选择性必修第二册第四章 43等比数列

§4.3等比数列

4.3.1等比数列的概念

第1课时等比数列的概念及通项公式

【学习目标】1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数

列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点一等比数列的概念

1.定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,

那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示0WO）.

2.递推公式形式的定义：念=q（〃WN*且〃>1）（或誓=q,"WN*）

思考为什么等比数列的各项和公比q均不能为0?

答案由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0,因此q也不能为0.

知识点二等比中项

如果在a与6中间插入一个数G,使a,G,6成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，

此时,G2=ab.

思考当G2=a〃时，G一定是4，6的等比中项吗？

答案不一定，如数列0,0,5就不是等比数列.

知识点三等比数列的通项公式

若等比数列｛%｝的首项为0，公比为q,则如=维二1（〃GN*）.

知识点四等比数列通项公式的推广和变形

等比数列｛"”｝的公比为4,则

■,班③

其中当②中〃?=1时，即化为①.

当③中q>0且时，y=簧炉为指数型函数.

q

・思考辨析判断正误*

1.数列1,—1,1,—1,…是等比数列.(V)

2.若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列.(X)

3.等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.(X)

4.常数列一定为等比数列.(X)

题型探究探究重点提升素养

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一、等比数列中的基本运算

例1在等比数列｛小｝中：

(1)3=1,04=8,求斯；

(2)4”=625,n—^,q=5,求©；

(3)42+〃5=18,4+。6=9,an—\,求〃.

解(1)因为“4=aq3,

所以8=炉，所以4=2,

所以a“=aq"r=2"-i.

__««_=625=£.

(2)的—,一]—5厂1-5，

故0=5.

Cl5—Cl\Q~Vci\cf—18,①

(3)因为彳Sc

〃3+。6=〃间2+〃©5=9,②

由篇得夕=3'从而0=32.

又m=1,

所以32X(；＞r=1,

即26-，，=2。，故〃=6.

反思感悟等比数列的通项公式涉及4个量0,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出

另外一个，在这四个量中，G和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎

刃而解.

跟踪训练1在等比数列｛斯｝中：

(1)若它的前三项分别为5,-15,45,求g

(2)若的=2,07=8,求斯.

解(1)因为而0=5,

4=—=—3,

?a\

所以=405.

(2)因为

。7=。闻6,

〃@=2,①

所以，

〃闯6=8,②

从而4=的，而“©3=2,

二日21

于正0=/=5，

夕乙

2〃-5

所以斯=0/一|=23.

二、等比中项的应用

例2如果一1,a,b,c,一9成等比数列，那么b=,ac=.

答案一39

解析因为6是一1,一9的等比中项，

所以万=9,b=±3.

又等比数列奇数项符号相同，得“0,故6=-3,

而b又是a,c的等比中项，

故br—ac,即ac=9.

反思感悟(1)由等比中项的定义可知7=不=62=曲=6=i*7^,所以只有4,〃同号时，a,

匕的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.

⑵在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项

的等比中项.

(3)a,G,b成等比数列等价于。=而3»0).

跟踪训练2在等比数列｛”“｝中，“1=—16,“4=8,则“7等于()

A.—4B.±4C.—2D.±2

答案A

解析因为44是S与47的等比中项，

所以蜀=〃]07,

即64=—16s,故s=-4.

三、等比数列通项公式的推广及应用

例3在等比数列｛%｝中.

(1)已知〃3=4,“7=16,且q>0,求斯；

(2)若｛〃,1｝为递增数列，且出=mo,2(4〃+a〃+2)=5〃〃+i,求通项公式品

解⑴••啜=/3=什4,

:・q?=2,又q>0,***(7=-\/2»

〃+I

；・斯=的/-3=4.(也)“-3=22(〃EN*).

(2)由出=。10=。54°-5,且〃5工0,

得。5=炉,即炉,

又gWO,・,ai=q.

由2(斯+。〃+2)=5为+1得，2。〃(1+/)=5仅7〃，

：.2(l+g2)=5q,

解得9=3或9=2.

•:a尸q,且｛〃〃｝为递增数列，

.“1=2,

二%=22「=2"(〃GN)

反思感悟(1)应用如=斯。'-'"，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求0.

(2)等比数列的单调性由⑶，q共同确定，但只要单调，必有q>0.

跟踪训练3已知等比数列｛〃"｝满足=3,4|+。3+。5=21,则①+的+仍等于()

A.21B.42C.63D.84

答案B

解析设等比数列｛飙｝的公比为q,则由。1=3,0+43+45=21得3(l+q2+q4)=21,解得

q2=—3(舍去)或炉=2,于是43+。5+。7=炉(“]+43+。5)=2义21=42.

