概率论和数理统计期末考试题库

概率论和数理统计期末考试题库

数理统计练习

一、填空题

1、设A、B为随机事件，且P(A)=0.5,P(B)=O.6,P(BA)=0.8,则P(A+B)=_0.7

_o

2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为802,则此射手的命中率。381

3、设随机变量X服从[0,2]上均匀分布,则D(X)1/3。[E(X)]2

4、设随机变量X服从参数为的泊松(Poisson)分布，且已知E[(X1)(X2)]=1,

则「1____o5、一次试验的成

功率为P，进行100次独立重复试验，当p1/2_____时，成功次数的方差的值最大，

最大值为25o

26、(X,Y)服从二维正态分布N(1,2,12,2,)，则X的边缘分布为

N(1,l)o2

7、已知随机向量(X,Y)的联合密度函数

3xy2,f(x,y)20,0x2,0y1,则其他E(X)=4。38、随机变量X的数学

期望EX,方差DX2,k、b为常数，则有E(kXb)=kb,；D(kXb)=k»

22

9、若随机变量X~N(-2,4),Y-N(3,9),J1X与Y相互独立。设Z=2X-Y+

5,则Z〜N(-2,25)o

,,'是常数的两个无偏估计量，若D(")D('),则称,比.有效。10、

121212

1、设A、B为随机事件，且P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(AUB)=0.6,则P(A)=0.3。

2、设XB(2,p),YB(3,p),且P{X21}=5,则P{Y21}=19»

927

3、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Y=3X-2,则E(Y)=4。

4、设随机变量X服从[0,2]上的均匀分布，Y=2X+1,则D(Y)=4/3。

5、设随机变量X的概率密度是:

3x2

f(x)00x1,且PX0.784,贝1J=0.6。

其他

6、利用正态分布的结论，有

1(x24x4)e2(x2)22dx1。

第1页，共38页

7、已知随机向量(X,Y)的联合密度函数

3xy2,f(x,y)20,0x2,0y1,则其他E(Y)=3/4。

8、设(X,Y)为二维随机向量，D(X)、D(Y)均不为零。若有常数a>0与b使

PYaXb1,则X与Y的相关系数XY

9、若随机变量X-N(1,4),Y〜N(2,9),且X与Y相互独立。设Z=X—Y+3,则

Z-N(2,13)。

10、设随机变量X〜N(1/2,2),以Y表示对X的三次独立重复观察中“X1/2”力现

的次数，则P{Y2}=3/8o

1、设A,B为随机事件，且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,贝lJP()0.6.

2、四个人独立地破译一份密码，己知各人能译出的概率分别为1,1,1,1,则密码能被译

出的概率是11/24o5436

5、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且3PX2PX4,则=6。

6、设随机变量X~N(1,4),己知①(0.5)=0.6915,©(1.5)=0.9332,则PX2

0.6247。

7、随机变量X的概率密度函数f(x)1

ex22x1,贝IJE(X)=1。

8、已知总体X~N(0,1),设XI,X2,”，Xn是来自总体X的简单随机样本，则X

iln2i'x(n)。2

T9、设T服从自由度为n的t分布，若PT，贝UP

xy,10、已知随机向量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)0,a。

20x2,0y1,则E(X)=4/3。其他

1、设A,B为随机事件，且P(A)=0.6,P(AB)=P(),则P(B)=0.4。

2、设随机变量X与Y相互独立，且X

P110.50.5,Y

P110.50.5,则P(X=Y)=_0.5»

3、设随机变量X服从以n,p为参数的二项分布，且EX=15,DX=10,则酎45。

4、设随机变量X~N(,),其密度函数2f(x)1

6ex24x4

6,则=2o

5、设随机变量X的数学期望EX和方差DX>0都存在，令Y(XEX)/DX,则DY=1。

第2页，共38页

6、设随机变量X服从区间［0,5］上的均匀分布，Y服从5的指数分布，且X,Y相

互独立，贝U(X,Y)的联合密度函数f(x,

e5y

y)=00x5,y0其它。

7、随机变量X与Y相互独立，且D(X)=4,D(Y)=2,则D(3X-2Y)=44。

8、设X1,X2,,Xn是来自总体X~N(0,1)的简单随机样本，则(X

iIniX)2服从的分布为x2(n1)。

9、三个人独立地向某•目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为，111,,则目标能

被击中的概率是3/5。543

4xe2y,0x1,y010、已知随机向量(X,Y)的联合概率密度f(x,y),其它

0

则EY=1/2»

