【青松雪】【高中数学】【冲刺985拔高系列讲义】【专题10】推理证明、程序框图和复数

第第页冲刺“985”优等生拔高讲义——专治学霸各种不服【专题10】推理证明、程序框图和复数专题目录【问题一】推理问题的常见求解策略【问题二】数学归纳法在证明不等式中的应用【问题三】算法与其他问题相结合问题【问题四】复数与其他知识相结合问题（1）归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．（2）归纳推理是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明．一般地，考查的个体越多，归纳的结论可靠性越大．因此在进行归纳推理时，当规律不明显时，要尽可能多地分析特殊情况，由此发现其中的规律，从而获得一般结论．（3）归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题和填空题，难度稍大，属中高档题．高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度：①数值的归纳；②代数式的归纳；=3\*GB3③图形的归纳．【例1】某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为，，依此规律得到级分形图，则级分形图中共有_____________条线段．【练习1】观察下列等式：，，，，，根据上述规律，第个等式为_____________________．在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．（1）类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；（2）类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；（3）类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．【例2】在中，若，则，试在立体几何中，给出四面体性质的猜想．【练习2】已知数列为等差数列，若，（，，），则．类比等差数列的上述结论，对于等比数列（，），若，（，，），则可以得到_____________．演绎推理的模式为：应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．【例3】数列的前项和记为，已知，（），证明：（1）数列是等比数列；（2）．【练习3】下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（）A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数C．大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数D．大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数1、推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是（）A．①B．②C．③D．①和②2、正弦函数是奇函数，是正弦函数，因此是奇函数，以上推理（）A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确3、观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则（）A．B．C．D．4、将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为（）A．809B．852C．786D．8935、已知“整数对”按如下规律排成一列：，，，，，，，，，，，则第60个“整数对”是（）A．B．C．D．6、如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，和是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点、在大圆内所绘出的图形大致是（）7、一个二元码是由0和1组成的数字串（），其中（1、2、3、、）称为第位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0），已知某种二元码的码元满足如下校验方程组：，其中运算定义为：，，，，现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定等于（）A．4B．5C．6D．78、老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况：四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中（）两人说对了．A．甲、丙B．乙、丁C．丙、丁D．乙、丙9、已知，观察下列各式：，，，类比得：（），则_____________．10、如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，，如此继续，若共得到1023个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_____________．11、在平面几何中：的内角平分线分所成线段的比为．把这个结论类比到空间：在三棱锥中（如图）平分二面角且与相交于，则得到类比的结论是_____________．12、已知等差数列中，有，则在等比数列中，会有类似的结论：_______________________．13、观察下列不等式：，，，照此规律，第五个不等式为_____________．13、已知命题：“若数列是等比数列，且，则数列（）也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．14、已知是内任意一点，连接、、并延长交对边于、、，则，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”．．请运用类比思想，对于空间中的四面体，存在什么类似的结论？并证明．新课标中提出着重考查学生的探索和归纳能力，利用数学归纳法证明不等式，在近几年各地的高考和模考试题中已成为一个新的热点和亮点，并且基本上都以主观题的方式出现，大多数出现在最后三道大题中．因此，高考中我们想要得高分就要将它当成必须掌握的问题．在有关自然数的不等式证明问题中，常常可以考虑用数学归纳法进行处理，这也是数学归纳法最为主要的应用之一，其主要步骤有两步：（1）证明当（第一个自然数）时不等式成立；（2）假设不等式当（）时成立，证明时不等式也成立；由（1）（2）对于的一切自然数，不等式都成立．【例1】用数学归纳法证明：（，）．【练习1】证明：（）．数列可以看作一个定义域为自然数集（或它的有限子集）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．用数学归纳法证明关于数列的不等式是一种顺理成章的思路和方法．在历年的高考数列试题中大都会设置一问用数学归纳法证明某个结论或不等式问题，往往是先计算前几项，再变形（可拆可补），进而猜想结论，最后用数学归纳法证明，此即“观察归纳猜想证明”很常见的问题模式．【例2】各项均为正数的数列对一切均满足，证明：（1）；（2）．