自动控制原理习题及答案(冯巧玲)

第二章习题及答案

2-1试建立题2-1图所示各系统的微分方程［其中外力F（，），位移X。）和电压叫⑺

为输入量；位移y«）和电压〃<,”）为输出量；k（弹性系数），f（阻尼系数），R（电阻）,

C（电容）和加（质量）均为常数］。

题2-1图系统原理图

解

（a）以平衡状态为基点，对质块机进行受力分析（不再考虑]Pg

重力影响），如图解2-l（a）所示。根据牛顿定理可写出

m

FQ）—ky（t）-于粤=I年)

dtdt

图解2-1(a)

整理得

d2y⑴⑺k।

।/4+—y(f)=—2f)

dt2mdtmm

（b）如图解2・l（b）所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有

kgx）=于曲吟）

对B点有

联立式（1）、（2）可得:

dy+ktk2，—k}dx

dt/(匕+左2))k，i+k,dt

(c)应用复数阻抗概念可写出

RJ

ug=—，/(s)+a(s)(3)

叫+一

cs

Uc(s)

/(s)=(4)

U人s)_&(l+gCs)

联立式(3)、(4),可解得:

Ur(s)R]+/?2+R]R>Cs

认,•+&十_____

微分方程为:d+yU=d"ru

cr

dtCRRdtCR}

(d)由图解2-1(d)可写出

1

U,(S)=R/R(S)+[〃(S)+/,(S)](5)

(6)4⑥

1U,(S)=/,(S)R+[/R(S)+/,(S)]3

(7)图解2-1(d)

联立式(5)、(6)、(7),消去中间变量〃(s)和，(s)，可得:

222

Uc(s)_RCs+2RCs+l

U,(s)-R2c2s2+3RCs+l

du：3du.1du：2du,1

微分方程为

dt2CRdtC2R2dt2CRdtC'R2

2-2试证明题2-2图中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统(即有相同形式

的数学模型)。

5

%«)为%

M)q：

(b)

题2-2图系统原理图

解

(a)取A、B两点分别进行受力分析，如图

沁

解2-2(a)所示。对A点有

B♦

k2(x-y)+f2(x-y)=f,(y-yi)

3

(1)

对B点有

图解2-2(a)

fl(y-yi)=klyl

⑵

对式(1)、(2)分别取拉氏变换，消去中间变量力,整理后得

正

52++1

kk

Y(s)=i2

X(s)一2+(—+—+^-)5+1

ktk2k।k2%2

(b)由图可写出

U,(s)u1(s)

“+cb

危+出+

G，s

整理得

U,G)&R2cle2$-+(R]G+兄。2)S+1

&R2cle2$-+(/?!C.+R2c2+/?C，)s+l

2-3假设某容器的液位高度h与液体流入量Qr满足方程—+-4h^-Qr,

dtSS

式中S为液位容器的横截面积，a为常数。若力与。,在其工作点(Q,o,%)附近做微量变

化，试导出△/?关于A。,的线性化方程。

解将〃'在儿处展开为泰勒级数并取一次近似

I,-A/i=4-----7=r—•A/?(1)

Y出防、°2瓜

代入原方程可得

at32〃%3

在平衡工作点处系统满足

-^-+a^h^=Qr0(3)

式(2),(3)相减可得A/?的线性化方程

八dkha*,，八

S-------1----.—A/z=AO

出2匹

2-4试求题2-3图所示各信号x(f)的象函数X(s)。

题2-3图信号图

解

(a),/x(t)=2+(Z-/0)

21

.・.X(S)=一+=6一加

ss

(b),/%(/)=Q+S-〃)(r—4)一(/?-c)Q—7)—c(f—J)

X(s)=-[a+(b-a)e-''s~(b-c)e-'2S-ce-hs]

s

4474T4

(c)x(r)=—rt---)-----------一彳)+F«-T)

T2T22T22T2

4工

二X(s)=k(l-2e2+e%)

1~s

2-5求下列各拉氏变换式的原函数。

(1)x(5F

⑵X(s)

s(s+2)3($+3)

x($)=—卢^——

⑶

s(s+2s+2)

