由发散，知一定发散，而收敛，则有一定发散。故选D。方法二：(排除法)取，则收敛，发散，但绝对收敛，排除选项A；发散，排除选项B；收敛，排除选项C。故选D。11、级数(a为常数)()A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性与a有关标准答案：D知识点解析：当a=0时，为交错级数，且当n≥3时满足莱布尼茨定理，所以收敛。当a=1时，的一般项不趋于零，发散。所以，敛散性与a有关。故选D。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)12、若级数(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…发散，则级数_____________________。标准答案：发散知识点解析：假设收敛，由级数性质知，收敛级数加括号仍收敛，则级数(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…收敛，与题设矛盾。因此发散。13、幂级数的收敛半径为_____________________。标准答案：知识点解析：该幂级数的收敛半径14、幂级数的和函数为_____________________。标准答案：In2-In(3-x)，x∈[-1，3)知识点解析：令，则s(1)=0，对等式两边求导得其中，即-1＜x＜3。再对等式两边从1到x积分，得所以s(x)=In2-In(3-x)，x∈(-1，3)。当x=-1时，s(x)连续，收敛；当x=3时，s(x)无意义，发散，故幂级数的和函数为s(x)=In2-In(3-x)，x∈(-1，3)。15、设有以下命题①若收敛，则收敛；②若收敛，则收敛；③若，则发散；④若收敛，则都收敛。则以上命题正确的序号是_____________________。标准答案：②③知识点解析：级数加括号收敛，原级数不一定收敛，如，则①不正确。是级数去掉了前100项，则由收敛可知收敛，则②正确。由于，则有则当n充分大时︱un+1︱＞︱un︱＞0，从而故级数发散，③正确。设，有收敛，而均发散，④不正确。16、已知幂级数在x＞0时发散，且在x=0时收敛，则a的取值是_____________________。标准答案：-1知识点解析：由，可知该幂级数的收敛半径为1，从而得其收敛区间为︱x-a︱＜1，即a-1＜x＜a+1。当x-a=1，即x=a+1时，原函数为，收敛；当x-a=-1，即x=a-1时，原级数为，该级数发散。因此，原基数的收敛域为a-1＜x≤a+1。由题设，x=0时级数收敛，x＞0时级数发散，可知x=0是其收敛区间的一个端点，且位于收敛域内。因此只有a+1=0，即得a=-1。17、设级数，当_____________________时级数收敛，当_____________________时级数发散。标准答案：a＞e，0＜a≤e知识点解析：因为，所以a＞e时级数收敛，0＜a≤e时级数发散。18、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为_____________________。标准答案：(-2，4)知识点解析：令t=x-1，则由于逐项求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径，且已知的收敛半径为3，所以的收敛半径为3，从而的收敛半径为3。收敛区间(-3，3)。因此对于原级数，它的收敛区间为-3＜x-1＜3，即(-2，4)。19、幂级数的收敛域为_____________________。标准答案：[-4，6)知识点解析：由，因此，幂级数的收敛半径为R=1，则有︱x-5︱＜1，即4＜x＜6。当x=4时，原级数收敛；当x=6时，原级数为发散。故幂级数的收敛域是[-4，6)。20、设f(x)=xIn(1+x2)，则f(49)(0)=_____________________。标准答案：知识点解析：函数f(x)的麦克劳林展开式为。因为，所以，于是。由函数麦克劳林系数的唯一性得，于是三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)21、判断级数的敛散性。标准答案：设是的p级数，因此收敛。所以由比较判别法可知原级数收敛。知识点解析：暂无解析22、求级数的和函数。标准答案：知识点解析：暂无解析23、求幂级数的收敛域及和函数。标准答案：由于，所以收敛半径R=1，且在x=±1处级数发散，故收敛域为(-1，1)。又设有，所以设有则，取不定积分得，s3(0)=0→C=0，所以和函数其中0＜︱x︱＜1，s(0)=3。