1、设A,B为两个随机事件,且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则P(AB)=_0.6

2、设随机变量X的分布律为p2,且X与Y独立同分布，则随机变量Z=max{X,Y)

NI。I1

7丁三

44

2

3、设随机变量X〜N(2,),且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=

4、设随机变量X服从2泊松分布，则PX1=1e„22

5、已知随机变量X的概率密度为fX(x),令Y2X,则Y的概率密度fY(y)为

lyfX()。22

6、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4,则D(X)

2.4。

7、XI,X2,,,,Xn是取自总体N,2的样本，贝ij(X

iIni)2

2〜x(n1)1,2

4xe2y,0x1,y08、已知随机向量(X,Y)的联合概率密度f(x,y)，则EX=

2/3»其它0

,为参数的无偏估计量，如果E()=。9、称统计量

10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为小概率事件原

理。

1、设A、B为两个随机事件,若P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(AB)0.6,则P(AB)

0.3,第3页，共38页2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的

概率为0.4,则E(X)18.4o

3、设随机变量X〜N(1/4,9),以Y表示对X的5次独立重复观察中“X1/4”出现的

次数，则P{Y2}=5/16o

4、已知随机变量X服从参数为的泊松分布，且P(X=2)=P(X=4),则=2。2

八5、称统计量为参数的无偏估计量，如果E()=。

6、设)CN(O,l),Y~x(n),且X,Y相互独立,则2Xn~t(n)。

7、若随机变量X〜N(3,9),Y-N(-1,5),且X与Y相互独立。设Z=X—2Y+2,

则Z〜N(7,29)»

8、已知随机向量(X,Y)的联合概率密度f(x,y)6xe3y,0x1,y0,则其

它EY=1/3。0

9、已知总体X~N(,),X1,X2,,Xn是来自总体X的样本，要检验Ho：222

0,则采用的统计量是(nDS2

2

0o

10、设随机变量T服从自由度为n的t分布，若P，则

PT1a。2

1、设A、B为两个随机事件，P(A)=0.4,P(B)=O.5,P(AB)0.7,则P(AB)

0.55o

2、设随机变量X'B(5,0.1),则D(1-2X)=1.8。

3、在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为37,则每次射击击中目标

的概率为1/4。64

4、设随机变量X的概率分布为P(X1)0.2,P(X2)0.3,P(X3)0.5,则X的期

望EX=2.3.

5、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y

的相关系数等于一1。

6、设(X,Y)的联合概率分布列为

—104

-21/91/32/9

11/18ab

若X、Y相互独立，则a=1/6,b=1/9。

第4页，共38页

7、设随机变量X服从［1,5］上的均匀分布，则P2X41/2o

8、三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，111,,则密码能被译出

的概率是3/5«543

2X,S分别为样本均值和样本方差，9、若X~N(1,),X1,X2,,Xn是来自总体X的样

本，则2(X)n~t(n-1)。S

'是常数的两个无偏估计量，若口(D(八)，则称'比\10、121212

1、已知P(A)=0.8,P(A-B)=0.5,且A与B独立，则P(B)=3/8。

2、设随机变量X〜N(l,4),且P{Xa}=P{Xa},则a=1。

3、随机变量X与Y相互独立且同分布，P(X1)P(Y1)11,

P(X1)P(Y1),则P(XY)»22

4、已知随机向量(X,Y)的联合分布密度f(x,y)4xy0x1,0y1,则EY=

2/3«0其它

5、设随机变量X〜N(1,4),则PX2=0.3753。(已知(0.5)=0.6915,

(1.5)=0.9332)

