【青松雪】【高中数学】【易错点归纳总结】【专题02】函数（教师版）

第1页【专题02】函数1、映射的概念：在理解映射概念时要注意：（1）中元素必须都有象，且象唯一；（2）中元素不一定都有原象，并且原象不一定唯一．例1、设是集合到的映射，下列说法正确的是：（）A．中每一个元素在中必有象B．中每一个元素在中必有原象C．中每一个元素在中的原象是唯一的D．是中所在元素的象的集合【答案】A例2、点在映射的作用下的象是，则在作用下点的原象为点________．【答案】例3、若，，、、，则到的映射有________个，到的映射有________个，到的函数有________个．【答案】81；64；81例4、设集合，，映射满足条件“对任意的，是奇数”，这样的映射有________个．【答案】12例5、设是集合到集合的映射，若，则一定是________．【答案】或2、函数是特殊的映射：特殊在定义域和值域都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个．例6、已知函数，，那么集合中所含元素的个数有________个．【答案】0或1例7、若函数的定义域、值域都是闭区间，则________．【答案】23、同一函数的概念：构成函数的三要素是：定义域、值域和对应法则，而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数．例8、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为，值域为的“天一函数”共有_____个．【答案】94、求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式要求，如偶次根式的被开方大于等于零，分母不能为零，对数中，且，在三角形中，最大角，最小角等．（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围．（3）复合函数的定义域：若已知的定义域为，其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为，求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）．例9、函数的定义域是________．【答案】例10、若函数的定义域为，则________．【答案】例11、函数的定义域是，，则函数的定义域是________．【答案】例12、设函数，①若的定义域是，求实数的取值范围；②若的值域是，求实数的取值范围．【答案】①；②例13、若函数的定义域为，则的定义域为________．【答案】例14、若函数的定义域为，则函数的定义域为________．【答案】5、求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法：已知所求函数的类型，可以采用待定系数法求函数解析式．二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：；要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式．例15、已知为二次函数，且，且，图象在轴上截得的线段长为，求的解析式．【答案】（2）代换（配凑）法：已知形如的表达式，求的表达式．例16、已知，求的解析式．【答案】，例17、若，则函数________．【答案】例18、若函数是定义在上的奇函数，且当时，，那么当时，________．【答案】特别提醒：要注意所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域．（3）方程的思想：已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组．例19、已知，求的解析式．【答案】例20、已知是奇函数，是偶函数，且，则________．【答案】6、求函数值域（最值）的方法：（1）配方法：二次函数求值域，常采用配方法．二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题．求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系．例21、求函数，的值域．【答案】例22、当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是________．【答案】例23、已知（）的图象过点，则的值域为________．【答案】（2）换元法：通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型．例24、的值域为________．【答案】例25、的值域为________．【答案】（令，．运用换元法时，要特别要注意新元的范围）例26、的值域为________．【答案】例27、的值域为________．【答案】（3）函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性．例28、求函数，，的值域________．【答案】；；（4）单调性法：利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性．例29、求（），，的值域为________．【答案】；；（5）数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率等等．例30、已知点在圆上，求及的取值范围．【答案】；例31、求函数的值域．【答案】例32、求函数及的值域．【答案】；特别提醒：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴的同侧．（6）判别式法：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分离后，再利用均值不等式求解．①型，可直接用不等式性质．例33、求的值域．【答案】②型，先化简，再用均值不等式．例34、求的值域．【答案】例35、求函数的值域．【答案】③型，通常用判别式法．例36、已知函数的定义域为，值域为，求常数、的值．【答案】④型，可用判别式法或均值不等式法．例37、求的值域．【答案】（7）不等式法：利用基本不等式（、）求函数的最值，其题型特征为：解析式是和式时，要求积为定值；解析式是积式时，要求和为定值．不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧．例38、设、、、成等差数列，、、、成等比数列，则的取值范围是________．【答案】（8）导数法：一般适用于高次多项式函数．例39、求函数，的最小值．【答案】特别提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？7、分段函数的概念：分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数．在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．例40、设函数，则使得的自变量的取值范围是________．【答案】例41、已知，则不等式的解集是________．【答案】8、反函数：（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个值，都有唯一的值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有（）有反函数；整个周期函数一定不存在反函数．例42、函数在区间上存在反函数的充要条件是（）A．B．C．D．【答案】D（2）求反函数的步骤：①反求；②互换、；③注明反函数的定义域（原来函数的值域）．注意：函数的反函数不是，而是．例43、设（），求的反函数．【答案】（）（3）反函数的性质：①反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；②函数的图象与其反函数的图象关于直线对称．注意：函数的图象与的图象相同；③；④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性；⑤设的定义域为，值域为，则有（），（），但．例44、单调递增函数满足条件，其中，若的反函数的定义域为，则的定义域是________．【答案】例45、已知函数的图象过点，那么的反函数的图象一定经过点________．【答案】例46、已知函数，若函数与的图象关于直线对称，求的值．【答案】例47、已知函数，则方程的解________．【答案】1例48、设函数的图象关于点对称，且存在反函数，，则________．【答案】例49、已知是上的增函数，点、在它的图象上，是它的反函数，那么不等式的解集为________．【答案】9、函数的奇偶性：（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．例50、若函数，为奇函数，其中，则的值是________．【答案】0（2）确定函数奇偶性的常用方法：若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性．