知识点解析：暂无解析24、证明级数条件收敛。标准答案：令，n=2，3，…，则。因为级数发散，所以由比较判别法可知，级数发散，即级数不绝对收敛。注意到原级数虽然是交错级数，但数列并没有单调性，所以不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。转而考虑其部分和数列{s2n}{s2n+1}。因为(注意部分和数列从k=2开始)并且即数列{s2n}单调递减有下界，所以由单调有界原理可知数列{s2n}收敛。再由s2n+1=s2n+a2n+2，且，可知数列{s2n+1}也收敛，且，所以部分和数列{sn}收敛。由级数收敛的定义可知，级数收敛，从而级数条件收敛。知识点解析：暂无解析25、判断级数的敛散性。标准答案：因为则有故，所以根据级数收敛的定义知，收敛。知识点解析：暂无解析26、求幂级数的收敛域D和函数s(x)。标准答案：方法一：由，故级数的收敛半径R=1，且级数在收敛区间(-1，1)的两个端点x=-1与x=1处都收敛，因此级数的收敛域为[-1，1]。令，x∈[-1，1]，用x2乘以幂级数s(x)，则有对等式逐项求导三次可知再积分三次，则有令1-t=u，则故有其中x∈(-1，1)，s(0)=0。方法二：收敛域同方法一，下面求和函数。用通项拆分法分解幂级数可得利用已知的和函数公式：当0＜︱x︱＜1时，其中x∈(-1，1)，s(0)=0。代入得知识点解析：暂无解析27、设数列{an}，{bn}满足ebn=ean-an，且an＞0，n=1，2，3，…，证明：(Ⅰ)bn＞0；(Ⅱ)若收敛，则收敛。标准答案：(Ⅰ)由幂级数展开式可知，当x≠0时，ex-x＞1恒成立。再由an＞0可得，ebn=ean-an＞1=e0，故bn＞0。(Ⅱ)由ebn=ean-an可得，bn=In(ean-an)。因为an＞0，且级数收敛，所以，则。再结合，可知由比较审敛法的极限形式可知，级数收敛。知识点解析：暂无解析28、设，其中n=1，2，…。证明：(Ⅰ)存在；(Ⅱ)级数收敛。标准答案：(Ⅰ)显然an＞0(n=1，2…)，由均值不等式易知又因所以{an}单调递减且有下界，故极限存在。(Ⅱ){an}单调递减，则，原级数是正项级数。由an≥1得而级数的部分和为存在，则级数收敛。由比较判别法知收敛。知识点解析：暂无解析29、判定级数与级数的敛散性。标准答案：由泰勒公式并令可得从而级数可分解为两个级数之差。因为这两个级数都是收敛的，所以级数收敛。对于级数，因从而级数可以分解为级数与级数之和。由莱布尼茨判别法知交错级数收敛；利用n→∞时可知，正项级数与正项级数有相同的敛散性，因此级数发散。再利用级数的运算性质知，级数是发散的。综上所述可得，级数收敛，而级数发散。知识点解析：暂无解析30、设f(x)有二阶导数，且，证明级数绝对收敛。标准答案：由得f(0)=1，由洛必达法则有于是有f’(0)=0。再由得f’’(0)=5。因为f(x)有二阶导数，所以有令，于是。因为，而收敛，所以收敛，故级数绝对收敛。知识点解析：暂无解析31、求幂级数的收敛域与和函数。标准答案：由，因此级数的收敛半径R=1，收敛区间为(-1，1)。当x=±1时，，而收敛，故原级数绝对收敛，所以得收敛域为[-1，1]。设当x=0时，s(0)=0。当x∈(-1，1)且x≠0时，有而有所以因s(x)在x=1处连续，故时，原级数为所以s(x)的和函数为知识点解析：暂无解析考研数学三（无穷级数）模拟试卷第5套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设则级数A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：是交错级数，满足莱布尼茨判别法的两个条件，所以是收敛的．而是正项级数，且由级数发散即得发散．这就说明C正确．2、设a＞0为常数，则级数A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性与a有关标准答案：B知识点解析：用分解法．分解级数的一般项3、设常数a＞2，则级数A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性与α有关标准答案：C知识点解析：由于设常数p满足1＜p＜α－1，则有由正项级数比较判别法的极限形式知级数收敛，进而知当α＞2时绝对收敛，即C正确．二、解答题(本题共28题，每题1.0分，共28分。)判别下列正项级数的敛散性：4、标准答案：当p≤0时，有成立，即级数的一般项不是无穷小量，故级数发散．当p＞0时，令由于从而又发散，故级数发散．综合即知：无论常数p取何值，题设的级数总是发散的．