【练习2】设数列满足：，（1、2、3、）．证明：对一切正整数都成立．其实应用数学归纳法证明不等式，看起来很容易，但往往做起来有时会很难，其难点在于由成立，推证成立的过程中，不容易实现转化，这里可能要用到一些常见的证明方法，如作差法、作商法、分析法、综合法、反证法、放缩法等，这也是数学归纳法的核心和关键所在，也是最困难的一步，往往要多种方法相结合，而最为常见的方法和技巧是与放缩法相结合．【例3】观察下列式子：，，，（1）由此猜想一个一般性的结论；（2）请证明你的结论．【练习2】由下列各个不等式：，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．1、用数学归纳法证明：（，）．2、在数列中，已知（），且（）．（1）用数学归纳法证明：（）；（2）求证：（）．3、已知（其中）．（1）求及；（2）试比较与的大小，并用数学归纳法给出证明过程．4、设个正数、、、满足：（且）．（1）当时，证明：；（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到（且）个正数、、、的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．5、设，其中为正整数．（1）求、、的值；（2）猜想满足不等式的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．6、已知、为正整数．（1）用数学归纳法证明：当时，；（2）对于，已知，求证：（1、2、3、、）；（3）求出满足等式的所有正整数．7、已知（其中）．（1）求及；（2）试比较与的大小，并用数学归纳法给出证明过程．8、设实数，整数，．（1）证明：当且时，；（2）数列满足，，证明：．9、设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）．（1）求，；（2）若，求证：；（3）求证：存在，使得．10、设函数，，，其中是的导函数．（1）令，，，猜测的表达式并给予证明；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，比较与的大小，并说明理由．算法是高考每年必考内容，多以客观题形式出现，难度为中等或中等以下，考查方式多为程序框图，按题型划分主要有求结果、填补过程、求输入参量三类，并且此类问题常和其他知识交汇，其中与函数、三角、不等式、数列、概率与统计的交汇是高考热点．【例1】执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）A．B．C．D．【练习1】关于函数的程序框图如图，现输入区间，则输出的区间是____________．【例2】执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的取值范围是（）A．B．C．D．【练习2】运行如图所示的流程图，则输出的结果是（）A．B．C．D．【例3】执行如图所示的程序框图，如果输入的、，那么输出的的最大值为（）A．0B．1C．2D．3【练习3】执行如图所示的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为____________．【例4】阅读如图所示的程序框图，若输入的，则输出的值是（）A．9B．10C．11D．12【练习4】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为9，则输出的值为____________．【例5】下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率的程序框图，则图中空白框内应填入（）A．B．C．D．1、执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A．2B．3C．4D．52、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．20B．21C．200D．2103、执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．4、执行如图所示的程序框图，若输出，则输入角（）A．B．C．D．5、阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，那么输入的实数的取值范围是（）A．B．C．D．6、某班有24名男生和26名女生，数据、、、是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩（成绩不为0），如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数为，男生平均分为，女生平均分为，为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）A．，B．，C．，D．，7、已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于103的概率为（）A．B．C．D．8、如图所示，算法框图输出的所有实数对所对应的点都在函数（）A．的图象上B．的图象上C．的图象上D．的图象上9、设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例如，则，）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果____________．10、已知数列中，，，若利用如图所示的程序框图进行运算，则输出的值为____________．复数在高考数学中所占的比重较小且难度不很大，一般以选择题或填空题的形式进行考查，但作为一个必考的知识点，它的考查方式却十分灵活，具有常考常新，活而不难的特点．由于复数具有代数和三角两种形式，它又与复平面的点之间建立起一一对应的关系，从而成为数形结合的重要桥梁，故而它常与其他知识点相结合，比如与简易逻辑、与方程、与函数、与三角、与平面向量、与解析几何等等，下面通过几例说明复数与其他知识相结合的运用，以供大家参考．【例1】设，则“”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【练习1】若集合（是虚数单位），，则（）A．B．C．D．【例2】已知（为虚数单位）是关于的实系数方程的一个根，则___________．【练习2】若（为虚数单位）是关于的方程（、）的一个根，则的值为___________．【例3】复数满足方程，那么复数在复平面内对应的点的轨迹方程为___________．【练习3】若，且，则的最小值为___________．【例4】在复平面内，记复数对应的向量为，若向量绕坐标原点逆时针旋转得到向量所对应的复数为___________．【练习4】复平面内有、、三点，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则点对应的复数是___________．1、已知复数在复平面上对应的点位于第二象限，且（其中是虚数单位），则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2、欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数