自动控制理论课后习题答案

自动控制理论习题参考答案

第二章

《自动控制原理》课后答案

U<s)RRCS+R/CS+1

3(s)R、R[CS+&+R,/?!+R

U,(s)R、R,C、C,s-+(/?!C,+/?!C2+R,C、)s+1

U?(s)_HCs+1幽=△1

q(s)―RCs5

2-3设激磁磁通。=K//恒定

®(s)=_______________________________________

%)LJs2+(Lf+R,J)s+R,f+

2万

2.4皿_______________________________________________________

R(,iL^+ilLJ+Rjy+(&/+*典/}+Kg

2-5id-2.19x10^=0.084。-0.2)

28(a)C』)=⑹+G2G3⑹-I)=__________Gi&Gs+Gj__________

-R(s)-1+(G|+H1)63/?(s)~\+GyG2H,+(G2G3+G4XH2+G1H3)

2-9框图化简中间结果如图A-2-1所示。

%+0.3s+1

1.2+2s

图A-2-I题2-9框图化简中间结果

%)0.75+0.42

称)/+(0.9+0.7%+(1.18+0.42^)5+0.52

210生=__________/G2G3___________+G

(-602%+4

Rs)1+G2HXG2G3H2

2-11系统信号流程图如图A-2-2所示。

图A-2-2题2-11系统信号流程图

C|(s)=__________G|GG___________

R(s)—1+GC，+G「G、G,GaG、H,H]

<(s)G℃G5GM

R(s)1+GtG2+G4-G}G2Gfi5H.H2

2-12(a)—=----------(abcdef+agdef+abcdi+adgi)(b)

R\s)1-cdh

C®=________________g________________

R(s)R、C、R、C2s+(R1G+R2cl+R2c2)$+1

2-13由选加原理，可得

1

c(s)=-7-------s一[G]G2M.s)+G23(S)-G2D2(s)_G|G2“1£>3(5)]

1

1TV1W1T"2"2

第三章

3-1分三种情况讨论

(a)当<>1时

S[=七一J72-=一(7+-1卜.

”,r卜-庐)例/一(q+J[2_],“r

c(t)=t--+.-j--

g2忆-助[e-同-1)9+次-11

(b)当0<4<1时

4=七—/,52=-(<+

n，

c(f)=t----e~^cosJ]-]2.j+12，：_sincont

Qi%J1—，2①

(______2^7^

sina)t-arctg

nl-2<2

(c)当4=1时

4.2=—%

^=t-—+—e-a>-'1+架

c设系统为单位反馈系统，有

叫叫

(s)=Ms)用聋

e—5」.，心+2血)，=劣

系统对单位斜坡输入的稳态误差为

ss~+23“s+①；con

3-2(1)Kp=5Q,KV=Q,Ka=0(2)Kp=%K、,=K,K“=0

(3)Kp=°o,Kr=oo,Ku=余(4)Kp=8，Kv=短，此=°

3-3首先求系统的给定误差传递函数

E(s)=15(0.k4-1)

①山)=

R(s)1+G(s)0.152+S+10

误差系数可求得如下

八，一不/\「s(0.1s+l)c

C„=lim①(s)=lim-----------=0

0―。20.152+5+10

„..d不(、..10(0.25+1).

C,=hm——①(s)=hm--------------=n0.1

1ds(0.1/+s+io)2

2(0.152+5+10)-20(0.25+1)2

G=i用&Ok”四=0

(0.1S?+5+10)3

(1)r(t)=R0,此时有r,(f)=R°,rs(t)=r(t)=0,于是稳态误差级数为

e“(f)=Co4(f)=。,摩0

⑵r(t)=R0+R",此时有仆«)=凡+/?"，加=&,弓(f)=0,于是稳态误差级数为

%(f)=C/(f)+GUf)=O」凡，^0

(3)«f)=/?o+Rj+g&f2,此时有(⑴=凡+火工+(&>，?(/)=/?,+Rt,r(t)=R

2s2于是稳态误差级数

为

Q

=CorW+C,r.(f)+寸r.(t)=0.1(/?,+R4,f>0

3-4首先求系统的给定误差传递函数

E(s)15(0.15+1)

①,(s)=

R(s)1+G(s)O.Lv2+5+500

误差系数可求得如下

„.../\..s(0.ls+1)

①；

C„=Inn(s)=hm-----2------------=0

o一。八/M0o.ls+5+500

「r△小500(0.25+1)1

C.—lim—C>«(s)=lim----------------------.......