知识点解析：暂无解析5、标准答案：因(lnn)lnn=elnn·ln(lnn)=nln(lnn)>n2(n＞ee2)，又因收敛，故级数收敛．知识点解析：暂无解析6、标准答案：当p＞1时，由于n≥3时有又收敛，故级数收敛．当p＜1时，因又发散，故级数发散．当p=1时，因所以这表明级数的部分和Sn无界，即级数发散．综合得当p＞1时收敛，当p≤1时发散．知识点解析：暂无解析7、标准答案：当p≤1时，因又由上题知发散，故级数发散．当p＞1时，因所以这表明此时部分和有界，故级数收敛．综合得当p＞1时收敛；当p≤1时发散．知识点解析：暂无解析8、讨论级数的敛散性，其中标准答案：当x∈[0，1]时，x(1－x)sin2nx≥0，从而un≥0．故为正项级数．又sin2nx≤x2n(x∈[0，1])，所以而收敛，所以收敛．知识点解析：暂无解析判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛)：9、标准答案：由于而且级数发散，所以原级数不是绝对收敛的．原级数是交错级数，易知为考察的单调性，令记由x充分大时可知当x充分大时g(x)单调增加，从而f(x)单调增加．故当n充分大时单调减少．这说明级数满足莱布尼茨判别法的两个条件，所以该级数收敛，并且是条件收敛的．知识点解析：暂无解析10、标准答案：由于所以此级数是交错级数．又由于而且发散，这说明原级数不是绝对收敛的．由于sinx在第一象限是单调递增函数，而是单调减少的，所以，随着n的增加而单调递减．又因这说明级数满足莱布尼茨判别法的两个条件，从而它是收敛的．结合前面的讨论，知其为条件收敛．知识点解析：暂无解析11、判别级数的敛散性．标准答案：【解法一】注意级数的一般项满足且条件收敛，发散，故原级数发散．【解法二】计算级数相邻两项之和可得由此可见级数是正项级数，且满足从而，级数发散，于是级数发散，再利用级数性质可知原级数发散．知识点解析：设则级数可写成对于交错级数首先要讨论它是否绝对收敛，为此采取比较判别法的极限形式，由于un满足可见级数不绝对收敛．又因级数的一般项的绝对值不是单调减少的，从而不能用莱布尼茨判别法来判别这个级数的条件收敛性，必须用其他方法来讨论它是否条件收敛．以下介绍两种方法．12、判断如下命题是否正确：设无穷小un～vn(n→∞)，若级数收敛，则也收敛．证明你的判断．标准答案：对于正项级数，比较判别法的极限形式就是：若0＜A＜+∞，则与同时收敛或同时发散．本题未限定为正项级数，由收敛不能断定一定收敛．比如，取则即un－vn(n→∞)．级数是收敛的，然而级数是不收敛的．这个例子说明：对正项级数的比较判别法的极限形式不能用于判定任意项级数的条件收敛性．要注意变号级数与正项级数的区别．知识点解析：暂无解析求下列幂级数的收敛域：13、标准答案：有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式计算收敛半径，首先计算所以R=1．再考察幂级数在两个端点x=±1处的敛散性．当x=1时，级数是发散的．而当x=－1时是交错级数，同时为证明单调递减，令由于而且当x≥2时ln(1+x)＞1，从而当x≥2时有f’(x)血压0，即f(x)当x≥2时单调递减，所以从而满足莱布尼茨判别法的两个条件，故该级数收敛．这样即得的收敛域为[－1，1)．知识点解析：暂无解析14、标准答案：由于所以其收敛半径为2．又由于本题是关于x+1的幂级数，所以收敛区间的两个端点为x=－3与x=1．当x=－3时，原级数为是发散的；而当x=1时，原级数是一个交错级数，而且容易看出它满足莱布尼茨判别法的两个条件，所以是收敛的．这表明幂级数的收敛域为(－3，1]．知识点解析：暂无解析15、其中的收敛半径R=3；(只求收敛区间)标准答案：由幂级数收敛性的特点知，与有相同的收敛半径R=3．因而其收敛区间为(－2，4)．知识点解析：暂无解析16、其中x=0时收敛，x=6时发散．标准答案：考察由题设t=－3时它收敛知收敛半径R≥3，又t=3时其发散知R≤3．因此R=3，由此可知的收敛域是[－3，3)，故原级数的收敛域是[0，6)．知识点解析：暂无解析求下列幂级数的收敛域及其和函数：17、标准答案：由于而且在x=±1处，级数均发散，所以其收敛域为(－1，1)．为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数．设并令则由可得从可得，于是故S(x)=S1(x)－S2(x)+S3(x)当x=0时，上面的运算不能进行，然而从原级数可直接得出S(0)=a0=1．综合得幂级数的和函数容易看这就说明S(x)在x=0处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质．