四、灵活设元求解等比数列问题

例4(1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和

是.

答案45

解析(1)设这四个数分别为“，的，aq2,aq3,

则。一1,aq—1,做2—4,aq3-]3成等差数列.

口12(的-1)=(4-1)+胸2—4),

glj•

12伍炉—4)=(aq—1)+(aq3—13),

a(q—1>=3,

整理得

的(g-1)2=6,

解得。=3,q=2.

因此这四个数分别是3,6,12,24,其和为45.

(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216,后三个数成等差数列，且它们

的和为12,求这四个数.

解方法一设前三个数分别为力a,aq,

则)〃.阳=216,

所以凉=216.所以4=6.

因此前三个数为也6,64

由题意知第4个数为12夕一6.

所以6+64+12夕-6=12,

解得

故所求的四个数为9,642.

方法二设后三个数为4一d,4,4+2,

则第一个数为*4一①2,

由题意知上4-J)2x(4—0X4=216,

解得4-4=6.所以1=-2.

故所求得的四个数为9,6,42

反思感悟几个数成等比数列的设法

⑴三个数成等比数列设为a,aq.

推广到一般：奇数个数成等比数列设为

aa0

…，/飞’aq，aq、…

(2)四个符号相同的数成等比数列设为

aaa

7，I，aq,aq\

推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为

aaa?《

…，/了］，aq,aq\*…

(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a,aq,aq\a(f.

跟踪训练4在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则

插入的两个数的和为()

A.-4或苧B.4或苧

答案B

解析设插入的第一个数为a,则插入的另一个数为5.

由a,y,20成等差数列得2X5=a+20.

a2—a—20=0,解得a=—4或4=5.

2

当a=-4时，插入的两个数的和为4+会=4.

当a=5时，插入的两个数的和为“+，=苧.

随堂演练基础巩固学以致用

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1.在等比数列｛知｝中，若6=4,的=-32,则公比夕应为（）

A.土;B.±2C.^D.—2

答案D

解析因为邑=/=-8,故q=-2.

2.（多选）已知。是1,2的等差中项，b是一1,一16的等比中项，则乃等于（）

A.6B.—6C.-12D.12

答案AB

..14~23,

解析〃=（—1）X（—16）=16,〃=±4,

•**ab=±6.

3.若等比数列的首项为4,末项为128,公比为2,则这个数列的项数为（）

A.4B.8C.6D.32

答案C

解析由等比数列的通项公式得，128=4X2门,2门=32,所以〃=6.

4.等比数列｛〃〃｝中，31=1,。5=—8。2，。5＞。2，则。〃等于（）

A.（一2）厂1B.一（一2"r）

C.（一2）〃D.一（一2）"

答案A

解析设公比为小则41g4=-8aq,

又。］#0,户0,

所以夕3=—8,q=-2.

又as>ai,

所以。2<0,%>0,

从而。1>0,即4|=1,

故a„=(—2)n~'.

5.在等比数列｛小｝中，a\=-2,43=-8,则数列｛%｝的公比为,通项公式为a„=

答案±2(—2)"或一2"

解析•谭=炉,

CI]

；.才=三=4,gfq=±2.

当夕=一2时，a“=aqr=-2X(-2)"r=(-2)”；

当q=2时，斯=0/「=-2义2"-1=-2".

■课堂小结

1.知识清单：

(1)等比数列的才既念.

(2)等比数列的通项公式.

(3)等比中项的概念.

(4)等比数列的通项公式推广.

2.方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法.

3.常见误区：

(l)x,G,y成等比数列今仆二犯，但G2=xy#x,G,y成等比数列.

(2)四个数成等比数列时设成京，；aq,aq3,未考虑公比为负的情况.

(3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错.

课时对点练注重双基强化落实

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X基础巩固

1.在数列｛小｝中,若如+|=3斯，切=2,则“4为()

A.108B.54C.36D.18

答案B

解析因为知+|=3%，

所以数列(小｝是公比为3的等比数列，

则44=33〃1=54.

2.(多选)在等比数列｛“”｝中，izi=g,q=2,则如与制的等比中项为()

11

-44C---

A.B.4D.4

答案AB

解析由题意得加=。4〃8»

因为ai=£,q=2,

所以。4与的等比中项为±«6=±4.

3.在等比数列｛%｝中,斯>0,且“|+〃2=1，的+。4=9,则改+的的值为()

A.16B.27C.36D.81

答案B

解析.."|+。2=1,。3+。4=9,；应2=9.