①定义法；②利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）；③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称．例51、判断函数的奇偶性________．【答案】奇函数例52、判断的奇偶性________．【答案】偶函数（3）函数奇偶性的性质：①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反；②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数；③若为偶函数，则；④若奇函数定义域中含有0，则必有，但是为奇函数的既不充分也不必要条件；⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”；⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”；⑦既奇又偶的函数有无穷多个，解析式都为，定义域是关于原点对称的任意一个数集．例53、若定义在上的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为________．【答案】例54、若为奇函数，则实数________．【答案】1例55、设是定义域为的任一函数，，．①判断与的奇偶性；②若将函数，表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则________．【答案】①为偶函数，为奇函数；②10、函数的单调性：（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：①在解答题中，常用定义法（取值作差变形定号）、导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在）；②在选择填空题中，还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意（，）型函数的图象和单调性在解题中的运用．增区间为：，，减区间为：，；③复合函数法：复合函数单调性的特点是“同增异减”．（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗？（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）．例56、已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是________．【答案】例57、若函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是________．【答案】例58、已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围________．【答案】例59、若函数（，且）的值域为，则实数的取值范围是________．【答案】且例60、函数的单调递增区间是________．【答案】例61、若函数在区间上为减函数，求的取值范围．【答案】例62、已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围．【答案】11、常见的图象变换：（1）函数（）的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的．（2）函数（）的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的．（3）函数（）的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的．（4）函数（）的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的．（5）函数（）的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的．（6）函数（）的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的．例63、设，的图像与的图像关于直线对称，的图像由的图像向右平移1个单位得到，则为________．【答案】例64、若，则函数的最小值为________．【答案】2例65、要得到的图像，只需作关于________轴对称的图像，再向________平移3个单位而得到．【答案】；右例66、函数的图象与轴的交点个数有________个．【答案】2例67、将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图象如果与原图象关于直线对称，那么（）A．，B．，C．，D．，【答案】C例68、将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为________．【答案】例69、如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是________．【答案】12、函数的对称性：（1）满足条件的函数的图象关于直线对称．（2）点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为．（3）点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为．（4）点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为．（5）点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为．特别地，点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为；点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为．（6）曲线关于点的对称曲线的方程为．（7）形如（，）的图像是双曲线，其两渐近线分别直线（由分母为零确定）和直线（由分子、分母中的系数确定），对称中心是点．（8）的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到．特别提醒：（1）从上述结论可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像与的对称性，需证两方面：①证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上；②证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上．例70、已知二次函数（）满足条件且方程有等根，则________．【答案】例71、己知函数（），若的图像是，它关于直线对称图像是，关于原点对称的图像为，则对应的函数解析式是________．【答案】例72、若函数与的图象关于点对称，则________．【答案】例73、已知函数图象与关于直线对称，且图象关于点对称，则的值为________．【答案】2例74、作出函数及的图象．例75、若函数是定义在上的奇函数，则函数的图象关于_____对称．【答案】轴例76、已知函数（）．求证：函数的图像关于点成中心对称图形．例77、设曲线的方程是，将沿轴、轴正方向分别平行移动、单位长度后得曲线，①写出曲线的方程；②证明曲线与关于点对称．【答案】；略13、函数的周期性：（1）类比“三角函数图像”得：①若图像有两条对称轴、（），则必是周期函数，且个一周期为；②若图像有两个对称中心、（），则是周期函数，且一个周期为；③如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴（），则函数必是周期函数，且一个周期为．（2）由周期函数的定义“函数满足（），则是周期为的周期函数”得：①函数满足：恒成立，则是周期为的周期函数；②若函数满足：（）恒成立，则是周期为的周期函数；③若函数满足：（）恒成立，则是周期为的周期函数．（3）对称性与周期性的总结：相加为常数，考查对称性；相减为常数，考查周期性．例78、已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有__________个实数根．【答案】5例79、设是上的奇函数，，当时，，则等于________．【答案】例80、定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若、是锐角三角形的两个内角，则、的大小关系为________．【答案】例81、已知是偶函数，且，是奇函数，求的值．【答案】993例82、设是定义域为的函数，且，又，则________．【答案】14、指数式、对数式：，，，，，，，（，，），，，．例83、的值为________．【答案】8例84、的值为________．【答案】15、指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较．16、函数的应用：（1）求解数学应用题的一般步骤：①审题：认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模：通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题