2024-2025学年肥西县招生全国统一考试考试说明跟踪卷（四）数学试题含解析

2024-2025学年肥西县招生全国统一考试考试说明跟踪卷（四）数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：），则该几何体的表面积为()A． B．C． D．2．执行如图所示的程序框图，当输出的时，则输入的的值为()A．-2 B．-1 C． D．3．若，则实数的大小关系为（）A． B． C． D．4．若复数（为虚数单位），则的共轭复数的模为（）A． B．4 C．2 D．5．已知函数，若,且，则的取值范围为（）A． B． C． D．6．已知函数，，若对任意的总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（）A．1 B． C． D．7．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A． B． C． D．8．已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（）A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣129．函数的图象大致为（）A． B．C． D．10．已知等差数列的前13项和为52，则（）A．256 B．-256 C．32 D．-3211．已知，则的值等于（）A． B． C． D．12．函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有以下四个命题：①在中，的充要条件是；②函数在区间上存在零点的充要条件是；③对于函数，若，则必不是奇函数；④函数与的图象关于直线对称.其中正确命题的序号为______.14．设、分别为椭圆：的左、右两个焦点，过作斜率为1的直线，交于、两点，则________15．设数列的前项和为，且对任意正整数，都有，则___16．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为______________.(用数字作答)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，设A是由个实数组成的n行n列的数表，其中aij(i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的实数，且aij{1，-1}.记S(n，n)为所有这样的数表构成的集合．对于，记ri(A)为A的第i行各数之积，cj(A)为A的第j列各数之积．令a11a12…a1na21a22a2n…………an1an2…ann（Ⅰ）请写出一个AS(4，4)，使得l(A)=0；（Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合．18．（12分）已知函数，其中为自然对数的底数，．（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；（2）若，问函数有无极值点？若有，请求出极值点的个数；若没有，请说明理由．19．（12分）的内角所对的边分别是，且，.（1）求；（2）若边上的中线，求的面积.20．（12分）已知如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示。（Ⅰ）求证：AE平面BCD；（Ⅱ）求二面角A-DC-B的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比（只需写出结果，不要求过程）．21．（12分）已知，均为给定的大于1的自然数，设集合，．（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；（Ⅱ）当时，，且集合满足下列条件：①对任意，；②．证明：（ⅰ）若，则（集合为集合在集合中的补集）；（ⅱ）为一个定值（不必求出此定值）；（Ⅲ）设，，，其中，，若，则．22．（10分）的内角，，的对边分别为，,已知，.（1）求；（2）若的面积，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5，底面直径是6，据此可计算出答案.【详解】由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5，底面直径是6，该几何体的表面积.故选：C本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键.2．B【解析】若输入，则执行循环得结束循环，输出，与题意输出的矛盾；若输入，则执行循环得结束循环，输出，符合题意；若输入，则执行循环得结束循环，输出，与题意输出的矛盾；若输入，则执行循环得结束循环，输出，与题意输出的矛盾；综上选B.3．A【解析】

将化成以为底的对数，即可判断的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系.【详解】依题意，由对数函数的性质可得.又因为，故.故选:A.本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.4．D【解析】

由复数的综合运算求出，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模．【详解】，．故选：D．本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题．5．A【解析】分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，则当时，得，即，则满足，则，即，则，设，则，当，解得，当，解得，当时，函数取得最小值，当时，；当时，，所以，即的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.6．C【解析】

对任意的总有恒成立，因为，对恒成立，可得，令，可得，结合已知，即可求得答案.【详解】对任意的总有恒成立，对恒成立，令，可得令，得当，当，，故令，得当时，当，当时，故选：C.本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.7．A【解析】

由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论．【详解】解：依题意，设．则．，．设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．则，．故选：A．本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．D【解析】

分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，，然后计算，可得结果.【详解】设，联立则，因为直线经过C的焦点，所以.同理可得，所以故选：D.本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。9．A【解析】

根据函数的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.【详解】因为，所以是偶函数，排除C和D.当时，，，令，得，即在上递减；令，得，即在上递增.所以在处取得极小值，排除B.故选：A本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.10．A【解析】

利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.【详解】由，，得.选A.本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.11．A【解析】

由余弦公式的二倍角可得，，再由诱导公式有，所以【详解】∵∴由余弦公式的二倍角展开式有又∵∴故选：A本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题12．B【解析】

根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.【详解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B.本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．①【解析】

