数学人教A必修5新一线应用案巩固提升11112余弦定理

[学生用书P79(单独成册)][A基础达标]1．(2019·合肥高三调研)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝eq\r(13)，则b＝()A．1 B．2C．3 D．eq\r(13)解析：选A.由余弦定理知(eq\r(13))2＝a2＋b2－2abcos60°，因为a＝4b，所以13＝16b2＋b2－2×4b×b×eq\f(1,2)，解得b＝1，故选A.2．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10 B.9C．8 D．5解析：选D.由23cos2A＋cos2A＝0得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cosA＝±eq\f(1,5).因为A是锐角，所以cosA＝eq\f(1,5).又因为a2＝b2＋c2－2bccosA，所以49＝b2＋36－2×b×6×eq\f(1,5).解得b＝5或b＝－eq\f(13,5).又因为b＞0，所以b＝5.3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A．8－4eq\r(3) B.1C.eq\f(4,3) D．eq\f(2,3)解析：选C.因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcos60°，即c2＝a2＋b2－ab.①又因为(a＋b)2－c2＝4，所以c2＝a2＋b2＋2ab－4.②由①②，得－ab＝2ab－4，所以ab＝eq\f(4,3).4．(2019·江苏苏州部分重点中学高三(上)期中考试)在△ABC中，AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，则AC边上的高为()A.eq\f(3\r(2),2) B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(3,2) D．3eq\r(3)解析：选B.由BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，可得13＝9＋16－2×3×4×cosA，得cosA＝eq\f(1,2).因为A为△ABC的内角，所以A＝eq\f(π,3)，所以AC边上的高为AB·sinA＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2eq\f(A,2)＝eq\f(b＋c,2c)，则△ABC是()A．直角三角形 B.锐角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形解析：选A.在△ABC中，因为cos2eq\f(A,2)＝eq\f(b＋c,2c)，所以eq\f(1＋cosA,2)＝eq\f(b,2c)＋eq\f(1,2)，所以cosA＝eq\f(b,c).由余弦定理，知eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b,c)，所以b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cosB＝________．解析：因为b2＝ac，且c＝2a，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,2a·2a)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2.所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝eq\r(19).答案：eq\r(19)8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋accosB＋abcosC的值是________．解析：bccosA＋accosB＋abcosC＝eq\f(b2＋c2－a2,2)＋eq\f(a2＋c2－b2,2)＋eq\f(a2＋b2－c2,2)＝eq\f(a2＋b2＋c2,2).因为a＝3，b＝4，c＝6，所以bccosA＋accosB＋abcosC＝eq\f(1,2)×(32＋42＋62)＝eq\f(61,2).答案：eq\f(61,2)9．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．解：由余弦定理的推论得：cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2·AB·AC)＝eq\f(92＋82－72,2×9×8)＝eq\f(2,3)，设所求的中线长为x，由余弦定理知：x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))eq\s\up12(2)＋AB2－2·eq\f(AC,2)·ABcosA＝42＋92－2×4×9×eq\f(2,3)＝49，则x＝7.所以所求中线长为7.10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝eq\r(3)acos B.(1)求B；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解：(1)由bsinA＝eq\r(3)acosB及正弦定理得sinB＝eq\r(3)cosB，即tanB＝eq\r(3)，因为B是三角形的内角，所以B＝eq\f(π,3).(2)由sinC＝2sinA及正弦定理得c＝2a.由余弦定理及b＝3，得9＝a2＋c2－2accoseq\f(π,3)，即9＝a2＋4a2－2a2，所以a＝eq\r(3)，c＝2eq\r(3).[B能力提升]11．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是()A．(8，10) B.(2eq\r(2)，eq\r(10))C．(2eq\r(2)，10) D．(eq\r(10)，8)解析：选B.只需让边长为3和a的边所对的角均为锐角即可．故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(12＋32－a2,2×1×3)＞0，,\f(a2＋12－32,2×a×1)＞0，,1＋3＞a，,1＋a＞3，))解得2eq\r(2)＜a＜eq\r(10).12．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，B＝eq\f(2π,3)，若a2＋c2＝4ac，则eq\f(sin（A＋C）,sinAsinC)＝________．解析：因为eq\f(a2＋c2,ac)＝eq\f(b2＋2accosB,ac)＝4，B＝eq\f(2π,3)，所以b2＝5ac.由正弦定理得sin2B＝5sinAsinC＝eq\f(3,4)，所以sinAsinC＝eq\f(3,20)，所以eq\f(sin（A＋C）,sinAsinC)＝eq\f(sinB,sinAsinC)＝eq\f(10\r(3),3).