新疆克孜勒苏柯尔克孜自治州2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试卷（含答案解析）

克州2023-2024学年度第一学期期末质量监测试卷高一年级·数学时间：120分钟满分：100分一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.第1题至第8题是单选题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.第9题至第12题是多选题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）1.已知全集，设集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用补集的定义直接求解即得.【详解】全集，集合，所以.故选：C2.“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根据得或，故“”是“”的充分不必要条件.【详解】由得或，故“”是“”的充分不必要条件故选：A3.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接用正弦和差角公式即可得到结果.【详解】因为故选:A.4.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定形式改成存在量词命题.【详解】命题“”的否定是“”.故选：C5.设扇形周长为，圆心角的弧度数是3，则扇形的面积为（）A.12 B.16 C.18 D.24【答案】D【解析】【分析】根据弧长公式以及周长得出半径，再由公式得出面积.【详解】设扇形半径为，则弧长为，因为扇形的周长为，所以，解得，则，故扇形的面积为.故选：D.6.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接判断一次函数、二次函数、反比例函数的单调性和奇偶性，先将写成分段函数的形式，然后利用定义判断函数性质.【详解】不是奇函数，是偶函数，在定义域上不是增函数，又，定义域为且关于原点对称，当时，，当时，，所以为奇函数，又可知时为增函数，所以是增函数且为奇函数，故选：D.7.设，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的单调性比较即可.【详解】因为在上单调递增，且，所以，即，因为在上单调递减，且，所以，即，因为，所以.故选：C8.已知则的函数值为（）A. B. C. D.174【答案】C【解析】【分析】由分段函数，，代入运算可得解.【详解】由题意，可得.故选：C.9.如图某池塘中的浮萍蔓延后的面积与时间（月）的关系：（且），以下叙述中正确的是（）A.这个指数函数的底数是2 B.第5个月时，浮萍的面积就会超过C.浮萍从蔓延到需要经过2个月 D.浮萍每个月增加面积都相等【答案】AC【解析】分析】由图像中的数据可求出函数关系式，然后逐个分析判断即可详解】解：将点代入中，得，所以，所以A正确，当时，，所以B错误；当时，，当时，，所以浮萍从蔓延到需要经过2个月，所以C正确；由指数函数的性质可得浮萍每个月增加的面积不相等，所以D错误，故选：AC10.下列各组函数中，是相同函数的是（）A.，与B.与C.与D.与【答案】AD【解析】【分析】AD选项，定义域和对于法则均相同；BC选项，对应法则不同.【详解】A选项，的定义域为，与，的定义域相同，且对应法则相同，A正确；B选项，，与对应法则不同，B错误；C选项，，故与的对应法则不同，C错误；D选项，的定义域为，故，故两函数是相同函数，D正确.故选：AD11.函数，则（）A.的一个周期为B.是增函数C.的图象关于点对称D.将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象【答案】AC【解析】【分析】根据的周期性，单调区间，对称中心，及平移逐项判断.【详解】对A：的最小正周期为，故A正确；对B：的递增应满足：，即增区间为，故B错误.对C：的对称中心满足：，即中心为，，故C正确；对D：将函数的图象向右平移个单位长度可得到，故D错误.故选：AC12.已知函数的图像，则下列结论成立的是（）A.， B.， C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据函数的定义域，函数零点以及的取值等进行判断．【详解】因为所以；的定义域是，由图知：故当x取正无穷大时，，所以，故选：BD二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）13.若，且，则的最大值为_________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值即得.【详解】由，且，得，当且仅当时取等号，所以当时，取得最大值.故答案为：14.已知，则_______.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式，转化为正切表示的式子，即可求解.【详解】∵，所以；故答案为：15.函数（且）的图象恒过定点_________________．【答案】【解析】【详解】试题分析：时，，图象恒过点．考点：对数函数的性质．16.函数的单调递增区间为________.【答案】【解析】【分析】首先求函数的定义域，再根据复合函数单调性的求解方法，即可求解.【详解】由题得或.函数在定义域的单调递增区间为，单调递减区间为，又函数是减函数，所以函数的单调递增区间为.故答案为：三、解答题（本题6小题，第17题至第20题每题8分，第21题至第22题每题10分，共52分）17.（1）计算：（2）计算:【答案】（1）－1；（2）16【解析】【分析】（1）根据对数的运算性质求解即可；（2）利用分数指数幂的运算性质求解即可.【详解】（1）；（2）.18.已知函数.(1)求函数定义域;(2)判断函数的奇偶性,并用定义证明你的结论.【答案】（1）（2）是奇函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断．【详解】(1)由,解得,∴,∴函数的定义域.(2)函数是奇函数.证明:由(1)知定义域关于原点对称.因为函数.∵，所以函数是奇函数.【点睛】本题主要考查函数定义域，奇偶性的判断，利用定义法是解决本题的关键．19.如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD）上修建两个绿化带，矩形ABCD的面积为800m2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道，且这两个梯形之间也留有5m的人行道.设m.（1）用x表示绿化带的面积；（2）求绿化带面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）两个形状、大小完全相同的直角梯形可合并成一个小矩形，再结合题干的数据可求绿化带面积；（2）利用基本不等式求最大值即可.【小问1详解】因为矩形ABCD的面积为，，所以，两个形状、大小完全相同的直角梯形可合并成一个小矩形，则，解得，则绿化带面积为；【小问2详解】由（1）知，当且仅当，即时等号成立，所以绿化带面积的最大值为.20.已知函数，且．（1）求函数的解析式；（2）用定义证明函数在上是增函数.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）代入，即可求解函数的解析式；（2）利用函数单调性的定义，设，再作差，分解因式，判断正负，即可证明函数的单调性.【小问1详解】，；【小问2详解】设，，，即则函数在上是增函数21.已知函数，．（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）求在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期；单调递减区间；（2）最大值为；最小值为.【解析】【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；解不等式，可得出函数的单调递减区间；（2）由求出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的最小值和最大值.【小问1详解】因为，所以函数的最小正周期；由，得.即函数的单调递减区间为；【小问2详解】因为，所以，所以，当即时，函数取最小值，；当即时，函数取最大值，.【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.22.已知函数为定义在上的奇函数.（1）求的值，并猜想函数的单调性；（2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】22.；猜想函数为上单调递增函数23.【解析】【分析】（1）由可求出的值，再根据指数的性质可猜想函数的单调性；（2）利用函数的单调性的定义，先证得为上单调递增，然后结合奇函数的性质将问题转化为对任意实数恒成立，再分和两种情况讨论即可.【小问1详解】因为函数为定义在上的奇函数，所以，得，经检验符合题意，所以；所以，因为在上单调递增，所以猜想函数为上单调递增函数；【小问2详解】