内蒙古通辽市科左后旗甘旗卡第二高级中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题理含解析

PAGE14-内蒙古通辽市科左后旗甘旗卡其次高级中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题理（含解析）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.留意：1.答卷前，将姓名、考号填在答题卡的密封线内.2.答案必需写在答题卡上，在试题卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题60共分）一、选择题（每题5分）1.sin53°cos23°－cos53°sin23°等于（）A. B.－ C.－ D.【答案】A【解析】【分析】干脆利用两角差正弦公式可得答案.【详解】sin53°cos23°－cos53°sin23°=.故选：A.2.已知数列为等差数列，若，则（）A.5 B.10 C. D.【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质可得，代入数据计算可得答案．详解】依据题意，等差数列中，有，若，则；故选A．【点睛】本题考查等差数列性质（其中m+n=p+q）的应用，属于基础题．3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，可得，从而可解得的值.【详解】，且，则，解得.故选：A【点睛】本题考查利用向量垂直数量积为零求参数的值，属于基础题.4.由，确定的等差数列，当时，序号等于（）A.99 B.100 C.96 D.101【答案】B【解析】【分析】求出数列的通项公式，由列出方程求解n即可.【详解】，，若，则.故选：B【点睛】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题.5.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】平方即可.【详解】，，又，且，所以，.故选:A【点睛】是求向量模的常用方法.6.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】干脆利用正弦定理，结合题中所给的条件，求得结果.【详解】依据正弦定理可得，即，解得，故选：B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的学问点有利用正弦定理解三角形，属于基础题目.7.已知A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为，选C8.在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则等于（）A.90° B.60° C.45° D.30°【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求解【详解】由和正弦定理，得，①则由，得，即，又因为在中，解得，代入①得，，又因为在中，，又由，得，进而可求得故选：A9.在△ABC中，若，则△ABC的形态（）A.直角三角形 B.等腰或直角三角形C.不能确定 D.等腰三角形【答案】B【解析】【详解】由正弦定理，得，，又因为，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形.故选：B.【点睛】本题主要考查利用正弦定理、二倍角的正弦公式及三角形内角和定理推断三角形形态，属于中档题.推断三角形态的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行推断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行推断；（3）依据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.10.若的内角、、所对的边，，满意，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据余弦定理可得得，整理可得，通过配方即可得解.详解】由余弦定理，得，即，所以，解得.故选：C.11.若，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据诱导公式与二倍角公式干脆化简求值即可.【详解】解：因为，所以，故选：A.【点睛】本题考查诱导公式化简求值、二倍角公式化简求值，是基础题.12.在中，，分别为边，的中点，与交于点，设，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据条件可得为的重心，可得，在中，将用表示，进而表示出，即可求解.【详解】，分别为边，的中点，与交于点，为的重心，，，.故选：A.【点睛】本题考查向量加减法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.第Ⅱ卷（选择题90共分）二、填空题（每题5分）13.若，则__________．【答案】【解析】【分析】干脆利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.14.等差数列中，，，则__________.【答案】11【解析】【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出，，即可求出.【详解】解：等差数列中，，，，解得，，．故答案为：11．【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用，考查运算求解实力，是基础题．15.已知、为平面对量，，，则与夹角的余弦值等于______．【答案】【解析】【分析】本题首先可以依据以及计算出，然后计算出、以及的值，最终通过即可得出结果.【详解】因为，，所以，，，，所以，即与夹角的余弦值等于，故答案为：.【点睛】本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查向量的数量积公式以及数量积的坐标表示，考查平面对量运算的坐标表示，若，，则，考查计算实力，是简洁题.16.关于函数，有下列说法：①的最大值为；②是以为最小正周期的周期函数；③在区间()上单调递减；④将函数的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是______．【答案】①②③【解析】【详解】解：由题意可得：，故，故①正确；,故②正确；可得当，函数单调递减，解得，故③正确；的图象向左平移可得，故④不正确；故答案为：①②③.【点睛】本题考查了三角函数的周期性、单调性、对称性及诱导公式等内容，娴熟驾驭三角函数的性质及诱导公式是解题的关键.三、解答题17.已知向量.（1）求；（2）若，求实数k.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据向量的坐标运算可得答案；（2）由向量平行的坐标运算条件可得答案.【详解】（1）·（2），，∵，∴，解之得：·【点睛】本题考查向量的坐标运算以及向量平行的条件，属于基础题.18.已知等差数列中（1）求数列的通项公式（2）当n取何值时，数列的前项和取得最值，并求出最值．【答案】当时，取最小值，最小值为【解析】【分析】（1）依据等差数列定义及的值，代入即可求得公差，即可得通项公式．（2）依据等差数列的前n项和公式，求得，利用配方法得关于n的二次函数，即可推断最值，留意n取正整数．【详解】∴当或时取最小值，最小值为【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法，等差数列前n项和公式的简洁应用，属于基础题．19.已知等差数列的首项，公差，前项和为，，（1）求数列的通项公式；（2）设数列前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由等差数列的求和公式，求得，结合，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）知，结合“裂项法”，即可求解.【详解】（1）由题意，等差数列中，公差，∴，又由，即.（2）由（1）知，∴.【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式，以及数列的“裂项法”求和的应用，其中解答中熟记等差数列的求和公式，以及娴熟应用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查推理与运算实力.20.如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．【答案】（1）24；（2）8【解析】【分析】（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD长．（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．【详解】(1)在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°由正弦定理得(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=．所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．【点睛】点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)依据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)依据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，留意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.21.设函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，求函数的最值.【答案】（1）；（2）最小值，最大值为.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质求解．（2）求出的取值范围，然后由正弦函数性质得最值．【详解】（1），∴的最小正周期是（2）时，，此时.最大值为，此时，，最小值为，此时，.综上，的最小值为，最大值为.【点睛】关键点睛：解题关键在于利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化简为标准的形态，然后利用正弦函数的性质求解，难度属于中档题22.△ABC中，是角A，B，C所对的边，已知，（1）求角A的大小；（2）当a=1，求△ABC中的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）△ABC中的周长的取值范围是.【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定边化角，并利用两角和的正弦公式化简得到，求得，进而得解；（2）当a=1，由正弦定理得，△ABC中的周长为消去，并正用和逆用两角和差的正弦公式化为,然后