空间向量的应用-高二数学教材学案（人教A版）

1.4空间向量的应用

圜目标导航

1.理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量.

2.熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系.

3.熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系.

4.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.

5.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想.

6.会用向量法求线线、线面、面面夹角.

7.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系.

碱蟒读

赢点”空间中点的位置向量

如图，在空间中，我们取一定点O作为，那么空间中任意一点P就可以用向量办来表示.我们把向量分称

为点P的.

【答案】基点位置向量

知识点二空间中直线的向量表示式

直线/的方向向量为a,且过点A如图，取定空间中的任意一点。，可以得到点P在直线/上的充要条件

是存在实数3使

Op=oA+ta,①

把曲=a代入①式得

oP=ok+tAb,②

①式和②式都称为.

【答案】空间直线的向量表示式

知识点三空间中平面的向量表示式

1.平面ABC的向量表示式

空间一点尸位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使源=.③

我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.

2.平面的法向量

如图，若直线，取直线/的方向向量。，我们称a为平面a的；过点A且以a为法向量的平面完全确定,

可以表不为集合{尸|0#>=0}.

【答案】皿7_La法向量

知识点四线线平行的向量表示

设的，"2分别是直线/1,72的方向向量，则

/1〃〃"2<=S%GR,使得.

【答案】H1=AW2

知识点五线面平行的向量表示

设w是直线I的方向向量，”是平面a的法向量，/Ca,贝1J

I//a^U-Ln^

【答案】un—O

知识点六面面平行的向量表示

设"1,故分别是平面a,4的法向量，则

a///3<^ni//«2<=^使得.

【答案】“尸痴2

知识点七线线垂直的向量表示

设«1，M2分别是直线/1,h的方向向量，则

/1_L/2Q1-L〃20

【答案】〃1〃2=0

知识点八线面垂直的向量表示

设〃是直线I的方向向量，〃是平面a的法向量，/0a,则/_Lauw〃/t<=E2£R,使得.

【答案】u=Xn

知识点九面面垂直的向量表示

设〃1,故分别是平面a,夕的法向量，贝!J

【答案】〃「〃2=0

知识点十点尸到直线/的距离

已知直线/的单位方向向量为"，A是直线/上的定点，尸是直线/外一点，向量力在直线/上的投影向量为

地，设#=a,则磁=(a-w)u,则点P到直线/的距离为J(G)2—05)2(如图).

知识点十一点尸到平面a的距离

设平面a的法向量为"，A是平面a内的定点，P是平面a外一点，则点尸到平面a的距离为(如图).

【答案】噜1

知识点十二两个平面的夹角

平面a与平面夕的夹角：平面a与平面夕相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角

称为平面a与平面/的.

【答案】90。夹角

知识点十三空间角的向量法解法

角的分类向量求法范围

两条异面直设两异面直线Z1,h所成的角为仇其方向向量

(0,1

线所成的角分别为“，v,则cos8=|cos〈u,v)|=______

设直线A3与平面a所成的角为仇直线的

直线与平面一八兀一

方向向量为“，平面a的法向量为"，则sin6=0,2

所成的角

|cos(u,n)|=______

设平面a与平面夕的夹角为仇平面a,6的法

两个平面的向量分别为胃1，〃2，则C0S<9=|C0S〈"I，血〉1C兀r

0,2

夹角

【答案】

|H||v||u||n||ni||n2|

跟踪训练

一、单选题

1.如图，四棱柱ABC。-的底面A8CZ)是正方形，。为底面中心，A。，平面A3CO,

AB=A4J=JL平面。CB1的法向量专=(%%2)为()

A.(0,1,1)B.(1,-1,1)C.(1,0-1)D.(-1-1,1)

【答案】C

【分析】根据空间直角坐标系写出各向量，利用法向量的性质可得解.