知识点解析：暂无解析18、标准答案：利用同样的方法容易求得级数的收敛域为(－1，1)．令为求应先进行两次逐项积分，即再进行两次求导，则故知识点解析：暂无解析将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间：19、ln(1+x+x2)；标准答案：由于利用公式(5．11)，并分别以(－x3)与(－x)代替其中的x，就有于是知识点解析：暂无解析20、标准答案：由于利用公式(5．13)，并以x2代替其中的x，就有上式两端再进行积分，注意到所以由即得注意函数在端点x=－1处连续，幂级数在点x=－1处也收敛，从而上式在端点x=－1处也成立，即知识点解析：暂无解析将下列函数在指定点处展开为泰勒级数：21、在x=1处；标准答案：其中即－1＜x＜3．在上述展式中就是以代替(5．13)式中的x．类似地，有所以知识点解析：暂无解析22、ln(2x2+x－3)，在x=3处．标准答案：由于ln(2x2+x－3)=ln(2x+3)(x－1)=ln(2x+3)+ln(x－1)，对于右端两项应用公式(5．11)，得知识点解析：暂无解析23、将展开为x的幂级数，并求f(n)(0)，其中n=1，2，3，…．标准答案：故于是xn的系数由此可知当n≥2时有此外还有f’(0)=0．知识点解析：暂无解析将下列函数展开成x的幂级数：24、标准答案：由于其中所以知识点解析：暂无解析25、标准答案：由于－∞＜x＜+∞，x≠0，所以其中－∞＜x＜+∞，x≠0．知识点解析：暂无解析26、将函数展开成x的幂级数，并求其收敛域．标准答案：将f"(x)展开，有从而当|x|＜1时有当x=±1时，右边级数收敛，又f(x)连续，所以收敛域为－1≤x≤1．知识点解析：暂无解析27、设试将f(x)展开成x的幂级数．标准答案：因为故由于上式右端的级数在点x=±1处收敛，因此上面等式在|x|≤1上成立．于是当0＜|x|≤1时由于f(x)在点x=0处连续，且根据幂级数的和函数在收敛区间内处处连续可得上式在点x=0处也成立，知识点解析：暂无解析28、设an>0，bn>O，(n=1，2，…)，且满足试证：(I)若级数收敛，则收敛；(Ⅱ)若级数发散，则发散．标准答案：由于an＞0，bn＞0，故所以从而由比较判别法即知：当收敛时收敛，而当发散时发散．知识点解析：暂无解析设29、求的值；标准答案：由于所以知识点解析：暂无解析30、试证：对任意的常数λ＞0级数收敛．标准答案：是正项级数，可用比较判别法判别其敛散性．由于所以由1+λ＞1，即知收敛，从而收敛．知识点解析：暂无解析31、(I)求函数所满足的二阶常系数线性微分方程；(Ⅱ)求(I)中幂级数的和函数y(x)的表达式．标准答案：(I)当－∞＜x＜+∞时题设的幂级数可任意次逐项求导，且由此可见y(x)满足二阶常系数齐次线性微分方程y"－y=0．(Ⅱ)直接计算可得y(0)=1，y’(0)=从而函数y(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题的特解．注意特征方程λ2－1=0有二相异特征根λ1=1与λ2=－1，可见微分方程的通解为y(x)=C1ex+C2e-x．利用初值y(0)=1与可确定常数故(I)中幂级数的和函数知识点解析：暂无解析考研数学三（无穷级数）模拟试卷第6套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、设平面区域D：|x|+|y|≤1，则(x+y)dxdy=()A、0B、C、D、1标准答案：C知识点解析：因为D关于x，y轴都对称，故，且有其中D1={(x，y)|x+y≤1，x≥0，y≥0}．于是2、设平面区域D由曲线y=(xy3一1)dσ等于()A、2B、一2C、πD、一π标准答案：D知识点解析：如图1．5—1所示，用曲线y=-sinx将区域D划分为D1和D2两部分，则D1关于x轴对称，D2关于y轴对称，于是有由于区域D的面积与直线y=0，y=1，所围成矩形的面积相等，故SD=π，故应选(D)．3、设平面区域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，若，则I1，I2，I3的大小顺序为()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I1＜I2标准答案：C知识点解析：在积分区域D内，≤x+y≤1，所以ln(x+y)≤0＜sin(x+y)＜x+y，于是4、累次积分f(x2+y2)dx(R＞0)化为极坐标形式的累次积分为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：积分区域D为，0≤y≤2R，如图1.5—2所示．