答案：eq\f(10\r(3),3)13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－eq\f(3,4)ac.(1)求cosB的值；(2)若b＝eq\r(13)，且a＋c＝2b，求ac的值．解：(1)由(a－c)2＝b2－eq\f(3,4)ac，可得a2＋c2－b2＝eq\f(5,4)ac.所以eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(5,8)，即cosB＝eq\f(5,8).(2)因为b＝eq\r(13)，cosB＝eq\f(5,8)，由余弦定理，得b2＝13＝a2＋c2－eq\f(5,4)ac＝(a＋c)2－eq\f(13,4)ac，又a＋c＝2b＝2eq\r(13)，所以13＝52－eq\f(13,4)ac，解得ac＝12.14．(选做题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋(cosA－eq\r(3)sinA)cosB＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A＋B)＋cosAcosB－eq\r(3)sinA·cosB＝0，即有sinAsinB－eq\r(3)sinAcosB＝0.①因为sinA≠0，所以sinB－eq\r(3)cosB＝0.又cosB≠0，所以tanB＝eq\r(3).又0<B<π，所以B＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B.因为a＋c＝1，cosB＝eq\f(1,2)，有b2＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4).②又0<a<1，于是有eq\f(1,4)≤b2<1，即有eq\f(1,2)≤b<1.正弦定理和余弦定理(强化练)[学生用书P81(单独成册)]一、选择题1．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，c＝8，B＝60°，则△ABC的周长是()A．17 B.19C．16 D．18解析：选D.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，有b2＝9＋64－24，即b＝7，则a＋b＋c＝18.故选D.2．在△ABC中，已知a＝18，b＝16，A＝150°，则这个三角形解的情况是()A．有两组解 B.有一组解C．无解 D．不能确定解析：选B.由正弦定理，得eq\f(18,sin150°)＝eq\f(16,sinB)，解得sinB＝eq\f(4,9).因为b＜a，所以B＜A，所以只有一组解．3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝eq\r(3)bc，sinC＝2eq\r(3)sinB，则A＝()A．30° B.60°C．120° D．150°解析：选A.因为sinC＝2eq\r(3)sinB，所以c＝2eq\r(3)b，因为a2－b2＝eq\r(3)bc，所以a2－b2－c2＝eq\r(3)bc－c2，所以b2＋c2－a2＝c2－eq\r(3)bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(c2－\r(3)bc,2bc)＝eq\f(c2,2bc)－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(c,2b)－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2\r(3),2)－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，所以A＝30°.4．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝eq\r(10)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(3,2) B.－eq\f(2,3)C.eq\f(2,3) D．eq\f(3,2)解析：选D.由向量模的定义和余弦定理，得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(1,4).因为eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3×2×eq\f(1,4)＝eq\f(3,2).5．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，则这个三角形的最大角为()A．30° B.45°C．60° D．120°解析：选D.设三角形的三边长分别为a，b，c，根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)化简已知的等式得，a∶b∶c＝3∶5∶7，设a＝3k，b＝5k，c＝7k，k＞0，根据余弦定理可得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(9k2＋25k2－49k2,30k2)＝－eq\f(1,2).因为C∈(0°，180°)，所以C＝120°.所以这个三角形的最大角为120°，故选D.6.(2019·陕西西安一中高三(上)期中考试)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))解析：选C.由正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc，所以bc≤b2＋c2－a2，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq\f(1,2)，所以A≤eq\f(π,3).因为A＞0，所以A的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，故选C.7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若eq\f(sinB－sinA,sinC)＝eq\f(\r(2)a＋c,a＋b)，则角B的大小为()A.eq\f(π,4) B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)解析：选B.在△ABC中，eq\f(sinB－sinA,sinC)＝eq\f(\r(2)a＋c,a＋b)，由正弦定理得eq\f(b－a,c)＝eq\f(\r(2)a＋c,a＋b)，所以b2－a2＝eq\r(2)ac＋c2，即c2＋a2－b2＝－eq\r(2)ac.由余弦定理得cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)＝eq\f(－\r(2)ac,2ac)＝－eq\f(\r(2),2).又B∈(0，π)，所以角B的大小为eq\f(3π,4).故选B.8．已知△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为eq\f(1,3)，则其外接圆的半径R为()A.eq\f(9\r(2),2) B.eq\f(9\r(2),4)C.eq\f(9\r(2),8) D．