【详解】•••ABCD是正方形，且A3=应，

AO=OC=1,

OA1-1,

.•.4(0,TO),30,0,0),C(O,1,O),A(0,0,1),

.-.AB=(1,1,0),反=(0,1,0),

又丽'=通=(1,1,0),

.•.4(1,1,1),西

・•・平面OCB]的法向量为。=(x,y,z),

fy=0

则｛八，得y=o,x=-z,

[%+y+z=0

结合选项，可得行=(1,0,-1),

故选：C.

2.已知平面a的法向量为万=(3,-4,2),通=(-3,4,-2),则直线AB与平面a的位置关系为()

A.AB//aB.ABVaC.ABuaD.ABua或AB〃&

【答案】B

【分析】求出题=-心即为与而平行，从而求出ABLa

【详解】因为丽=-为，即万=3-4,2)与丽=(-3,4,-2)平行，

所以直线A3与平面a垂直.

故选：B

3.已知向量工=(1,2,1),1=分别为直线/方向向量和平面1的法向量，若则实数x的值为

()

A.—B.gC.1D.2

22

【答案】C

【分析】由题意得到"//♦，列出方程，求出实数％的值.

1Y1

【详解】由题意得：elIn，所以5=]=j解得：x=l；故选：C

4.将正方形ABCD沿对角线折起，使得平面AB£>_L平面C3D,则异面直线与所成角的余弦值

为()

A.|B.立C.--D.

2222

【答案】A

【分析】根据空间直角坐标系，根据向量的夹角的余弦值来确定异面直线的夹角.

【详解】取中点为。，连接AQCO,所以

又面ABZ)_L面C8O且交线为BE),AOu面

所以4。_1面。5。，OCu面C5D,则AOJ.CO.

设正方形的对角线长度为2,

如图所示，建立空间直角坐标系，A（O,O,1）,B（1,O,O）,C（O,1,O）,D（-1,O,O）,

ARCO__1_1

所以丽①=（一1,一1,0）,cos-A8,C£)♦二

网西及X夜-2"

所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为1.

故选:A

5.直线/的方向向量为己两个平面。，夕的法向量分别为万，m,则下列命题为假命题的是（）.

A.若方，则直线///平面。

B.若日〃为，则直线/_L平面。

1

C.若cos伍万人不则直线/与平面a所成角的大小为工

26

D.若cos〈玩㈤=岑，则平面A所成锐角的大小为亳

【答案】A

【分析】根据空间点线面位置关系的向量表示，即可判断各命题的真假.

【详解】对A,若商工元,则直线〃/平面a或直线/u平面a,A错误；

对B,若7〃万，则直线平面B正确；

对C,设直线/与平面a所成角的大小为（Ove*＞贝Usin—cos低砌=；,所以6=小C正确；

对D,设平面a、夕所成锐角的大小为6,贝ijcose^cos〈玩㈤卜咚，所以，。=今,D正确.

故选：A.

6.在三棱锥尸一ABC中，PA,PB、PC两两垂直，J.PA=PB=PC,M、N分别为AC、AB的中点，则异面

直线PN和所成角的余弦值为（）

A.立B.立C.亚D.渔

3636

【答案】B

【分析】以点尸为坐标原点，以向，而，定方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角

坐标系，求出直线PN和BM的方向向量代入公式即可得出答案.

【详解】以点P为坐标原点，以西，PB，无方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角

坐标系，

令上4=2,则P(OQO),*0,2,0),M(1,0,0),N(l,l,0),

则丽=(1,1,0),丽=(1,一2,1),

|丽•加|

设异面直线PN和所成角为0,则cos。=

\PN\\BM\

故选：B.

7.已知正方体ABCD-A4GR的棱长为2,E,尸分别为上底面4耳C2和侧面CDDC的中心，则点C到

平面A£F的距离为()

25/11

A.巫B.巫7TT

114IT

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的的法向量，按照距离的向量求法求解即可.

如图，以A为原点，AB,AD,A4,所在直线为羽y,z轴建立空间直角坐标系，易知

4(0,0,0),£(1,1,2),F(l,2,1),C(2,2,0),

万•A.E=%+y+2z—0

(无存工+2y+z1。'令，=T'解得口(3，TT)，

H-AC6-24\/TF

故点c到平面但的距离为

故选：A.

8.如图，在长方体A2CZ)-4月G2中，M,N分别为棱GQ,CG的中点，下列判断中正确的个数为()

①直线甲

②AD_L平面CD2G；

③3N〃平面ADM.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的运算结合数量积的含义即可判断①③，根

据长方体的性质可判断②.

【详解】设长方体棱长为AB=2a,40=26,44,=2c,(。>0,6>0,c>0),

以D为坐标原点，DA,DC,DDt分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则B[(2b,2a,2c),M(0,a,2c),B(2b,2a,0),N(0,2a,c)

故丽=(—2〃,—々,0),丽=(—240,c),B^M-BN=(-26,-a,0)•(-2Z?,0,1)=4Z?20,

故直线用5N不成立，①不正确；

在长方体ABC。-A4G，中，24。_1_平面。£@£,②正确，

因为由=(—2b,a,2c),DA=(2b,0,0),

设平面ADM的法向重为〃=3y,z),贝叫一r，

n-DA=2bx=0

令y=c,贝ijz=-^,贝IJ〃=(0,G—"I),

_.--►-n℃

而BN=(-26,0,c),故BN-n=(-26,0,c)•(0,c,-])=一彳二0,

故3N〃平面ADM.不成立，故③错误，

故选：B

二、多选题

9.已知空间中三点A(0,1,0),B(1,2,0),C(-1,3,1),则正确的有()

A.而与XT是共线向量

B.平面ABC的一个法向量是(1,-1,3)

C.而与肥夹角的余弦值是-3

6

D.与通方向相同的单位向量是(1,1,0)

【答案】BC

【分析】A选项直接写出通与衣，按照共线向量即可判断；B选项直接计算法向量即可.

C选项通过夹角公式计算即可；D选项由单位向量的求法进行判断；

【详解】对A,通=(1,1,0),AC=(-1,2,1),因为显然而与衣不共线，A错误；对B,设平面

—12

ABC的法向量1(x,y,z),贝lj—一'一，令x=l,得3=(1，-1,3),B正确对C,或=(一2,1,1),

AC-n=-x+2y+z=0

/_AB-BC1x（—2）+1x1y/3__、

cos（AB,BC）=|-^||^|==~~67C正确；对D，通方向相同的单位向量

[/一，-「—,]~~]，即，D错误；故选：BC

W1+1+0Vl+l+OV1+1+0）（22）

10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）

A.两条不重合直线4，4的方向向量分别是m=（2,3,-1）,&=（-2,-3,1）,则“〃2

B.两个不同的平面。，夕的法向量分别是方=（2,2,-1）,户=（—3,4,2）,则a，。

C.直线/的方向向量&=。,-1,2）,平面a的法向量是沅=（6,4,-1）,贝iJUe

D.直线/的方向向量日=（0,3,0）,平面a的法向量是力=（€）,-5,0）,则〃/a

【答案】AB

【分析】利用方向向量、法向量之间的共线关系或垂直关系，判断线线、线面的位置关系即可.

【详解】解：A项，因为M=（2,3,—l）,&=（-2,-3,1）,即工/，且直线乙，4不重合，所以故A项

正确；B项，因为方=（2,2,—1）,v=（—3,4,2）,即““=2x（—3）+2x4+（—l）x2=0,所以“_Lv，所以

故B项正确；C项，因为&=（1,—1,2）,M=（6,4,—1）,BPa-u=lx6+（—1）x4+2x（—1）=0,所以a_l_a，所以

—3—

〃/a或/ua,故C项错误；D项，因为7=（0,3,0）,«=（0,-5,0）,即a=-1a,所以£//「，所以/J_e,

故D项错误.故选：AB.

11.如图，棱长为1的正方体中，P为线段AB上的动点（不含端点），下列结论中正确的

是（）

A.三棱锥的体积为定值

B.平面2。尸与平面GC尸所成锐二面角为凡则cosde]；,#）

c.直线2尸与AC所成的角可能是?

D.平面APR截正方体所得的截面可能是直角三角形

【答案】AC

【分析】对于A选项，利用等体积法求解即可判断；对于B选项，建立空间直角坐标系，根据二面角的余

弦值公式及正方体的对称性求解；对于C选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量线线角余弦公式求解;

对于D选项，分别讨论所成的截面图形即可判断.

【详解】对于A选项，三棱雉乙-8尸的体积/一.=%一5=?%小"（=99卜1X1=I，是定值,

O

故A选项正确;

对于B选项，如图1,建立空间直角坐标系,

则A（1,O,O）,B（1,1,O），A（1,O,1）,D（0,0,0）,^（0,0,1）,C（0,1,0）,当尸为人了的中点时,

z=0

C—G>=（0,0,l）,C—P>=ll,-l设平面GCP的法向量为n-CQ=0

n=(x,y,z)，则<11八，所

n-CP=Qx——y+—z=0

22

1

x=—

2—

以y=l,九二I,同理可得平面RDP的法向量根=-加,

z=0

,cos6=，^,同理当尸为3重合时，cos。

22

由对称性知cos。e,故B选项错误;

对于c选项,

—>—>—>—>

AC=(-1,1,0),Z)^=+2=(1,0,0)+2(0,1,-1)=(1,2,-2),2e(0,1))

1-2/(1-<

所以cos(AC,D^P。-4)’

6•也万+/4万+2令“#=Ae(O,l)-

422+2

8矛-42-44(22+1)(2-1)

0,2e(0,1),

(422+2)2(422+2)2

所以“刈二七月,2《0,1）在区间（。，1）上单调递减，

由于〃0）=彳，/⑴=。，

所以#<cos（Ab,6<0,即直线，尸与AC所成的角。满足0<cos0<F，

又因为0e0段,故可卞曰，故直线"与AC所成的角可能是3，故C选项正确;

对于D选项，设48的中点为。，当p点在线段。3（不包含端点）上时，此时平面4尸2截正方体所得的

截面为AEFR梯形，如图2；当P点在。点时，此时平面AP2截正方体所得的截面正三角形当P点

在线段。4（不包含端点）上时，此时平面AP2截正方体所得的截面为等腰三角形A^G,该三角形不可

能为直角三角形，故D选项错误；

故选：AC.

12.如图，在多面体ABCDES中，SA_L平面ABC。，四边形A3CD是正方形，豆DEIISA,SA=AB=2DE,

分别是线段3C,S3的中点，Q是线段0c上的一个动点（含端点，C）,则下列说法正确的是（）

A.存在点。，使得NQLS3

B.存在点Q,使得异面直线NQ与9所成的角为60。

C.三棱锥Q-AAW体积的最大值是:

D.当点。自。向C处运动时，二面角N-MQ-A的平面角先变小后变大

【答案】AD

【分析】以A为坐标原点可建立空间直角坐标系，设。（私2,0）（0<m<2）,根据向量垂直的坐标表示和异

面直线所成角的向量求法可确定加是否有解，从而知AB正误；利用体积桥可知%-AMN=^N-AMQ，设

DQ=m（O<m<2）,可求得的最大值，由此可求得体积的最大值，知C错误；利用向量法求二面角余

弦关于参数机的表达式，结合二次函数、余弦函数的性质判断二面角的变化情况，判断D.

【详解】以A为坐标原点，通，而，通正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设DE=1,则&4=AB=2；

.■.A（0,0,0）,3（2,0,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,£（0,2,1）,5（0,0,2）,N（l,0』）,M（2,l,0）；

对于A,假设存在点。（北2,O）（OWm<2）,使得NQLS3,

则迎=（加一又豆=（2,0,-2）,

:.NQ-SB=2（m-l）+2=0,解得：m=Q,

即点。与。重合时，NQLSB,A正确；

对于B,假设存在点。（m,2,0）（04/42）,使得异面直线NQ与弘所成的角为60。，

•.•丽=（租-1,2,-1）,S4=（0,0,-2）,

I——II而•网11

卜同网=新于J、方程无解；

不存在点。，使得异面直线NQ与弘所成的角为60。，B错误；

对于C,连接A。,AMAN；

设DQ=m(0<m<i),

・・q_q_q_q_q=,___

•0AAMQ~°aABCDa^ABM^QCM^ADQ~?9

当m=0,即点。与点。重合时，S.AM2取得最大值2；

又点N到平面AMQ的距离d=gSA=1,

(丫…L=(V…L=产x1="C错误；

对于D,由上分析知：NQ=(m-l,2,-l),7VM=(1,1,-1),

若机=(无,y,z)是面NMQ的法向量，则一上'，

m-NM=x+y—z=0

令x=1,则m=(1,2—m,3—机),

而面AMQ的法向量7=(0,0,1),

-fm-n3—m

所以COS<根,〃>=一一•=/=令，=3-m£口,3],

\m\\n\Jl+(2-m)2+(3一㈤2

1

cos<m,n>=而IE©/]，

则+产"j(l一》23

+-t3

4

由。从。到C的过程，m由小变大，则，由大变小,叫由小变大,

所以COS<加先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角,

故二面角先变小后变大，D正确.故选：AD.

三、填空题

13.已知7=(1,-1,1)是平面。的一个法向量，点A(LLO)在平面。内，则点尸(2,2,2)到平面。的距离为

【答案】|V3

【分析】利用空间向量求点到平面的距离即可.

【详解】由题可得而=（1,1,2）,又〃=（1,-1,1）是平面。的一个法向量,

AP-n\』-活

二则点尸到平面a的距离为闷cos（正研=1+2|2

同―J1+1+1-3

故答案为：—.

14.如图，在正三棱柱ABC-A片G中，AB=AA1=2.E,尸分别是BC、AC的中点.设。是线段耳G上的

（包括两个端点）动点，当直线与E产所成角的余弦值为色，则线段3。的长为.

.................4

【答案】2也

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设D（OJ,2）（-1VY1）,利用空间向量法计算异面直线所成角的

余弦值，即可得到方程，解得乙从而得解.

【详解】解：如图以E为坐标原点建立空间直角坐标系：

（/?1、

则£（0,0,0）,歹^-,-,2,8（0,-1,0）,设。（0,/,2）（-1<区1）,

则而=--,^,2,BD=(0,/+1,2),设直线8。与斯所成角为。

(22)

t+1.

——+4

所以cos0EFBD2即23»+14r-37=0,

\EF\\BD\石,J(，+1)2+44

解得"1或f=g（舍去），所以画卜府+2?+22=2夜,

故答案为：2⑪.

15.正四棱柱ABC。-A用G2中，M=4,AB=B点N为侧面BCC4上一动点（不含边界），且满足

D.N±CN.记直线D、N与平面BCC/i所成的角为0,则tan0的取值范围为.

【答案】性却性+8

【分析】建立空间直角坐标系，设“卜，囱,/）,由RNLCN,得到f=_22+4Z，根据0<X<6,得

到0<z<l或3<z<4,然后利用线面角的向量求法求解.

【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：

则4（0,0,4）,C（0,60）,设“卜,73,z）,

所以丽=卜，囱,Z-4),而=(x,0,Z),

因为AN_LCN,

所以瓦K丽=f+22_4z=0,

则了2——z'2+4z，因为0<x<百，则0<—/2+4N<3,

解得0<z<l或3<z<4,

易知平面3。。内的一个法向量为3=(0」,0),

回,4J3

所以sin。=尸二।~=/=

"斗卜|次+(2一4『+3V—4z+19

n।八2J—z+4^3

贝!Jcos0=]=,tan0=­/,

。一4z+192y1-z+4

、

所以tan0可，+8,

2)

故答案为:立,+00.

14'12u（e2

16.如图，棱长为1的正方体A3C。-44GR中，P为线段A3上的动点（不含端点），则下列所有正确结

论的序号是.

①直线RP与AC所成的角可能是2;②平面D^P1平面AAP；

6

③三棱锥R-CAP的体积为定值；④平面&尸2截正方体所得的截面可能是等腰梯形.

【答案】②③④

【分析】对于①，以。为原点，D4为x轴，0c为y轴，。。为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法

求出直线D.P与AC所成的角为I?,]]

对于②，由AiDiLAB,得A/D△平面A/AP,从而平面54尸1平面A/AP；

对于③，三棱锥Di-CDP的体积5.皿>=K.c皿=:为定值；

对于④，当AP延长线交的中点时，可以得到等腰梯形的截面.

【详解】对于①，以。为原点，D4为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

（0,0,1）,A（l,0,0）,C（0,1,0）,设P（l,a,b）（0<a<l,0<b<l）

当q=l时，（方=]

当a=0,〃=1时,

a-\1近

,.,0<«<l,0<Z?<1,.,.—--------〉---------------

/+/+色-1丫Xe02

71

—<

2

717T

直线。/尸与AC所成的角为

故①错误;

对于②，正方体ABCO-A/B/GQ中，AiDiLAAi,AiDiLAB,

'：AAi^\AB=A,二4。/_1平面A/AP,

,.N/D/u平面64尸，.•.平面QA/尸，平面A/AP,故②正确；

对于③，；S.CDR=|xlxl=1,P到平面CDDi的距离BC=1,

三棱锥Di-CDP的体积：

=%:/»,=〈x；xl=：为定值，故③正确；

326

对于④，当AP延长线交88/的中点E时，设平面4尸2与直线B/G交于点£

因为平面ADD也〃平面5。。向，平面APD]A平面ADD小尸AD/,平面AP2A平面区CG3尸ER所以

口〃的）/,.才为3/。的中点，，截面4）/号为等腰梯形的截面，故④正确;

故答案为：②③④

四、解答题

17.如图，正方形AD£F与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB〃CD,ADA.CD,AB=AD=^CD.

⑴求证：3尸〃平面CDE.

⑵求平面BDF与平面CDE夹角的余弦值

（3）线段EC上是否存在点使平面平面双加？若存在，求出工的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析;

⑵半;

EM£

⑶存在,

EC2

【分析】（1）根据线面平行、面面平行的判定定理，结合面面平行的性质定理进行证明即可；

（2）根据面面垂直的性质，结合正方形的性质建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式进行求解即可;

（3）根据空间向量数量积的运算性质，结合面面垂直的判定定理进行求解即可.

【详解】（1）因为AB//CD，平面CDE,CDu平面CDE,

所以AB//平面CDE,同理，AF〃平面CDE,

XABC|AF=A,所以平面AB尸〃平面CDE,

因为3尸u平面AB尸，

所以BF〃平面CDE；

（2）因为平面ADEF_L平面ABCD,

平面平面ABCD=AZ）,CD±AD,

CDu平面A3CD,所以CD_L平面ADEF,

又DKu平面ADEF,故CD_LED.

而四边形⑷DEF时正方形，所以ADLZJE又CD_LAD,

以。为原点，DA,DC,DE所在直线分别为无轴，》轴，z轴，建立空间直

角坐标系。一盯z.设">=1,则0（0,0,0）,5（1,1,0）,F（1,0,1）,

C（0,2,0）,E（0,0,l）,取平面CDE的一个法向量次=（1,0,0）,设

n―■一,即x+y=0

n•DF-0x+z=0

令x=l,则y=z=-l,所以；=（1,-1,一1）.设平面2D尸与平面CDE

所成锐二面角的大小为9,则cos。=|cos（Mn）|=-^=^.

所以平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值是也.

3

⑶若M与C重合，则平面BDM（C）的一个法向量"=（0,0,1）,

由（2）知平面瓦加的一个法向量：=（1,T,T），则而工=一1/0,

则此时平面BDF与平面BDM不垂直.若“与C不重合，

如图设整=2（。”<1），则M（0,241T）,

EC

m•DB=0

设平面的一个法向量根=5，%/（））,则,

m•DM=0

x0+y0=022

即2丁(3)z。4令…则…，

9;

所以羽=（1,-1,——若平面BDM，平面BDF等价于m-n=O,

1—/L

即1+1-士=0,

1-2

所以2=所以，线段EC上存在点〃使平面由小，平面且黑=g

18.如图，直三棱柱ABC-A3]G中，ABC是边长为2的正三角形，。为AB的中点.

（1）证明：CO,平面ABBiA；

（2）若直线8c与平面AB4A所成的角的正切值为半，求平面ABG与平面ABG夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；

（2）连接。片，由（1）知CO,平面耳4,又直线与C与平面A8用A所成的角的正切值为反，可得

5

2月=2,以。为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公式计算大小可得

答案.

【详解】（1）•.•ABC是正三角形，。为的中点,

:.CO±AB.

又•.•ABC-A耳G是直三棱柱,

A4,_L平面ABC,

A^ICO.

又ABcA4,=A,

.,.CO_L平面ABBlAl.

(2)连接。用，由(1)知CO,平面48瓦4,

直线B（与平面ABB^所成的角为/CB0,

J15

.•向/。耳0二天-

,.•△ABC是边长为2的正三角形，贝iJCO=VL

OB]=y/5.

在直角中，<9B=1,OB、=#>,

BBX=2.

建立如图所示坐标系，则3（1,0,0）,A（T,0,0）,4H2,0）,40,2,0）,G（0,2,g）.

比上=0,即

二嗣=(-2,2,0),BQ=2网,设平面ABG的法向量为扇=（无,y,z）,则

m-BCx=0

-2x+2y=0、

-%+2y+^z-0,解得平面43a的法向量为加=（石，石,-1八

fi-AB=02.x=0

。=（2,0,0）,苑'=（1,2,3）,设平面ABG的法向量为E=（x,y,z）,则一，即元+2y+3z=0'解

n-ACj=0

得平面ABC,的法向量为1（0,-62）.

设平面ABG与平面ABG夹角为凡则

m-n

5

cos®=

mn7

平面ABQ与平面ABG夹角的余弦值为1.

19.如图，在四棱锥尸—ABCZ)中，PA±^ABCD,AB±AD,BC//AD,PA=AB=BC=^AD,£、P分别

为棱PO、PC的中点

（1）作出平面ACE与平面BPE的交线，并说明理由.

（2）求一面角C-尸的余弦值.

?

【答案】（1）答案见解析；（2）（

【分析】（1）根据证明平行四边形可得平行线，进而可得四点共面，进而根据交点可找交线.

（2）根据空间坐标法，利用法向量的夹角求二面角大小.

【详解】（1）如图，取AD的中点G,连接BG交AC于

连接E3,则平面ACEC平面BFE=£H

以下为证明过程

AB±AD,BC//AD,AB=BC=-AD,则四边形ABCG为正方

2

形，四边形BCDG为平行四边形，.•.3G=CJD=23H,又CD=2EF,故BHI/EF,BH=EF

为平行四边形，，班

则，3、尺aH四点共面，平面诋，

又He平面ACEH为平面ACE与平面BEF的公共点，又:.E为平面ACE与平面BEF的公共点

.•.平面ACE口平面毋E

(2)因为PAJ_底面ABCD,AB,ADu平面ABC£>,所以E4_LAB,

R4_LAO.由题意可知，AB,AD,AP两两垂直，建立如图所示的空间直角

坐标系。-孙z,不妨令上4=2,则4(0,0,0),C(2,2,0),尸(0,0,2),

所以恁=(2,2,0),旗=(0,2,1),

设平面ACE的一个法向量为蔡=(尤,y,z).

AC-m=02x+2y=0,

由“__得z不妨令无=1得玩=(1,—1,2).

AE-m=02y+z=0.

故平面ACE的一个法向量方=(1,-1,2)