太奇mba数学全部笔记

2011年太寄HIBfl数学全部笔记

i.备考资料：

①基础讲义②数学高分指南③太奇模考卷+周测+精选500题+历年真题

2..两个教训：

A、不要死抠题，要有选择的放弃，舍得一定的机会成本。每年都会有难题，考试时不要随

便尝试死盯住一题不放。

B、一定要找巧妙的方法(例如，特殊值法、看题目中条件间的关系等)

3、基础知识

①基本公式：

⑴(a±Z?)2=a1±2ab+b1

(2)(<2±Z?)3="+3a1b+3ab2±b3

(3)(a-b)(a+b)-a1-b1

(4)Y土外=(〃±力32减加"+)2)

(5)(a+Z?+c)2=a2+/+20b+2cle+2Z?c

a2+b2+c?+ab+etc+be—2(a2++c2+cib+cic+be)

(6)i

=#+b)2+(a+4+(b+4]

②指数相关知识：

inr__

a"=a•。…Q(n个a相乘)a~n=一am=

an

若a20,则±&为a的平方根，

指数基本公式：

cT，an=cT+n

a/a=a

(\n/\m

am)=(优)=amn

③对数相关知识：

对数表示为log：(a>0且aW1,b>0),

当a=10时，表示为Igb为常用对数；

当a=e时，表示为Inb为自然对数。

有关公式：Log(MN)=logM+logNlog--logm-logn

n~~

④有关充分性判断：题型为给出题干P,条件①S[②52

若M=而S2">P则题目选A若S】W>P,而S2np则题目选B

若MnP,而S2np则题目选D

4+S2np则题目选C

若S]W>P,而S?W>P但<

』+S2w>P则题目选E

形象表示：

①J②X(A)

①义②J(B)

①X②X①②联(合)立V(0

①J②J(D)

①X②X①②联(合)立x(E)

特点：

(1)肯定有答案，无“自检机会”、“准确性高”

(2)准确度

解决方案：

(1)自下而上带入题干验证(至少运算两次)

(2)自上而下，(关于范围的考题)

法宝：特值法，注意只能证“伪”不能证“真”

图像法，尤其试用于几何问题

第一章实数

(1)自然数:

自然数用N表示(0,1,2-----------)

正整数z+

⑵整数Z<0

、负整数Z-

(3)质数和合数：

质数：只有1和它本身两个约数的数叫质数，注意：1既不是质数也不是合数

最小的合数为4,最小的质数为2；10以内质数：2、3、5、7；10以内合数4、

6、8、9o

除了最小质数2为偶数外，其余质数都为奇数，反之则不对

除了2以外的正偶数均为合数，反之则不对

只要题目中涉及2个以上质数，就可以设最小的是2,试试看可不可以

Eg：三个质数的乘积为其和的5倍，求这3个数的和。

解：假设3个质数分别为电、mz、m3o

由题意知：mim2m3=5(mi+m2+m3)一欠定方程

不妨令ni3=5,贝!Jmim2=mi+m2+5

mim2-mi-m2+l=6

(mi-1)(m2-l)=6=lX6=2X3

贝！Imi-l=2,m2-l=3或者m2-l=6

即nh=3,m2=4(不符合质数的条件，舍)或者叫=2,nt=7

则mi+m2+m3=14o

★小技巧：考试时，用20以内的质数稍微试一下。

(4)奇数和偶数

整数Z，奇数2n+l

।偶数2n

相邻的两个整数必有一奇一偶

①合数一定就是偶数。(X)②偶数一定就是合数。(X)

③质数一定就是奇数。(X)④奇数一定就是质数。(X)

奇数偶数运算:偶数士偶数二偶数；奇数土偶数二奇数；奇数土奇数=偶数

奇数*奇=奇数;奇*偶=偶;偶*偶=偶

合数=质数*质数*质数*...........*质数

例：12=2*2*3=22*3

⑸分数：

",当P〈q时为真分数，P»q时为假分数，带分数(有整数部分的分数)

q

(6)小数:

纯小数：0.1；混小数：1.1；有限小数；无限小数;