在极坐标系下区域D可表示为0≤r≤2Rsinθ，0≤θ≤故5、设平面区域D：(x一2)2+(y一1)2≤1，若，则有()A、I1=I2B、I1＞I2C、I1＜I2D、无法确定标准答案：C知识点解析：由二重积分的比较性质，只需比较平面区域D上(x+y)2与(x+y)3的大小，即x+y与1的大小．从几何的角度也就是考查圆域D与直线x+y=1的位置关系．因积分域D的圆心(2，1)到直线x+y=1的距离(1为圆的半径)，故闭区域D在直线x+y=1的1=3，即当(x，y)∈D时，有x+y＞1，从而在D上(x+y)2＜(x+y)3，则I1＜I2．6、设积分其中D1={(x，y)|(x一2)2+(y一1)2≤2)，D2={(x，y)|x2+(y+1)2≤2}，则下列选项正确的是()A、I1＜II2＜I3＜I4B、I4＜I3＜I2＜I1C、I4＜I3＜I1＜I2D、I1＜I3＜I2＜I4标准答案：C知识点解析：如图1．5-3所示，积分域D1的边界为圆周(x-2)2+(y一1)2=2，它与x轴交于点(1，0)，与直线x+y=1相切．而区域D1位于直线的上方，故在D1上x+y≥1，从而(x+y)10≤(x+y)11，因此有同样，在D2上x+y≤1，从而(x+y)10≥(x+y)11，因此有7、已知f(x，y)dy，则I=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：积分域由两部分组成(如图1．5—4所示)．设将D=D1∪D2视为Y型区域，则故应选(A)．8、交换二次积分f(x，y)dy次序正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：交换积分次序的步骤是：①由原累次积分的上下限写出表示为积分区域D的联立不等式，并作出D的草图，原积分变成二重积分②按新的累次积分次序的要求写出新的累次积分表达式．由已知积分的上下限，可知积分区域的不等式表示为：如图1．5—5所示，则9、已知其中D={(x，y)|x2+y2≤1}，则()A、c＞b＞aB、a＞b＞cC、b＞a＞cD、c＞a＞b标准答案：A知识点解析：由于D={(x，y)|x2+y2≤1}，所以(x2+y2)2≤x2+y2≤由cosx在上单调减少可得cos(x2+y2)2≥cos(x2+y2)≥cos(x2+y2)2≥cos(x2+y2)≥因此有c＞b＞a．10、设D由直线x=0，y=0，x+y=1围成，已知∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx，则A、2B、0C、D、1标准答案：B知识点解析：由∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx，有∫01(1一x)f(x)dx=0，于是=∫01dx∫01-xf(x)dy=∫01(1一x)f(x)dx=0．11、设f(x，y)为连续函数，交换累次积分∫02πdx∫0sinxf(x，y)dy的次序为先x后y成为()A、∫01dy∫arcsinyπ-arcsinyf(xy)dx+∫-10dy∫π-arcsiny2π+arcsinyf(x，y)dxB、∫01dy∫arcsinyπ-arcsinyf(xy)dx-∫-10dy∫π-arcsiny2π+arcsinyf(x，y)dxC、∫01dy∫arcsinyπ-arcsinyf(xy)dx+∫-10dy∫π+arcsiny2π-arcsinyf(x，y)dxD、∫01dy∫arcsinyπ-arcsinyf(xy)dx-∫-10dy∫π+arcsiny2π-arcsinyf(x，y)dx标准答案：B知识点解析：在区间[0，2π]上，∫0sinxf(x，y)dy的上限sinx可能小于下限0．所以∫02πdx∫0sinxf(x，y)dy只是一个累次积分，而不是一个二重积分，所以应先变形，化成两个二重积分，即∫02πdx∫0sinxf(x，y)dy=∫0πdx∫0sinxf(x，y)dy+∫π2πdx∫0sinxf(x，y)dy=∫0πdx∫0sinxf(x，y)dy—∫π2πdx∫sinx0f(x，y)dy．交换积分次序，有∫0πdx∫0sinxf(x，y)dy=∫01dy∫arcsinyπ-arcsinyf(x，y)dx，∫02πdx∫sinx0f(x，y)dy=∫-10dy∫π-arcsiny2π+arcsinyf(x，y)dx，故选(B)．12、设f(x)为连续函数，F(y)=∫0yf(x)dx，则∫01dz∫0zF(y)dy=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：∫0zF(y)dy=∫0zdy∫0yf(x)dx．交换积分次序为先y后x．