eq\f(2\r(2),9)解析：选C.不妨设c＝2，b＝3，则cosA＝eq\f(1,3)，sinA＝eq\f(2\r(2),3).因为a2＝b2＋c2－2bccosA，所以a2＝32＋22－2×3×2×eq\f(1,3)＝9，所以a＝3.因为eq\f(a,sinA)＝2R，所以R＝eq\f(a,2sinA)＝eq\f(3,2×\f(2\r(2),3))＝eq\f(9\r(2),8).9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若eq\f(b,c)＝eq\f(1,2)，B＝2C，a＝4，则b的值为()A．2eq\r(2) B.4eq\r(2)C.eq\f(8,3) D．2解析：选D.因为eq\f(b,c)＝eq\f(1,2)，所以c＝2b.由正弦定理，得sinC＝2sinB.又B＝2C，所以sinC＝2sin2C＝4sinCcosC.因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以cosC＝eq\f(1,4).由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即4b2＝16＋b2－2×4b×eq\f(1,4)，3b2＋2b－16＝0，解得b＝2(负值舍去)．故选D.10．(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝eq\r(2)，则C＝()A.eq\f(π,12) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,3)解析：选B.因为sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，所以sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝0，所以sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，整理得sinC(sinA＋cosA)＝0，因为sinC≠0，所以sinA＋cosA＝0，所以tanA＝－1，因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(3π,4)，由正弦定理得sinC＝eq\f(c·sinA,a)＝eq\f(\r(2)×\f(\r(2),2),2)＝eq\f(1,2)，又0＜C＜eq\f(π,4)，所以C＝eq\f(π,6).故选B.二、填空题11．在△ABC中，若b＝5，B＝eq\f(π,4)，tanA＝2，则sinA＝________，a＝________．解析：由tanA＝2，得sinA＝2cosA．又由sin2A＋cos2A＝1，得sinA＝eq\f(2\r(5),5).因为b＝5，B＝eq\f(π,4)，根据eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(2\r(5),\f(\r(2),2))＝2eq\r(10).答案：eq\f(2\r(5),5)2eq\r(10)12．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，则eq\f(b,a)＝__________．解析：由正弦定理得sin2AsinB＋sinBcos2A＝eq\r(2)sinA，即sinB·(sin2A＋cos2A)＝eq\r(2)sinA.所以sinB＝eq\r(2)sinA，所以eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2＝b2＋eq\f(1,4)c2，则eq\f(acosB,c)的值为________．解析：因为a2＝b2＋eq\f(1,4)c2，所以b2＝a2－eq\f(1,4)c2.所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(1,4)c2)),2ac)＝eq\f(5c,8a).所以eq\f(acosB,c)＝eq\f(a·\f(5c,8a),c)＝eq\f(5,8).答案：eq\f(5,8)14．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝eq\r(3)，则c＝________．解析：在△ABC中，因为B＝2A，a＝1，b＝eq\r(3)，所以由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),sin2A)＝eq\f(\r(3),2sinAcosA)，整理得cosA＝eq\f(\r(3),2).由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得1＝3＋c2－3c，解得c＝1或c＝2.当c＝1时，a＝c＝1，b＝eq\r(3)，此时A＝C＝30°，B＝120°，不满足B＝2A，舍去；当c＝2时，a＝1，b＝eq\r(3)，此时A＝30°，B＝60°，C＝90°，满足题意，则c＝2.答案：2三、解答题15．在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1)求BC的长；(2)求sinC的值.解：(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋9－2×2×3×eq\f(1,2)＝7，所以BC＝eq\r(7).(2)由正弦定理知，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，所以sinC＝eq\f(AB,BC)·sinA＝eq\f(2sin60°,\r(7))＝eq\f(\r(21),7).16．(2018·高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2eq\r(2)，求BC.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠A)＝eq\f(AB,sin∠ADB).由题设知，eq\f(5,sin45°)＝eq\f(2,sin∠ADB)，所以sin∠ADB＝eq\f(\r(2),5).由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝eq\r(1－\f(2,25))＝eq\f(\r(23),5).(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝eq\f(\r(2),5).在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2eq\r(2)×eq\f(\r(2),5)＝25.所以BC＝5.17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1.试判断△ABC的形状．解：(1)由已知和正弦定理，得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋b