压力容器应力分析

压力容器应力分析

南京工业大学备课笔记1

第二章压力容器应力分析

StressAnalysisofPressureVessels

容器设计的核心问题是研究容器在各种机械载荷与热载荷作用下，有效地限制变形和抵

抗破坏的能力。因此，容器设计的理论基础就是对容器进行充分的应力和变形分析。

2.1载荷分析LoadingAnalysis

2.1.1载荷Loading

(1)压力是压力容器承受的基本载荷

(2)非压力载荷

分整体载荷与局部载荷:

整体载荷是作用于整台容器上的载荷，重力，风，地震,

局部载荷是作用与容器局部区域上的载荷，管系载荷，支座反力，吊装力等.[1]

重力载荷Gravity

[2]风载荷Winding

[3]地震载荷Earthquake

[4]运输载荷Transport

[5]波动载荷Undulate

[6]管系载荷piping

(3)交变载荷

2.1.2载荷工况LoadState

(1)正常操作工况

(2)特殊载荷工况

压力试验，开停车及检修

（3）意外载荷工况突然停车，化学爆炸,南京工业大学备课笔记2

2.2回转薄壳应力分析StressAnalysisofRevolutionShells

壳体：一种以两个曲面为界，且曲面之间距离远比其它方向尺寸小得多的构件。壳体

的中面：与壳体两曲面等距离的点所组成的曲面。

回转壳：其中面由一条平面曲线或直线绕同平面内的轴线回转而成的壳体。壳体的厚

度：二曲面之间的距离。

薄壳：厚度t/中面曲半径R的比值为薄壳，反之为厚壳。

在薄壳应力分析中，采用弹性力学薄壳理论。

几个假设：材料连续、均匀、各向同性，小变形，各层间不挤压。

受载后的变形是小变形：

壳壁各层纤维在变形后互不挤压：

2.2.1薄壁圆筒的应力StressinThin—walledCylinders

薄壁圆筒在内压P作用下，产生三个方向的应力

轴向应力，周向应力，径向应力r

故任一点的应力状态为二向的..

求解，：采用材料力学中，“截面法”保留右边，如下图（a）

根据力的平衡：

内P作用在封头上产生向右的轴向外力P

在筒壁上向左的轴向内力为Dt

对薄壳：DiD故P

得：PD4t4Di24D2Dt

取1单位长圆环，过y轴，作上轴的平面，将圆环截成两半，取右半如上图（b）。

同样考虑方向上力的平衡，

内力为：2t1南京工业大学备课笔记3

外力为：一微小圆弧弧长：Rida

径向外力为PRid1

轴向PRid1Sin

整个外力：22PRiSindo

力的平衡：22PRiSind2to

PD2—14t

PD2——22t

2.2.2回转薄壳的无力矩理论MembraneTheory

（1）回转薄壳的几何要素geometryterms

回转薄壳：中面由一条平面曲线或直线绕同平面内的轴线回转360。而成的薄壳。母

线：绕轴线回转形成中面的平面曲线或直线。

如右图：

00轴线

0A母线

经线平面，通过回转轴的平面

经线：经线平面与中面的交线0A（对回转壳，母线与经线）。

平行圆：垂直于回转轴的平面与中面的交线形成的圆。

平行圆半径：平行圆的半径。

第一主曲平半径（R1）：经线0A在任一点（B）处的曲平半径RIK1B

第二主曲半半径（R2）：中面上所考察点（B）到该点法线与回转轴交点K2之间的距离

R2K2B

坐标系:

：r与任意定义的直线之间的夹角

：回转轴与中面上所考察点B处法线间的夹角

yz：浮动坐标，随考察点而变：经线的切向

南京工业大学备课笔记4

y：经线的周向

：法向z

同一点的第一主曲率半径，第二主曲率半径都在该点的法线上。

从右图可看到rR2Sin

（2）无力矩理论与有力矩理论Membraneshelltheoryandbendingshelltheory

在壳体理论中，分析问题有这样两种理论：

①无力矩理论（薄膜理论）

假定壁厚与直径相比小得多，壳壁象薄膜一样，只能承受拉（压）应力，而不能承受弯

矩和弯曲应力，或者说，忽略弯曲内力的影响。

这样计算得到的应力，称薄膜应力。

②有力矩理论

认为壳体虽然很薄，但仍有一定的厚度和刚度，因而壳体除拉（压）应力，外还存在弯

矩和弯曲应力，实际上，理想的厚壁壳体是不存在，即使壁很薄壳体中或多或少存在弯曲

应力。

一般情况下，壳体中面上存在10个内力分量（内力：由于外力，或其他外界因素）作

用引起物体内部作用力的改变量，称为内力。

在载荷作用下，内部各点发生相对位移，因而产生的相应作用力。

N、N：法向力（垂直该截面）Q、Q

：横向剪力N、N：剪力，M、M：弯矩M、M：扭矩

当中面曲率扭率改变非常小时，弯曲内力很小，就可忽略从而得无力矩状态。

2.2.3无力矩理论的基本方程BasicEquations

(1)壳体微元及其内力分量shellelementandinternalforces

在壳体取一微元体abdc由三个对截面组成：壳体内外表面、二个相邻经线截面ab、

cd,二个两邻的与经线垂直的圆壳体正交的圆锥面。

经线方向弧长ab为

dllRid

与壳体正交的圆锥面截线bd为dl2rd

南京工业大学备课笔记5

微元体的面积

dAdlldl2Ridrd

载荷：作为轴对称问题，垂直于壳体表面的压力

PP

分析各截面上的内力：

作为无力矩理论为基础.，轴对称问题的概念：几何形状，约束条件和所受的我荷都对

称于回转轴，则引起的应力和变形必定是轴对称的。

微元截面上的内力：

周向：N

经向：N

因为轴对称所以在ab.cd载面上N值相等

因为N随变化，所以bd截面上N,ad截面上增加了微量NdN。

(2)微元平衡方程EquilibriumEquations

作用在微元上的内力分量和外载荷组成平衡力系，设壳体壁厚为3由右图得：

经向内力N、N

NSind2线上的分量为d在法NdNSind2

Ntdl2trd

NdN4dtrdrd

令bd截面的平行圆半径为r

令ac截面的平行圆半径为r+dr

得：

tR2Sind

tdrdd2tR2Sindd2d2dtR2Sindd2d2

dtdrd

tR2Sindd

再以ac截面（或bd）为例

见右图，周向内力N在平行圆半径方向的分量为：

南京工业大学备课笔记6

2NSind

2

tRldd

再将该分量投影到法线方向

得tRlddSin

得内力分量在法线方向上的和为：

tR2SinddtRISindd

外载荷在法线上的力

PdAPdlldl2

PRidR2Sind

力的平衡式

tR2SinddtRISinddPRlR2ddSin

二边除tRlR2Sindd得

RIR2Pt(2-3)

称LaplaceEquation

薄膜应力，与P的平衡方程

(3)区域平衡方程EquilibriumEquationinPartofshell

方程(2-3)中有二个未知量，。

下面从部分容器的静力平衡出发，作一与壳体正交的圆锥面mDm,取截面的下部分容

器进行研究，在这部分壳体中。

作二个相邻且与壳体正交的圆锥面，二圆锥面之间宽度dl,则在a这环带上所受压力沿

回转轴的分量为：dvP2rdiCos

而Cosdr

dl

这部分壳体压力所产生的沿回转轴的总的力为：

V

2rmormdVprdro南京工业大学备课笔记7

行圆半径rm,mm处平

而作用在截面mm上的内力的轴向分量为：

VNCos2rmtCos

面mm处经线切向与回转轴。。的夹角，这部分壳体区域静力平衡：截

或VV2rmtCos

rmoPrdrrmtCos(2—4)