''整数（Z）

有理数Q

⑺实数R分数（-）

、n

、无理数

有理数Q：包括整数和分数，可以知道所有有理数均可以化为K的形式，这是与无理数

q

的区别，有限小数或无限循环小数均是有理数。

★无限循环小数化成K的方法：如果循环节有k位，则此小数可表示为:循环节数字

q-Pb9-

。。abc

Ex：O.abc=—

例1、0.213=0.2131313…化为分数

分析：0.213=0.2+0.013=0.2+0.1*013=二+5*莉="。

例2、O.abc化为最简分数后分子与分母之和为137,求此分数

，3°°abc26，一

分析：0沿6©=^^二五1从而abc=26*9

无理数：无限不循环小数

常见无理数：

令n、e

令带根号的数（根号下的数开不尽方），如J2,V3

令对数，如log23

’有理数（Q«有限小数

实数（R）j无限循环小数

I无理数：无限不循环小数

有理数｛整数Z

分数｛真分数（分子〈分母，如3/5）

7假分数（分子〉分母，如7/5）

考点：有理数与无理数的组合性质。

A、有理数（+—X+）有理数，仍为有理数。（注意，此处要保证除法的分母有意义）

B、无理数（+—X+）无理数，有可能为无理数，也有可能为有理数;无理数+非零有理数=

无理数

eg.如果两个无理数相加为零，则它们一定互为相反数（义）-如，拒和2-行。

C、有理数（+一）无理数=无理数，非零有理数（X+）无理数=无理数

⑻★连续k个整数之积可被k!整除（k!为k的阶乘）

（9）被k（k=2,3,4—）整除的性质，其中被7整除运用截尾法。

★被7整除的截尾法：截去这个整数的个位数，再用剩下的部分减去个位数的2倍，所

得结果若是7的倍数，该数就可以被7整除

同余问题

被2整除的数,个位数是偶数

被3整除的数。各位数之和为3倍数

被4整除的数,末两位数是4的倍数

被5整除的数,个位数是。或5

被6整除的数,既能被2整除又能被3整除

被8整除的数,末三位数之和是8的倍数

被9整除的数,各位数之和为9的倍数

被10整除的数，个位数为0

被11整除的数，奇数位上数的和与偶数位上数的和之差（或反过来）

能被11整除

被7、11、13整除的数，这个数的末三位与末三位以前的数之差（或

反过来）能被7、11、13整除

第二章绝对值（考试重点）

1、绝对值的定义：其特点是互为相反数的两个数的绝对值是相等的

穿线法：用于求解高次可分解因式不等式的解集

要求：（i）x系数都要为正

（2）奇穿偶不穿

2、实数a的绝对值的几何意义：数轴上实数a所对应的点到原点的距离

【例】充分性判断f(x)=l只有一根

(1)f(x)=|x-l(2)f(x)=|x-1|+1

解：由(1)f(x)=|xT|=1得x-1=±1两根

由（2）£6）=氏-1|+1=1得辰-1.|=0,一根答案：（B）

3、基本公式：|x|<aU>-a〈x<a|x|>aOx>a或x〈-a|x|=a<=>x=±a

4、几何意义的扩展：|x|表示x到原点的距离

Ix-a|表示x到a（两点）的距离

Ix-a|+1x-b|表示x到a的距离与x到b的距离之和，并且有最小值

Ia-b）,没有最大值，当x落入a,b之间时取到最小值

Ix-aI-x-b|表示x到a的距离与x到b的距离之差,并且有互为相反

数的最小值Ta-b|和最大值|a-b|,当x在a,b两点外侧时取到最小值与最大值

5、性质:

对称：互为相反数的两个数的绝对值相等

2

等价：（1）la

I玉一%2l=J（冗1-九2）-J（无1+）-4西九2

应用:

Ii22

(2)=a（去绝对值符号）

aa>0

A/?=|a|=<

—aa<0

非负性（重点）：归纳具有非负性的量

1

|a|>0,a2……a2n>0,«2,a2n>0

11_J_

……a2n>0；a5,a4......a2w>0

\x\xflx>0

6、重要公式-----=------=<

X\x\x<0

回+回+回-殴^有几种取值情况?