解

(1)x(f)=e'T

-11311

⑵原式=---------------F-------------------------------1---------1-------------

2(5+2)34(5+2)28(s+2)24s3(5+3)

x(t)=——e2'+—e''——e2'+—e^'+

483

1

2s115+111

⑶原式——---------=--------------+-----------

2sS2+2S+22s20+1)2+12(5+1)2+1

xQ)=g+geT(sinf-cosf)

2-6已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为c")=1-2e-2'+e",试求系统

的传递函数和脉冲响应。

解单位阶跃输入时，有夫(s)=,，依题意

~、1213s+21

C(5)=-------+----=--------------

ss+2s+1(s+1)(5+2)s

G(s)==—生里一

R(s)(s+1)(5+2)

左(f)=LT[G(s)]=Z/—+-^—=4e-"-eT

|_s+ls+2_

2-7已知系统传递函数=——，且初始条件为c(O)=—l,c(0)=0,

R(s)s2+3i+2

试求系统在输入r(/)=1(f)作用下的输出c(r)。

解系统的微分方程为

££(£)+3dc(£)+=(1)

dt2dt

考虑初始条件，对式(1)进行拉氏变换，得

,2

s~C(s)+s+3sC(s)+3+2C(s)=—(2)

s

〜、52+35-2142

C(5)=-------------=-------+-----

s(s+3s+2)s5+1s+2

・•.c(t)=l-4e'1+2e~21

2-8求题2-8图所示各有源网络的传递函数

U,(s)

(a)(b)(c)

题2-8图有源网络

(a)根据运算放大器“虚地”概念，可写出

——

U,(s)R、

R,+—

2

(b)U『(s)_C2s_(1+RGs)(l+RGs)

=_RJ=R"2s2

1C,s

R+__

U,(s)12+cs_R,

Ur(s)&&Q+R2CS)

2-9某位置随动系统原理框图如题2-9图所示，已知电位器最大工作角度。,“=330°,

功率放大器放大系数为k3。

（1）分别求出电位器的传递函数心，第一级和第二级放大器的放大系数占，心；

（2）画出系统的结构图；

（3）求系统的闭环传递函数。,（S）/Q,（S）。

解

（1）电位器的传递函数

E30180°

Kc=----=----------------=------

根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为

。_30xl03.20xl03

(2)可画出系统结构如图解2-9所示:

电动机

图解2-9系毓结构图

K°&K2K3KBi

Q,(s)=_________*s+1)__________

0(s).1+K2K3跖(।KQKE2K3Km

7>+ls(G+D

1

T,“心J+K2K3K"

K°K、K2K3KmK°K1K2K3Km

2-10飞机俯仰角控制系统结构图如题2-10图所示，试求闭环传递函数。,(S)/Q,(S)。

题2-10图飞机俯仰角控制系统结构图

解经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数

―⑸_________________0.7($+0.6)_______________

2(s)-Z+(09+(UK]+(1.18+0.42K)s+0.68

2-11已知系统方程组如下，试绘制系统结构图，并求闭环传递函数目“

R(s)

X|（s）=G,（s）R（s）-G,（5）［G7（5）-G8（S）］C（5）

X2（5）=G2（5）［X1（5）-G6（S）X3（S）］

X3（5）=［X2（5）-C（5）G5（5）］G,（5）

C（5）=G4（5）X3（5）

解系统结构图如图解2-11所示。

利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为

C")_____________________G&G3Gd_____________________

R(s)1+G2G3G6+G3G4G5+G]G2G3G4G7—G]G2G3G4G8

图解2-11系统结构图

2-12试用结构图等效化简求题2-12图所示各系统的传递函数C应。

R（s）

(d)

解(a)

、,咫)2G3G4C(s)

—/一-----------------------------------------

1+Gg+G3G4+G2G3+G1G2G3G4

图解2-12(a)

C(s)__________G|G2G3Ga_______________

所以：

R(s)1+G[G2+G3G4+G2GT,+GiG2G-iG4

(b)

图解2-12(b)

C(s)G,—G,

所以:

(c)

原图今

今

图解2-12(c)