从(2—4)可求得

代入(2-3)即可求得。9

(2—4)称壳体的区域平衡方程式

微元平衡方程与区域平衡方程是无力距理论的两个基本方程。

2.2.4无力矩理论的应用ApplicationofMembraneShellTheory

用无力矩理论来求解几种典型回转薄壳的应力，注意该理论的应用条件。

(1)承受气体内压的回转簿壳Revolutionthinshellunderinternalpressure

仅受气体内压，P为常量，则内压产生的轴向力分量

V2

2rmoPrdr

V

2rmtCos

rm

R2rmP2tCosrmP由(2—4)得Cos

所以PR22t(2-5)

R2(22-6)RI代入(2—3)得

对各种形状的壳体

a球形壳体(半径R)SphericalShell

则R=R1=R2

所以PR2t(2-7)南京工业大学备课笔记8

b.薄壁圆筒(半径R)CylindricalShell

则任一点处RIR2

得PR

tPR2t(2-8)

与(2-1)(2-2)用截面法得到的结果是一致的

2

c.锥形壳体ConicalShell

用于：改变流体的速度，便于固体(粘性物料)卸出。

对壳体上任一点A处

RIR2tg

得Ptg2tPr

2tCos

Pr

tCosP2(2-9)

分析①，与成线性关系，大端处最大2②半锥角，对确定应

力是一个重要参量

0接近圆筒90°接近平板

d.椭球形壳体EllipsoidalShell由4椭圆绕固定轴旋转而成，其长、短半轴分别

为：a,b,则椭圆曲线方程：

a22yb221

a22得yab

根据数学中曲率计算式：RI1y1232yll

3

代入后得RIb2142ayb

a4242by3ayb423a4ybay6324232a4ybab4424232南京工业大学

备课笔记

由前图几何关系得

R2

212tg1y(切线的斜率)

2

R

222

所以tg

4

a2a2b21

2

b

将RLR2代入(2-5)(2-6)得:

2

Pa42a2b21

2

PR2t2tb

42

2R2Paa2b21

2

RIa4

2tb2

a42a2b2

称(Haggenberger)胡金伯格方程

分析(2—10)式:

①应力与坐标有关

顶点：0RIRa2Pa22b2bt赤道处：aRb2

2aRIa

PaPa2

2ttla

2b2

②应力与长短轴之比的关系及应力性质

ab<2>0

ab=2=0

ab>2<0

随着增大，当过大，就有可能发出局部屈曲.(LocalBuckling)

措施：整体或局部增加厚度，局部加强(环状构件)③标准椭圆形封头standard

ellipticalhead92-10)(南京工业大学备课笔记10

常用：ab2

Pa

t顶点：

赤道：

所以顶PatPa2t赤

(2)储存液体的回转薄壳：revolutionthinshellforliquidstorage

液压的特点：

垂直于壁面、轴对称载荷、载荷大小承液面深度而变化

Pg

液面的距离，：液体密度：离

a..圆筒形壳体cylindricalshell

顶部密闭，底部支承

已知：P,t,,H,Po

则对任一点A(处)

RIR2R

PPog

由(2—3)式

RIR2Pt

tR

t所以PR2Pog

求

在任意处将壳体截开，取上部。轴向力的平衡，载荷的垂直方向合力R2Po内力的合

力：

2Rt

所以2RtRPo2PoR2t

南京工业大学备课笔记11

取下部壳体为分离体，总支反力QR2Hg,

载荷的垂直方向合力

RPoRHgQ

RPo222

内力的合力

2Rt

所以PoR2t

项部悬挂的壳体的应力计算

已知R,,t,Po,II

RI,R2R

液体总重R2Hg

任一点处A承受的压力PPog

由(2—3)式

PR2

tR

tPog

作一任意横截面，由上部壳体的轴向力平衡，

总支反力QR2Hg,载荷的垂直方向合力为：

QRPoRHgRPo222

内力的合力

2Rt

所以RHgRPo2Rt22R

2tHgPo

尽管支承方式不同，但由于支承反力总是轴向力。

b.球形壳体

由A-A平行圆裙座支承，不考虑气压Po=0,

液体密度，任一点M处的静压力PgRgRCos。当<o即在裙座以上部分

南京工业大学备课笔记12

作用在M点以上部分，球壳的总轴向力为:

由区域平衡方程（P30）

V2rm

oPrdr

VRSin

drRCosd

得V2

ogR1CosRSinRCosd

123122gRCos1Cos362

代入(2-4)

V2rmtCos

所以

1231222gRCos1Cos2RtSin362

gRt22Cos11Cos2(2-12a)

代入(2—3)

RIR2Pt

得2gR

6t22Cos56Cos(2—12b)1Cos

对于〉o,即裙座A—A处以下的部分壳体

轴向力：除静压(液体)外，若忽略壳体自重，要考虑支反力(为液体重量)。G4

3Rg3

这时的区域平衡方程式

122221222RgRCos1CosRg2RtSin2

R3362

gR6t22Cos51Cos2(2-13a)

22Cos16Cos(2-13b)1Cos代入(2-3)

2gR

6t

对，进行分析：

比较（2-12）与（2-13）,在支座处不相等，即不连续,

有突变。

南京工业大学备课笔记13

2gR6t2222Coso51CosogR6t222Coso11

CosogR

23tSino

22Coso16Coso1CosogR

6t2gR6t222Coso56Coso1Coso

上述应力的突变量，是由支座反力G引起的。

承处的突变表明，在平行圆A—A在支

处存在周向膨胀的突变，为保持壳体（应力与）

位移的连续性，在支座附近的球壳有局部弯曲发生。

所以支座处应力不能用无矩理论，而必须用有力矩理论来分析。

（3）无力矩理论应用条件

按无力矩理论假设，轴对称条件下的薄壳只有薄膜应力和，没有弯曲应力和剪

应力。

对实际容器，壳体总有一定的抗弯刚度，必定要引起伸长（或压缩）和弯曲变形，但在

一定条件下，壳体内产生的薄膜应力比弯曲应力和剪应力大得多，以致后者可忽略不计，

此时也近似为无矩应力状态。实际这种无矩应力状态（薄膜状态）壳体的几何形状，加载

方式以及边界条件（支承）应满足以下三个条件：

①壳体的t,R,P连续，无突变，且材料性能相同

②壳体的边界处无横向剪力（Q）弯矩（M）和扭矩M

③边界处的转角和挠度不受约束

同时满足三个条件非常困难，按道理只要一条不满足就不能采用无力矩理论。

但对于远离局部连接区域的壳体则可以采用无力矩理论解。

2.2.5回转薄壳的不连续分析DiscontinuityAnalysis

（1）不连续效应与不连续分析的基本方法

a.不连续效应discontinuityeffect

“不连续”包含两个方面：儿何形状不连续，厚度、载荷、温度、材料的不连续（即有

突变）。这些因素引起了薄膜应力的不连续。

如图壳体由椭圆壳、圆柱壳、锥壳等连接组成。

在形状不相同的壳体连接处，如以一个独立的元南京工业大学备课笔记14

件在内压作用下自由变形，则连接壳体经线的转

角及经向位移，一般不相等。

实际壳体在连接处必须是连续的不可能分离，其

经线的转角和径向位移必须相等，故在连接部位

附近就造成种约束，迫使壳体发生局部弯曲变形，

在连接边缘处产生了附加的边缘力Qo和边缘力矩Mo,从而使这一区域应力增大。

容器由于这种总体结构的不连续而在连接边缘的局部地区出现衰减很快的应力升高观

象，称为“不连续效应”或“边缘效应”。

由此而引起的局部应力称为“不连续应力”或“边缘应力”。

分析容器不连续应力的方法在工程上称为“不连续分析”。

b.不连续分析的基本方法

使用一般的壳体理论求解，相当繁杂，对形状简单的实际容器，工程上常采用“力

法”，即把壳体的解分为两部分。

无力矩理论的解——薄膜应力（一次应力）

有力矩理论的解——弯曲应力（二次应力）

后者，是由于相邻部分材料的约束或结构知身约束所产生的应力，有自限性，当它超过

材料屈服点时就产生局部屈服或较小变形，从而使连接处的不同变形得到协调。

以右示图为例

一半球形壳与圆柱壳组合壳受内压Po

分别半球壳和圆柱壳计算其周向应力为：

o0球=PR/2t00柱=PR/t

显然圆柱壳的周向应力为球壳的一倍，其变形也可算得，其薄膜变形如虚线所示，即两

壳体在平行圆的径向位移是不相等WP球WP柱若壁厚相等，则W球P12W柱P.而实际上

二壳体是

连成一体不可能分开，因此二壳体的连接处将产生边缘力Q。和边缘力矩Mo,从而引起

弯曲变形。

根据变形连续条件

W球W柱

球柱

其变形协调方程具体可写为南京工业大学备课笔记15

W球

球PW球QoW球球MoW柱柱PW柱柱QoW柱MoP球

QoMoPQo柱Mo

解此方程就可求得Qo,Mo

从而求得弯曲应力，再与薄膜应力叠加，即为问题的全解。

（2）圆柱壳受边缘力和边缘力矩作用的弯曲解Bendingsolution

边缘边受到均布（沿圆周）的Q。，Mo

作用在边缘平行圆的平面内

根据弹性理论中，圆柱壳在轴对称载荷作用下的有力矩理论基本微分方程式为：dW

d444W4PDM

RDNx

这是一个四阶常系数，线性非齐次微分方程

W----径向位移

系数

P——内压

壳体抗弯刚度DD——Et3

331Rt222［长度］T121

Nx——单位圆周长度上的轴向薄膜力，可直接由圆柱壳轴向力平衡关系求得。

所考虑点离圆柱壳边缘的距离——

在“高等数学”，先求其齐次方程的解

dW

dX444W04

通解为：WexCICosxC2SinxexC3CosxC4Sinx

式中Cl,C2,C3,C4积分常数，由边界条件确定。

边界条件

当圆筒较长，随着的增大，弯曲变形衰减很快，而ex是增函数，不会衰减，所以

必有Cl=0,C2=0,这样原式变为

WexC3CosxC4Sinx南京工业大学备课笔记16

在边界处的弯矩、剪力应满足：

Mx0

Qx0d2WDdx2dWDdx33Mo0

Qo0

代回可解得：

C3

C412DMo2D23QoMo

从而解得W的表达式，就可相应求得内力：

NEt

MxDWR2NxdW

dx2

2

MD

QxdMx

dxdWdx3DdW

dx33

式中N——单位圆周长度上周向薄膜内力

Mx——单位圆周长度上的横向弯矩

——单位圆周长度上的周向弯矩

——单位周周长度上的横向剪力MQx

内力求出后，就可按材料力学方法计算各应力分量，弯曲应力计算：xNxt

N

t12Mxt3z12M

t3z

z——离壳体中面的距离

当2=土时，即在连接边缘处的内外表面弯曲应力最大2t南京工业大学备课笔记17

max

maxNxtNt6Mxtt26M2(2-18)

而圆柱壳弯曲问题中的总应力由两部分组成，一部分是由薄膜内力引起薄膜应力，一部

分是弯曲应力，所以总应力应为：

xPR2tPR

tNxtN

t6Mxt26M

t2

而横向切应力与正应力相比数值很小，可不予计算.

一般回转壳(球椭球锥)受Q。，Mo作用，产生的不连续应力，求解相对较复杂，这儿

不予介绍有兴趣可参阅参教书。

(3)组合壳不连续应力的计算实例Example

以圆平盖与圆柱壳连接处的边缘应力计算为例

受内压的容器

将平盖与圆柱壳作为单独分离体考虑，在连接

处受到Qo,Mo作用，厚板与薄板的变形有较

大差异，这里看作厚板处理，可假设连接处没有位移和转角：

W1W1

PPQoQoWIMoMo00111

薄壁圆柱壳中应按(2-8)式计算

PR

tPR2t

根据广义虎克定律

1E1E

所以1PRPREt2t

P若内压作用下，圆筒径向位移为W2南京工业大学备课笔记18

2RW2P2R

22R

PW2RP所以W2PR2Et2

圆柱壳在内压作用下经线转角为零，所以2P0.

根据变形协调条件：

W1W1

PPQoQoWlMoW2PW2PQoW2QoMoOMo11IMo0222

将位数和转角分别代入可得：

PR

122Et21

212D2Mo12D3Qo0DMo2DQo0

MoD2PR

Et22

2从而解得：

3Qo2DPR

Et2

Qo的负号表示实际方向和原假设方向相反。

求得圆柱壳中最大应力为经向应力位于边缘处0

max2.05PRt

远大于薄膜应力PR)(4.1倍2t

(4)不连续应力的特征Characteristics

不同结构组合壳在连接处有不同边缘应力，有的值较大，有的小一些，但有二个共同特

点。a.局部性Localization

边缘应力的影响范围很小，只在连接边缘附近的局部范围。

以圆柱壳而言，Qo,Mo引起的弯曲应力，随着离边缘距离的增加，而呈指数函数迅速

衰减。

当离边缘的距离大于可忽略Q。，Mo的影响

南京工业大学备课笔记19

Rt2312.5Rt(0.3)

2.5Rt与R相比，是一个很小的数字。

b.自限性Self-limiting

用塑性材料制造的容器当不连续边缘区应力过大，一旦出现部分屈服变形时，这种弹性

约束即自行缓解，变形不会继续发展，不连续应力也不再无限制地增加，这种性质称为不

连续应力的“自限性”。

限制不连续应力的措施

由于具有以上两种特性，除了分析设计法必须作祥细的应力分析外，设计中一般不作具

体计算。

结构上作局部调整的方法。

①连接处采用挠性结构：圆弧过渡，不等厚的削薄连接

②局部加强

③减少外界引起的附加应力，焊接残余应力，支座处的集中应力，开孔接管处的应力集

中。

2.3厚壁圆筒分析AnalysisofThick-walledCylinder

承受高压设备的壁厚较大：

合成氨、合成甲醇、合成尿素

圆筒的外直径与内直径之比常＞L2

厚壁圆筒在压力载荷作用下的应力特点

①薄壁圆筒只考虑，忽略r

厚壁圆筒压力高，不能忽略r,应作为三向应力状态分析

②薄壁圆筒中，，视为沿壁厚均匀分布的薄膜应力

厚壁圆筒，应力沿壁厚出现应力梯度

③内外壁间的温差随壁厚增大而增大，产生的温差应力增大，也不能忽略

应力分析方法上：

薄壁：采用微元平衡方程和区域平衡方程

厚壁：三向应力，其中，沿厚度非均匀分布，必须从平衡、几何物理等三个方

面进行分析才能确定应力南京工业大学备课笔记20

本节分析单层厚壁圆筒的弹性、弹塑性应力，屈服压力，爆破压力。组合式参阅有关文

献。

2.3.1弹性应力ElasticStresses

取一两端封闭的厚壁圆筒。

已知:Pi,Po,Di,Do

(1)压力载荷引起的弹性应力

a.轴向(经向)应力Axialstress

用截面法,取左部

横截面变形后仍保持平面.设z沿厚度方向

均布，由力的平衡得：

zRiPiRoPoRoRi2222PiRi2

2PoRoRi22Ro(2-25)

b.周向应力与径向应力Tangentialstressandradialstress

应力分布沿厚度不均匀，要从平衡方程，几何方程和物理方程三个方面进行考虑。①

取微元体

m,,ml,nl,n

半径，r,r+dr,夹角d

轴线方向取1单位长度

取上右图

轴向横截面上有z对平衡无影响，没标

②平衡方程

微元体在半径r方向上力的平衡

drdrdrddrrd

所以rrdrdr(2—26)

③几何方程

微元体的应变与位移之间的关系变形前m,ml,nl,n

变形后m，m,nl1,nmm面径向位移：W

南京工业大学备课笔记21

ml,nl面径向位移W+dW

根据应变定义：

径向：r

周向：WdWdrWdWdrW

r(2—27)rWdrdrd

径向位移的函数，对第二式求导：r,均是

dWrrrrd

drrW

r2r2rr

④物理方程，应力与应变的关系

按广义虎克定律

1

rErz

1

Erz

即物理方程

综合平衡，几何，物理方程：

由(2-29)二式相减得

1

rErr

1

Er

对(2—29)的第二式求导：dz

dr0

d1

drdr

Ed

drdr

将(2-30)代入(2-28)

所以d1

drrEr

以上二式应相等

所以d1

drdr

drrr(2-28)2-29)2-30)(2-31)((南京工业大学备课

笔记从(2-26)中求得

rr

drdr

代入(2—31)式2

得：r

dr3drdr

2

dr

0

22

该微分方程的解：A

PiRi

PoRoRi2

Ro

2

Ro

2

Ri

2

B

PiPoRo

2

Ri

2

从而得到应力的表达式

2

PiRi2PoRo2

PiPoRiRo

2

1Ro2

Ro2

Ro2

Ri

2

r2

PoRo

2

Ri2

Ro

2

1

r

PiRi

2Pi

Ro

2Ri

2

PoRo

2

Ri

2

r

2

2PoRo2

加上z

PiRi

Ro

2

Ri

2

1833年Lame提出.当仅有内压时：Po0令kRo/Ri

2

PiK

2

11Ror2

则Pi2

r

K

2

11Ro2

r

z

PiK

2

1

应力沿壁厚的分布变化如右图

rRi

K21Pi

zPi

lrPi

K

2

1

k

2

1

rRo

2r0Pi

K

2

1

zPi

IK

2

1

小结：①壁中>0，z>0,r<0

②数值上：值最大，内外壁相差Pi

22

2-33)

(2—34)(

南京工业大学备课笔记23

r从Pi0,z12r均布

③r沿壁厚不均匀程度与K值有关,

内外壁之比为2

K21,K越大,相差愈大,如K=l.1比值2.21相差10%,K=K3比

值为2.69相差近35%,K趋於1,内外壁相差很小，可看成薄壁，应力沿壁厚近似均

布。

(2)温度变化引起的弹性热应力ElasticThermalStressesinducedby

Temperature

a.热应力

当温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体引起的应力，称为热应力。

取一边长为单位长度的微元体，若从初始tl,加热到温度t2。

如：①不存在热变形约束，各向热应变相同

xyzt2tlt,不产生热应力ttt

如②在y方向有约束，方向自由。此时应变由二部分组成，热应变和y方向热应力

引起的弹性应变，二者之和为零。

t

yty所

Et0所以t

yEt

如③二个方向(x,y)受到约束

则y方向应变为：1

E

1

E

ytyxytt0t0Et

1则方向应变为：txt解这二方程可得：xyt(2-36)

如④三个方向均受到刚性的约束则

1

E

1

E

1

Etxtytzt0

t0tOtytxtztztxty

南京工业大学备课笔记24

从而求得热应力为：xtytztb.厚壁圆筒的热应力thermalstress从这

三个方向可得到用表示的方程如

r2Gr

t

Etl2

(2-37)

12

rr

zz

t

12112

1

2G

t

12

代入平衡微分方程(2-26)

rr

drdr

tiln

RorlntolnRoRi

rRi

某r处的温度为t

最终得到r处的温差应力：P52(2—38式)

t

2

Et1InKrKr1

221InKK12

EtInKrKr1

221InKK1

t

tz

E121nKr2

2

21InKK1r

KrRo

，ttito

下面讨论热差应力的变化和分布规律：

rRi,

tr

0

t

2

Et12K

,221nKK1

tz

t

rRo,

tr0

t

Et12

2

21nKK1

tz

以通常内部加热为例，应力分布如图右

①热应力大小主要敢决于温差t而t取习于厚度②热应力沿厚度是变化的，在壁面

上尽管

r0,但z在外壁面拉伸应力，有最大值，

t

tt

南京工业大学备课笔记25

在内壁面处为压应力。

d.热应力的特点：

①热应力与约束有关

约束程度增大热应力也增大，热应力与温度变化量有关，并受初始温度影响。②热应力

是由于热变形受约束而引起的自平衡应力，温度高处发生压缩，温度低处发生拉伸。③

具有自限性

一旦发生屈服或高温下蠕变(材料)就使热应力降低。

注意：开停车或工况变动时，温度分布处于非稳态温度场，热应力要比稳态大得多，所

以要控制加热冷却的速度。

为减少热应力尽量避免外部对热变形的约束，如设置，膨胀节，柔性元件等。

2.3.2弹塑性应力Elastic—PlasticStress

(1)弹塑性应力

受内压的厚壁圆筒随着内压的增大，内壁材料开始屈服，内压继续增加时,屈服层向外扩

展,而外层仍为弹性区.

弹塑性应力，就是弹性区、塑性区同时存在时这二个区中的应力。

分析；远离边缘区取一筒节，由弹性区和塑性区组成两

区分界面半径：Rc,界面上的压力：Pc,(相互间径向压力)

设材料为理想弹塑性材料(即无应变硬化)南京工业大学备课笔记26

应力应变关系如右图。

a.塑性区应力

材料处于塑性状态，仍适用于(2-26),微元平衡方程

即-or=rdor/dr(2-26)Misses屈服条件：认为材料承载时的最大剪应

力等于。s/3时,材料开始进入塑性状态。可用下式来表示：Tmax=。s/3,而

Tmax=1/2(o0-or)BPo0-or=2

3(2-40)s

2

3drr由(2-26)(2-40)得dor2

3s积分后得：or=(2-41)slnrA

A:积分常数，由边界条件确定

得A=-Pi-

2

323slnRirRi代回(2-41)得。r=RslnPi(2-42)

将(2-42)代入(2-40)得o0=

s23s1InrPi(2-43)Ri而塑性区轴向应力oz=

r121nPi(2-44)R3i

在弹塑性交界面上，边界条件为南京工业大学备课笔记27

r=Rc。r二一Pc

代入(2-42)得Pc二-

b.弹性区应力

相当于内压Pc的厚壁圆筒，代入Lame公式

(or)r=Rc=-Pc(。。)r=Rc=Pc(K2

c+1)/(K2

c-1)

同时，弹性区内壁又是塑性区外壁，也处于屈服状态也附合(2—40)

代入后得Pc=2

323slnRoRi(2-45)PcKc1

s22Kc2sRoRiRo2223(2-46)

比较(2-45)(2-46)Pc应相等

可得到内压Pi与交界面半径Rc的关系式

Pi=sR1221nc(2-47)RoRi3Rc2

弹性区也可使用Lame公式来计算各应力，

内外半径为Rc,Ro内压为Pc=sRoRc

R2

o223,从而得(2-48)

另一屈服条件Tresca条件：当最大剪应力达到材料的剪切屈服强度TS时，便进入屈

服状态Tmax=1/2(o9-。r)=Ts=1/2。s

也可得到类似表达式。

弹塑性区应力计算表达式见P55,表白2-4。

(2)残余应力Residualstress

产生:进入弹塑性状态的厚壁圆筒，内压全部卸除后，塑性区将存在残余变形而不能恢复

原来尺寸,而弹性区要恢复到原来形状又受到塑性区残余变形的阻止,从而在塑性区出现压

缩应力,弹性区产生拉伸应力.

残余应力计算;

根据卸载定理一将载荷的改变量为假想载荷,按弹性理论计算因载荷改变量所引起的应

力和应变改变量,从卸载前的应力和应变减去这些改变量就得到卸载后的应力和应变。

如右图

南京工业大学备课笔记28

应力：O-o-o1

。一残余应力

Ao=o-01：应力改变量

Ae=e-e1：应变改变量，

而△。=E△£,满足弹性关系，