【例】a,b,c都为非零实数,

abcabc

讨论：两正一负:2

两负一正:-2

三正2

三负-2

7、绝对值不等式定理

★三角不等式：|a|-g区|a+“V|a|十|〃|形如三角形三边关系

左边等号成立的条件：。匕《0且|。闫加

右边等号成立的条件：ab>0

第二章整式和分式

一、内容提要

［单项式：若干字母与数字之积

1整式4

、［多项式：若干单项式之和

2、乘法运算

(1)单项式X单项式2x•3%2=6

(2)单项式X多项式x(2x-3)=2%2-3X

(3)多项式X多项式(2x+3)(3x-4)=6%2+x-12

3、乘法公式(重点)

(1)(a±b)2=a2+2ab+b2

(2)(a+6+c)-=cr~\~b~+c2+2ab+2bc+2ac

(a—b—c)~=cr+b~+c~—2clb+2Z>c—2ac

(3)(a+=/+匕3+3a~Z?+3ab-

3i

(a-b)=—Z>3_3a2匕+3ab

(4)a~-b~=(a+b)(a—Z>)

(5)/+6=(a+b)(a——ab+b~)

—b'=(a—+ab+b~)

AA

4、分式：用A,B表示两个整式，A+B就可以表示成一的形式，如果B中还有字母，式子一

BB

就叫分式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。在解分式方程的时候要注意检验是

否有增根

5、有理式：整式和分式统称有理式

6、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的

值不变

7、分式的约分：其目的是化简，前提是分解因式

8、分式通分：目的是化零为整，前提是找到公分母，也就是最小公倍式

9、分式的运算：

,,„,,a,ca+c,cad+bc

加减法：一±-=----±-=

bbbabd

_,acac

乘法s：一•一=—

bdbd

acadad

—■—=—■—=—

bdbcbe

10、余式的定义(重点)：被除式=除式义商+余式

F(x)=f(x)g(x)+r(x)

当r(x)=0时，称为整除

11、/(x)含有(x-a)因式o/(%)能被(x-。)整除

12、二次三项式：十字相乘可以因式分解

2

形如ax+bx+caxcx

a9c

3^2=a,axc2+a2cl=b,C]C2=c

13.因式定理

、b

f(x)含有(ax-b)因式。f(x)可以被(ax-b)整除<=>f(—)=0

f(x)含有(x-a)因式。f(a)=0

14、余式定理：

f(x)除以ax-b的余式为f(2)

二、因式分解

常用的因式分解的方法

1、提公因式法

【例】

2x3-12x2y2+18xy4

—2x(x2—6xy2+9y2)

=2x(x-3y2)2

2、公式法

a2±2ab+b2=(a+b)2

a2—b2=(a+b)(a—b)

a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

3、十字相乘因式分解，适用于依2+法+。，见上面第12小点

4、分组分解法

(1)cue+bx+c十字相乘

(2)ax3+bx+c了解内容

c

方法：,1——)或

ax'+bx+c=cuc+bix+b2x-^-c=x(ax+/?1)+Z72(XH

一b2

,

ax)+bx+c=cuc+bx+cY+c2-ax)+q+bx+c2

(3)1尤4+"2+0设方=%2将原式化为02+9+。

(4)or3+bx2+c

方法一、拆中间项

322

=ax+bxx+b2x+c

22

=X(d!X+Z?1)+(/?2^+C)

方法二

32

=or+q+fcr+c2

立方公式平方差

ex：2丁—131+3—2丁—x2—12x2+3

(5)ax5+bx+c

方法—、+^3~d^+bx+c

方法二、-dx2+bx+c

(6)待定系数法(见讲义24页)

多项式+%_/T+•・…+4'+4=0的根为旬的约数除以。〃的约数

(7)双十字相乘法

应用：ax1-vby1+cxy+dx+ey+f

{aix+biy+fx){a2x+b2y+

苴中。1a2=a>=b,fib=f

+a

arb2+24二3网于?if\=d,b［于2+b2fl-e

经典例题：

1.实数范围内分解(x+l)(x—6)(犬—5X+16)(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)—120有(B)：

A.(x+1)(%—6)(%2—5%+16)

B.(x—l)(x+6)(x?+5x+16)

C.(x+1)(JV+6)(x?—5%+16)

D.(x—l)(x+6)(x2+5x—16)

E.以上都不对

解答：用特殊值代入得B

2.已知obcwO且a+b+c=0,贝！J^(―+—)+b(—+—)+c(—+—)=(A)

bcacab

A.-3B.-2C.2D.3E.以上全不对

A1、［,I1AL

a(-+-)+b(-+—)+c(-+-)=

bcacab

4+4+42)+(£+衿

bcacab

解答：(/+,)+(2+q)+(2+2)=

bbccaa

/〃+c、/〃+＞、力+c、

(^—)+(——)+(——)=

bca

(^)+(—)+(—)=-3

bca

第三章比和比例

一、基本定义

1.比a:b=—

b

2.关系

(1)原值为a,增长了P%,现值为a(l+P%)