6、若随机变量X〜N(0,4),Y-N(-1,5),且X与Y相互独立。设Z=X+Y—3,则

Z〜N(-4,9)。

7、设总体X〜N(I,9),XI,X2,,Xn是来自总体X的简单随机样本，，S分别为样

本均值与样本方差，则2

Inln222；(Xi1)2~(9)。(Xi(8)；9i19i1

8、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且3PX2PX4,则=6。

9、袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，从中随机一次抽取2只，则此两球颜色不

同的概率为4/7。

10、在假设检验中，把符合H0的总体判为不合格H0加以拒绝，这类错误称为错

误；把不符合H0的总体当作符合H0而接受。

这类错误称为二错误。

1、设设B为两个随机事件,P(A)=0.8,P(AB)=0.4,则P(A—B)=0.4。

2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4,则D(X)

2.4o

3、设随机变量X的概率分布为

X-1012

P0.10.30.20.4

第5页，共38页

则PX1=0.7o

4、设随机变量X的概率密度函数f(x)21

ex22x1,贝i」D(X)=l

2。

5、袋中有大小相同的黑球7只，白球3只，每次从中任取一只，有放回抽取，记首次

抽到黑球时抽取的次数为X,则P{X=

10}=0.39*0.7。

6、某人投篮，每次命中率为0.7,现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是

C50.70.3,441

7、设随机变量X的密度函数f(x)le2(x2)22,且PXcPXc,贝Uc

=_21,

8、已知随机变量U=4—9X,V=8+3Y,且X与Y的相关系数XY=1,则U与V的相

关系数UV,

9、设X餐(0,l),Y~x(n),且X,Y相互独立，则2Xn~t(n)

10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为小概率事件原

理。

1、随机事件A与B独立，P(AB)0.7,P(A)0.5,则P(B)0.4。

2、设随机变量X的概率分布为则X的概率分布为

3、设随机变量X服从［2,6］上的均匀分布，则P3X40.25。

4、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，且每次命中率为0.4,则EX。

X~2225、随机变量X~N(,4),则YN(0,1)。

6、四名射手独立地向一目标进行射击，已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、

2/3、3/5,则目标能被击中的概率是59/60。

7、一袋中有2个黑球和若干个白球，现有放回地摸球4次，若至少摸到一个白球的概

率是80,则袋中白球的个数是4。81

8、已知随机变量U=1+2X,V=2—3Y,且X与Y的相关系数XY=-1,则U与V的

相关系数UV=1o

9、设随机变量X〜N(2,9),且P{Xa}=P{Xa},则a=2。

*10,称统计量为参数的无偏估计量，如果E()第6页，共38页二、选择题

1、设随机事件A与B互不相容，且P(A)P(B)0,则(D)。

A.P(A)1P(B)B.P(AB)P(A)P(B)C.P(AB)1D.P(AB)1

2、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为(A)。

1C2222!2!A.2B.2C.D.2C44!4P4

3、已知随机变量X的概率密度为fX(x),令Y2X,则Y的概率密度fY(y)为

(D)。

A.2fX(2y)B.fX(ylyly)C.fX()D.fX()22222

4、设随机变量X~f(x),满足f(x)f(x),F(x)是x的分布函数，则对任意实数a

有(B)。

A.F(a)1a

Of(x)dxB.F(a)alf(x)dxC.F(a)F(a)D.F(a)2F(a)120

5、设(x)为标准正态分布函数，

1001,事件A发生；,X100相互独立。令YXi,则由中心极Xii1,

2,,100,且P(A)0.8,XI,X2,0,否则；i1

限定理知Y的分布函数F(y)近似于(B)。

A.(y)B.(y80)C.(16y80)D.(4y80)4

1、设A,B为随机事件，P(B)0,P(AB)1,则必有(A)。

A.P(AB)P(A)B.ABC.P(A)P(B)D.P(AB)P(A)2、某人连续向一目标射

击，每次命中目标的概率为34,他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是

(C)。33B.321C.123D.212A.()()()C()4444444

3、设XI,X2是来自总体X的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是(A)。A.