C(5)G|GG

所以:93

R(s)1+G[G,+G2G3+G]G2G3

(d)

招，/G卜

图解2-12(d)

所以：当=GQ2G3+GQ4

R(s)1+GXG2H]+G2G3H2+GQ2G3+GJG4+G4H2

(e)

图解2-12(e)

"2-------------旭叵-------

R(s)1+G[G2H[+G2H\+G2G3H2

2-13已知控制系统结构图如题2-13图所示,求输入r(f)=3J«)时系统的输出c。)。

解山图可得

2

国S)I7C(J

CG)_s?+2s+i2

Rs)1+^^——(5+1)(s+D(s+3)

52+2,V+1

EK)c«cOM>1

3

又有R(s)=-

S

23231

则C(5)=------------—=--------------

(s+l)(S+3)sss+1s+3

r?3

即c(t)=U'----------+—=2-3二+/「

ss+1s+3

2-14试绘制题2—14图所示系统的信号流图。

题2-14图

解

2-15试绘制题2-15图所示信号流图对应的系统结构图。

题2-15图

解

图解2-15

2-16试用梅逊增益公式求2-12题中各结构图对应的闭环传递函数。

解（a）图中有1条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路

P、=GjG2G3G4,A,—1,Lj——GtG2>

L»2——G^G^9L3——G^,G^9A=1—(4+L、+L3)+L、L),

C(s)_P4_G]G2G3G4

R(s)A1+G]G?+G3G4+G1G3+G[G)G3G4

(b)图中有2条前向通路，1个回路

P、=G〃Aj=LP?=­G2,A2=bL)=G2H,

△二1一4

—

C(s)P|A(+P]、?GjG2

~R(s)^A~1-G2H

(c)图中有1条前向通路，3个回路

P、=G]G2G3,A1=LL)=—GjG2,

L=-GG,…-G]G2G

2233,A=1-(LI+L2+L3),

C(5)P.A,__________GGG3__________

―-1+GG+G2G3+G1G2G3

(d)图中有2条前向通路，5个回路

Pi=GJG2G3,A)=LP2=GjG4,A2=1,

L,=—GjG2//pL2=—G2G3HL3=—G]G2G3,L4=—G[G4,

L5=—G4H2，△=1—(L]+L2+L3+L4+区)，

C(s)P,Aj+P2^2G]G2G3+GC4

R(s)A1+GO2H]+G2G3H2+G]G2G3+GC4+G4H2

(e)图中有2条前向通路，3个回路

P{=GQ2G3,Aj=LP2=G49A2=△,

L、=—G\G〉HL9=—G2H],L?=—G2G3H2,A=1—(L.++L.),

洛==+弛=G4+---------分--------

R(s)AAl+G.G,/7,+G2/f,+G2G3H2

2-17试用梅逊增益公式求题2-17图中各系统的闭环传递函数。

解(a)图中有1条前向通路，4个回路

[=G]G2G3G厂A,=1

L.=G-,G,H,L、=—G.G^G,H,,L,=G,G^G,G.H,,

1ZJ1Zi£JJJ1ZJ44

Z>4=-G3G/2,=

A1—+L，2+L3+Z>4)

则有2=3G。2G3G4

R(s)△1-G2G再、+G[G2G3H3-G、G2G3G4H4+G3G4H2

(b)图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路

P.—G]G2G3,A,=LP2—G3G炉A2=1—4=1+G]H],

L、=-G也,L2=G3H3,L3=-GO2G3%H2H3,

A=1—(L]+L2+L3)+L]

C(5)_^A,+PAGQ2G3+G&(1+G*)

则侣-----=----------2---2=---------------------------------------------------

R(s)AI+G】H「G3H3+G°2G3H2H3-G】H、G3H3

(c)图中有4条前向通路，5个回路

=—G[,P2—GyG29P3=G29P4=G2Gj,

))

