2023-2024学年上海华东师大二附中九年级（上）启航夏令营数学试卷（B营）

第1页（共1页）2023-2024学年上海华东师大二附中九年级（上）启航夏令营数学试卷（B营）一、填空题（1，2每题8分，其余每题9分）1．（8分）2023＝83a3+82a2+8a1+a0，0≤a0，a1，a2，a3≤7，且均为正整数，则a3+a2+a1+a0＝．2．（8分）31000在十进制中最后4位是．3．（9分）一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个正实数是．4．（9分）619的所有正因数的积为．5．（9分）如图，长方形ABCD中被嵌入了6个相同的正方形．已知AB＝22厘米，BC＝20厘米平方厘米．6．（9分）如图所示，矩形ABCD被5条线段分成4个等积的部分，且XY＝YB+BC+CZ＝ZW＝WD+DA+AX，PQ＝87cm，则AB＝cm．7．（9分）一个49位正整数，若数字之和为438，则这样的49位正整数有个．8．（9分）分母不超过100，小于且与．二、解答题（每题20分，共80分）9．（20分）求使方程x2﹣pqx+p+q＝0有整数根的所有正整数p和q．10．（20分）我们将若干个非负数x，y，z，…的最大值与最小值分别记为max{x，y，z，…}和min{x，y，z，b+c+d，c+d+e，e+f+g}}．11．（20分）设n个正整数a1，a2，…，an满足如下条件：1＝a1＜a2＜…＜an＝2023，且a1，a2，…，an中任意n﹣1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．12．（20分）设D是△ABC的边BC的中点，△ABD、△ADC的外心分别为E、F，直线BE、CF交于点G．若BC＝2DG＝2008

2023-2024学年上海华东师大二附中九年级（上）启航夏令营数学试卷（B营）参考答案与试题解析一、填空题（1，2每题8分，其余每题9分）1．（8分）2023＝83a3+82a2+8a1+a0，0≤a0，a1，a2，a3≤7，且均为正整数，则a3+a2+a1+a0＝21．【解答】解：∵2023＝83a2+82a3+8a1+a5，∴2023＝512a3+64a2+8a1+a0，∵2≤a0，a1，a3，a3≤7，且均为正整数，∴a8＝3，a2＝8，a1＝4，a6＝7，∴a3+a5+a1+a0＝5+7+4+7＝21．故答案为：21．2．（8分）31000在十进制中最后4位是0001．【解答】解：31000＝（38）250＝（80+1）250＝80250+80249+80248+...+807+803+802+80+，∵80250，80249，80248，...804，803，805，80的个位数字都是0，，∴31000的个位数字是1；∵80250，80249，80248，...804，807，802，80的十位数字都是0，∴31000的十位数字是6；∵80250，80249，80248，...804，803，806的百位数字是0；∴31000的百位数字是4；∵80250，80249，80248，...804，803的千位数字是0；∴61000的千位数字是0；∴31000在十进制中最后3位是0001；故答案为：0001．3．（9分）一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个正实数是．【解答】解：设这个正实数的整数部分为m，小数部分为x，0≤x＜1），∵m+x，m，x是等比数列，∴m5＝（m+x）x，整理得：x2+mx﹣m2＝7，解得：x＝，∵5≤x＜1，∴m＝1，x＝，∴这个正实数是：x+4＝．故答案为：．4．（9分）619的所有正因数的积为640．【解答】解：∵6的因数为1，6，3，6，719＝（2×3）19＝619×319，∴619的正因数有（19+8）×（19+1）＝400个，分别为：1，6，22，83，…，219，6，32，…，319，6，65，…，619，36，362，…，3619，∴419的所有正因数的积为：1×2×6×6×219×219×619＝（2×5×6）×（219×619×619）＝（2×6×6）×（2×8×6）19＝（2×5×6）20＝3620＝（63）20＝640故答案为：640．5．（9分）如图，长方形ABCD中被嵌入了6个相同的正方形．