2024-2025新教材高中数学第六章计数原理6.3.1二项式定理素养检测含解析新人教A版选择性必修第三册

PAGE六二项式定理(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)对于QUOTE,以下推断正确的有 ()A.存在n∈N*,绽开式中有常数项B.对随意n∈N*,绽开式中没有常数项C.对随意n∈N*,绽开式中没有x的一次项D.存在n∈N*,绽开式中有x的一次项【解析】选AD.设QUOTE绽开式的通项公式为Tr+1,则Tr+1=QUOTE=QUOTEx4r-n,不妨令n=4,则r=1时,绽开式中有常数项,故A正确,B错误;令n=3,则r=1时,绽开式中有x的一次项,故C错误,D正确.2.QUOTE绽开式的第5项的系数为 ()A.15 B.-60 C.60 D.-15【解析】选C.QUOTE的通项公式为Tr+1=QUOTE=QUOTE26-rQUOTEx6-2r,所以QUOTE绽开式的第5项的系数为QUOTE26-4(-1)4=15×4=60.3.设QUOTE=a0+a1QUOTE+a2(2x-1)2+…+a10QUOTE,则a1+a2+…+a10= ()A.2 B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选D.令x=1,则原式化为2=a0+a1+a2+…+a10,令x=QUOTE,得a0=QUOTE,所以a1+a2+…+a10=2-QUOTE=QUOTE.4.已知QUOTE+2QUOTE+22QUOTE+23QUOTE+…+2nQUOTE=729,则QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE= ()A.63 B.64 C.31 D.32【解析】选A.依据二项式定理绽开式的逆运算可知QUOTE+2QUOTE+22QUOTE+23QUOTE+…+2nQUOTE=QUOTE,所以3n=729=36,所以n=6,则QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=26-QUOTE=26-1=63.5.已知QUOTE的绽开式中含QUOTE的项的系数为30,则a= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.6 D.-6【解析】选D.通项为Tk+1=QUOTE(QUOTE)5-kQUOTE=(-a)kQUOTE,由QUOTE=QUOTE,得k=1,即-aQUOTE=30,所以a=-6.6.QUOTE的绽开式中的常数项为14,则正整数n的值为 ()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选B.QUOTE绽开式的通项公式为Tr+1=QUOTE=QUOTExr-n,故其常数项为Tn+1=QUOTE=QUOTE,包含x-1的项为Tn-1+1=QUOTEx-1=QUOTEnx-1,所以QUOTE绽开式的常数项为QUOTE3n+QUOTE=14.当n为奇数时,有3n-1=14,解得n=5;当n为偶数时,有-3n+1=14,解得n=-QUOTE(舍).故正整数n的值为5.二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2024·全国Ⅲ卷)QUOTE的绽开式中常数项是(用数字作答).

【解析】因为Tr+1=QUOTEx2(6-r)2rx-r=2rQUOTEx12-3r,由12-3r=0,得r=4,所以QUOTE的绽开式中常数项是:QUOTE·24=QUOTE·16=15×16=240,故常数项为240.答案:2408.已知742020+a能够被15整除,其中a∈(0,15),则a=.