11233112X1X2B.XIX2C.XIX2D.XIX222334455

4、设(x)为标准正态分布函数，第7页，共38页

1,事件A发生；,X100相互独立。令YXii1,2,,100,且

P(A)0.1,XI,X2,否则。0,Xi1100i,则由中心极限定

理知Y的分布函数F(y)近似于(B)。

A.(y)B.(y10)C.(3y10)D.(9y10)3

25、设(X1,X2,,Xn)为总体N(l,2)的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正确的

是(D)。InHn2A.~t(n)；B.(Xil)~F(n,1)；C.~N(0,1)；D.

(Xi1)2"2(n)；4i14i12/n2/n1

1、已知A、B、C为三个随机事件，则A、B、C不都发生的事件为(A)。A.ABC

2、下列各函数中是随机变量分布函数的为(B)。B.ABCC.A+B+CD.ABC

1OxA.F(x),xB.F(x)21x1x

C.F(x)e,xD.F(x)xxOx031arctgx,x42

3、(X,Y)是二维随机向量，与Cov(X,Y)0不等价的是(D)

A.E(XY)E(X)E(Y)B,D(XY)D(X)D(Y)C.D(XY)D(X)D(Y)D.X和Y相

互独立

4、设(x)为标准正态分布函数，

1001,事件A发生，X100相互独立。令YXi,则由中心极Xii1,2,,

100,且P(A)0.2,XI,X2,否则i10,

限定理知Y的分布函数F(y)近似于(B)。

A.(y)B.(

2y20)C.(16y20)D.(4y20)425、设总体X~N(,2),其中未知，

XI,X2,,Xn为来自总体的样本，样本均值为，样本方差为s,则下列各

式中不是统计量的是(C)。

第8页，共38页

A.2B.s2

2C.

D.(nl)s2

2

1、若随机事件A与B相互独立，则P(AB)=(B)o

A.P(A)P(B)B,P(A)P(B)P(A)P(B)C.P(A)P(B)D.P(A)P(B)

2、设总体X的数学期望EX=u,方差DX=。，XI,X2,X3,X4是来自总体X的简单随

机样本，则下列口的估计量中最有效

的是(D)

1111111X1X2X3X3B.XIX2X36633333

34111111C.XIX2X3X4D.XIX2X3X455554444A.2

3、设(x)为标准正态分布函数，Xi1,事件A发生，X100相互i1,2,,

100,且P(A)0.3,XI,X2,否则0,

独立。令YX

illOOi,则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于(B)。

A.(y)B

F

.y30C.()D.(y30)214、设离散型随机变量的概率分布为

P(Xk)k1,k0,1,2,3,则E(X)=(B)。10

A.1.8B.2C.2.2D.2.4

5、在假设检验中，下列说法错误的是(C)。

A.H1真时拒绝H1称为犯第二类错误。B.Ill不真时接受H1称为犯第一类错误。

C.设P｛拒绝HO|HO真｝,P｛接受HO|HO不真｝,则变大时变小。

D.、的意义同(C),当样本容量一定时，变大时则变小。

1、若A与B对立事件，则下列错误的为(A)。

A.P(AB)P(A)P(B)B.P(AB)1C,P(AB)P(A)P(B)D.P(AB)0

2、下列事件运算关系正确的是(A)。A.BBABB.BBAC.BBAD.

B1

3、设(x)为标准正态分布函数，第9页，共38页

1,事件A发生，X100相互独立。令YXii1,2,,100,且P(A)0.4,

XI,X2,否则0,Xi,则由中心

i1100

极限定理知Y的分布函数F(y)近似于(B)。

A.(y)B

y40C.(y40)D.()244、若E(XY)E(X)E(Y),则(D)。

A.X和Y相互独立B.X与Y不相关C.D(XY)D(X)D(Y)D.D(XY)D(X)D(Y)