原值为a,下降了P%,现值为a(l-P%)

如果原值先增加P%,减少多少可以恢复原值

a(1+P%)(l-x)=aX=P/°<P°/o

1+P%

如果原值先减少P%,增加多少可以恢复原值

a(1-P%)(1+x)=aX=-P°/o>P0/o

1-P%

(2)比较大小

申_7乙比甲小焉

甲比乙大P%,o-——=P%o甲=乙(1+P%)

乙

7_甲乙比甲大*

甲比乙少P%,O———=P%O甲=乙（1-P%）

乙

甲比乙多n个单位o甲二乙+n

甲

(3)甲是乙的P%,=工=P%o甲=乙・P%

乙

3.比例：

a:b=b:cb为a、c比例中项

4.正比

y=kx（k可正可负）

二、性质

a:b=c:d=ad=be内项积二外向积

三、重要定理

Eacab

1.更比定理一=—0—=—

bdcd

Hchd

2.反比定理一=—0—=—（两边取倒数）

bdac

3.合比定理9=上今3±±=£±3（两边加i,通分）

bdbd

4.分比定理（两边减i,通分）

bdbd

广人八raca±mca±c

*5.合分比定理一=—=------=------

bdb±mdb±d

……Eacea+c+ea

*6.等比定理一=一=一=--------=-

bdfb+d+fb

【例】a,b,c为非0实数，且"I"a+c—3ba+b—3c

---------==m,求m

ab------c

(1)当a+b+cwO时

由等比定理，分子分母同加减，得1

(2)当a+b+c=O时a+b=-c代入原式，得皿=-4

陷阱在分母的取值，要分开讨论

7.增减性(比较大小)a,b,m均大于0

什a1rn,,a+ma八、

若一>l贝U-----<-（zm>0）

bb+mb

若什八0<—a<l1则mi-〃-+--根->-〃（m/>、0八）、

bb+mb

四、平均值

1、算术平均值:

n

-JA+X2+...+Xni=l

nn

2、几何平均值

要求是n个正数，则％=

五、平均值定理

X1+x2+...+X,,nr-——

1、12…〃当且仅当玉二工2=…"乙时，两者相等

2、n=2时，a+>yfab

2

3、当〃=—,ClH—22

ba

六、比较大小的方法：

1、整式作减法，与0比较大小2、分式作除法，与1比较

技巧方法：1、特值法2、极端法(趋于0或无穷大)

1111114

【例】一：一：—=—：—：—,且a+b+c=27,求a-2b-2c

abc234

,—.〃+Z?+c2+3+49_/口

由题意可r知，a:b:c=2:3:4,--------=--------=—,可r得a=6,b=9,c=12

a22

算出a-2b-2c=-36

第四章方程不等式

一、基本定义：

1、元：方程中未知数的个数次：方程中未知数的最高次方数

2、一元一次方程

b

Ax=b得x=—

a

3、一元二次方程

ax2+bx+c=O(av£O)O一元二次方程〃x2+bx+c=0,因为一元二次方程就意味着aWO。

当A=〃_4ac〉0时，方程有两个不等实根，为Xi?="而。

h22a

当A=〃-4ac=0时，方程有两个相等的实根。

当A二万2-4ac<0时，方程无实根。

一元n次方程根的情况：一元二次方程中带根号的根是成对出现的，一元三次方程至

少有一个有理根，或者说奇数次方程至少有一个有理根

二、重要公式及定理

1、一元二次方程ax2+bx+c=O的解法

(1)因式分解：十字相乘(△为完全平方数)

(2)求根公式X12二一.土石

"2a

2、抛物线y=ax2+bx+c图像的特点及性质

2,

y=QX+bx+c(抛物线)，则①开口方向由a决定：a>0时，开口向上，a<0时，开口向

b

下②C决定与y轴的交点③对称轴x=2a,对称轴左右两侧单调性相反④两根决定了与

石(__L4ac-

x轴交点⑤|%一%]=时代表抛物线在x轴上截取的长度⑥顶点坐标2a'4a

⑦当△>()时，有两个不等实根，A=o,有两个相等实根，A〈0时，无实根⑧恒正：a>0,

A<0；恒负：a<0,A<0

三、根与系数关系(韦达定理)

bc

Xj+%2=---，石％2=一

如果玉、%是℃2+法+。=0的两个根，则a-a,注意：韦达定

理不仅对实根是适用的，对虚根也适用

韦达定理的扩展应用：

(1)—+—=二一二=一一与a无关

%x2x1x2c

21

11_+x2)-2xrx2_b-lac

7A

(3)\X{-X2|=+%)2—4%1%2-

(4)玉2+92=(芯+%)2—2玉工2

XXx2

%：+2=(1+2)(X；-XrX2+X)