【解析】由题可知,因为742020=QUOTE=QUOTE752020QUOTE+QUOTE752019QUOTE+…+QUOTE751QUOTE+QUOTE750QUOTE=QUOTE752020-QUOTE752019+…-QUOTE751+1,所以742020+a=QUOTE752020-QUOTE752019+…-QUOTE751+1+a,而75能被15整除,要使742020+a能够被15整除,只需1+a能被15整除即可,所以1+a=15,解得a=14.答案:14三、解答题(每小题10分,共20分)9.设QUOTE=a0+a1x+a2x2+…+a5x5.(1)求a2的值;(2)求a1+a2+a3+a4+a5的值.【解析】(1)QUOTE的绽开式的通项为Tr+1=QUOTE,r=0,1,2,3,4,5,所以a2=QUOTE=40.(2)当x=0时,a0=1,当x=1时,QUOTE=a0+a1+a2+a3+a4+a5,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.10.QUOTE的绽开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍.求:(1)n;(2)绽开式中全部的有理项.【解析】(1)二项绽开式的通项为Tr+1=QUOTE=(-1)rQUOTE.依题意得,QUOTE=4(-1)2QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得n=6.(2)由(1)得Tr+1=(-1)rQUOTE·QUOTE,当r=0,3,6时为有理项,故有理项有T1=QUOTE,T4=-QUOTEx2,T7=QUOTE.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.8011被9除的余数为 ()A.-1 B.1 C.8 D.-8【解析】选C.8011=QUOTE=QUOTE·8111+QUOTE·8110·QUOTE+QUOTE·819·QUOTE+…+QUOTE·811·QUOTE+QUOTE·QUOTE=8111-QUOTE·8110+QUOTE·819-…+QUOTE·811-QUOTE=8111-QUOTE·8110+QUOTE·819-…+11×81-1=8111-QUOTE·8110+QUOTE·819-…+10×81+81-1=8111-QUOTE·8110+QUOTE·819-…+10×81+80=8111-QUOTE·8110+QUOTE·819-…+10×81+72+8,8111-QUOTE·8110+QUOTE·819-…+10×81+72可以被9整除,所以8011被9除的余数为8.2.(多选题)QUOTE的绽开式中各项系数的和为2,则其中说法正确的是 ()A.a=1B.绽开式中含x6项的系数是-32C.绽开式中含x-1项D.绽开式中常数项为40【解析】选AD.因为QUOTE的绽开式中各项系数的和为2,令x=1得,1+a=2,所以a=1,故A正确.此时QUOTE=x+QUOTEQUOTE,x2x-QUOTE5绽开式中的通项为xQUOTE=QUOTE25-rQUOTEx6-2r,QUOTE绽开式中的通项为QUOTE=QUOTE25-rQUOTEx4-2r,令6-2r=6或4-2r=6,解得r=0,所以含x6项的系数是32,故B错误.令6-2r=-1或4-2r=-1,都无解,故绽开式中不含x-1项,故C错误.令6-2r=0或4-2r=0,解得r=3或r=2,所以绽开式中常数项为40.3.(2024·全国Ⅰ卷)QUOTE(x+y)5的绽开式中x3y3的系数为 ()A.5 B.10 C.15 D.20【解析】选C.(x+y)5绽开式的通项公式为Tr+1=QUOTEx5-ryr(r∈N且r≤5),所以QUOTE与(x+y)5绽开式的乘积可表示为:xTr+1=xQUOTEx5-ryr=QUOTEx6-ryr或QUOTETr+1=QUOTEx5-ryr=QUOTEx4-ryr+2,在xTr+1=QUOTEx6-ryr中,令r=3,可得:xT4=QUOTEx3y3,该项中x3y3的系数为10,在QUOTETr+1=QUOTEx4-ryr+2中,令r=1,可得:QUOTET2=QUOTEx3y3,该项中x3y3的系数为5,所以x3y3的系数为10+5=15.【补偿训练】(2024·北京高考)在(QUOTE-2)5的绽开式中,x2的系数为 ()A.-5 B.5 C.-10 D.10【解析】选C.通项为Tk+1=QUOTE(QUOTE)5-k(-2)k=QUOTE(-2)k,由QUOTE-QUOTE=2得k=1,所以所求系数为QUOTE(-2)1=-10.4.已知Sn是数列{an}的前n项和,若(1-2x)2021=b0+b1x+b2x2+…+b2021x2021,数列{an}的首项a1=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,an+1=Sn·Sn+1,则S2021= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.2021 D.-2021【解析】选A.令x=QUOTE,得QUOTE=b0+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=0,又因为b0=1,所以a1=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=-1.由an+1=SnSn+1=Sn+1-Sn,得QUOTE=QUOTE-QUOTE=1,所以QUOTE-QUOTE=-1,所以数列QUOTE是首项为QUOTE=-1,公差为-1的等差数列,所以QUOTE=-1+(n-1)·(-1)=-n,所以Sn=-QUOTE,所以S2021=-QUOTE.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知(1+x+x2)QUOTE的绽开式中没有常数项,n∈N*,且2≤n≤8,则n=.

【解析】因为QUOTE的通项Tr+1=QUOTExn-rQUOTE=QUOTExn-4r,当n-4r=0,-1,-2时,不符合题意,因为2≤n≤8,所以n不能等于4,8,3,7,2,6,所以n=5.答案:56.已知QUOTE的绽开式中x3的系数为QUOTE,则常数a的值为.

【解析】Tr+1=QUOTEa9-r·(-1)r·QUOTE,令QUOTEr-9=3,得r=8.依题意,得QUOTE(-1)8×2-4·a9-8=QUOTE,解得a=4.答案:47.设a∈Z,且0<a<13,若532019+a能被13整除,则a=.

【解析】因为53=52+1=4×13+1,所以532019+a=QUOTE+a=522019+QUOTE·522018+…+QUOTE·52+1+a,由于522019+QUOTE·522018+…+QUOTE·52能被13整除,则a+1也能被13整除,因为0<a<13,所以1<a+1<14且a∈Z,所以a+1=13,解得a=12.答案:128.(2024·天津高考)在QUOTE的绽开式中,x2的系数是.

【解析】因为QUOTE的绽开式的通项公式为Tr+1=QUOTEx5-rQUOTE=QUOTE·2r·x5-3r(r=0,1,2,3,4,5),令5-3r=2,解得r=1.所以x2的系数为QUOTE×2=10.答案:10三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知QUOTE绽开式中前三项的二项式系数和为22.(1)求n的值;(2)求绽开式中的常数项.【解析】(1)因为QUOTE绽开式中前三项的二项式系数和为22,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE=1+n+QUOTE=22,解得n=6或n=-7(舍去).所以n的值为6.(2)由通项公式Tk+1=QUOTE=QUOTE26-kQUOTE,令6-QUOTE=0,可得k=4,所以绽开式中的常数项为T4+1=QUOTE26-4x0=60.10.已知在QUOTE的绽开式中,第9项为常数项.求:(1)n的值;(2)绽开式中x5的系数;(3)含x的整数次幂的项的个数.【解析】二项绽开式的通项为Tk+1=QUOTE·QUOTE=(-1)kQUOTE.(1)因为第9项为常数项,即当k=