安徽省合肥市蜀山区九年级（上）期末数学试卷押题卷解析版

2019-2020学年安徽省合肥市蜀山区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共10小题,每小题4分，满分40分。请将每小题唯一正确选项

前的代号填入下面的答题栏内）

1.（4分）以下五个图形中，是中心对称的图形共有（）

5个

2.（4分）方程x（x-1）=x的根是（）

A.x=2B.x=-2C.Xi=-2,X2=0D.Xi=2,X2=0

3.（4分）抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（）

A.(-2,-3)B.(2,3)C.(-2,3)D.(2,-3)

4.（4分）已知点P（2+rn,n-3）与点Q（m,1+n）关于原点对称，则m-n

的值是（）

A.1B.-1C.2D.-2

5.（4分）下列说法正确的是（）

A.一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最

少，则第2001次一定抛掷出5点

B.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该种彩票一定会中奖

C.天气预报说明天下雨的概率是50%,所以明天将有一半时间在下雨

D.抛掷一枚图旬一，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

6.（4分）用配方法解方程2x?+3=7x时，方程可变形为（）

A.（x-工）B.（x-2）2=至

2424

C.（x--）2=_L_D.（x-—）

416416

7.（4分）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000

万元，如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为（）

A.200（1+x）2=1000

B.200+200X2x=1000

C.200+200X3x=1000

D.200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000

8.（4分）如图，RtAABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线

的一端重合，ZABC=40°,射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D,若

射线CD将4ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的

A.40°B.70°C.70°或80°D.80°或140°

9.（4分）已知二次函数y=g（x-1）2+k的图象上三个点为：A（a，yl、B

（丫、（代，丫则、丫的大小关系是

2,2）C-3），yiy2>3（）

A.y3<y2<yiB.y2<yi<y3C.yi<y3<y2D.yi<y2<y3

10.（4分）如图，ZXABC中，ZBAC=90°,AB=AC=2,D为AC上一动点，以AD

为直径的。0交BD于E,则线段CE的最小值为（）

A.辰B.75+1C.2遍D.V5-1

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.计算：sin60°*cos30°-tan45°=.

12.如图，点A、B、C在。。上，ZAOC=60°,则NABC的度数是

13.有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，如图，将这两张纸条

交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD.则AB与BC的数量关系为.

14.如图，在正方形ABCD中，^BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交

AD于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H.给出下列结论：

①△ABERDCF；②,4③DP5H・PB；④丘了=壁.

其中正确的是—.（写出所有正确结论的序号）

三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）

15.（8分）解方程:4（3x-2）（x+1）=3x+3.

16.（8分）已知抛物线丫=当2-（2k-1）x+1?-k+1的顶点在坐标轴上，求k的

4

值.

四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.（8分）在半径为5cm的圆中，弦AB〃CD,AB=6cm,CD=8cm,求弦AB与

CD之间的距离.

18.（8分）如图，两个转盘中指针落在每个数字上的机会相等，现同时转动A、

B两个转盘，停止后，指针各指向一个数字.小力和小明利用这两个转盘做游

戏，若两数之积为非负数则小力胜；否则，小明胜.你认为这个游戏公平吗？

请你利用列举法说明理由.

五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.（10分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，^AOB的顶点均在格点

上，其中点A（5,4）,B（1,3）,将^AOB绕点。逆时针旋转90。后得到△

AiOBi.

（1）画出△AiOBi；

（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为；

（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和.

20.（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元,

为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施,

经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件,

若商场想平均每天盈利达1200元，那么买件衬衫应降价多少元？

六、（本题满分12分）

21.（12分）如图，菱形ABCD中，ZABC=60",有一度数为60。的NMAN绕点A

旋转.