(5)一2一

=(%+X2)[(X1+%2)2-3%/]

考试题型

1、题型一依2+以+。=。的根的分布情况

hc

(1)有两个正根石+九2=——>0,%1%=—>0,A>0

a2a

hc

(2)有两个负根石+入2=——<0,玉％2=—A>0

aa

(3)一正一负根xx=—<0即a和c异号即可；

x2a

如果再要求I正根I>I负根I，则再加上条件a,b异号；

如果再要求I正根|<|负根I，则再加上a,b同号

(4)一根比k大，一个根比k小af(k)<0

2、对数方程，不等式的应用

方程：log/=log*)Of(X)=g(X)>0

不等式：a>l时log，(")>log*'O/(x)>g(x)>0

0<a<l时log,(")<log^(x)of(x)>g(x)>0

指数相关知识：a"=Q•。…Q(n个a相乘)a~n=—am=

an

对于小，若n为正偶数，则a20；若n为正奇数，则a无限制；若n为负偶数，则a>0；

若n为负奇数，则aW0。

若a20,则±&为a的平方根，负数没有平方根。

指数基本公式：am-an=am+n(am)"=(优f=a,nn其他公式查看手册

题型三、韦达定理的应用

不等式

不等式的性质：

1、同向皆正相乘性

a>b>0

>=ac>bd

c>d>0

2、皆正倒数性

4Z>/?>0<^>->—>0

ba

a>b>0ab

3、n—〉一

c>d>Qdc

4、a>b>Q^a2>b2

不等式解集的特色：解集端点的值代入不等式时，不等式左边等于右边。

一、一元一次不等式

<0

ax+b<

>0

...b

@ax<-b右,a>0时tx<--

a

/一b

a<0时x>-----

a

...,b

@ax>-b右，a>0时x>-----

a

,b

a<0时x<-----

a

2<i2x+13-x八

移向通分得:------------------］二---------------<0

3x-23x-23x-2

(3—x)(3x—2)<0

二、含绝对值的不等式

|3%+2|<1—1<3x+2<1

|3x+2|〉l3%+2>1或3%+2<-1

三、一元一次不等式组

2

2尤+3>0x>——

求父集得13

3%-2<7

x<3

2

3:3

3

x>——

2x+3>02

34

3x-2<7解得《x<3——<x<—

25

5x-4<04

X<c—

5

|x+l|+|2x-3|<10

3

临界点为T,-

2

③

②

-1

2

Q

①X〈-1时，解得—<%<—1

3

33

②-IWxW—时，解得-IWxW一

22

33

③x2一时，一<x<4

22

Q

合并①②③得，—"|<x<4

性质：1.a>b>0,a2>b2

2.a<b<0,a2>b2

四、一元二次不等式

or2+Z?x+c>0(awO)

注：将系数调整为正数后在求解

2

@or+bx+c>G时，a>0时，x>x2.x<xy

②ax?+hx+c<0时，a>0时，玉<x<%2

解高次不等式：

(x-1)(%-2)(%-3)(x-4)>。或〈0

方法：穿针引线法(由右上开始往下穿)

124

注：偶次方先穿时，不考虑，穿后考虑特殊点;