:.q=31q=—3舍去)，a(+«5—(«3+ci4)q—27.

4.数列｛斯｝是公差不为0的等差数列，且0,。3,。7为等比数列｛5｝的连续三项，则数列｛为｝

的公比为()

A.-\/2B.4C.2D.：

答案C

解析因为0,(13,。7为等比数列｛儿｝中的连续三项，

所以aj=a\aT,

设数列｛小｝的公差为4,则dWO,

所以(ai+2tZ)2=ai3]+6i/),

所以0=2",

所以公比g=^=萼=2.

a\z.cl

5.若正项数列｛如｝满足0=2,忌+1-3斯+以“-4曷=0,则数列｛斯｝的通项公式如等于()

A.22"-1B.2"C.22仆।D.22"-3

答案A

解析由曷+|—3%+|斯一4欣=0,

得(““+1—4a”>(a”+i+“”)=0.

又｛斯｝是正项数列，

所以斯+1—4斯=0,§4=4.

由等比数列的定义知数列仅“｝是以2为首项，

4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式，

得a“=2X4"r=22"r.

6.若｛斯｝为等比数列，且〃3+。4=4,〃2=2,则公比4=.

答案1或一2

〃闻2+〃@=4,

解析根据题意,

aiq=2.

a\=—l,

解得或

q=12.

7.已知｛为｝是等差数列，公差d不为零.若。2,S，s成等比数列，且20+〃2=1，且0

=,d=•

答案12-1

解析俏，。7成等比数列，，曷=。2。7,

工31+2d)2=(〃]+0(4]+6d),

即2d+3〃i=0.①

又・・・2〃]+〃2=1,，3m+d=l.②

2

由①②解得。1=3，d=~].

8.已知等比数列｛〃〃｝的前三项依次为〃-1,。+1,。+4,则斯=.

答案4xg)c

解析由已知可得(a+l)2=(〃-l)(a+4),

解得。=5,所以〃]=4,政=6,

所以m=4义(才厂1.

9.在等比数列｛斯｝中,6=32,怒=8.

⑴求数列｛斯｝的通项公式〃〃；

(2)若4〃=/,求九

解(1)因为。5=。3炉，

所以广胃V

所以q=±|.

当时，a,,=ayq"_3=32X=28-"；

当夕=-g时，斯=。3</'-3=32*(一；卜3.

所以a“=2「"或"“=32X1一寸-3.

(2)当为=义时，

即2"T或32X(-£)«-3=1,

解得〃=9.

10.在等比数列｛踊｝中:

(1)已知03=2,675=8,求47；

(2)已知“3+0=5,a5—a1=15,求通项公式斯.

解⑴因为母=炉=|,

所以炉=4,

所以“7=4542=8X4=32.

(2)43+。1=4|(炉+1)=5,

%一。1=4|(。4-1)=15,

所以夕2—1=3,所以炉=4,

所以“1=1,q=±2,

所以a“=aq"r=(±2)"-i.

营综合运用

11.已知a,b,c,4成等比数列，且曲线y=3—2x+3的顶点是3,c）,则ad等于（）

A.3B.2C.1D.-2

答案B

解析•；y=（x—1）~+2,/./?—1,c—2.

又'：a,b,c,d成等比数列，:.ad=bc=2.

12.已知等比数列｛斯｝满足功=:，。3。5=4（。4—1）,则。2等于（）

1*1

2C-D-

A.B.20

答案c

解析方法一:④，〃5的等比中项为34,

a3a5=晶，43a5=4(出—1)»

・,•4=4(。4-1),

•-4〃4+4=0,

。4=2.

4

:♦q=2,

〃2=〃ig=wX2=]

方法二•."345=4(44—1),

•".ai^2-«i^4=4(ai<73—1),

将代入上式并整理，得q6—I6q3+64=O,

解得q=2,

.1

..42="q=].

13.(多选)已知等差数列a,b,c三项之和为12,且a,b,c+2成等比数列，则。等于()

A.-2B.2C.-8D.8

答案BD

a+cz=2b,a=2,4=8,

解析由已知得《a+b+c^l2,解得，b=4,或<b=4,

”(c+2)=62,、c=6c=0.

故4=2或a=8.

14.若数列｛内｝的前〃项和为S”且斯=25.一3,则｛〃“｝的通项公式是.

答案斯=3・(-1)门

=

解析由an2Sn~3得%-I=2S"-L3(〃22),

两式相减得a,—an।=2