（1）如图①，若NMAN的两边AM,AN分别交BC,CD于点E,F,则线段CE,

DF的大小关系如何？请证明你的结论；

（2）如图②，若NMAN的两边AM,AN分别交BC,CD的延长线于点E,F,猜

想线段CE,DF的大小关系如何？为什么？

图①图②

七、（本题满分12分）

22.（12分）如图在RtZSABC中，ZC=90°,BD平分NABC,过D作DEJ_BD交

AB于点E,经过B,D,E三点作G）0.

（1）求证：AC与。。相切于D点；

（2）若AD=15,AE=9,求。。的半径.

八、（本题满分14分））

23.（14分）如图，抛物线y=x?+bx+c与直线y=L<-3交于A,B两点，其中点B

2

在y轴上，点A坐标为（-4,-5）,点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过

点P作PCJ_x轴于点C,交AB于点D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）以0,B,P,D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；

若不存在，说明理由；

(3)当点P运动到直线AB下方某一处时，APAB的面积是否有最大值？如果有,

请求出此时点P的坐标.

2019-2020学年安徽省合肥市蜀山区九年级（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10小题,每小题4分，满分40分。请将每小题唯一正确选项

前的代号填入下面的答题栏内）

1.（4分）以下五个图形中，是中心对称的图形共有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据中心对称图形的定义和各图的特点即可求解.

【解答】解：是中心对称图形的有第二个，第三个和第四个.故选B.

【点评】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与

原图形完全重合.

2.（4分）方程x（x-1）=x的根是（）

A.x=2B.x=-2C.Xi=-2,X2=0D.Xi=2,X2=0

【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程.

【解答】解：由原方程，得

x2-2x=0,

.'.X（x-2）=0,

Ax-2=0或x=0,

解得,Xi=2,x2=0；

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程的解法--因式分解法.解一元二次方程常用

的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点

灵活选用合适的方法.

3.(4分)抛物线y=(x+2)2+3的顶点坐标是()

A.(-2,-3)B.(2,3)C.(-2,3)D,(2,-3)

【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可.

【解答】解：抛物线y=(x+2)2+3的顶点坐标是(-2,3).

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的

方法是解题的关键.

4.(4分)已知点P(2+m,n-3)与点Q(m,1+n)关于原点对称，则m-n

的值是()

A.1B.-1C.2D.-2

【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得

m、n的值，根据有理数的减法，可得答案.

【解答】解：由点P(2+m,n-3)与点Q(m,1+n)关于原点对称，得

2+m+m=0,n-3+l+n=0.

解得m=-1,n=l.

m-n=-1-1=-2,

故选：D.

【点评】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐

标互为相反数，纵坐标互为相反数，得出m、n的值是解题关键.

5.(4分)下列说法正确的是()

A.一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最

少，则第2001次一定抛掷出5点

B.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该种彩票一定会中奖

C.天气预报说明天下雨的概率是50%,所以明天将有一半时间在下雨

D.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，

机会大也不一定发生.

【解答】解：A、是随机事件，错误；

B、中奖的概率是1%,买100张该种彩票不一定会中奖，错误；

C、明天下雨的概率是50%,是说明天下雨的可能性是50%,而不是明天将有一

半时间在下雨，错误；

D、正确.

故选：D.

【点评】正确理解概率的含义是解决本题的关键.注意随机事件的条件不同，发

生的可能性也不等.

6.（4分）用配方法解方程2x?+3=7x时，方程可变形为（）

A.（X-工）2=JU_B.（X--L）2=暨

2424

C（x--）2=.1D（x--Z.）2=.25

'7下7

【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.

【解答】解：•••2X2+3=7X,

.\2x2-7x=-3,

•y2_7_3

••A-A-^-9

22

/.x2-2.x+.^=-3+尊，

216216

（X-1）2=空.

416

故选：D.

【点评】配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系

数是2的倍数.

7.（4分）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000

万元，如果平均每月增长率为X,则由题意列方程应为（）

A.200（1+x）2=1000

B.200+200X2x=1000

C.200+200X3x=1000

D.200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000

【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业

额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可.

【解答】解：•••一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为X,

二月份的营业额为200X(1+x),

三月份的营业额为200义(1+x)X(1+x)=200X(1+x)2,

二可列方程为200+200X(1+x)+200X(1+x)2=1000,

即200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000.

故选：D.

【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法.若设变化

前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关

系为a(l±x)2=b.得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键.

8.(4分)如图，RtZ\ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线

的一端重合，NABC=40。，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D,若

射线CD将AABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的

度数是()

户----

A.40°B.70°C.70°或80°D.80°或140°

【分析】如图，点。是AB中点，连接DO,易知点D在量角器上对应的度数=

ZDOB=2ZBCD,只要求出NBCD的度数即可解决问题.

【解答】解：如图，点。是AB中点，连接DO.

•••点D在量角器上对应的度数=NDOB=2NBCD,

当射线CD将AABC分割出以BC为边的等腰三角形时，

NBCD=40。或70°,

二点D在量角器上对应的度数=NDOB=2NBCD=80。或140°,

故选：D.

A

【点评】本题考查圆心角与圆周角的关系，量角器、等腰三角形的判定和性质等

知识，解题的关键是理解NB0D=2NBCD,学会分类讨论的思想，属于中考常

考题型.

9.（4分）已知二次函数y=-今（x-1）2+k的图象上三个点为：A（愿，yl、B

（2,丫2）、C（-代，丫3），则丫1、丫2、丫3的大小关系是（）

A.y3<Y2<yiB.y2<yi<y3C.yi<y3<y2D.yi<y2<y3

【分析】利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=l,抛物线开口向下,

通过比较A、B、C三点到直线x=l的距离大小判断yi、丫2、丫3的大小关系.

【解答】解：抛物线丫=-26-1）2+（<的对称轴为直线*=1,抛物线开口向下,

2

因为点C到直线x=l的距离最远，点A到直线x=l的距离最近，

所以y3<y2<yi.

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满

足其解析式.也考查了二次函数的性质.

10.（4分）如图，ZXABC中，ZBAC=90°,AB=AC=2,D为AC上一动点，以AD

为直径的。0交BD于E,则线段CE的最小值为（）

A.匹B.V5+1C.275D.V5-1

【分析】连接AE,可得NAED=NBEA=90。，从而知点E在以AB为直径的。Q上,

继而知点Q、E、C三点共线时CE最小，根据勾股定理求得QC的长，即可得

线段CE的最小值.

【解答】解：如图，连接AE,则NAED=NBEA=90°,

.•.点E在以AB为直径的。Q上，

VAB=2,

,QA=QB=1,

当点Q、E、C三点共线时，CE最小，

VAC=2,

•"Q,C=-\/5?

，CE=QC-QE=遥-1,

故选：D.

【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定

E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题.

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，满分20分)

11.计算：sin60°*cos30°-tan45°=--.

-4-

【考点】特殊角的三角函数值.

【分析】先把sin6(T=4,tan45°=l,cos3(T=在代入原式，再根据实数的运算法

则进行计算.

【解答】解：sin60°*cos30°-tan45°,

巫祗-1,

22

二——1

4'

故答案为：-

4

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答

此题的关键.

12.如图，点A、B、C在。。上，ZAOC=60°,则NABC的度数是150。

【考点】圆周角定理.

【分析】首先在优弧位上取点D,连接AD,CD,由圆周角定理，即可求得/

ADC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案.

【解答】解：在优弧位上取点D,连接AD,CD,

*.•ZAOC=60°,

NADC=£/AOC=30°,

ZABC+ZADC=180",

/.ZABC=180°-ZADC=180°-30°=150°.

故答案为：150。.

【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质.此题比较简单，注意

掌握辅助线的作法.

13.有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，如图，将这两张纸条

交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD.则AB与BC的数量关系为

AB=2BC.

乙D

EL7JT3

【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】分别过A作AELBC于E、作AFLCD于F,再根据甲纸条的宽度是乙纸

条宽的2倍可得出AE=2AF,再由平行四边形的性质得出NABC=NADC,进而可

判断出△ABEsaADF,其相似比为2：1.

【解答】解：过A作AELBC于E、作AF_LCD于F,

•••甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，

...AE=2AF,

纸条的两边互相平行，

•••四边形ABCD是平行四边形，

，NABC=NADC,AD=BC,

VZAEB=ZAFD=90°,

/.△ABE^AADF,

.星迪二即期」.

ADAF1BC1

故答案为：AB=2BC.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出

相似三角形是解答此题的关键.

14.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交

AD于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H.给出下列结论：

AABEADCF；

®'<得③DPJPH.PB；啮墨8

4

其中正确的是①③④.（写出所有正确结论的序号）

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到NABE=NDCF,NA=NADC,

AB=CD,证得4ABE之△DCF,故①正确；由于NFDP=NPBD,ZDFP=ZBPC=60°,

推出△DFPs^BPH,得到各粤粤登■故②错误；由于NPDH=/PCD=30°,Z

PHPDCD3

DPH=NDPC,推出△DPHs^CPD,得到岑=詈,PB=CD,等量代换得到PD2=PH»PB,

故③正确；根据三角形面积计算公式，结合图形得到4BPD的面积=ABCP的面

积+4CDP面积-Z\BCD的面积，得到％二故④正确.

S正方形ABCD4

【解答】解：•••△BPC是等边三角形，

，BP=PC=BC,ZPBC=ZPCB=ZBPC=60",

在正方形ABCD中，

VAB=BC=CD,ZA=ZADC=ZBCD=90°

，ZABE=ZDCF=30°,

在4ABE与4CDF中，

rZA=ZADC

'NABE:NDCF,

,AB=CD

.'.△ABE丝ZXDCF,故①正确；

VPC=CD,ZPCD=30°,

，NPDC=75°,

.,.ZFDP=15°,

VZDBA=45°,

AZPBD=15°,

，NFDP=NPBD,

VZDFP=ZBPC=60%

.,.△DFP^ABPH,

嚼嗡去率故②错误;

VZPDH=ZPCD=30°,

VZDPH=ZDPC,

.,.△DPH^ACDP,

.PD_PH

••__"，

CDPD

.,.PD2=PH«CD,

VPB=CD,

.*.PD2=PH«PB,故③正确；

如图，过P作PM_LCD,PN1BC,

设正方形ABCD的边长是4,4BPC为正三角形,

/.ZPBC=ZPCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,

.•.ZPCD=30°

号=2心PM=PC

PN=PB・sin60°=4X•sin30°=2,

-SMCD=SAPBC+SAPDC-SABCD=4X4XX2X4-£X4X4=4%

SABPD=S四边形PBCD

+4-8=45/3-4,

.Sapp』二点一1

S正方形ABCD4

故答案为：①③④.

【点评】本题考查的正方形的性质以及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线,

利用锐角三角函数的定义求出PE及PF的长，再根据三角形的面积公式得出结论.

三、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)

15.(8分)解方程：4(3x-2)(x+1)=3x+3.

【分析】首先提取公因式(x+l)可得(x+1)(12X-11)=0,然后得到x+l=0或

12x-11=0,进而解一元一次方程即可.

【解答】解：V4(3x-2)(x+l)=3x+3,

二(x+l)[4(3x-2)-3]=0,

(x+l)(12x-11)=0,

.•.x+l=0或12x-11=0,

••X1=-1,X2=——

12

【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是

解本题的关键.

16.(8分)已知抛物线丫=当2-(2k-1)x+l?-k+1的顶点在坐标轴上，求k的

4

值.

【分析】根据题意，利用分类讨论的方法可以分别求得相应的k的值.

【解答】解：当抛物线丫=当2-(2k-l)X+k2-k+l的顶点在X轴上时，

4

-(2k-l)c

2X7

解得，k=l；

2

当抛物线y=lx*2-(2k-1)x+k2-k+1的顶点在y轴上时，

4

4X(k2-k+l)-[-(2k-l)]2

解得，k=2或k=-l,

由上可得，k的值是工，2或-L

2

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的

关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

四、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)

17.(8分)在半径为5cm的圆中，弦AB〃CD,AB=6cm,CD=8cm,求弦AB与

CD之间的距离.

【分析】作OELAB于E,交CD于F,连结OA、0C,如图，根据平行线的性质

得OF±CD,则利用垂径定理得到AE=BE=L\B=3,CF=DF=1CD=4,接着根据

22

勾股定理，在RtAAOE中计算出0E=4,在RtACOF中计算出0F=3,然后分

类讨论：当点。在AB与CD之间时，EF=OE+OF；当点。不在AB与CD之间

时，AB和CD的距离EF=OE-OF.

【解答】解：过。作OE_LAB,交CD于F,连接OA,0C,则AE=L\B=3cm,

2

；AB〃CD,OE±AB,

.*.OF±CD,

.•.CF=l£D=4cm,

2

在中，在中，

Rt^OAEOE=^52_32=4cm；Rtz^OCFOF=^2_42=3cm,

(1)当AB、CD在圆心。的同侧,EF=OE-0F=4-3=lcm.

(2)当AB、CD在圆心。的异侧，EF=OE+OF=4+3=7cm.

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的

两条弧.也考查了勾股定理.

18.(8分)如图，两个转盘中指针落在每个数字上的机会相等，现同时转动A、

B两个转盘，停止后，指针各指向一个数字.小力和小明利用这两个转盘做游

戏，若两数之积为非负数则小力胜；否则，小明胜.你认为这个游戏公平吗？

请你利用列举法说明理由.

B

【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与小力

胜、小明胜的情况，继而求得小力胜与小明胜的概率，比较概率大小，即可

知这个游戏是否公平.

【解答】解：列表得:

-1021

转盘A

两个数字之积

转盘B

1-1021

-220-4-2

-110-2-1

•••由两个转盘各转出一数字作积的所有可能情况有12种，每种情况出现的可能

性相同，其中两个数字之积为非负数有7个，负数有5个，

AP（小力获胜）=工，P（小明获胜）=旦

1212

,这个游戏对双方不公平.

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的

概率，概率相等就公平，否则就不公平.

五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.（10分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，^AOB的顶点均在格点

上，其中点A（5,4）,B（1,3）,将^AOB绕点。逆时针旋转90。后得到△

A]OB].

（1）画出△A1OB1；

（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为Y通；

-2—

（3）求在旋转过程中线段AB、B。扫过的图形的面积之和.

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点。逆时针旋转90。后的对应点AI、

Bi的位置，然后顺次连接即可；

（2）利用勾股定理列式求OB,再利用弧长公式计算即可得解；

（3）利用勾股定理列式求出OA,再根据AB所扫过的面积=S南彩AIOA+SAAIBIO-S

®®B1OB-SAAOB=S扇形A1OA-S扇形B10B求解，再求出B。扫过的面积=S扇形B10B，然后

计算即可得解.

【解答】解：（1）△AiOBi如图所示;

）由勾股定理得，

（2BO=^12+32=VTO»

所以，点B所经过的路径长="三叵=国代

_1802

故答案为：逗JI.

2

（3）由勾股定理得，0A寸§2+产屈，

AB所扫过的面积=S扇形AIOA+S^AIBIO-Sa®BioB_SAAOB=S用形AIOA一S扇彩BIOB，

B。扫过的面积=S扇彩BIOB，

，线段AB、BO扫过的图形的面积之和=S扇形A1OA-S崩形B10B+S扇形B1OB，

二S扇形A1OA，

90・兀•（西）2

360

二师

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，弧长公式，扇形的面积，勾股定理，熟

练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，难点在于(3)表示出

两线段扫过的面积之和等于扇形的面积.

20.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元,

为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施,

经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件,

若商场想平均每天盈利达1200元，那么买件衬衫应降价多少元？

【分析】设买件衬衫应降价x元，那么就多卖出2x件，根据扩大销售量，增加

盈利，尽快减少库存，每天在销售吉祥物上盈利1200元，可列方程求解.

【解答】解：设买件衬衫应降价x元，

由题意得:(40-x)(20+2X)=1200,

即2x2-60x+400=0,

Ax2-30x+200=0,

，(x-10)(x-20)=0,

解得：x=10或x=20

为了减少库存，所以x=20.

故买件衬衫应应降价20元.

【点评】本题考查一元二次方程的应用，理解题意的能力，关键是看到降价和销

售量的关系，然后根据利润可列方程求解.

六、(本题满分12分)

21.(12分)如图，菱形ABCD中，ZABC=60°,有一度数为60。的NMAN绕点A

旋转.

(1)如图①，若NMAN的两边AM,AN分别交BC,CD于点E,F,则线段CE,

DF的大小关系如何？请证明你的结论；

(2)如图②，若NMAN的两边AM,AN分别交BC,CD的延长线于点E,F,猜

【分析】(1)连接AC,易得△ABC、ZXACD为正三角形，根据等边三角形的性质，

利用ASA即可判定aAEC乌aAFP,因为全等三角形的对应边相等，所以

CE=DF.

(2)结论CE=DF仍然成立，同(1)类似可得4ACE丝4ADF(AAS),从而求得

结论.

【解答】解:(1)猜想:CE=DF.

如图①，连接AC,

；菱形ABCD中，ZABC=60°,

.,.△ABC、4ACD为正三角形.

VAC=AD,ZACE=ZADF=60°,ZCAE=ZDAF=60°-ZCAF,

.,.△AEC^AAFD(ASA).

.*.CE=DF.

(2)CE=DF,

如图②，连接AC,

'菱形ABCD中，ZABC=60°,

.,.△ABC、4ACD为正三角形.

VAC=AD,ZACB=ZADC=60°,

/.ZACE=ZADF=120o.

ZCAE=ZDAF=60°-ZDAE,

/.△ACE^AADF(AAS).

【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质以及等边三角形的性质等

知识点的综合运用.作辅助线，找出图中全等的三角形是解题的关键.

七、（本题满分12分）

22.（12分）如图在Rt^ABC中，ZC=90°,BD平分NABC,过D作DELBD交

AB于点E,经过B,D,E三点作。0.

（1）求证：AC与。。相切于D点；

（2）若AD=15,AE=9,求。。的半径.

【分析】（1）连接。D,则有N1=N2,而/2=/3,得到N1=N3,因此。D〃BC,

又由于NC=90。，所以ODLAD,即可得出结论.

（2）根据OD±AD,则在RTAOAD中，OA2=OD2+AD2,设半径为r,AD=15,AE=9,

得到（r+9）2=152+r2,解方程即可.

【解答】（1）证明：连接。D,如图所示：

VOD=OB,

.•.N1=N2,

又；BD平分/ABC,

，N2=/3,

.*.Z1=Z3,

，OD〃BC,

而NC=90°,

A0D1AD,

，AC与。。相切于D点；

(2)解：VOD±AD,

.,.在RTAOAD中，OA2=OD2+AD2,

又YAD=15,AE=9,设半径为r,

:.(r+9)2=152+r2,

解方程得，r=8,

即。。的半径为8.

【点评】本题考查了圆的切线的判定方法、平行线的判定与性质、等腰三角形的

性质、勾股定理；熟练掌握切线的判定方法，由勾股定理得出方程是解决问

题（2）的关键.

八、（本题满分14分））

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