5、若随机向量(X,Y)服从二维正态分布，则①X,Y一定相互独立；②若XY0,则

X,Y一定相互独立；③X和Y

都服从一维正态分布；④若X,Y相互独立，则

Cov(X,Y)=0。几种说法中正确的是(B)。

A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②④

1、设随机事件A、B互不相容，P(A)p,P(B)q,则P(AB)=(C)0

A.(1p)qB.pqC.qD.p

2、设A,B是两个随机事件，则下列等式中(C)是不正确的。

A.P(AB)P(A)P(B),其中A,B相互独立B.P(AB)P(B)P(AB),其中P(B)0

C.P(AB)P(A)P(B),其中A,B互不相容D.P(AB)P(A)P(BA),其中P(A)0

3、设(x)为标准正态分布函数，

1001,事件A发生，X100相互独立。令YXi,则由中心极限Xii1,

2,,100,且P(A)0.5,XI,X2,否贝i10,

定理知Y的分布函数F(y)近似于(B)。

A.(y)B.(y50y50)C.(y50)D.()525

4、设随机变量X的密度函数为f(x),则Y=5—2X的密度函数为(B)

ly51y5f()B.f()2222

ly51y5C.f()D.f()2222A.第10页，共38页

5、设xx是一组样本观测值，则其标准差是(B)。,2,,xln

1A.n1lnlnln22(xi)B.(xi)C.(xi)D.(xi)

n1iIniInili12n

1、若A、B相互独立，则下列式子成立的为(A)。A.P(AB)P(A)P(B)B.

P(AB)0C.P(A|B)P(B|A)D.P(A|B)P(B)

)o2、若随机事件A,B的概率分别为P(A)0.6,P(B)0.5,则A与B一定(D

A.相互对立B.相互独立C.互不相容D.相容

1,事件A发生，X100相互3、设(x)为标准正态分布函数，Xii1,2,,

100,且P(A)0.6,XI,X2,否则0,

独立。令YX

iHOOi,则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于(B)。

A.(y)B

>/24

.y60C.(y60)D.()244、设随机变量X〜N(u,81),Y-N(u,16),

记plP{X9},p2{Y4},则(B)。

A.pl<p2B.pl=p2C.pl>p2D.pl与p2的关系无法确定

5、设随机变量X的密度函数为f(x),则Y=7—5X的密度函数为(B)

ly71y7f()B.f()5555ly71y7C.f()D.f()5555A.

1、对任意两个事件A和B,若P(AB)0,则(D)。

A.ABB.C.P(A)P(B)0D.P(AB)P(A)

2、设A、B为两个随机事件，且0P(A)1,0P(B)1,P(B|A)P(B|),贝U必有

(B)oA.P(A|B)P(|B)B.P(AB)P(A)P(B)C.P(AB)P(A)P(B)D.A、B互不相

容

3、设(x)为标准正态分布函数，

1,事件A发生Xii1,2,,100,且P(A)0.7,

否则0,XI,X2,,X100相互独立。令YXi,则由中心

i1100第11页，共38页

极限定理知Y的分布函数F(y)近似于(B)。

A.(y)B

回

.y70C.(y70)D.()214、已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在

区间［-1,3］和［2,4］上服从均匀分布，则E(XY)(A)。

A.3B.6C.10D.12

5、设随机变量X〜N(u,9),Y〜N(u,25),记

plP{X3},p2{Y5},则(B)。

A.pl<p2B.pl=p2C.pl>p2D.pl与p2的关系无法确定

1、设Al,A2两个随机事件相互独立，当A1,A2同时发生时，必有A发生，则(A)。

A.P(A1A2)P(A)B.P(A1A2)P(A)C.P(A1A2)P(A)D.P(A1)P(A2)P(A)

2、已知随机变量X的概率密度为fX(x),令Y2X3,则Y的概率密度fY(y)为

(A)«A.ly31y31y31y3fX()B.fX()C.fX()D.fX()

22222222

3、两个独立随机变量X,Y,则下列不成立的是(C)。

A.EXYEXEYB.E(XY)EXEYC.DXYDXDYD.D(XY)DXDY

4、设(x)为标准正态分布函数，Xi1,事件A发生i1,2,,100,且

P(A)0.9,XI,X2,,X100相互否则0,

独立。令YX

iHOOi,则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于(B)。

A.(y)B.(y90y90)C.(y90)D.()39

25、设总体X的数学期望EX=u,方差DX=。，XI,X2,X3是来自总体X的简单随机

样本，则下列U的估计量中最有效的是

(B)

111111X1X2X3B.XIX2X3424333

342121C.XIX2X3D.XIX2X3555662A.

1、若事件A1,A2,A3两两独立，则下列结论成立的是(B)。

A.Al,A2,A3相互独立B.1,2,3两两独立第12页，共38页

C.P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)D.1,2,3相互独立

2、连续型随机变量X的密度函数f(x)必满足条件(C)。

A.0f(x)1B,在定义域内单调不减

C.

f(x)dx1D.limf(x)lx

3、设XI,X2是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为fl(x)和

f2(x),分布函数分别为Fl(x)和

。F2(x),贝IJ(B)

A.fl(x)f2(x)必为密度函数B.Fl(x)F2(x)必为分布函数

C.Fl(x)F2(x)必为分布函数D.fl(x)f2(x)必为密度函数

4、设随机变量X,Y相互独立，且均服从［0,1］上的均匀分布，则服从均匀分布的是

(B)。

A.XYB.(X,Y)C.X—YD.X+Y

5、设(x)为标准正态分布函数，

n1,事件A发生，Xn相互独立。令丫Xi,则由中心极限定理Xii1,

2,,n,且P(A)p,XI,X2,否则i10,

知Y的分布函数F(y)近似于(B)。

A.(y)B

JnpO-p)

.ynpC.(ynp)D.()np(lp)

三(5)、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家

的两倍，第二、第三厂家相等，且第一、

第二、第三厂家的次品率依次为2%,2%,4%。若在市场上随机购买一件商品为次

品，问该件商品是第一厂家生产的概率为多少？

解设Ai表示产品由第i家厂家提供，i=l,2,3；B表示此产品为次品。

则所求事件的概率为

1O.O2P(A1|B)P(A1)P(B|A1)P(A1B)=0.4

111P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)0.020.020.04244第13

页，共38页

答：该件商品是第一产家生产的概率为0.4。

三(6)、甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%,次品

率分别为0.03、0.02、0.01。现从所

有的产品中抽取一个产品，试求(1)该产品是次品的概率；(2)若检查结果显示该产

品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？

解：设Al,A2,A3表示甲乙丙三车间加工的产品，B表示此产品是次品。

(1)所求事件的概率为

P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)0.250.030.350.020.4

0.010.0185

(2)P(A1B)P(A2)P(B|A2)0.350.02=0.38P(B)0.0185

答：这件产品是次品的概率为0.0185,若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的

概率为0.38o

三(7)、一个机床有1/3的时间加工零件A,其余时间加工零件B。加工零件A时停机

的概率是0.3,加工零件A时停机的概

率是0.4。求(1)该机床停机的概率；(2)若该机床已停机，求它是在加工零件A时

发生停机的概率。解：设Cl,C2,表示机床在加工零件A或B,D表示机床停机。

(1)机床停机夫的概率为

P(B)P(C1).P(D|C1)P(C2).P(DA2)

(2)机床停机时正加工零件A的概率为12110.30.43330

10.3P(C1).P(D|C1)3P(ClD)=P(D)11

30

三(8)、甲、乙、丙三台机床加工一•批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5：

3：2,各机床所加工的零件合格率依次

为94%,90%,95%。现从加工好的整批零件中随机抽查•个，发现是废品，判断它是

由甲机床加工的概率。解设Al,A2,A3表示由甲乙丙三机床加工，B表示此产品为废

品。(2分)

则所求事件的概率为第14页，共38页

10.06P(A11B)P(Al)P(B|Al)3P(Al|B)3=

P(B)0.50.060.30.100.20.057P(Ai)P(BAi)

i1

答：此废品是甲机床加工概率为3/7。

三(9)、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为

5%、15%、30%、50%,乘坐这儿种交通

工具能如期到达的概率依次为100%、70%、60%、90%。已知该人误期到达，求他是

乘坐火车的概率。(10分)

解：设Al,A2,A3,A4分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示误

期到达。则P(A2|B)P(A2|B)P(A)P(BA2)0.150.342=0.209

P(B)0.0500.150.30.30.40.50.1P(Ai)P(B|Ai)

i1

答：此人乘坐火车的概率为0.209。

三(10)、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为

5%、15%、30%、50%,乘坐这几种交

通工具能如期到达的概率依次为100%、70%、60%、90%。求该人如期到达的概率。

解：设Al,A2,A3,A4分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示如

期到达。则P(B)P(A)P(B|A)0.0510.150.70.30.60.50.90.785

ii

i14

答：如期到达的概率为0.785。

四(1)设随机变量X的概率密度函数为

Ax,0xIf(x)0,其它

求(1)A；(2)X的分布函数F(x)；(3)P(0.5<X<2)o

A21Ax|010解：22

A2()1f(x)dxAxdx1第15页，共38页

(2)当x0时，F(x)x

xf(t)dt0f(t)dt2tdtx2Ox当01时，F(x)

当x1时，F(x)x

f(t)dt2tdt101

0,x0故F(x)x2,0x1

1,x1

(3)P(1/2<X<2)=F(2)—F(1/2)=3/4

四(2)、Ll知连续型随机变量X的概率密度为

kx1,0x2

f(x)0,其它

求(1)k；(2)分布函数F(x)；(3)P(1.5<X<2.5)

2k2f(x)dx(kxl)dx(x2x)|02k210解：2

k1/2(1)

(2)当x0时，F(x)x

xf(t)dt0x2

f(t)dt(0.5tl)dtx04x当0x2时，F(x)

当x2时，F(x)

x

f(t)dt1

0,x02x故F(x)x,0x2

4

1,x2

(3)P(1.5<X<2.5)=F(2.5)—F(1.5)=l/16

四(3)、已知连续型随机变量X的概率密度为

ax,0xIf(x)0,其它

求(1)a；(2)X的分布函数F(x)；(3)P(X〉0.25)。

第16页，共38页

2f(x)dx

a10解：3

a3/2(1)1

(2)当x0时，F(x)xf(t)dt0

当0x1时，F(x)x3/2

f(t)dt0x

当x1时，F(x)x

f(t)dt1

0,x0

故F(x)x3/2,0x1

1,x1

(3)P(X>l/4)=1—F(l/4)=7/8

四(4)、已知连续型随机变量X的概率密度为

f(x)2x,x(0,A)

0,其它

求(1)A；(2)分布函数F(X)；(3)P(-0.5<X<1)«解：(1)

f(x)dxA02xdxA21

A1

2)当x0时，F(x)

f(t)dt0

当0x1,时，F(x)

f(t)dtx02tdtx2

当x1时，F(x)x

f(t)dt1

0,x0

故F(x)x2,0x1

1,x1

(3)P(-0.5<X<1)=F(1)—F(-0.5)=1

四(5)、已知连续型随即变量X的概率密度为

c

f(x)x2,x1

0,其它

求(1)c；(2)分布函数F(x)；(3)P(-0.5<X<0.5)。

第17页，共38页

)(

解：⑴

c1/1

xf(x)dx

1caresinx111c1(2)当x1时，F(x)

xf(t)dt0f(t)dtx当1x1时，F(x)

11xarcsint|1

(arcsinx

x

2)当x1时，F(x)f(t)dt1

0,x11故F(x)(arcsinx),-1x12

1,x1

(3)P(-0.5<X<0,5)=F(0.5)—F(-0.5)=1/3四(6)、已知连续型随机变量X的分布

函数为

x2F(x)ABe,x0

0,其它2

求（1）A,B；(2)密度函数f（x）；(3)P(1<X<2）。

(1)limF(x)A1x

解：limF(x)AB0x0

B1

xex/2,x0f(x)F(x)0,x0

(3)P(1<X<2)=F(2)—F(l)=e1/22e2

四（7）、已知连续型随机变量X的分布函数为

F(x)ABarctanx

求(1)A,B；(2)密度函数f(x)；(3)P(1<X<2)。

第18页，共38页

户

(1)limF(x)Ax2B1

解：limF(x)AxB02

A1/2,B1/

(2)

f(x)F(x)1(1x2)

(3)P(0<X<2)=F(2)—F(0)=l

arctan2

四(8)、已知连续型随机变量X的分布函数为

0,x0F(x)Ax,0x1

1,x1

求(1)A；(2)密度函数f(x)；(3)P(0<X<0.25)。

(2)

解：(1)limF(x)A

ijx

1x1x1A1f(x)F(x)0,其他

(3)P(0<X<0.25)=1/2

四(9)、已知连续型随机变量X的分布函数为

A12,x2F(x)x

0,X2

求(1)A；(2)密度函数f(x)；(3)P(0WXW4)。

(2)

、解：⑴limF(x)1A/40x283,x2A4f(x)F(x)x0,

x2

(3)P(0<X<4)=3/4

四(10)、己知连续型随机变量X的密度函数为第19页，共38页

2x,x(0,a)f(x)2

0,其它

求(1)a；(2)分布函数F(x)；(3)P(-0.5<X<0.5)»(2)当x0时，

F(x)f(t)dt0x

a2xx(1)f(x)dx21当x时，F(x)0解：f(t)dt1

a0,x02x故F(x)2,0x

1,x2tx2当0x时，F(x)f(t)dt220xx

(3)P(-0.5<X<0,5)=F(0.5)—F(-0.5)=1

42

五(1)、设系统L由两个相互独立的子系统LI,L2并联而成，且LI、L2的寿命分别

服从参数为，()的指数分布。求系

统L的寿命Z的密度函数。

解：令X、Y分别为子系统Ll、L2的寿命，则系统L的寿命Z=max(X,Y)。显然，当

zWO时，FZ(z)=P(ZWz)=P(max(X,Y)Wz)=O；当z>0时，FZ(z)=P(ZWz)

=P(max(X,Y)Wz)

=P(XWz,YWz)=P(XWz)P(YWz)=

因此，系统L的寿命Z的密度函数为eOzxdxeydy=

(1ez)(1ez)。Oz

ezez()e()z,zOdFZ(z)fZ(z)=dzO,

z0

五(2)、已知随机变量X〜N(0,1),求随机变量Y=X的密度函数。解：当yWO

时，FY(y)=P(YWy)=P(XWy)=0；当y>0时，FY(y)=P(YWy)=P(XWy)=

P(yX222y)=yl

2yx2/2dx2yl20x2/2dx第20页，共38页

ey/2

,y0,d因此，fY(y)=FY(y)2ydy0,y0.

五(3)、设系统L由两个相互独立的子系统LI、L2串联而成，且LI、L2的寿命分别

服从参数为，()的指数分布。求系

统L的寿命Z的密度函数。解：令X、Y分别为子系统LI、L2的寿命，则系统L的寿

命Z=min(X,Y)。显然，当zWO时，FZ(z)=P(ZWz)=P(min(X,Y)Wz)=0；

当z>0时，FZ(z)=P(ZWz)=P(min(X,Y)Wz)=l—P(min(X,Y)>z)=1—P

(X>z,Y>z)=l-P(X>z)P(Y>z)=l

因此，系统L的寿命Z的密度函数为zexdxeydy=

1e()z»z

()e()z,zOdFZ(z)fZ(z)=dzO,z0

五(4)、已知随机变量X〜N(0,1),求Y=|X1的密度函数。解：当yWO时，FY

(y)=P(YWy)=P(X|Wy)=0；当y>0时，FY(y)=P(YWy)=P(|X|Wy)=

P(yXy)=yl

2yx2/2dx2yl20x2/2dx

2y2/2ey0,dFY(y)因此，fY(y)=dy0,y0.

五(5)、设随机向量(X,Y)联合密度为

Ae(2x3y),x0,y0;f(x,y)=

0,其它.

(1)求系数A；

(2)判断X,Y是否独立，并说明理由;

(3)求P{0WXW2,0WYW1}。

第