'…ds…。(0.11+s+500)2500

cr"2100C0.152+5+500)-1000(0.25+1)298

C,=hm--①(s)=hm——---------------——---------?............—

21。ds?(O.Lv2+5+500)35007

r(r)=sin5t

r(f)=5cos5t

匕⑺=-25sin5t

稳态误差级数为

rQ~i

esr(r)=C0一或x25+,一sin5f+[Gx5----]cos5f

=[4.9xIO,+・・.]sin5r+[lxl02----]cos5r

3-6系统在单位斜坡输入下的稳态误差为C=至

以

加入比例一微分环节后

C(s)=[R(s)(l+as)-C(s)]G(s)

%)二空驾Ms)=(1詈叱"(s)

E(s)—号&(5)

s,+21y“s+q

M3=4

s

esr=3nsE(s)=~~~

ST°COn

可见取a=4^,可使/r=0

3-7?=0.598,?=19.588

3-8G(s)――i---------x

s(s-+4s+6)

3-9按照条件(2)可写出系统的特征方程

(5+1-j)(s+1+j)(s+a)=(52+2s+2)(s+a)

=5+(2+ci^s-+(2+2a)s+2a=0

将上式与1+G(s)=0比较，可得系统的开环传递函数

()s卜+(2+a)s+(2+2a)]

根据条件(1),可得

解得a=1,于是由系统的开环传递函数为

GG)=—r-：~----1

s卜+3s+4]

(1)M=46.6%/=7.99s(2%),(o=2.12rad/s，C=0.24)

3-10,、'，、

⑵M,=16.3%,t,=8s(2%),(0.=lrad/s，7=0.5)

(3上=15i,(%=0.4rad/s，C=1.25),过阻尼系统,无超调。

3-11(1)当。=0时，4=0.354,«y“=2四。

(2)不变，要求，=0.7,求得。=0.25

3-121.单位脉冲响应

(a)无零点时

c(f)=/〒"卬sin"干已前＞0)

(b)有零点z=-l时

山)="sin［行27V+arctg半老］(/20)

足2^^,6

比较上述两种情况，可见有z=-1零点时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生相移，相移角为

arctg

1一血

2.单位阶跃响应

(a)无零点时

(b)有零点％=—1时

c(f)=1+1一照加e"sin(ks.八0)

加了z=-1的零点之后，超调量Mp和超调时间/p都小于没有零点的情况。

3-13系统中存在比例-积分环节+,当误差信号e(f)=0时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故系

统输出继续增长，知道出现e（f）<0时，比例-积分环节的输出才出现减小的趋势。因此，系统的响应必然存在超调现

象。

3-14在r（f）为常量的情况下，考虑扰动〃对系统的影响，可将框图重画如下

N（s）*小r&

-_**s,zS+l）

一K|（¥+l）_

s

图A-3-2题3-14系统框图等效变换

C（s）=-77--------卜（---------N（s）

S匕2§+1.），+K]K2（qS+1）

根据终值定理,可求得〃（。为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为0,〃（。为单位斜坡函数时、系统的稳态误差为

从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。在反馈

回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数

的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间无关。

3-15（1）系统稳定。

（2）劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。

（3）劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统不稳定。

（4）系统处于稳定的临界状态，由辅助方程A（s）=2$4+6s2+4可求得系统的两对共筑虚数极点

Si2=±力53,4=±八历。须指出，临界稳定的系统在实际中是无法使用的。

3-16（1）K>0时，系统稳定。（2）K>0时，系统不稳定。（3）0<Kv3时，系统稳定。

3-17系统的特征方程为2窃3+«+2）1+（K+l）s+K=0

(r+2)(K+l)-2水”0

列写劳斯表，得出系统稳定应满足的条件

r+2

由此得到7■和K应满足的不等式和条件

2(K+1)

0<?-<--------,K〉l,"2

K-\

K234591530100

r643.332.52.282.132.04

根据列表数据可绘制K为横坐标、T为纵坐标的曲线，闭环系统稳定的参数区域为图A-3-3中的阴影部分。

图A-3-3闭环系统稳定的参数区域

3-18根据单位反馈系统的开环传递函数

K(s+3)

s(s~+2s+2)