奇次方不考虑全看为一次。

（x+1）2（尤_1）（九_2）3（X_3）〈0

▲类似于|ax+b|±|cx+d|>e的不等式，可以分段讨论，但计算量大，这时使用折线法，限

于一次方程，步骤如下：

①根据ax+b=0,cx+d=0求出折点

>0,向上折

<=0,水平

I+||<0,向下折

|a|±1c।

一些图像的画法

y=Iax+bI,下翻上，把原下方图像上翻后去掉原下方

y=|ax|+b,右翻左，把右边翻到左边，去掉原来左边的

|y|=ax+b,上翻下，原来下方去掉

五、超级不等式：指数、对数问题

（1）对数的图像要掌握

方程：log/）=log尸=/（%）=g（X）>0

不等式：a>l时log，3>logrH）o/（x）>g（x）>0单调递增

0<a<l时log/"）<log®（¥）=/（x）>g（x）>0单调递减

对于V,若n为正偶数，则a>0；若n为正奇数，则a无限制；

若n为负偶数，则a>0；若n为负奇数，则aW0。

若a20,则土&为a的平方根，负数没有平方根。

第五章应用题

、比、百分比、比例

（1）知识点

利润=售价-进价利润=出厂价-成本

利润变化量

利润率=变化率=

进价（成本）

技巧（思路）思维

方法：特值法

如果题目中出现必需涉及的量，并且该量不可量化，则此量一定对结果无影响。可引入

一个特殊值找出普遍规律下的答案。

1、用最简洁最方便的量作为特指

2、引入特指时，不可改变题目原意

3、引入两个特值时需特别注意，防止两者间有必然联系而改变题目原意

讲义P131/例20

一般方法：

「x+y=50

90%+75y=50x81

十字相交法：优秀

优=2

W3

非优秀75

非优）3x50=30

十字交叉法的使用法则

1、标清量

2、放好位（减得的结果与原来的变量放在同一条直线上）

3、大的减小的

题型归纳

1.增长率（变化率问题）2.利润率3.二因素平均值4.多比例问题

5.单量总量关系6.比例变化7.比例性质

二、工程问题（总量看成1）

（1）知识点

工量=功效*工时（效率可以直接相加减）

工量定时，工效、工时成反比

工效定时，工量、工时成正比

工时定时，工量、工效成正比

纵向比较法的使用范围：

如果题目中出现两条以上可比较主线，则可用

纵向比较法的使用法则：

1、一定要找到可比较的桥梁

2、通过差异找出关系并且利用已知信息求解

工程问题题型：

效率计算;纵向比较法;给排水问题;效率变化问题

三、速度问题

知识点：

1.S=vt

S表示路程（不是距离或位移），v匀速，t所用时间

S定，V、t成反比；V定，s、t成正比；t定，S、V成正比

2.相遇问题

.—》

S为相遇时所走的路程;S相遇=sl+s2=原来的距离;V相遇=vl+v2

t=S相遇

相遇时所用时间唳遇

3.追击问题

S追击=sbs2（走的快的人比走的慢的人多走的路程）

V追击二v「v2

4.顺水、逆水问题

V顺二v船+v水

V逆二v船-v水（V顺-V逆=2v水）

160160_22

例16.公共汽车速度为v,则有v丫+80§得v=40；最好用中间值代入法

中间值代入的适用范围：

往往在速度问题中，得到分母出现未知数，并且不可以简单化解的方程，此时最有效的方法

是中间值代入法，而回避解一元二次方程。

使用法则：

用中间值代入而非中间答案

同等条件下用最简洁最方便的代入

如果第一次代入后不符合题意，则一定要判断准答案的发展方向。

例17.(卡+60)6=(48+卡)7得卡=24

（腺+60）6=（%+24）8得力=39

例20.第一次相遇：小明走了500,小华走了S-500；

第二次相遇：小明走了S+100,小华走了S-100

四=§±侬­=9。。

S-500S-1OO

第一次相遇：小明和小华走了S；第二次相遇：小明和小华走了2S

说明第二次2个人走的都是第一次的2倍;对于小明来说：S+100=2X5000S=900

例21.设船速v,水速x,有

v+xv-x

60120

------+-------=16

v+xv-x解得x=2.5

速度问题题型总结：

1.s=vt（中间值代入法）

2.S相遇=sl+s2,V相遇=vl+v23.顺水逆水问题

四、浓度问题

溶质

知识点：定义：浓度=溶液溶液=溶质+溶剂

溶质=浓度X溶液

溶质

溶液=溶度

例24.属于补水（稀释）问题

（x-20）・60%

第一次剩下纯：（X—20）・60%浓度：x

(x-20)・60%(x-20)・60%

第二次倒出纯：x30剩下纯：(X-20)*60%,30x

(x-20)«60%

浓度为：［（X-20）*60%_30x]/x=20%=x=60

通用公式:

原浓度

(v-a)(v-b)=后浓度

倒两次:v2

原浓度（v-a）（v-b）（v-c）_后浓产

倒三次："3"

v为原来溶液的量，a为第一次倒出的量，b为第二次倒出的量

题型归纳；

浓度计算；补水问题

五、画饼问题

1.两饼相交

>^.=A+B-x+y

例25.设只有小提琴人数为5x,则总人数=46=22+5x+3x-3x+14得x=2

只会电子琴的=22-6=16

2.三饼相交

总=A+B+C-x-y-z+m

例28.总=3•30-5-6-8+3=74

六、不定方程

1.最优化方案选择的不定方程；2.带有附加条件的不定方程

3.不等式形式的不定方程

步骤：

L要勇敢的表达出方程；2.观察方程和附加条件拉关系；3.求解（穷举法）

例27.设一等奖，二等奖，三等奖人数为a,b,c,则有

一二三

abc（a,b,c为正整数）

6a+3b+2c=22

9a+4b+c=22得a42接着穷举法

当a=l时,b=2,c=5

当a=2时，不符题意

最优化方案选择题目的解决方案：

1、找到制约最优的因素（稳，准，狠）；2、判定什么情况下最优；3、求解

不等式形式的不定方程解决方案：

列出不等式

通过不等式组求出解得范围

根据附加条件判定具体解集

例29.东欧〉2/3欧美=欧美〈15个

欧美＞2/3总数n总数〈3/2欧美n总数少于21

亚太＜1/3总数n总数〉18

七、阶梯价格问题

图表型、语言描述型

做题步骤：1.分段找临界；2.确定区间；3.设特殊部分求解

例30.

少于1万1万-1.5万1.57J-2万2万-3万3万-4万

0125150350400

125+150+350+x*4%=770x=3625

第六章数列

一、等差数列

q+1-q=常数，则｛q｝为等差数列，公差d=常数

1、4=q+(〃—l)d通项公式

=ak+(n-k)d起始项不是第一项，

n的函数,说明等差数列通项是关于n的一次函数，公差为n的

系数。

注：q=3是等差数列，为常数列,通项就是该常数，常数列是数列题特值法的首选。

n(a.+已知

z、J”=-------二n,-二n•,一

22项数

求S几就是脚码乘以一个数，513=13.X

二、等比数列

等比数列通项是关于n的指数函数，

3”33

【补例】是等比数列，q=-,ax=-

S=个7)=乌——/为一定有常数项的指数函数。

"1-q1-q1-q

*如果一个数列既是等差又是等比数列，则该数列为非零常数列

数学思想

1、定性排除加反向验证；

2、首选特值法和图像法；

3、充分性判断先猜后做。

2

【补例】Sn=-n+llra

q=5,d——2

有最大值，在对称轴处取得，n=(即Ss=S6二S最大值

总结：S=f(n)-an1+bn对称轴：〃=，一旦

2d

q>O,d<O,S〃有最大值；4<O,d>O,S.有最小值

N的取值四舍六入，例：

(1)n=5,S5有最值

(2)n=5.1,S5有最值,

⑶n=5.6,$6有最值,

(4)n=5.5,Ss=S6有最值，且S]i=0,a6=0

总结：

(1)。”为n的一次函数

(2)S”为n的无常数项的二次函数

(3)若｛4｝为常数列，4退化为常数，S,退化为n的一次函数，如a,=3,Sn=3n

【补例】｛4｝,也｝前n项和为则品：0=3:2

(1)｛4｝,｛4｝为等差数列

(2)%也=3:2

利用S=脚码*中间项，选C

【补例】等差数列中S9=72,求为+。4+%=

S9=9a5=72,%=8

。2+。4+%=3。5=24

3〃33

【补例】为二J是等比数列，q=-^=-

n2"+i♦2i4

3-3^'_3pY_1

一％⑴

s="i-q)=_5——/为一定有常数项的指数函数。

“l—q1-q1-q

【补例】s〃=2"—1是等比数列

【补例】S“=-3"J不是等比数列，需要配一个常数

n

5=_13+：1,常数与系数相反数，3［1的等比数列

"22

注：s'=2'不是等比数列，但是只影响第一项，从第二项开始与S,=2'-1所代表的等差

数列的第二项开始完全相等。

12Sn

【补例】09-01-H,an^O^^-,an=，贝卜—>是

2

首项为2,q=1■的等比数列；B、首项为2,4=2的等比数列

A、

C、既非等差又非等比；D、首项为2,