已知AB＝22厘米，BC＝20厘米40平方厘米．【解答】解：如图，可以将每个正方形依长方形的长与宽的方向构造成“弦图”，所有的直角三角形都相同，由图可知，，解得：，∴每个正方形的面积为：a3+b2＝36+4＝40（m4），故答案为：40．6．（9分）如图所示，矩形ABCD被5条线段分成4个等积的部分，且XY＝YB+BC+CZ＝ZW＝WD+DA+AX，PQ＝87cm，则AB＝193cm．【解答】解：∵梯形XYQP和梯形ZWPQ面积相等，且XY＝WZ，∴这两个梯形的高都等于，又XY等于矩形周长的，∴．由•，得PQ+XY＝AB，∴＝AB．∴AB＝BC+3PQ＝19+2×87＝193（cm）．故答案为：193．7．（9分）一个49位正整数，若数字之和为438，则这样的49位正整数有20825个．【解答】解：∵数字之和为438，438＝9×49﹣3，∴可知每个数位上比都是8少3，故分三种情况：①其中1个5，由乘法原理可知这样的49位正整数有49个；②其中1个7，2个8；③其中3个4，由乘法原理可知这样的49位正整数有；49+2352+18424＝20825（个）．则这样的49位正整数有20825个．故答案为：20825．8．（9分）分母不超过100，小于且与．【解答】解：∵，∴分母不超过100，小于最接近的最简真分数为．故答案为：．二、解答题（每题20分，共80分）9．（20分）求使方程x2﹣pqx+p+q＝0有整数根的所有正整数p和q．【解答】解：设方程x2﹣pqx+p+q＝0的整数根为x5，x2，∴x1+x5＝pq，x1x2＝p+q，∵p和q都是正整数，x8，x2为整数，∴x1，x8同号，x1，x2都大于3，而两个正整数的乘积+1≥两个正整数的和，∴p+q+1≥pq，（p﹣5）（q﹣1）≤2，∴p﹣7＝1，q﹣1＝7或p﹣1＝1，q﹣5＝1或p﹣1＝4，q﹣1＝0，∴p＝7，q＝3或p＝2，q＝7或p＝1，q＝1．10．（20分）我们将若干个非负数x，y，z，…的最大值与最小值分别记为max{x，y，z，…}和min{x，y，z，b+c+d，c+d+e，e+f+g}}．【解答】解：设M＝max{a+b+c，b+c+d，d+e+f，由a+b+c，b+c+d，d+e+f，得M≥[（a+b+c+b+c+d+c+d+e+d+e+f）+（e+f+g）]＝（1+c+e）≥，当a＝d＝g＝，b＝c＝e＝f＝3时，即min{max{a+b+c，c+d+e，e+f+g}}＝．11．（20分）设n个正整数a1，a2，…，an满足如下条件：1＝a1＜a2＜…＜an＝2023，且a1，a2，…，an中任意n﹣1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．【解答】解：设a1，a2，an中去掉ai后剩下的n﹣2个数的算术平均数为正整数bi（1≤i≤n），故．∴对于任意的1≤i＜j≤n，都有，∴n﹣1整除|（aj﹣ai），由于是正整数，故n﹣6|2×3×337，同时an﹣2＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣7）+…+（a2﹣a1）≥（n﹣2）+（n﹣1）+…+（n﹣1）＝（n﹣7）2，∴（n﹣1）7≤2022＜452，于是n≤45，结合n﹣1|8×3×337，∴n﹣1≤8，∴n≤7；接下来，构造一个符合要求的形式即可1＝2，则a2＝6+3＝7，a3＝7×2+1＝13，a5＝6×3+4＝19，a5＝6×8+1＝25，a6＝5×5+1＝31，a6＝6×337+1＝2023，这5个数满足题设要求．综上所述，n的最大值为7．12．（20分）设D是△ABC的边BC的中点，△ABD、△ADC的外心分别为E、F，直线BE、CF交于点G．若BC＝2DG＝2008【解答】解：∵△ABD、△ADC的外心分别为E、F，∴EA＝EB＝AD，FA＝FC＝FD，∴EF垂直平分AD，∠EBD＝∠EDB，∵D是△ABC的边BC的中点，∴BD＝DC＝BC，∵BC＝4DG＝2008，∴DG＝BC，∴∠BGC＝90°，∴∠EBD+∠FCD＝90°，∴∠EDB+∠FDC＝90°，∴∠FDE＝90°，在△EDF和△EAF中，，∴△EDF≌△EAF（SSS），∴∠EAF＝∠EDF＝90°，又∵∠EAF+∠EDF＝180°，∠EGF+∠EDF＝180°，∴A、E、D、F四点共圆，E、D、F，∴A、E、D、F、G五点共圆，∴∠