L,1=GI],LL2=—GI,GZ29LJ.=—GL99L44=—GNGI[,DLS=—G1]GL,

Aj=A2=A3=A4=LA=1—(Lj+L2+L3+L4)9

贝ij有CG)_片A】+P?'?+P3N3+P4N4

、R(s)-A

一G1+G)G2+G2+G2Gl2G]G2-G,+G2

1-G]+G[G2+G2+G2G|+G[G21-G]+G2+3GJG2

(d)图中有2条前向通路，5个回路

P、=G]G29A1=LP2=G3,A2=L

L]=-G?H/L2=—G、G2H2,L3=—GxG2yL4=—G3,L5=G3H1G2H

A=1—(乙+L)+Ly+L4+L5),

则有生2=3+尸2A2

R(s)A

=______________GjG?+G3

14-G^H]+G}G^H+G[G)+G3-G3H、G)H)

(e)图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路

Pi=G1G2G3,A1=LP2=-G4G3,△2=1—4，

Lj=—G1G2H1,L2=-G3H2,L3=—G2H3,

A=1—(A1+L»2+L3)+9

刖后C(s)P\Z+GjGG—GG(14-GjG//1)

则有----=------------=-------------2--3-----4---3---------2-----------

R(s)A1+G,G2H,+G3H2+G2H3+Gfi2G3HxH2

2-18已知系统的结构图如题2-18图所示，图中R(s)为输入信号，N(s)为干扰信号,

试求传递函数包2,c应

R(s)N(s)

题2-18图

C(s]

解(a)令N(s)=O,求一上。图中有2条前向通路,3个回路，有1对互不接触回路。

RG)

P、=GJG2>A,=1,P2=G1G39A2=1—Lj=1+G2H,

Lj=—G2H,L2=—G{G29L3=—G1G3，

A—1—(L]+L)+L3)+Ly,

刖右C(s)At4-P2^2GjG2+GlG3(l+G2H)

R(s)A1+G2H+G,G2+GQ3+G、G2G3H

令R(s)=O,求C@。有.3条前向通路，回路不变。

N(s)

Pj=—LAj=1—LpP2=G4GxG2yA2=1,

P3—G4GQ3,A3=1—LJ,

A—1—(L]+L?+L、)+AqL3,

c(5)_P.A,+PA+P,A_-I-GH+GG,G+GG,G(\+GH)

则有223242432

N(s)—Al+G2H+GlG2+G[Gi+GiG2G3H

求也

(b)令N|(s)=O,N2(S)=0,图中有1条前向通路，1个回路。

R(s)

片=-^,4=1,匕=_2K(S+1),△=]_£

5+25+2

C(s)_PA_Ks

则有

瓦己一一(2K+1)6+2(K+1)

CG)

令R(s)=O,/V(5)=0,求图中有1条前向通路，回路不变。

2M(s)

P、=s,△]=1,

则有CG)_"SG+2)

N|(s)A(2K+l)s+2(K+1)

求生)。图中有1条前向通路，回路不变。

令R(s)=O,M(s)=O,

NJs)

2K

P、=一A,=1,

s+2

C(5)_P,A,-2K

则有=

32($)(2K+l)s+2(K+l)

(c)令N(s)=O,求色应。图中有3条前向通路，2个回路。

RG)

Pi=G2G4,△]=1,P2—G3G4,A2=LP3—G。2G4,A3=1,

Lj=—G2G4,L2=—G3G4,△=1—W+/>2)，

同右C(S)0Al+尸242+0343G2G4+G3G4+G]G2G4

R(s)AI+G2G4+G3G4

令R(s)=O,求3。有1条前向通路，回路不变。

N(s)

P1=G4,△]=!.，

则有C(5)=型L=-------5---------

N(s)AI+G2G4+G3G4

第三章习题及答案

3-1已知系统脉冲响应如下，试求系统闭环传递函数①(s)。

k(f)=0.0125—25’

解①(s)=L[k(f)]=0.0125/。+1.25)

3-2设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述

••

TcQ)+c(f)=rr(/)+r(Z)

其中，0<(T-T)V1。试证系统的动态性能指标为

td=0.693+1«字)T

tr=2.2T

ts=3+ln(^JT

解设单位阶跃输入R(s)=」

s

当初始条件为0时有:也=三U

R(s)Ts+1

〜、TS+111T-T

1・C(5)--------------------------

Ts+1ssTs+1

c⑴=h(t)=l—'^e-"T

1)当t=td时

h⑴=0.5=]-匕二e』八

2）求。（即c（f）从0.1到0.9所需时间）

T-T=T[ln(^^)-ln0.1]

当h(t}=0.9=1-e--"---；

T-TT-T

当〃⑺=0.1=1------r,=nin(^—)-ln0.9]

TT

,0.9

则=Tln—=2.2T

3)求ts

/?9)=0.95=l-^^eTJT

ts=nInIn0.05]=T[ln^^+ln20]=T[3+ln^^]

3-3一阶系统结构图如题3-3图所示。要求系统闭环增益K9=2,调节时间4<0.4

（S）,试确定参数K],K2的值。

解由结构图写出闭环系统传递函数

题3-3图系统结构图

令闭环增益=—I一=2,得：K,=0.5

K2

3

令调节时间仆=3T=」一£0.4,得：K,>\5.

K、K2

3-4在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定,题3-4图（a）和（b）分别为

开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K值为1。

温度传感器

题3-4图温度系统结构图(b)

(1)若r。)=1(f),〃«)=0两种系统从开始达到稳态温度值的63.2%各需多长时间？

(2)当有阶跃扰动〃«)=0.1时，求扰动对两种系统的温度的影响。

解(1)对(a)系统：

1

G“G)时间常数7=10

105+110.V+1

h(T)=0.632(a)系统达到稳态温度值的63.2%需要10个单位时间;

100

100_Toi

对(a)系统：①时间常数T=—

105+101-io101

—s+1

101

〃(T)=0.632(b)系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099个单位时间。

(2)对(a)系统:G“6)=7777=1

N(s)

〃。)=0.1时•，该扰动影响将一直保持。

110s+1

对(b)系统:

]।100105+101

105+1

/?(/)=0.1时，最终扰动影响为0.1x-------x0.001o

101

3-5•种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变,

测出电机的稳态转速;另外要记录电动机从静止到速度为稳态值的50%或63.2%所需的时间,

利用转速时间曲线(如题3-5图)和所测数据，并假设传递函数为

G(s)=型2=上

V(i)s(5+a)

可求得K和a的值。

题3-5图转速时间曲线

若实测结果是：加10伏电压可得每分钟1200转的稳态转速，而达到该值50%的时间为

1.2秒，试求电机传递函数。

[提不：注意一口■二----，其中/(，)=，单位是弧度/秒]

V(s)s+adt

解依题意有：

v(0=10(伏)

。_1200x2%_404(弧度/秒)

(1)

60

以1.2)=0.5Q(OO)=20〃(弧度/秒)(2)

设系统传递函数GO(5)=^=—

V(s)s+a

inK]0K

应有G(CO)=limsGo(5)-V(5)=lims---------=----=40乃(3)

•2°…。ss+。a

碗)=L-'[G0(S)W(S)]=M小叮="Lp__L_竽1—臼

5(5+a)\a\_SS+4

由式(2),(3)(y(l.2)=[1-e-'-2a]=w[l-e-'2a]=20TT

a

得1—ef2"=o.5

解出a="ln°-5=0.5776

(4)

1.2

将式(4)代入式(3)得K=4如=7.2586

4

3-6单位反馈系统的开环传递函数G(s)=」一，求单位阶跃响应力。)和调节时间

s(s+5)

解：依题，系统闭环传递函数

4(=1

①(S)=-7-------=-----------

S+55+4(5+1)(5+4)(s+；)(s+T2=0.25

/112

C(s)=①(s)R(s)―—上+

S(S+1)(5+4)S5+15+4

4

Cn=lims①(s)R(s)=lim

srOSTO(S+1)(5+4)

C.=lim(s+1)①(s)R(s)=lim------=--

seSf0s(s+4)

41

C-,=lim(s+4)①(s)R(s)=lim--------

STTsfOs(s+1)3

h(t)=1——e'+—e_4z

33

—=4,t=—T.=3.3T.=3.3。

T,[T,

3-7设角速度指示随动系统结构图如题3-7图。若要处。

求系统单位阶跃响应无超调，且调节时间尽可能短，问开环一七*

增益K应取何值，调节时间仆是多少？

题3-7图系统结构图

解依题意应取4=1,这时可设闭环极点为

4.2=-1/7°。

写出系统闭环传递函数

S2+1OS+1OK

闭环特征多项式

(]Y2/1A2

O(s)=$2+1O.S+1OK=s+—=.v2+—5+—

ITo)T°

T=0.2

比较系数有联立求解得n

K=2.5

因此有t,=4.75%=0.95"<f

3-8给定典型二阶系统的设计指标：超调量ZX/.0707[S]

cr%<5%,调节时间/<3(s),峰值时间乙<1。

（s）,试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。

解依题

CT%<5%,=>自20.707（£445。）；

35

=丁<3,=>>117；

=>g%“>314

综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图解3-8所示。

3-9电子心律起博器心率控制系统结构图如题3-9图所示，其中模仿心脏的传递函数相

当于一纯积分环节，要求：

起博器心脏

期望心速~P-

R（s）—►0-*-----------飞）

005s+1

题3-9图电子心律起博器系统

（1）若J=0.5对■应最佳响应，问起博器增益K应取多大?

（2）若期望心速为60次/分钟，并突然接通起博器，问I秒钟后实际心速为多少？瞬时最

大心速多大？

解依题，系统传递函数为

①(s)=0.05

1K2+2g“s+'

H--------S+

0.050X)5

令4=0.5可解出\

U=20

将，=1（秒）代入二阶系统阶跃响应公式

腐）=1--Cr——+夕）

Ji317

可得71（1）=1.000024（次/秒）=60.00145（次/分）

J=0.5时，系统超调量。％=16.3%，最大心速为

〃&)=1+0.163=1.163(次/秒)=69.78(次/分)

3-10机器人控制系统结构图如题3-10图所示。试确

定参数K”K2值，使系统阶跃响应的峰值时间%=0.5

-H

(s),超调量。％=2%。

解依题，系统传递函数为题3-10图机器人位置控制系统

s(s+1)K3①

①⑸

22+2gs+g；

1I&(公+1)+(1+KiK2)s+Kt

s(s+1)

<0.02Z=0.78

11171联立求解得<

=U.D=10

1J1-42««

比较①(s)分母系数得

&=co；=100

3-11某典型二阶系统的单位阶跃响应如题3-11图所示。试确定系统的闭环传递函数。

图3T1系统单位阶跃响应

解依题，系统闭环传递函数形式应为

①⑶

s2+2gty“s+8;

山阶跃响应曲线有:

/z(oo)=lims①(s)R(s)=lim5O(5)--==2

STO5->OS

71八

t=---.=?

。%=产而？=牛2=25%

[J=0.404

联立求解得〈、，=…，所以有

a)n=1.717

〜、2xl.71725.9

S2+2X0.404xl.7175+1.7172s1+1.39.V+2.95

3-12设单位反馈系统的开环传递函数为

〜、12.5

G(s)=

5(0.25+1)

试求系统在误差初条件e(0)=10,0(0)=1作用下的时间响应。

解依题意，系统闭环传递函数为

~、C(s)G(s)62.5

①(s)=----=-------=------------

R(s)1+G(s)52+55+62.5

当r(f)=O时，系统微分方程为

c"(f)+5c'(f)+62.5c(f)=0

考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换

52C(5)-sc(0)-c'(0)]+5[sC(s)—c(0)]+62.5C(s)=0

整理得卜+5s+62.5)C(s)=(s+5)c(0)+c，(0)(1)

对单位反馈系统有e(f)=r(f)—c(t),所以

c(0)=r(0)-e(0)=0-10=-10

c'(0)=r'(O)_e'(0)=0_l=_l

将初始条件代入式(1)得

…-105-5110(5+2.5)+26

C------------------------------

■―§2+5s+62.5—(s+2.5)2+7.52

7.5

-3.47

2

7。(二黑工2(s+2.5『+7.5

c(f)=一10"2&cos7.5f—3.47e-2&sin7.5,=—10.6*"，sin(7.5r+70.8°)

3-13设题3-13图