得到特征方程53+2s2+(K+2)5+3K=0,列写劳斯表

12+K

5223K

s'4-K

s°K

根据劳斯判据可得系统稳定的K值范围0<K<4

当K=4时系统有一对共聊虚数极点，此时产生等幅振荡，因此临界增益K,=4。

根据劳斯表列写K,=4时的辅助方程2s2+12=0

解得系统的一对共挽虚数极点为“2=±jV6,系统的无阻尼振荡频率即为痛加1/5。

第四章

4-2(1)G(s)=

S(6+l)(s+3)

分离点(一0.45,川)，与虚轴交点土jg(K|=⑵。常规根轨迹如图A-4-2所示。

图A-4-2题4-2系统(1)常规根轨迹

(2)G(s)

s(s+4)(s2+4s+20)

分离点(—2J0),(-2±J2.5),与虚轴交点土痴(储=260)。常规根轨迹如图A43所示。

jwiI

Vi4

图A-4-3题4-2系统(2)常规根轨迹

4-3(1)G(s)=K、

1(s+2)

分离点为(0,川)；常规根轨迹如图A-4-4(a)所示。从根轨迹图可见，当KI〉0便有二个闭环极点位于右半s平

面。所以无论K取何值，系统都不稳定。

图A43题4-3系统”)根筑迹fflA-4-5题4-3系统(2)根挑递

图A-4-4题4-3系统常规根轨迹

⑵G(5)=坐驾

$-(s+2)

分离点为(O,JO);常规根轨迹如图A-4-4(b)所示。从根轨迹图看，加了零点z=-l后，无论K取何值，系统

都是稳定的。

4-7系统特征方程为

s2+(l+a)s+l=0

以a为可变参数，可将特征方程改写为

从而得到等效开环传递函数

as

根据绘制常规根轨迹的方法，可求得分离点为（-1,川），出射角为°户=不150°。参数根轨迹如图A48所示。

图A-4-8题4-7系统参数根轨迹

（1）无局部反馈时（。=0）,单位速度输入信号作用下的稳态误差为e*=1；阻尼比为，=0.5；调节时间为

ts=6s（5%）

（2）a=0.2时，esr=1.2,<=0.6,f,=5s（5%）

比较可见，当加入局部反馈之后，阻尼比变大，调节时间减小，但稳态误差加大。

（3）当a=l时，系统处于临界阻尼状态，此时系统有二重闭环极点“2=-1。

4-9主根轨迹如图A-4-9所示。系统稳定的K值范围是0<K<14.38。

图A-4-9题4-9系统主根轨迹

4-10G（S）"（S）=2^

s

主根轨迹分离点（-J,/。］；与虚轴交点±_/2，临界K值爰。主根轨迹如图A-4-10所示。

图A-4-10题4-10系统主根轨迹

4-11(1)G(S)"(S)=K®9的根轨迹如图A4-II所示。

G(s)“(s)=K(l—”)根轨迹

图A-4-11

s

(2)G(s)〃(s)=

分离点f=2（T+⑹,川］:会合点（2（1+/）,川］；与虚轴交点土,2.临界稳定K值为2。根轨迹

Ir）IrJrr

如图A-4-12所示。

图A-4-12G(s)，(s)=K(「O'/2)s)根轨迹

s(l+("2)s)

⑶G（s）”（s）=扁

(1)

分离点-——，根轨迹如图A-4-13所示。

I2r,；0j

图A-4-13G(s)H(s)=/长根轨迹

讨论：当7较小时，且K在某一范围内时，可取近似式7^。若工较大,取上述近似式误差就大，此时应取近似

S（资+1）

K(l--s

式」~~V

v+l5

4-12系统的根轨迹如图A-4-14所示。

-s

图A-4-14题4-12系统的根轨迹

4-13当0＜。＜,时、有两个分离点，当时，有一个分离点，当时，没有分离点。系统的根轨迹族如图

999

A-4-15所示。

图A4-15题4-13系统的根轨迹族

第五章

5/⑴G（S"WT）

|G（j0）r——r

69V1+CD~

NG（/3）=-90°-arctgco

co0.51.01.52.05.010.0

\G（jco）1.790.7070.370.2240.0390.0095

NG（/«y）-116.6°-135°-146.3°-153.4°-168.7°-174.2°

系统的极坐标图如图A-5-1所示。

“03

图A-5-1题5-1系统（1）极坐标图

⑵G（S”（1+S，1+2S）

1

|G（j。）=

Vl+«y2Vl+4（y2

Z.G{jco）=-arctgco-arctglco

0）00.20.50.81.02.05.0

G（j（y）10.910.630.4140.3170.1720.0195

NG（j①）0°-15.6°-71.6°-96.7°-108.4°-139.4°-162.96

系统的极坐标图如图A-5-2所示。

图A-5-2题5-1系统（2）极坐标图

⑶G（s）=s（s+1—+1）

|G（加）=­/「

-Jl+〃J1+4方

ZG（j69）=-90°-arctgco-arctg2co

CD0.20.30.5125

4.552.741.270.3170.0540.0039

NG（曲-105.6°-137.6°-161°-198.4°-229.4°-253°

系统的极坐标图如图A-5-3所示。

图A-5-3题5-1系统（3）极坐标图

（4）G（5）=—77----k------7

s~（l+s）（l+2s）

|G（769）=----/厂

#Jl+o2J1+4疗

ZG（j7y）=-180°-arctgco-arctglco

（O0.20.250.30.50.60.81

|G（㈤22.7513.87.862.520.530.650.317

NG（j①）-195.6°-220.6°-227.6°-251.6°-261.6°-276.7°-288.4°

系统的极坐标图如图A-5-4所示。

图A-5-4题5-1系统（4）极坐标图

5-2⑴G（s）=诙/

系统的伯德图如图A-5-5所示。

图A-5-5题5-2系统（1）伯德图

（2）G（s）=7---------------；

（1+加J）0+，2时

系统的伯德图如图A-5-6所示。

图A-5-6题5-2系统（2）伯德图

1

⑶G(s)=

j①(1++3)

系统的伯德图如图A-5-7所示。

图A-5-7题5-2系统（3）伯德图

1

⑷G(s)=

(jco)2(l+jco\\+j2co)

系统的伯德图如图A-5-8所示。

40drfdec

图A-5-8题5-2系统（4）伯德图

1

5-3G（s）

5（0.15+1X0.55+1）

顺/同一-------------

QJ1+（0.3）2Ji+（（）5⑼2

ZG（j69）=-90°-arctg^Aco-arctgQ.5co

0）0.51.01.52.03.05.010.0

\G（jco]17.38.95.33.51.770.670.24

NG（J。）-106.89°-122.3°-135.4°-146.3°-163°-184.76°-213.7°

系统的极坐标图如图A-5-9所示。

图A-5-9题5-3系统极坐标图

系统的伯德图如图A-5-10所示。

图AS10题5-3系统伯德图

相角裕度了«0.7°，增益裕量GM=355dB

5-4(1)G(〃y)=」一，此为非最小相位环节，其幅频、相频特性表达式为

j①一1

="7=="

y/1+(V

ZG(j69)=-180°-\-arctgCD

该环节的伯德图如图A-5-11所示。

20-

图A-5-11题5-4伯德图

(2)惯性环节G0«y)=」一是最小相位的，其幅频、相频特性表达式为

加+1

1

顺加)

1+/

ZG（jco）=-arctgco

该环节的伯德图如图A-5-11点划线所示。由图可见，两个环节具有相同的幅频特性，相频特性有根本区别。

5-7(a)G(s)=丽，系统的相频特性曲线如图A-5-12所示。

0.55+1

图A-5-12题5-7G（s）=屈相频特性曲线

'/0.5s+1

z\3.92

（b）G（s）=-y------；系统的相频特性曲线如图A-5-13所示。

s（0.5s+1）

ano

图A-5-13题5-7G（s）=/相频特性曲线

'，s（0.5s+l、）

（c）G（s）=°乎s+D、,系统的相频特性曲线如图A-5-14所示。

52（0.55+1）

图A-5-14题5-76（5）=绰至±2相频特性曲线

5-8（a）闭环系统不稳定。（b）闭环系统稳定。（c）闭环系统稳定。（d）闭环系统稳定。

5-9G（s）=-7——0------；

''s（l+sXl+0.5