由三角形的正弦定理和边角关系可判断①；由零点存在定理和二次函数的图象可判断②；由，结合奇函数的定义，可判断③；由函数图象对称的特点可判断④．【详解】解：①在中，，故①正确；②函数在区间上存在零点，比如在存在零点，但是，故②错误；③对于函数，若，满足，但可能为奇函数，故③错误；④函数与的图象，可令，即，即有和的图象关于直线对称，即对称，故④错误．故答案为：①．本题主要考查函数的零点存在定理和对称性、奇偶性的判断，考查判断能力和推理能力，属于中档题．14．【解析】

由椭圆的标准方程，求出焦点的坐标，写出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长，利用定义可得，进而求出。【详解】由知，焦点，所以直线：，代入得，即，设，，故由定义有，，所以。本题主要考查椭圆的定义、椭圆的简单几何性质、以及直线与椭圆位置关系中弦长的求法，注意直线过焦点，位置特殊，采取合适的弦长公式，简化运算。15．【解析】

利用行列式定义，得到与的关系，赋值，即可求出结果。【详解】由，令，得，解得。本题主要考查行列式定义的应用。16．5040.【解析】分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为。填5040.利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，甲与乙是两个特殊元素，对于特殊元素“优先法”，所以有了分类。本题还涉及不相邻问题，采用“插空法”。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）不存在，理由见解析；（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）可取第一行都为-1，其余的都取1，即满足题意；（Ⅱ）用反证法证明：假设存在，得出矛盾，从而证明结论；（Ⅲ）通过分析正确得出l(A)的表达式，以及从A0如何得到A1，A2……，以此类推可得到Ak．【详解】（Ⅰ）答案不唯一，如图所示数表符合要求.（Ⅱ）不存在AS(9，9)，使得l(A)=0，证明如下:假如存在，使得.因为，，所以，，...，，，，...，这18个数中有9个1，9个-1.令.一方面，由于这18个数中有9个1，9个-1，从而①，另一方面，表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）；也表示m，从而②，①，②相矛盾，从而不存在，使得.（Ⅲ）记这个实数之积为p.一方面，从“行”的角度看，有；另一方面，从“列”的角度看，有；从而有③，注意到，，下面考虑，，...，，，，...，中-1的个数，由③知，上述2n个实数中，-1的个数一定为偶数，该偶数记为，则1的个数为2n-2k，所以，对数表，显然.将数表中的由1变为-1，得到数表，显然，将数表中的由1变为-1，得到数表，显然，依此类推，将数表中的由1变为-1，得到数表，即数表满足：，其余，所以，，所以，由k的任意性知，l（A）的取值集合为.本题为数列的创新应用题，考查数学分析与思考能力及推理求解能力，解题关键是读懂题意，根据引入的概念与性质进行推理求解，属于较难题.18．（1）（2）没有，理由见解析【解析】

（1）求导，研究函数在x=0处的导数，等于切线斜率，即得解；（2）对f(x)求导，构造，可证得，得到，即得解【详解】（1）由题意得，∵曲线在点处的切线与直线平行，∴切线的斜率为，解得．（2）当时，，，设，则，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，又函数，故恒成立，∴函数在定义域内单调递增，函数不存在极值点．本题考查了导数在切线问题和函数极值问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.19．（1），（2）【解析】

（1）先由正弦定理，得到，进而可得，再由，即可得出结果；（2）先由余弦定理得，，再根据题中数据，可得，从而可求出，得到，进而可求出结果.【详解】（1）由正弦定理得，所以，因为，所以，即，所以，又因为，所以，.（2）在和中，由余弦定理得，.因为，，，，又因为，即，所以，所以，又因为，所以.所以的面积.本题主要考查解三角形，灵活运用正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）1:5【解析】

（Ⅰ）由平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，AE⊥BD于E，能证明AE⊥平面BCD;（Ⅱ）以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;（Ⅲ）利用体积公式分别求出三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积，再作比写出答案即可．【详解】（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE⊂平面ABD，∴AE⊥平面BCD．（Ⅱ）由（1）知AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD，如图，以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系E-xyz，设AB=BD=DC=AD=2，

则BE=ED=1，∴AE=，BC=2，BF=，则E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，），

F（，0，0），C（，2，0），，，由AE⊥平面BCD知平面BCD的一个法向量为，设平面ADC的一个法向量，则，取x=1，得，∴，∴二面角A-DC-B的平面角为锐