将z看成常数，有∫0zF(y)dy=∫0zdy∫0yf(x)dx=∫0zdx∫xzf(x)dy=∫0z(z-x)f(x)dx∫01dz∫0zF(y)dy=∫01dz∫0z(z-x)f(x)dx=∫01dx∫x1(z-x)f(x)dz=二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)13、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=0所围成的平面图形D的面积可用二重积分表示为_______，其值等于_______．标准答案：知识点解析：由得交点A(e，1)．所求平面图形的面积为14、二重积分ln(x2+y2)dxdy的符号为_______．标准答案：负号知识点解析：二重积分的积分值的符号由被积函数在积分区域内的正负号所确定．积分区域D：|x|+|y|≤1,因0≤x2+y2≤(|x|+|y|)2≤1，故ln(x2+y2)≤ln1=0，但又不恒等于零，故ln(x2+y2)dxdy＜0．15、设D={(x，y)|1≤x2+y2≤e2}，则二重积分标准答案：知识点解析：被积函数含有x2+y2的形式，且积分域是以原点为中心的圆环域，选用极坐标计算较方便．16、设f(u)为连续函数，D是由y=1,x2一y2=1及y=0所围成的平面闭区域，则标准答案：0知识点解析：因积分域D关于y轴对称，被积函数xf(y2)关于变量x是奇函数，故17、设．交换积分次序后I=______．标准答案：知识点解析：积分域D：ex≤y≤e2x，0≤x≤1．曲线y=e2x，y=ex与直线x=1的交点分别为(1，e2)与(1，e)．故18、标准答案：知识点解析：令x=rsinθ，y=rcosθ，则19、交换二次积分次序：标准答案：知识点解析：由题意知，所求积分区域为x=2y,x=y2所围成的区域，所以20、设f(x)为连续函数，a与m是常数且a＞0，将二次积分I=∫0ady∫0yem(a-x)f(x)dx化为定积分，则I=______．标准答案：∫0aem(a-x)f(x)(a一x)dx知识点解析：被积函数仅是关于x的函数，交换积分次序即可化为定积分．由二次积分的积分限可知D：0≤x≤y，0≤y≤a，故I=∫0adx∫xaem(a-x)f(x)dy=∫0aem(a-x)f(x)(a-x)dx．21、标准答案：知识点解析：交换积分次序，有三、解答题(本题共26题，每题1.0分，共26分。)22、设F(x，y)=在D=[a，b]×[c，d]上连续，求并证明：I≤2(M一m)，其中M和m分别是f(x，y)在D上的最大值和最小值．标准答案：显然I≤2(M—m)．知识点解析：暂无解析23、计算二重积分其中D是第一象限中由直线y=x和曲线y=x3所围成的封闭区域．标准答案：知识点解析：暂无解析24、计算二重积分其中D={(x，y)|0≤y≤x，x2+y2≤2x}．标准答案：知识点解析：暂无解析25、求二重积分．其中D是由曲线，直线y=2，y=x所围成的平面区域．标准答案：知识点解析：暂无解析26、设f(x，y)=其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．标准答案：知识点解析：暂无解析27、平面区域D=((x，y)||x|+|y|≤1}，计算如下二重积分：(1)其中f(t)为定义在(一∞，+∞)上的连续正值函数，常数a＞0，b＞0；(2)(eλx一e-λy)dσ，常数λ＞0．标准答案：(1)易见，积分区域D是边长为的正方形，故其面积SD=2，因为积分区域D关于直线y=x对称，则由二重积分的性质便有(2)因为积分区域D关于直线y=x对称，又关于y轴，x轴对称，函数eλx一e-λx，eλy一e-λy分别关于x，y为奇函数，则由二重积分的性质得知识点解析：暂无解析28、设p(x)在[a，b]上非负连续，f(x)与g(x)在[a，b]上连续且有相同的单调性，其中D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b)，比较的大小，并说明理由．标准答案：I1一I2=p(x)p(y)g(y)[f(x)一f(y)]dxdy，由于D关于直线y=x对称，所以I1一I2又可以写成I1一I2=p(y)p(x)g(x)[f(y)一f(x)]dxdy，所以2(I1一I2)=p(x)p(y)[g(y)一g(x)][f(x)一f(y)]dxdy．因g(x)与f(x)的单调性相同，所以[f(x)一f(y)][g(x)-g(y)]≥0，从而知I1一I2≤0，有I1≤I2．知识点解析：暂无解析29、设函数f(x，y)在D上连续，且其中D由，x=1，y=2围成，求f(x，y)．